5Adams方法和一般线性多步法

求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。

Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。

显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。

为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。

常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。

这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。

因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。

摘要本文主要研究线性三步法的性质及其应用问题，在已有线性多步法基本公式的及线性二步法的基础上，本文又推导出了一个线性三步法公式，并对其进行性质分析验证。

对构造出的线性三步法公式进行相容性、稳定性、收敛性的判断。

对于一些简单而典型的微分方程模型，是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可利用。

但在数学模型中遇到的常微分方程初值问题模型，通常很难直接求出结果，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。

因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义。

对此，本文对常微分方程初值问题模型用线性三步法进行了计算机实现。

本文工作如下：首先，介绍线性多步法公式的基本概念、构造方法、误差分析。

然后，在已有的线性多步法公式特别是线性二步法的基础上，推导出线性三步法的公式，并对其性质进行分析判断。

最后，对构造的线性三步法公式进行应用，主要分析出口服药物在体内吸收变化的情况，用Matlab程序对饮食和非饮食两种情况进行作图比较。

关键词：线性三步法,常微分方程数值解,初值问题,口服药AbstractThis paper studies the nature of the linear three-step method and its application,the existing basic formula of linear multi-step and linear two-step method,the paper has derived a linear three-step formula,and verify the nature of their conduct.Of the constructed linear three-step formula for compatibility,stability,convergence of the judge.For some simple and typical differential equation model,is to derive its analytical solution,and the results are theoretically available.However,mathematical models encountered in the ODEs model,the results are usually difficult to acquire,or even impossible to derive its analytical solution,but can only seek its approximate solution. Therefore,to study the numerical method to quickly obtain the numerical solution to be of significance.In this regard,this paper model of Ordinary Differential Equation of linear three-step method using a computer to achieve.This works as follows:First,the introduction of linear multi-step formula the basic concepts,construction methods,error analysis.Then,in the existing formula,especially linear multi-step linear two-step method based on the derived formula of linear three-step method,and the nature of its judgments.Finally,structural formula of linear three-step application,the main export services of the in vivo absorption of changing circumstances,using Matlab program on food and non food plot comparison of two situations.Key words：Linear three-step method,Numerical Solution of Ordinary Differential Equations,Initial Value Problem,Oral目录第一章绪论 (1)第二章线性多步法的基本理论 (3)2.1常微分方程的数值解法 (3)2.2线性三步法的构造 (4)第三章线性三步法相容性、稳定性、收敛性的研究 (7)3.1相容性 (7)3.2稳定性 (7)3.3收敛性 (8)第四章口服药物在体内的变化 (10)4.1问题的基本概述 (10)4.2建立口服药物的吸收模型 (11)4.2.1问题的提出 (11)4.2.2模型的假设 (11)4.2.3模型的符号及意义 (12)4.2.4应用线性三步法求解 (12)第五章结论与展望 (16)5.1结论 (16)5.2进一步展望 (16)参考文献 (17)致谢 (18)附录 (19)声明 (22)第一章绪论自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一个常微分方程初值问题。

毕业论文文献综述信息与计算科学常微分方程初值问题的预估-校正解法一、前言部分在生产实际和其他数学分支中，都会不断地遇到常微分方程，而在这些方程中，仅有很少的一部分能通过初等积分法给出通解或通积分，大多数积分必须数值计算。

所以，一开始就使用数值方法求解通常更有效]1[。

解常微分方程初值问题的数值方法通常可以分为两类]2[：（1）单步法，例如Euler方法和 Runge-Kutta方法；（2）多步法，例如线性多步法。

我们将同阶的显式公式与隐式公式相比，前者使用方便，计算量较小；而后者一般需用迭代法求解，计算量大，但其局部截断误差较小，稳定性较好。

两种方法各有长处和不足。

因此，常常将它们配合起来使用，以发挥它们的优点，弥补各自的不足]3[。

这样将显式公式和隐式公式联合使用，前者提供预测值，而后者将预测值加以校正，使数值解更精确。

由此形成的算法通常被称作预估-校正算法（简称为PC算法）原则上任一显式多步法和隐式多步法都可以搭配成预估校正算法及各种计算方案，但不是任一种方案都是可用的。

一个好的计算方案应该计算稳定，具有所需的精度，并且节约计算量]4[。

几种常见的预估-校正算法]5[：（1）Adams四阶预估-校正算法；(2)Milne方法(3)Hamming算法。

本文综述常微分初值问题的数值解法及其误差估计（相容性、稳定性和收敛性分析），重点介绍了预估-校正算法。

二、主题部分2.1 常微分方程的起源和发展]6[许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事。

海王星的发现是人类智慧的结晶，也是常微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。

1781年发现天王星后，人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符。

于是有人怀疑万有引力定律的正确性；但也有人认为，这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致。

当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气。

23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯承担了这项任务，他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程，来求解和推算这颗未知行星的轨道。

第四章常微分方程数值解[课时安排] 6 学时[教学课型] 理论课[教学目的和要求]了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉(Euler )方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔( Runge-Kutta )方法、阿达姆斯( Adams )方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔(R －K)方法的基本思想，公式的推导，R－K公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶R－K公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。

[教学重点与难点]重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。

难点： R—K 方法，预估-校正公式。

[教学内容与过程]4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题(4.1.1)的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法 .通常我们假定(4.1.1) 中f(x,y)对 y 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 L＞0，使对，有(4.1.2) 则初值问题(4.1.1) 的解存在唯一 .假定 (4.1.1) 的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似 . 通常取， h 称为步长，求(4.1.1) 的数值解是按节点的顺序逐步推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题 . 4.2 简单的单步法及基本概念4.2.1 Euler 法、后退 Euler 法与梯形法求初值问题(4.1.1) 的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1) 的方程可近似写成(4.2.1)从出发 ，由(4.2.1)求得 代入(4.2.1)右端，得到的近似(4.2.2)称为解初值问题的 Euler 法.Euler 法的几何意义如图 4-1 所示.初值问题(4.1.1) 的解曲线 y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线 交点于，显然有 ， 再从出发， 以为斜率作直线推进到上一点， 其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.，一般写成再将Euler 法也可利用的 Taylor 展开式得到，由(4.2.3) 略去余项，以，就得到近似计算公式(4.2.2).另外，还可对(4.1.1) 的方程两端由到积分得(4.2.4)若右端积分用左矩形公式，用，，则得(4.2.2).如果在(4.2.4) 的积分中用右矩形公式，则得(4.2.5)称为后退(隐式)Euler 法.若在(4.2.4) 的积分中用梯形公式，则得(4.2.6)称为梯形方法 .上述三个公式(4.2.2)， (4.2.5)及(4.2.6)都是由计算，这种只用前一步即可算 出的公式称为单步法，其中 (4.2.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(4.2.5)及(4.2.6)右端含有当 f 对 y 非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解 ，这类方法称为稳式方法 .此时可将(4.2.5)或(4.2.6)写成不动点形式的方程这里对式(4.2.5)有 无关，可构造迭代法(4.2.7)由于对 y 满足条件(4.1.2)，故有当或，迭代法(4.2.4)收敛到 ，因此只要步长 h 足够小，就可保证迭代(4.2.4)收敛.对后退 Euler 法(4.2.5)， 当 时迭代收敛，对梯形法 (4.2.6) ，当时迭代序列收敛 .例 4.1 用 Euler 法、隐式 Euler 法、梯形法解取 h=0.1， 计算到x=0.5，并与精确解比较.，对(4.2.6)则， g 与解 本题可直接用给出公式计算 . 由于，Euler 法的计算公式为.其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表 4-1.对隐式 Euler 法，计算公式为解出当 n=0 时，4-1.表 4-1 例 4.1 的三种方法及精确解的计算结果对梯形法，计算公式为解得.其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表n=0 时，当 n=0 时， .其余 n=1,2,3,4 的计算结果见表 4-1.本题的精确解为， 表 4-1 列出三种方法及精确解的计算结果 .4.2.2 单步法的局部截断误差解初值问题(4.1.1) 的单步法可表示为(4.2.8)其中与有关， 称为增量函数， 当含有时， 是隐式单步法， 如(4.2.5)及(4.2.6)均为隐式单步法，而当不含时，则为显式单步法，它表示为(4.2.9)如 Euler 法(4.2.2)，出局部截断误差概念 .定义 2.1 设 y(x)是初值问题(4.1.1) 的精确解，记(4.2.10)称为显式单步法(4.2.9)在的局部截断误差 .之所以称为局部截断误差， 可理解为用公式(4.2.9)计算时， 前面各步都没有误差，，只考虑由计算到.为讨论方便，我们只对显式单步法 (4.2.9)给这一步的误差，此时由 (4.2.10)有即局部截断误差(4.2.10)实际上是将精确解代入(4.2.9)产生的公式误差，利用Taylor 展开式可得到.例如对 Euler 法(4.2.2)有， 故它表明 Euler 法(4.2.2) 的局部截断误差为 ，称为局部截断误差主项 .定义 2.2 设是初值问题(4.1.1) 的精确解，若显式单步法 (4.2.9) 的局部截断误差， 是展开式的最大整数，称 为单步法(4.2.9) 的阶， 含的项称为局部截断误差主项 .根据定义， Euler 法(4.2.2) 中的=1 故此方法为一阶方法 .对隐式单步法(4.2.8)也可类似求其局部截断误差和阶，如对后退 Euler 法(4.2.5)有 局部截断误差故此方法的局部截断误差主项为同样有，也是一阶方法 .对梯形法(4.2.6)它的局部误差主项为 ，方法是二阶的 .4.2.3 改进 Euler 法上述三种简单的单步法中，梯形法 (4.2.6)为二阶方法，且局部截断误差最小，但方法 是隐式的， 计算要用迭代法 .为避免迭代， 可先用Euler 法计算出的近似，将(4.2.6)改为称为改进 Euler 法，它实际上是显式方法 . 即(4.2.11)(4.2.12)右端已不含 .可以证明， =2,故方法仍为二阶的，与梯形法一样，但用(4.2.11)计算不用迭代.例 4.2 用改进 Euler 法求例 4.1 的初值问题并与 Euler 法和梯形法比较误差的大小 . 解 将改进 Euler 法用于例4.1 的计算公式.其余结果见表4-2.当 n=0 时，表 4-2 改进 Euler 法及三种方法的误差比较从表 4-2 中看到改进Euler 法的误差数量级与梯形法大致相同，而比 Euler 法小得多，它优于 Euler 法.讲解：求初值问题(4.1.1)的数值解就是在假定初值问题解存在唯一的前提下在给定区间上的一组离散点上求解析解的一组近似为此先要建立求数值解的计算公式，通常称为差分公式，简单的单步法就是由计算下一步，构造差分公式有三种方法，一是用均差(即差商)近似，二是用等价的积分方程(4.2.4)用数值积分方法，三是用函数的 Taylor 展开，其中 Taylor 展开最有普遍性，可以得到任何数值解的计算公式及其局部截断误差。

第1章 引 言1.1 课程设计的意义高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计； 第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动； 第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。

课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。

由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。

《常微分方程课程设计》（Curriculum Design of the Ordinary Differential Equations ）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE ）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB ，MATHMATIC ，FORTRAN 等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。

其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。

课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。

因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。

课程设计报告不仅是对课程设计的总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。