二重积分的变量交换.

2.适用范围 (1)D为圆域或圆域的一部分；
(2)被积函数含 x2 y2形式。
3.变换公式
i
1 2
(
ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i
ri
(ri 2
ri
)
ri
i
ri ri i ,
o
i
D
i
A
f (x, y)dxdy f (r cos, r sin ) r drd.
D
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
r ( ) A
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
常见区域D'的确定
(3)D : x 2 y 2 R 2 r2 R2
(如图)
D : 0 2 , 0 r R
y R
OR x
题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分
r 2()
A
②二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd o
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
r ( )
A
常见区域D'的确定
y
(1)D : x2 y 2 2Rx (如图)
r 2 2Rr cos
O R 2R x
D : , 0 r 2R cos
2
2
y
2R
(2)D : x2 y 2 2Ry (如图)
R
r 2 2Rr sin
O
x
D : 0 , 0 r 2Rsin
③二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
D
0 2, 0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
若是设u u(x, y), v v(x, y), 求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
(x, y)
(3)在变换下确定u,v的范围△;
把变换代入D的边界曲线中，求出的边界曲线
作图 (4)代入变换替换公式，化为关于u,v的ຫໍສະໝຸດ Baidu重积分; (5)用§2求二重积分的方法求出其值。 题型一：引入变量替换后，化为累次积分
§4 二重积分的变量交换
教学内容：1.二重积分的变量替换公式 2.二重积分的一般变量变换 3.二重积分的极坐标变换
教学重点：二重积分的变量变换（主要为线性变换， （广义）极坐标变换）
教学难点：变量变换后积分限的确定
一、二重积分的变量交换公式
1.引理：
2.二重积分的变量替换公式：
定理21.13 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的有界闭区域
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分 例1
y
1 x y 1
D
o
1x
v v 1
u v u v
o
u
例2
y
O
x
二、用极坐标计算二重积分
1.变换
y r .P(x,y)
变换T : x r cos , y r sin
O
x
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角
0 r ,0 2 此时J (r, ) r
例4：P242习题1（2）
D : 0 , 0 r sin
2
D : 0 r 1, arcsinr
2
y 1
O
x
练习：P242习题1（1）
例 5 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
则有 f (x, y)dxdy f [x(u, v), y(u, v)] J (u, v) dudv.
D
x,y的范围
u,v的范围
要加绝对值
3.利用一般变量替换求二重积分 步骤：⑴根据题目的特点(区域及被积函数)确定变换;
习惯上：设 x x(u, v), y y(u, v)
(2)求出J (u, v) (x, y) (u, v)
D
D
————二重积分化为二次积分的公式
3.D'的确定 把极坐标代入边界得出D'的边界
①二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,
r 1()
1( ) r 2( ).
D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
D 上可积，变换T : x x(u, v), y y(u, v)将 uov
平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一一
地映成 xoy 平面上的闭区域D，且满足
(1) x(u, v), y(u, v) 在 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
x2 y2 1
x y1
例6
I
d
2
1
d
r
dr
D 1 x2 y2 0
0 1 r2
例7
V 4 R2 x2 y2 d
D
R cos
4 2 d
R 2 r 2 rdr
0
0
D : 0 ,
2
0 r R cos