角(第2课时)

第三单元角的初步认识第2课时直角、锐角和钝角的初步认识教学目标：1．结合生活情境和操作活动，初步认识直角，会用三角尺判断直角判断直角、锐角、钝角和画直角。

2．探索用一副三角尺拼出不同的钝角，知道用直角和锐角拼出的一定是钝角。

3．使学生经历观察、操作、分类和比较等数学活动，培养学生初步的观察能力、实践能力和抽象能力，增强学生用数学思想认识事物的意识。

4．通过观察比较、动手操作等活动，培养学生的观察能力、初步的动手操作能力及合作意识。

5．在丰富多彩的活动中，获得积极的情感体验，体会数学与生活的密切联系，感受数学美。

目标解析：本课教学目标的定位是基于学生已初步认识过长方形、正方形、三角形和平行四边形等平面图形，并对角有了初步的认识之上的。

从学生已有的经验入手，让学生从实物中抽象出直角，从生活中感受直角，从动手操作中学会用三角尺判断直角和画直角，认识、判断锐角和钝角，进一步拓展完善对角的认识，培养学生的动手能力，积累学生活动和解决问题的经验，为后续学习作好铺垫。

教学重点：认识直角、锐角和钝角，用一副三角尺拼出不同的钝角，知道用直角和锐角拼出的一定是钝角。

教学难点：理解锐角、钝角和直角的特征，画直角，灵活运用角的知识拼角。

教学准备：课件、三角尺、活动角等。

教学过程：一、自由画角，导入新课（一）学生自由画角1. 选取不同大小的角向全体学生展示。

2. 选择其中一个角说一说角各部分的名称。

（二）揭示课题同学们画的这些角有大的也有小的，但有一类角很特殊，它的大小是不能变的，你猜出是什么角了吗？今天我们就来认识直角。

（板书课题）【设计意图：鉴于学生前一课时已经初步认识了角，本节课导入环节设计让学生自由画角，一方面复习了画角的知识，巩固了角各部分的名称，另一方面也由此引出一类特殊的角——直角，为沟通直角与角的联系及新课教学铺垫。

】二、动手操作，探究新知（一）描一描，初步感知直角。

1．课件出示例3。

2．观察上图，找出角并在图上描画出来。

角的初步认识第1课时角的初步认识【教学内容】教科书第26～27页例1，例2，第28页的课堂活动1、2及第30页练习八1～3【教学目标】1.经历从现实生活中发现角、认识角的过程，初步建立角、直角的概念，能说出角的各部分名称，会辨认角与直角。

2.培养学生初步的观察能力和动手操作能力，发展空间观念。

3.感受角在现实生活中的存在和应用，体验数学的价值，让学生获得成功的体验。

【教学重点】帮助学生形成角的正确表象，初步建立角的概念。

【教学难点】从实物中抽象出角以及理解角的大小与两边张开的大小有关。

【教学过程】一、观察情境，引入课题1.呈现主题图同学们，喜欢课间活动吗？课间活动丰富多彩，课间活动让我们健康快乐，就让我们一起先去感受课间活动这热闹的场景吧。

课件出示课间活动的主题图2.从实物中找角校园生活可有趣。

大家看，在美丽的校园里还藏着好多角呢，聪明的孩子赶快找找吧！哪些物体上有角呢？大家能用数学的眼光去看待身边的事物，真是一群会观察、会发现的孩子。

今天我们就一起来认识新图形——角。

板书课题：角的初步认识二、经历过程，探究新知1.认识角（1）指角刚才同学们说到剪刀上有角，吸管上有角，水管上也有角。

剪刀上的角在哪儿？谁愿意上来指一指。

都能看清楚了吗？睁大眼睛仔细看，待会我们比一比谁和老师指得一样准。

（老师再指一遍）你能像老师这样指一指、说一说吗？（请学生完整的指出角）吸管上的角在哪儿？（生上台指，在老师的帮助下完整的指出了角）水管上的角在哪儿？（学生独立指出了完整的角）（2）抽象出角小朋友们已经能够准确地指出角了。

这些角是什么样子的呢？想不想看？（课件出示实物剪刀）闭上眼睛，回忆刚才指的过程，想象一下这个角的样子。

睁开眼睛看看吧！（课件演示从实物抽象出角的形状的过程）和你想的一样吗？吸管上的角，会是一个什么样子的角呢。

（课件演示从实物抽象出角的形状的过程）水管上的角，眼前出现角的样子了吗？伸出手和老师一起比划比划。

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

认识角（第二课时）（教案）-2022-2023学年数学二年级下
册北师大版
一、课程目标
1.知道角的定义及符号表示法；
2.掌握角的分类方法。

二、教学重难点
教学重点：角的定义及符号表示法。

教学难点：角的分类方法。

三、教学过程
1. 导入（约5分钟）
1.老师出示一张图片，询问学生图片中的图形；
2.引导学生发现图形中的角，并进一步问及学生对角的概念的认识。

2. 角的定义及符号表示法（约10分钟）
1.老师通过观察实物、图片等展示角的不同形态；
2.老师详细介绍角的定义及符号表示法，通过举例解释，帮助学生理解。

3. 角的分类方法（约15分钟）
1.老师出示不同类型的角的图片，要求学生自主归纳分类；
2.老师帮助学生总结并学习角的分类方法，引导学生理解和记忆各类角的概念。

4. 练习（约20分钟）
1.学生自主完成练习册上分角类的题目；
2.部分学生在黑板上演示所做题目的解答，进行互动、补充和讨论。

5. 总结（约5分钟）
1.老师归纳角的概念和分类方法，及时纠正并解决学生在学习中存在的问题；
2.老师激励学生，让学生在学习中发现乐趣，将所学知识应用到实际中。

四、教学反思
本节课主要是对于角的概念和分类方法进行介绍，体现了教材的知识性和系统性。

教学过程中，老师可以适时让学生独立思考，促进学生积极探究，激发学生学习兴趣。

同时，老师还应针对学生的不同情况，采用不同的方法和手段，使教学更加有效。

【学霸笔记】四年级上册数学同步重难点讲练第3章角的度量第2课时角的认识1、角的认识：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

一个角有一个顶点两条边。

2、从角的一条边向另一条边画一条弧线，并标上数字。

角通常用符号“∠”来表示，这个角可以记作“∠1”，读作：角1。

3、角的大小（1）与两边叉开的大小有关系，叉开越大，角就越大，叉开越小，角就越小；（2）与边画的长度没有关系。

例1.一个正方形剪去一个角，还剩下（）个角．A．3 B．4 C．5 D．都有可能【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．由此可知，一个正方形剪去一个角，有3种不同的剪法，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．据此解答．【解答】解：一个正方形剪去一个角，沿对角线剪剩3个，沿一个角剪剩4个，沿一个角上方一点剪剩5个．如图：故选：D．【点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义及应用．例2.一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫周角；2直角＝ 1 平角．【分析】一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角＝360°；平角＝180°，直角＝90°，据此解答即可．【解答】解：一条射线绕它的端点旋转一周形成的角叫周角；90°×2＝180°2直角＝1平角．故答案为：周，1．【点评】此题考查了直角、平角和周角的含义．例3.图中没有角．×（判断对错）【分析】由一个点出发的两条射线组成的图形叫角，图中有一个直角，据此解答即可．【解答】解：图中有一个直角．故原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查了角的概念及辨别方法．例4.如图中被布遮住的是一个长方体，这个长方体表面被布遮住了几个直角？假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了几个直角？【分析】根据直角的意义，90度的角叫做直角．长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．据此解答．【解答】解：长方体、正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角，所以这个长方体表面被布遮住了4个顶点，所以被遮住了12个直角．同理：假如被布遮住的物体是正方体，那么这个正方体表面被遮住了12个直角．【点评】此题考查的目的是理解掌握直角的意义，长方体、正方体的特征，关键是明确：长方体和正方体的一个顶点由三条棱互相垂直相交，所以在长方体或正方体的一个顶点有3个直角．一．选择题（共6小题）1．下面图（）遮住的是一个直角．A．B．C．2．方桌上的直角和三角尺上的直角相比，（）A．方桌上的直角大B．三角尺上的直角大C．一样大3．钟面上3：05，时针和分针形成（）A．锐角B．直角C．钝角4．用放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数是（）°．A．3 B．30 C．300 D．30005．把一张长方形纸剪去一个角（如图），剩下的部分有（）个角．A．1 B．3 C．66．从5时到6时，钟面上的分针旋转了（）A．30°B．150°C．180°D．360°7．如图三角尺拼出的是什么角？∠1是角，∠2是角．8．是直角，比直角大，比直角小．9．钟面上3时整，时针与分针的夹角是度，4时整，时针与分针所夹的钝角是度．10．8时正，时针与分针所构成的最小角是°，是角．11．把一个15°的角放在一个放大10倍的放大镜下看，这个角的度数现在是．12．从一点引出两条所组成的图形叫做角．三．判断题（共5小题）13．分针从12走到3所形成的角是一个直角．（判断对错）14．在9°与10°之间还有其他的角．（判断对错）15．从一点出发，可以画无数条射线，其中每两条射线都能组成一个角．（判断对错）16．一个三角板上最多有两个锐角．（判断对错）17．用放大镜看68°的角仍是68°．（判断对错）．四．操作题（共2小题）18．按要求在方格纸上画直角．用给定的点和边画直角．19．想一想，画一画．如图的月饼切两次分成4块，使每块都有1个直角．20．放风筝比赛时，规定用30米长的线，比哪个风筝放得最高，只要把每根风筝线的一端固定在地面上，分别量出它们与地面所形成的角的度数即可，你知道这是为什么呢？21．数一数．22．下面钟面时针和分针组成的是什么角？先观察，再填一填．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据直角、锐角、钝角的意义，像三角尺上最大的角是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角．据此解答．【解答】解：A．遮住的是一个锐角．B．遮住的是一个直角．C．遮住的是一个钝角．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握直角、锐角、钝角的意义及应用．2．【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．因为角的两边是两条射线，射线可以向一方无限延长，所以角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．因此，方桌上的直角和三角尺上的直角相比一样大．据此解答．【解答】解：因为角的两边是两条射线，射线可以向一方无限延长，所以角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．因此，方桌上的直角和三角尺上的直角相比一样大．故选：C．【点评】此题解答关键是明确：角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关．3．【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，3：05分针与时针相差接近2个大格，2个大格形成的夹角是60°，而实际由于时针处于3和4之间，应当略大于60°，是锐角．据此解答即可．【解答】解：30°×2＝60°，实际3：05，时针和分针形成的角应略大于60°，是锐角．故选：A．【点评】本题要在了解钟面结构的基础上进行解答．4．【分析】角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关，据此解答即可．【解答】解：用放大100倍的放大镜看一个30°的角，看到的角的度数仍然是30°．故选：B．【点评】此题主要考查角的定义．5．【分析】由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；根据题意，把一张长方形纸剪去一个角，剩下的部分只有一个直角，而直线和曲线构成的不能叫作角，据此解答即可．【解答】解：把一张长方形纸剪去一个角（如图），剩下的部分有1个角；故选：A．【点评】此题考查了角的概念和辨别方法．6．【分析】钟面上，从5时到6时，分针都指向12，分针走过了12个大格子，每个大格所对的角度是30度，则12个大格是30°×12＝360°，据此解答即可．【解答】解：由分析得：从5时到6时，钟面上的分针旋转了：30°×12＝360°，故选：D．【点评】本题关键是理解每个大格所对的角度是30度．二．填空题（共6小题）7．【分析】根据锐角、钝角的含义：用三角尺上的直角比一比，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角；由此解答即可．【解答】解：∠1是钝角，∠2是锐角；故答案为：钝，锐．【点评】明确锐角、钝角的含义，是解答此题的关键．8．【分析】用三角尺上的直角比一比，就可以知道：②④是直角，③比直角大，①比直角小；由此解答即可．【解答】解：②④是直角，③比直角大，①比直角小．故答案为：②④，③，①．【点评】此题主要考查了角的概念及其分类，要熟练掌握．9．【分析】在钟面上，一共有12个大空格，时针与分针所夹的每一个空格是30°，3时整，时针指向3，分针指向12，相差3个大格，夹角为30°×3＝90°；4时整，分针与时针相差4个大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×4＝120°，由此解答．【解答】解：钟面上3时整，时针与分针的夹角是90度，4时整，时针与分针所夹的钝角是120度．故答案为：90，120．【点评】解答此题要明确：在钟面上，每个大格子对应的圆心角是360°÷12＝30°．10．【分析】分针1小时转1圈，时针1小时走1大格，钟表面上有12个大格，周角是360度，两大格之间的夹角是360÷12＝30度，8时整，分针指着12，时针指着8，时针与分针之间是4个大格，所以构成的较小夹角是120度，根据角的分类，大于90度小于180度的角叫做钝角，所以这个角是钝角．据此解答．【解答】解：8时正，时针与分针所构成的最小角是：4×30＝120°，是钝角．故答案为：120，钝．【点评】此题考查的目的是理解掌握角分类及应用．11．【分析】因为角的大小和边长的长短无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关，无论用多大倍的放大镜去看一个角，这个角的度数都不变．【解答】解：由分析可知：把一个15°的角放在一个放大10倍的放大镜下看，这个角的度数现在是15°；故答案为：15°．【点评】记住角的大小和边长无关，更和放大无关，这是解答此题的关键．12．【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；进行解答即可．【解答】解：根据角的含义可知：从一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角；故答案为：射线．【点评】此题考查了角的含义，应注意基础知识的积累．三．判断题（共5小题）13．【分析】利用钟表表盘的特征解答．表盘共被分成12个大格，每一大格所对角的度数为30°．【解答】解：分针从12走到3转动了：30×3＝90度，形成的角是直角，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形即可解答．14．【分析】度不是最小的单位，1度＝60分，1分＝60秒，所以在9°与10°之间还有很多其他的角，如9°3′，据此解答即可．【解答】解：在9°与10°之间还有其他的角，说法正确；故答案为：√．【点评】此题考查了角的大小和单位，要熟练掌握．15．【分析】根据角的定义，从一点出发，画出两条射线，组成的图形叫做角．【解答】解：从一点出发，可以画无数条射线，其中每两条射线都能组成一个角，说法正确；故答案为：√．【点评】本题主要考查了学生对角的定义的掌握情况．16．【分析】在一副三角板上的角有90度、60度、45度、30度，一个三角板上只有两个锐角．据此解答．【解答】解：根据分析，一个三角板上只有两个锐角，所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】本题主要是考查了学生对三角板的认识．17．【分析】角的大小是指两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，用放大镜看一个68°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变．【解答】解：用放大镜看68°的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变，所以还是68°；故答案为：√．【点评】此题主要考查角的大小只与角两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，与边的长度无关．四．操作题（共2小题）18．【分析】根据角的意义，从一点引出两条射线组成的图形叫做角．像三角尺上最大的角就是直角．据此解答．【解答】解：作图如下：【点评】此题考查的目的是理解掌握角的意义，以及直角的特征及应用．19．【分析】把它分给淘淘、依依、壮壮和苹苹每人一块，是分给4个人，要求每块蛋糕上都有一个直角，先在蛋糕上面画出一条线段，再从上面找一个点，使三角板的一条边与这条线重合，三角板的顶点与这个点重合，沿着另一条直角边画线即可．【解答】解：画图如下：【点评】本题是考查了画直角的方法，借助三角板或者直尺上的直角进行求解．五．解答题（共3小题）20．【分析】因为线的长度是固定的都是30米，所以谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高，由此判断．【解答】解：根据分析可知，谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高．【点评】此题考查了角有关知识的应用．21．【分析】根据直角的含义：等于90度的角是直角，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角；由此解答即可．【解答】解：故答案为：1，2，1；1，1，2．【点评】明确直角、锐角、钝角的含义美术解答此题的关键．22．【分析】先看分针，只要分针指着12，时针指几就是几时，进而确定出时间；再根据大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角；大于90°小于180°的角是钝角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角得解．【解答】解：【点评】此题考查整时的辨识，也考查了角的概念及其分类．。

第2讲 角〖学习目标〗1．进一步理解角的概念，掌握角的符号表示．2．会比较角的大小，认识度、分、秒，并能进行简单的换算，会计算角的和与差． 3．了解角的平分线、余角、补角的概念，知道角平分线、补角和余角的性质，并会利用这些性质进行相关的角度计算．4．知道什么是方位角，会利用方位角表示方向． ※考情分析角也是几何的基本概念，其中度分秒换算、互余和互补、角平分线、方位角等都是中考的高频考点，但同一份试卷最多出现一题，而且以填空、选择为主，一般不会出现在解答题中，分值一般不会超过3分．〖基础知识·轻松学〗一、角的两种定义1．静态观点的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．动态观点的定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做角，如图2-1，其中开始出发位置的射线（射线OA ）叫做这个角的始边，结束位置的射线（射线OB ）叫做这个角的终边．OAB始边终边角的内部角的外部OBAO A (B )O ABC图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 2．用旋转的观点理解平角、周角、直角（1）平角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转半周得到的（这时角的始边和终边互为反向延长线），如图2-2，这样的角叫做平角，1平角＝180°．（2）周角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转一周得到的（这时角的始边和终边重合成一条射线，但它不是一条射线），如图2-3，这样的角叫做周角，1周角＝360°．（3）直角：平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角顶点加上“┐”或“┌”的标志． 精讲：平角与直线有区别：平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”．同样不能说“一条射线是周角”．二、角的四种表示方法1．用三个大写字母表示．2．用一个大写字母表示．3．用数字表示．4．用希腊字母表示．三、角的度量1．角的度量单位：常用的角的度量单位是度、分、秒．2．角度的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．精讲：度分秒转化的方法：60606060⨯⨯÷÷度分秒四、角的两种比较方法精讲：（1）比较角的大小的两种方法中，度量法是从数量上进行比较；叠合法是从“形”上进行比较．从数量上看，度数大的角大；从形上看，开口大的角大．（2）角的大小只与角两边张开程度有关，与角的边画出部分的长度无关，因为角的边是射线，而不是线段；角的大小与角的顶点的位置也没有关系．五、角平分线1．文字语言：OC是∠AOB的平分线或OC平分∠AOB；2．图形语言（如图2-4）：3．符号语言：∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．精讲：（1）角的平分线是一条射线，这条射线把角分成两个相等的角，此时三个角有公共的顶点．（2）角平分线的符号语言描述的是“两角相等”，“一个角是另一角的一半”，当需要证明两个角相等或要求证明角度之间的倍分关系的时候，常常考虑证明角平分线．（3）与角的平分线类似，一个角还有三等分线，四等分线．七、互余、互补1．互余――如果两个角的和等于90°，其中一个角是另一个角的余角．互补――如果两个角的和等于180°，其中一个角是另一个角的补角．2．余角和补角的性质（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．八、方位角1．方位角的基准：上北下南左西右东．2．方位角的基本格式：南（北）偏东（西）××°．图2-5 图2-6如图2-5，射线OA ：北偏东30°；射线OB ：南偏东40°； 如图2-6，西北方向或北偏西45°．〖重难疑点·轻松破〗一、角的统计方法角的个数统计的方法与线段个数的统计方法基本类似，可逐个顶点统计，最后把各个顶点的角的个数相加即可．例1：如图2-7，（1）写出能用一个字母表示的角； （2）写出以点B 为顶点的角； （3）图中有多少个小于平角的角？ABCD图2-7分析：要注意角的不同表示法的使用范围，当同一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示．解：（1）能用一个大写字母表示的角有：∠A ，∠C ． （2）以B 为顶点的角有3个：∠ABD ，∠ABC ，∠DBC ． （3）图中小于平角的角共有7个．点评：在统计图中角的个数时，应有明确的分类标准，可以按顶点来分类，如以A 为顶点的角有1个，以B 为顶点的角有3个，以C 为顶点的角有1个，以D 为顶点的角有两个．变式练习1：如图2-8，图中共有_________个小于平角的角．OAEDCB图2-8二、时钟问题解题思路在钟表问题中，时针旋转的速度是0.5度/分钟，分针旋转的速度是6度/分钟．解题的时候，可将钟表一圈360°看作环形跑道长，时针和分针可看作甲乙两人在环形跑道上同向跑步．例2：时针由2点30分到2点55分，时针走了_______度，分针走了__________度． 思路一：时钟一圈共12格，一共360°，所以每一格30°，2点30分到2点55分共经历了25分钟，时针共转了2560格，分针共转了5格，所以时针走了12.5度，分针走了150度．思路二：时针1小时转30°，分针1小时转360°，因此时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，所以时针走了0.5×25＝12.5度，分针走了6×25＝150度．点评：时钟上每格30°，时针的速度是0.5度/分钟，分针的速度是6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．变式练习2：在时刻8：30，时钟上的时针与分针的夹角为_______． 三、度、分、秒之间的互化和运算与度、分、秒有关的运算包括度、分、秒的互化和度、分、秒之间的加减乘除，其转化方式与小学时学过的加减乘除基本相同，所不同的是小学时学过的加减乘除是满10进1，而度、分、秒之间的换算是满60进1．例3：计算：（1）把3.38°化为度、分、秒的形式． （2）把28°18′18″化成度的形式．分析：（1）3.38°先取整数，得到3°，还剩下0.38°＝(0.38×60)′＝22.8′，取整数后是22′，还剩0.8′＝(0.8×60)″＝48″；（2）28°18′18″＝28°(18＋1860)′＝(28＋18186060+)°． 答案：（1）3.38°＝3°22′48″； （2）28°18′18″＝28.305°．点评：（1）将度化为度、分、秒的形式的方法是取整数后乘以60再取整数，再乘以60后取整数，…；（2）将度、分、秒的形式化成度的形式的方法是：a °b ′c ″＝()603600b ca ++°． 变式练习3：36.33º可化为（ ） A ．36º30´3" B ．36º33´ C ．36º30´30" D ．36º19´48"例4：计算（1）24°36′＋58°38′；（2）51°38′－32°5′32″；（3）13°53′×3；（4）158°42′÷5． 分析：角度计算中，满60要进位．角度相加时，先算秒，再算分，最后算度．够60″时化为1′，够60′时化为1°； 角度相减时，不够减可借1作60，并与原数相减；进行乘法运算时，度、分、秒分别与乘数相乘，够60″时化为1′，够60′时化为1°； 对于除法计算，从度开始除，将余数化为分，和原有的分相加后再除，将余数化为秒，和原来的秒相加后再除，除不尽时四舍五入．解：（1）24°36′＋58°38′＝(24°＋58°)＋(36′＋38′)＝82°＋74′＝83°14′． （2）51°38′－32°5′32″＝51°37′60″－32°5′32″＝19°32′28″． （3）13°53′×3＝(13°×3)＋(53′×3)＝39°＋159′＝41°39′． （4）158°42′÷5＝31°＋222′÷5＝31°＋44′＋120″÷5＝31°44′24″． 点评：角度的计算中，要特别注意的是度、分、秒之间是60进制． 变式练习4：计算（1）98°45′36″＋71°22′34″； （2）78°32′56″－51°47′42″； （3）11°23′26″×3；（4）176°52′÷3．四、方位角方位角是角在实际生活中的一种重要的应用，在本章以及九年级的锐角三角函数中都有着重要的应用，本处主要是了解方位角，九年级就需要利用方位角解决问题了．例5：轮船航行到C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°，那么从A 同时观测轮船在C 处的方向是（ ）A ．南偏东46°B ．东偏北46°C ．东偏南46°D ．南偏东44°分析：我们可根据题目的意思先画出图形，当从C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°时，从A 同时观测轮船在C 处的方向是南偏东46°．北南西东C 北南西东A 46°46°AO20°北南西东北偏东20°图2-9 图2-10模型提炼：通过本题，我们不难总结出这样一条规律，从A 看B 是北偏西46°，那么从B 看A 就是南偏东46°，这里只是将北换成南，西换成东，度数没有变化．变式练习5：平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角，在测绘、航海中经常用到．如图2-10，OA 表示北偏东20°方向的一条射线．仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）北偏西50°；（2）南偏东10°；（3）西南方向（即南偏西45°）． 五、角平分线定义的应用角平分线是几何里面应用特别多的一个概念，它既可以由角平分线得到两个角相等，也可以由两个角相等来判定一条射线是角平分线．格式1：∵OC 平分∠AOB （已知），∴∠AOC ＝∠BOC （角平分线的定义） 作用：可用来证明两个角相等，或者证明一个角是另一个角一半． 格式2：∵∠AOC ＝∠BOC （已知），∴OC 平分∠AOB （角平分线的定义） 作用：可用来判断一条射线是不是角平分线．例6：如图2-11，∠AOD ＝80°，OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°，求∠COD 的度数．O CABD图2-11分析：由于∠AOD ＝80°，根据∠COD ＝∠AOD －∠AOC 可知，要求出∠COD ，首先要求出∠AOC ，求∠AOC 可由角平分线的定义求得．解：∵OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°， ∴∠AOC ＝2∠AOB ＝60°（角平分线的定义） ∵∠AOD ＝80°，∠COD ＝∠AOD －∠AOC ， ∴∠COD ＝20°．点评： 如果OC 是∠AOB 的角平分线，那么：①∠BOC ＝∠AOC ；②∠AOB ＝2∠AOC ，∠AOB ＝2∠BOC ；③∠BOC ＝12∠AOB ，∠AOC ＝12∠AOB ．反之，如果上面3个式子中任一等式成立，则均可说明射线OC 是∠AOB 的角平分线．变式练习6：如图2-12，OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，∠AOD ＝35°，求∠AOB 的度数．OADCB图2-12例7：如图2-13，∠AOB ＝90°，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．OBMA CN图2-13思路一：虽然∠AOB ＝90°，但∠AOC 的度数却不知道．又因为ON 平分∠AOC ，所以不妨设∠CON ＝x °，则∠AON ＝x °，∠BOC ＝90°＋2x °．又OM 平分∠BOC ，所以∠MOC ＝45°＋x °．因此根据两角的差可以求出∠MON 的度数．解：∵ON 平分∠AOC （已知），∴∠AON ＝∠CON （角平分线的定义）． 设∠CON ＝x °，所以∠AON ＝∠CON ＝12∠AOC ＝x °（角平分线的定义）． 又∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝90°＋2x °． 又∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠BOC ＝45°＋x °（角平分线的定义）． ∵∠MOC ＝∠MON ＋∠NOC ，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝45°＋x °－x °＝45°． 思路二：要求出∠MON 的度数，由于∠MON ＝∠MOC －∠NOC ，因此我们可转而求∠MOC 和∠NOC 的度数．根据“OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ”则可求出∠MOC 和∠NOC的度数．OBMA CN解：∵ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC （已知）， ∴∠MOC ＝12∠BOC ，∠NOC ＝12∠AOC （角平分线的定义） ∵∠AOB ＝90°，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠BOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＝45°． 点评：和求线段长一样，求一个角的度数时，我们通常将这个角拆成另外几个易求角度的角的和或者差的形式，通过求出另外几个角达到求这个角度数的目的．模型提炼：在本题中，OA ，OB ，OC 三条射线共组成了∠AOB ，∠AOC ，∠BOC 三个角度，OM 、ON 是其中两个角的平分线，则OM 、ON 的夹角（∠MON ）等于第三个角的一半．变式练习7：（1）如图2-14，ON 是∠BOC 的平分线，OM 是∠AOC 的平分线，如果∠AOC ＝28°，∠BOC ＝42°，那么∠MON 是多少度?（2）如果∠AOB 的大小保持与上图相同，而射线OC 在∠AOB 的内部绕点O 转动，那么射线OM ，ON 的位置是否发生变化?（3）∠MON 的大小是否发生变化?如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．图2-14五、设未知数解决几何问题例8：如图2-15，∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，如果∠AOB ＝120°，那么∠COE 是多少度？AOBEDC图15思路一：由于∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOD ＝∠BOE ＋∠DOE ＝3∠DOE ，∠AOD ＝∠DOC ＋∠COA ＝3∠DOC ．然后根据∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOE ＋3∠DOC ＝3（∠DOE ＋∠DOC ）＝120°，即可求解．解：因为∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOE ＝2∠DOE ，∠COA ＝2∠DOC ，所以∠BOD ＝3∠DOE ，∠AOD ＝3∠DOC ． 又∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOC ＋3∠DOE ＝3（∠DOC ＋∠DOE ）＝3∠EOC ． 所以∠EOC ＝13∠AOB ＝40°． 思路二：本题也可利用方程思想，可设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，即求x ＋y ，易推得3(x ＋y )°＝120°，故x ＋y ＝40．解：设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，则∠BOE ＝2x °，∠COA ＝2y °．因为∠AOB ＝∠DOE ＋∠COD ＋∠BOE ＋∠COA ，所以∠AOB ＝3x °＋3y °． 因为∠AOB ＝120°，所以x ＋y ＝40，所以∠EOC ＝40°．点评：第二种方法体现了方程思想，比第一种方法来得更直观，弄清各个角之间的关系，尤其是∠EOC 和∠AOB 的倍分关系很重要．注意体会这种思想在解决角度计算中的便利之处，并能熟练应用．变式练习8：如图2-16，已知：∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．1234图2-16六、互余、互补的列式技巧例9：若一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的余角及这个角的补角． 分析：要求这个角的余角和这个角的补角，可先求出这个角的度数，若设这个角为x °，则这个角的余角为(90－x )°，这个角的补角为(180－x )°，根据这个角的余角比这个角的补角的13还小10°，可列出方程求得x的值．解：设这个角为x°，则这个角的余角为(90－x)°，这个角的补角为(180－x)°．根据题意，得90－x＝13(180－x)－10，解得x＝60．90－x＝30，180－x＝120．答：这个角的余角是30°，补角是120°．点评：此类问题一般有三个未知量，一个角、这个角的余角和这个角的补角，求解的关键是设出合适的未知数，列方程求解，由于余角和补角都可以很容易用这个角表示，因此此类题常常考虑设一个角为x．变式练习9：一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，求这个角的度数．〖课时作业·轻松练〗A．基础题组1．若∠A＝30°28′，∠B＝30°28′30″，∠C＝30.4°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠C＞∠BC．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2．关于互补，下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角. 其中，正确的有_______个．3．计算：（1）48°39′＋67°45′；（2）180°－87°19′42″；（3）32°17′×5；（4）27°56′24″÷3．B．提升题组4．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．一个角的余角比它的补角的12少20°．求这个角的度数．6．如图2-17，∠AOB＝110°，∠COD＝70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF 的大小．FOECDA B 图2-177．在同一平面内，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝60°，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．8．（1）已知∠BOC ＝120°，∠AOB ＝70°，求∠AOC 的度数；（2）已知∠AOB ＝80°，过O 作射线OC （不同于OA ，OB ），满足∠AOC ＝53∠BOC ，求∠AOC 的度数〖中考试题初体验〗1．（2013辽宁大连，5，3分）如图2-18，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB ．若∠COB ＝35°，则∠AOD 等于（ ）．A ．35°B ．70°C ．110°D ．145°图2-182．（2013玉林防城港，2，3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）． A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°〖我的错题本〗OABCD。