数列大题训练50题

高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片）一．解答题（共50题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．5．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．6．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．7．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．8．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．9．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．10．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．11．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．13．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．14．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．15．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．16．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．17．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．数列全国高考数学试题参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值．【分析】（1）由2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0可得，可知数列{}是等差数列，求出的通项公式可得a n；（2）由（1）知＝，然后利用裂项相消法求出a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n，再解不等式可得n的范围，进而得到n的最大值．【解答】解：（1）∵2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0．∴，又，∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，∴；（2）由（1）知，＝，∴a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＝＝，∵a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜，∴＜，∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N*，∴n的最大值为9．【点评】本题考查了等差数列的定义，通项公式和裂项相消法求出数列的前n项和，考查了转化思想，关键是了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式构造新数列，属中档题．2．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【分析】（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，由S9＝﹣a5，即可得S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，结合a3＝4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，分n＝1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d＝＝﹣2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．【点评】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于基础题．3．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【分析】（1）定义法证明即可；（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1＝（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（）n+n﹣，b n＝（）n﹣n+．【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题4．（2019•新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2）把（1）中求得的{a n}的通项公式代入b n＝log2a n，得到b n，说明数列{b n}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2（舍）或q＝4．∴；（2）b n＝log2a n＝，∵b1＝1，b n+1﹣b n＝2（n+1）﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{b n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{b n}的前n项和．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查对数的运算性质，是基础题．5．（2018•全国）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2．（1）求S n；（2）求++…+．【分析】（1）由数列递推式可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，运用等差数列的定义和通项公式可得所求S n；（2）化简＝＝（）＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．【解答】解：（1）a1＝，a n＞0，a n+1•（S n+1+S n）＝2，可得（S n+1﹣S n）（S n+1+S n）＝2，可得S n+12﹣S n2＝2，即数列{S n2}为首项为2，公差为2的等差数列，可得S n2＝2+2（n﹣1）＝2n，由a n＞0，可得S n＝；（2）＝＝（）＝（﹣），即++…+＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）＝（﹣1）．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的递推式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．6．（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【分析】（1）根据a1＝﹣7，S3＝﹣15，可得a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，得S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴a n＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，a n＝2n﹣9，∴S n＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，∴当n＝4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．7．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．（2）利用定义说明数列为等比数列．（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）由于（常数），数列{b n}是为等比数列；（3）由（1）得：，根据，所以：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．8．（2018•新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q＝±2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，当q＝﹣2时，a n＝（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，或a n＝（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1＝1，q＝﹣2时，S n＝＝＝，由S m＝63，得S m＝＝63，m∈N，无解；当a1＝1，q＝2时，S n＝＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（2017•全国）设数列{b n}的各项都为正数，且．（1）证明数列为等差数列；（2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n．【分析】（1）对已知等式两边取倒数，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由等差数列的通项公式可得，所以，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：数列{b n}的各项都为正数，且，两边取倒数得，故数列为等差数列，其公差为1，首项为；（2）由（1）得，，，故，所以，因此．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．10．（2017•新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．（1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式；（2）若T3＝21，求S3．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2，a3+b3＝5，可得﹣1+d+q＝2，﹣1+2d+q2＝5，解得d＝1，q＝2或d＝3，q＝0（舍去），则{b n}的通项公式为b n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b1＝1，T3＝21，可得1+q+q2＝21，解得q＝4或﹣5，当q＝4时，b2＝4，a2＝2﹣4＝﹣2，d＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，S3＝﹣1﹣2﹣3＝﹣6；当q＝﹣5时，b2＝﹣5，a2＝2﹣（﹣5）＝7，d＝7﹣（﹣1）＝8，S3＝﹣1+7+15＝21．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．11．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【分析】（1）由题意可知a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2＝2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝＝，a2＝＝，由a1+a2＝2，+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n＝＝＝﹣[2+（﹣2）n+1]，则S n+1＝﹣[2+（﹣2）n+2]，S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2＝﹣[2+（﹣2）n+2]﹣[2+（﹣2）n+3]，＝﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，＝﹣[4+2（﹣2）n+1]＝2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．12．（2017•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2016•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a1＝S1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项；（Ⅱ）化简b n＝＝＝（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和S n＝n2，可得a1＝S1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，上式对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），则数列{b n}的前n项和为（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）＝（（﹣1）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．（2016•新课标Ⅲ）已知数列{a n}的前n项和S n＝1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5＝，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n＝1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+λa n﹣1﹣λa n﹣1＝λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n＝λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即＝，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q＝，当n＝1时，S1＝1+λa1＝a1，即a1＝，∴a n＝•（）n﹣1．（2）若S5＝，则若S5＝1+λ[•（）4]＝，即（）5＝﹣1＝﹣，则＝﹣，得λ＝﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．15．（2016•新课标Ⅰ）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n＝1，可得a1＝2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n＝＝（1﹣3﹣n）＝﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．16．（2016•新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n＝1可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，将a1＝1代入可得a2的值，进而令n＝2可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，将a2＝代入计算可得a3的值，即可得答案；（2）根据题意，将a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+a n+1）＝0，进而分析可得a n＝2a n+1或a n＝﹣a n+1，结合数列各项为正可得a n＝2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，当n＝1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝，当n＝2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0，又由a2＝，解可得a3＝，故a2＝，a3＝；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1＝0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）＝0，即有a n＝2a n+1或a n＝﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n＝2a n+1，故数列{a n}是首项为a1＝1，公比为的等比数列，则a n＝1×（）n﹣1＝（）n﹣1，故a n＝（）n﹣1．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n与a n+1的关系．17．（2016•新课标Ⅱ）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；（Ⅱ）根据b n＝[a n]，列出数列{b n}的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝4，a5+a7＝6．∴，解得：，∴a n＝；（Ⅱ）∵b n＝[a n]，∴b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝b7＝b8＝3，b9＝b10＝4．故数列{b n}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．18．（2016•新课标Ⅱ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记b n＝[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．可得a4＝4，则公差d＝1．a n＝n，b n＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．19．（2015•全国）已知数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．（Ⅰ）证明：数列{2n a n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣．两式相减，得2a n＝，由此能证明数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．﹣1（Ⅱ）求出2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，由此能求出{a n}的通项公式．【解答】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n＝4﹣a n﹣．∴当n＝1时，，解得a1＝1，当n≥2时，S n＝4﹣a n﹣，S n﹣1＝4﹣a n﹣1﹣．两式相减，得2a n＝，∴2×2n a n＝2×2n a n＝2×2n﹣1a n﹣1﹣4，∴＝﹣2n﹣1a n﹣1＝＝﹣2，又2a1＝2，∴数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列．（Ⅱ）∵数列{2n a n}是首项为2，公差为﹣2的等差数列，∴2n a n＝2+（n﹣1）×（﹣2）＝4﹣2n，∴a n＝．∴{a n}的通项公式为a n＝．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（2015•新课标Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n＝4S n+3，可知a n+12+2a n+1＝4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）＝4a n+1，即2（a n+1+a n）＝a n+12﹣a n2＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n＝2，∵当n＝1时，a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{a n}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵a n＝2n+1，∴b n＝＝＝（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n＝（﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．考点卡片1．等差数列的性质【等差数列】等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2．等差数列的通项公式【知识点的认识】a n＝a1+（n﹣1）d，或者a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列的性质例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．5．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义2．等比数列的通项公式a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．6．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．7．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．数列与函数的综合【知识点的知识】一、数列的函数特性：等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，a n，q，n，S n，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．二、解题步骤：1．在解决有关数列的具体应用问题时：（1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；（2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；（3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；（4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案．2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：（1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．（2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通．3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．【典型例题分析】典例：已知f（x）＝log a x（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（a n）…是首项为4，公差为2的等差数列．（I）设a为常数，求证：{a n}成等比数列；（II）设b n＝a n f（a n），数列{b n}前n项和是S n，当时，求S n．分析：（I）先利用条件求出f（a n）的表达式，进而求出{a n}的通项公式，再用定义来证{a n}是等比数列即可；（II）先求出数列{b n}的通项公式，再对数列{b n}利用错位相减法求和即可．解答：证明：（I）f（a n）＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，即log a a n＝2n+2，可得a n＝a2n+2．∴＝＝为定值．∴{a n}为等比数列．（II）解：b n＝a n f（a n）＝a2n+2log a a2n+2＝（2n+2）a2n+2．（7分）当时，．（8分）S n＝2×23+3×24+4×25++（n+1）•2n+2 ①2S n＝2×24+3×25+4×26++n•2n+2+（n+1）•2n+3 ②①﹣②得﹣S n＝2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）•2n+3（12分）＝﹣（n+1）•2n+3＝16+2n+3﹣24﹣n•2n+3﹣2n+3．∴S n＝n•2n+3．（14分）点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．10．数列与不等式的综合【知识点的知识】证明与数列求和有关的不等式基本方法：（1）直接将数列求和后放缩；（2）先将通项放缩后求和；（3）先将通项放缩后求和再放缩；（4）尝试用数学归纳法证明．常用的放缩方法有：，，，＝[]﹣＝＜＜＝﹣（n≥2），＜＝（）（n≥2），，2（）＝＜＝＜＝2（）．…+≥…+＝＝＜．【解题方法点拨】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：（1）添加或舍去一些项，如：＞|a|；＞n；（2）将分子或分母放大（或缩小）；（3）利用基本不等式；＜；（4）二项式放缩；（5）利用常用结论；（6）利用函数单调性．（7）常见模型：①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．【典型例题分析】题型一：等比模型典例1：对于任意的n∈N*，数列{a n}满足＝n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：对于n≥2，．解答：（Ⅰ）由①，。

数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 （ ）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为 （ ）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。

等差数列试题精选一、选择题：（每小题5分，计50分）1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）62．已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)73.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．54．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8.已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：（每小题5分，计20分）11设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a _____________.12．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________13.已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = . 三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）14．等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a （Ⅰ）求通项n a ； （Ⅱ）若S n =242，求n.15．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

高中数学试卷代数——数列练习题一、单选题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n+1)，则a2的值为（）A．-4B．-2C．-6D．-82．已知等差数列{a n}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（）A．5B．6C．7D．83．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9等于（）A．60B．45C．36D．184．在等差数列{a n}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A．5B．7C．9D．105．在等差数列{a n}中，a1=3，a3=4则a5=（）A．3B．4C．5D．－16．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2a4=4，则a1a5+a3的值为（）A．5B．3C．6D．87．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）A．48里B．24里C．12里D．6里8．若等差数列a n满足a3+a5+a7+a9+a11=80，则a8﹣12a9=（）A．8B．9C．10D．119．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2﹣6n+3，则a7+a8+a9+a10等于（）A．7B．13C．33D．4010．等差数列{a n} 中，a5＞0，a4+a7＜0，则{a n} 的前n项和S n中最大的项为（）A．S4B．S5C．S6D．S711．已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有（）A．甲大于乙B．甲等于乙C．甲小于乙D．不确定12．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=18，a2a3=32，若{a n}的前n项和S n满足S k+10−S k=216−26，则正整数k等于（）A．5B．6C．7D．813．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．12(9n−1)C．9n﹣1D．14(3n−1)14．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A．12+14+18+116+132+164=6364B．122−1+142−1+162−1+⋯+1502−1=5051C．12+14+16=1112D．11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+50=495115．等差数列a1,a2,⋅⋅⋅,a n(n≥3,n∈N∗)，满足|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋅⋅⋅+|a n−2|=2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为5116．设正项等比数列{a n}的前n项乘积为T n，已知a5=1，T3=2T7，则T n的（）A．最大值为32B．最大值为1024C．最小值为132D．最小值为1102417．数列{a n}的首项a1=−23，前n项和为S n.已知S n+1S n+2=a n(n≥2)，则使S n≥m恒成立的最大实数m=（）A．−1B．−89C．−98D．−79二、填空题18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，n∈N∗，则S n=. 19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a7+a9=15，则S13=. 20．如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=．21．设数列{a n}满足a1=1，a2=3且a n+2−2a n+1+a n=2，则a4−a3=，数列{a n}的通项a n=．22．已知等差数列{a n}的前三项为a−1,a+1,2a+3，则此数列的通项公式为23．记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3+a4=24，则S6=.24．实数2和8的等比中项是．25．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋅⋅⋅+log3a10=；26．已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，a2=2，S8=0，则S99=．27．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．28．若f(x)+f(1−x)=2,a n=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n−1n)+f(1)( n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式是.29．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q等于.30．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1、2进行“扩展”，第一次得到数列1、32、2；第二次得到数列1、54、32、74、2；第n次得到数列1、x1、x2、⋯、2，则第n次得到的数列项数为；记第n次得到的数列的所有项和为a n=1+x1+x2+⋅⋅⋅+2，则数列{a n}的前n项和S n=．31．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．32．已知等差数列{a n}，对任意n∈N+都有a1C n0+a2C n1+a3C n2+⋯+a n+1C n n=n⋅2n+1成立，则数列{1a n+1a n+2}的前n项和T n=．33．设[x] 为不超过x的最大整数，a n为[x[x]](x∈[0,n))可能取到所有值的个数，S n是数列{1a n+2n}前n项的和，则下列结论正确的是.（1）a3=4（2）190是数列{a n}中的项（3）S10=56（4）当n=7时，a n+21n取最小值34．设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S 5S 10=13 ，则 S 5S 20+S 10=.三、解答题35．已知等差数列 {a n } 的前n 项的和为 S n ，且 a 3=3 ， S 10=55 .（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设 b n =a n2n ，求数列 {b n } 的前n 项和 T n .36．已知等差数列 {a n } 中， S n 是数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 2=5，S 5=35.（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设数列 {1S n −n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .37．已知等差数列 {a n } 中， a 3=6 ， a 5+a 8=26 ．（∈）求数列 {a n } 的通项公式；（∈）设 b n =2a n +n ，求数列 (x 0,1) 的前 n 项和 S n ．38．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=6，a 4=2.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值及相应的n 的值.39．已知数列 {a n } 为等差数列，且公差不为0， a 3=5 ， a 2 是 a 1 与 a 5 的等比中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式，（2）记 b n =1a 2n ⋅a2n+2，求数列 {b n } 的前 n 项之和 T n ． 40．已知等差数列 {a n } 中， a 2=3 ， a 4=7 ，等比数列 {b n } 满足 b 1=a 1 ， b 4=a 14 .（1）求数列 {a n } 通项公式 a n ； （2）求数列 {b n } 的前n 项和 S n .41．各项均为正数的数列 {a n } 满足 S n =a n 2+2a n +14(n ∈N ∗) ，其中 S n 为 {a n } 的前 n 项和.（1）求 a 1,a 2 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式.42．已知数列{a n }满足：a 1=12，对∀n ∈N +，都有a n+1=a n 2+n2+1．（1）设b n =a n −n ，n ∈N +，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ．43．已知数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，且 a 1=1 ， S n =2a n+1 ．（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）当b n=log32(3a n+1)时，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n.44．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（∈）求数列{a n}的通项公式．（∈）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．45．已知数列{a n}中，a1=2，其前n项和S n满足：S n=2a n+n−3．（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）令b n=1a n(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N∗，都有T n<56．46．记S n为数列{a n}的前n项和，T n为数列{S n}的前n项和，已知S n+T n=2．（1）求证：数列{S n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和A n．47．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（∈）求{a n}的通项公式；（∈）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．48．数列{a n}中，a3=1,S n=a n+1(n=1,2,3…).（1）求a1,a2；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n⋅b n+3⋅b n+4=1，试求数列{c n}的前n项和.49．已知数列{a n}满足(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)=1a n(n∈N∗)，Sn是数列{a n}的前n项和.（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（∈）是否存在k∈N∗，使得√a k a k+1+16为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.50．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=2S n−1+2(n≥2)．（1）求{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列递推式【解析】【解答】依题意，数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，当 n =1 时， a 1=S 1=2(a 1+1) ，解得 a 1=−2 ， 当 n =2 时， S 2=2(a 2+2)=a 1+a 2 ，解得 a 2=−4 ， 故答案为：A.【分析】根据递推关系即可依次求得 a 1 和 a 2 的值.2．【答案】B【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中首项a 1=2，公差d=1，∴a 5=2+4×1=6． 故选：B ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项．3．【答案】B【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质 【解析】【解答】解： a 2+a 8=2a 5又 a 2+a 5+a 8=15 ， 3a 5=15 ， a 5=5S 9=9×(a 1+a 9)2=9×2×a 52=9×a 5=45故答案为：B【分析】由 a 2+a 5+a 8=15 求 a 5=5 ，再用 S 9=9a 5 即可4．【答案】D【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，由题意结合等差数列的通项公式可得：{a 1+(a 1+d)=25(a 1+2d)+(a 1+3d)=45 ， 解得： {a 1=10d =5 . 故答案为：D .【分析】先设等差数列首项为a 1，公差为d ，通过等差数列的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，即可得出答案。

（III）求和： 1 1 1 1 1 1
a1 a2 a3 a4
a2 n1 a2 n
25．已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中 n=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2）设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求数列｛an｝的通项及 Tn；
n N*都成立，数列{bn1 bn} 是等差数列． （1）求数列{an} 与{bn} 的通项公式； （2）问是否存在 k N*，使得 bk ak (0,1) ？请说明理由． 8 ．已知数列{an }中, a1 5且an 3an1 3n 1 (n 2,3,)
（I）试求 a2，a3 的值；
（2）求数列{ an }的通项公式；
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（3）若 bn nan , 求数列{bn }的前n项和Sn .
数列大题训练 50 题
31．已知二次函数 y f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' (x) 6x 2 ，数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， 点 (n, Sn )(n N ) 均在函数 y f (x) 的图像上。
an
（2）求数列{bn}的通项公式；
(3)求数列{ bn }的前 n 项和 Sn.
15．已知函数 f (x) ＝a·bx 的图象过点 A（4， 1 ）和 B（5，1）． 4
（1）求函数 f (x) 解析式；
（2）记 an＝log2 f (n) n∈N*， Sn 是数列 an 的前 n 项和，解关于 n 的不等式 an Sn 0
1
的所有项的和(即前
n
项和的极限)。
an

数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D.4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积=30T （ ） A 、154， B 、152， C 、1521⎪⎭⎫ ⎝⎛， D 、153，5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．216、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a++1-15 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ⋯--,924,715,58,189二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

数列大题训练50题及答案本卷含答案及知识卡片，同学们做题务必认真审题，规范书写。

保持卷板整洁。

一.解答题(共50题),2a n+1a n+a n+1−a n=0.1. (2019•全国)数列{an}中, a1=13(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求满足a1a2+a2a3+⋯+a n−1a n<1的n的最大值 .72.( 2019•新课标Ⅰ )记 Sn为等差数列{aₙ}的前 n项和 .已知Sg= -a₅.(1)若 a₃=4,求{aₙ}的通项公式 ;(2)若 a₁>0, 求使得Sₙ≥aₙ的n的取值范围 .3.( 2019·新课标Ⅱ)已知数列aₙ和bₙ满足a₁=1,b₁=0,4aₙ₊₁=3aₙ−bₙ+4,4bₙ₊₁=3bₙ−aₙ−4.( 1) 证明 : aₙ+bₙ是等比数列，aₙ−bₙ是等差数列；(2)求{aₙ}和bₙ的通项公式 .4.( 2019•新课标Ⅱ)已知{ aₙ}是各项均为正数的等比数列， a₁=2,a₃=2a₂+16.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)设bₙ=log₂aₙ,求数列bₙ的前n项和 .5.(2018•新课标Ⅱ)记 Sn为等差数列aₙ}的前 n项和 , 已知a₁= - 7 , S₃= -15 .(1)求{ aₙ}的通项公式；(2)求Sₙ,并求Sₙ，的最小值 ..6 .( 2018•新课标Ⅰ )已知数列{ aₙ满足a₁=1,naₙ₊₁=2(n+1)aₙ,设b n=a nn(1)求b₁,b₂,b₃;( 2) 判断数列{bₙ}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{aₙ}的通项公式 .7.( 2018•新课标Ⅲ ) 等比数列{aₙ}中 ,a₁=1,a₅=4a₃·(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)记 Sn为{aₙ}的前 n项和 .若Sₙ=63,求m..8.(2017•全国)设数列{bₙ}的各项都为正数 , 且b n+1=b nb n+1}为等差数列；( 1) 证明数列{1b n(2)设 b₁=1,求数列{ bₙbₙ₊₁的前n项和Sₙ.9 .( 2017•新课标Ⅱ )已知等差数列{aₙ}的前 n项和为 Sₙ,等比数列{bₙ}的前 n项和为Tₙ,a₁=−1,b₁=1,a₂+b₂=2(1)若 a₃+b₃=5,又求{bₙ}的通项公式 ;(2)若 T₃=21, 求 S₃.10 .( 2017•新课标Ⅰ )记. Sₙ，为等比数列{aₙ}的前 n项和 .已知 S₂=2,S₃=-6.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求Sₙ,并判断Sₙ₊₁,Sₙ,Sₙ₊₂是否成等差数列 .11 .( 2017•新课标Ⅲ)设数列{aₙ}满足a1+3a2++(2n−1)a n=2n.(1)求{an}的通项公式 ;}的前 n项和 .(2)求数列{a n2n+112.( 2016·全国) 已知数列aₙ}的前 n项和Sₙ=n².( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;,求数列{bₙ}的前 n项和 .(Ⅱ)记b n=√a n+√a n+113 .( 2016•新课标Ⅲ ) 已知数列aₙ}的前n项和Sₙ=1+λaₙ,其中λ≠0.(1) 证明{aₙ}是等比数列，并求其通项公式；,求λ .(2)若S5=313214 .( 2016•新课标Ⅰ ) 已知{aₙ}是公差为 3 的等差数列 , 数列{ bₙ满足b₁=1,,a n b n+1+b n+1=nb n.b2=13( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;(Ⅱ)求{bₙ}的前n项和.15 .( 2016•新课标Ⅲ) 已知各项都为正数的数列aₙ满足a1=1,a n2−(2a n+1(1)aₙ−2aₙ₊₁=0.(1)求 a₂, a₃;(2)求{aₙ}的通项公式 .16 .( 2016•新课标Ⅱ ) 等差数列{aₙ}中 ,a₃+a₄=4,a₅+a₇=6.( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;数列全国高考数学试题 参考答案与试题解析一 . 解答题(共50 小题)1.( 2019•全国)数列{a ₙ}中 , a 1=13,2a n+1a n +a n+1−a n =0.(1)求{a ₙ}的通项公式 ;( 2)求满足 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n <17的n 的最大值 .【解答】解:(1) ∵2a n+1a n +a n+1−a n =0.∴1a n+1−1a n=2,∴a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(13−12n+1),∵a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n <17,∴12(13−12n+1)<17, ∴4n +2<42,∴n <10,∵n ∈N ∗, ∴n 的最大值为9.【点评】本题考查了等差数列的定义 ，通项公式和裂项相消法求出数列的前 n【分析】(1)由 2aₙ₊₁aₙ+aₙ₊₁−aₙ=0可得−=2,可知数列 {}是等差数列 ，求出- 的通项公式可得 an ；(2)由(1)知1a a =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),然后利用裂项相消法求出 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n 再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值 . 又1a =3,∴数列 {}是以3为首项 ，2 为公差的等差数列 ， ∴1a =2n +1,∴a n =12n+1;(2)由(1)知 , a n−1a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),。

数列专题一．等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

2.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是______。

5.如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－37.已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-9.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列，a 1+a 4+….. + a 97 =50，a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ） A.a 19＞0,a 21＜0B.a 20＞0,a 21＜0C.a 19＜0,a 21＞0D.a 19＜0,a 20＞017.等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=18.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

数列高考真题演练一、选择填空题1、（2017 全国Ⅰ ）S n 为等差数列 {a n }的前 n 项和．若 a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{ a n } 的公差为（） A ．1 B ． 2 C ．4 D ．82．（2017 全国Ⅱ理 ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7层塔共挂了 381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 （ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9 盏3． （2017 ·全国Ⅲ ）等差数列 { a n }的首项为 1，公差不为 0.若 a 2，a 3，a 6成等比数列，则 {a n }的 前 6 项和为 （ ）A ．－ 24B ．－ 3C ．3D ．87 634、（2017江苏）等比数列 { a n }的各项均为实数，其前 n 项和为 S n ，已知 S 3＝47，S 6＝643，则 a 86、 （2017 ·全国Ⅲ ）设等比数列 {a n }满足 a 1＋a 2＝－ 1，a 1－a 3＝－ 3，则 a 4＝a 27、（201 ·北京 ）若等差数列 { a n }和等比数列 {b n }满足 a 1＝b 1＝－ 1， a 4＝ b 4＝ 8，则b 22＝_________________________________________________________________________________ 8、（ 2016年全国 I ）已知等差数列 {a n } 前 9项的和为 27， a 10=8 ，则 a 100=（A ）100（B ）99（C ）98（D ）979、（ 2016 年 浙 江 ） 如 图 ， 点 列 A n , B n 分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 ， 且A n A n 1 A n 1A n 2 ,A n A n 2,n N ，B n B n 1 B n 1B n 2 ,B n B n 2,n N。

一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．（2011•重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n 与B n的大小．5．（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．6．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011•江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．9．（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．10．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．11．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010•四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．13．（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．14．（2010•陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n．15．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列的前n项和S n．16．（2010•江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．17．（2009•陕西）已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（2009•山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n．19．（2009•江西）数列{a n}的通项，其前n项和为S n，（1）求S n；（2），求数列{b n}的前n项和T n．20．（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为s n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求s n．21．（2009•湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．22．（2009•福建）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．23．（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2009•北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008•浙江）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．26．（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．27．（2008•四川）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．28．（2008•陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．29．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{c n}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lna n}，{lnb n}的前n项和分别为S n，T n．若a1=2，，求数列{c n}的前n项和．30．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。

数列难题专题一．解答题（共50小题）1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和T n ．2．已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n •3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3）．令b n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若f （x ）=2x ﹣1，求证：T n =b 1f （1）+b 2f （2）+…+b n f （n ）＜（n ≥1）．4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =（﹣1）n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．5．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 2•S 3=36． （Ⅰ）求d 及S n ；（Ⅱ）求m ，k （m ，k ∈N *）的值，使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．16．已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．17．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{c n }对任意自然数n 均有=a n+1成立，求c 1+c 2+…+c 2014的值．18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，，n ∈N *．（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．19．数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n =（n ≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）..（1+S n ）对一切n ∈N ×都成立，求k 的最大值． 20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，．（1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列； （2）求数列{S n }的前n 项和T n ．21．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n ，其中n=1，2，3，…． （Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n+1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2．（ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列； （ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．22．在数列{an }中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．23．设数列{an }的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an }的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an }是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an }，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．24．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an} 前n项和为Sn ，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an }前2k项和S2k；（3）在数列{an }中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．25．已知数列{an }满足a1=1，|an+1﹣an|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{an }是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．26．已知数列{an }满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．27．设数列{an }的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．28．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an }的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{an }的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．29．已知数列{an }的各项均为正数，bn=n（1+）n an（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令cn =（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．30．设等差数列{an }的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．31．正整数列{an }，{bn}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，ak是ak﹣1与bk﹣1的等差中项，bk是ak﹣1与bk﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{an }是等差数列的充要条件是{an}为常数数列；（3）记cn =|an﹣bn|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由．32．已知数列{an }是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{an }中，求证：数列{an}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{an }中任何一项都不等于1，记bn=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{bn}是单调递减数列．33．对于项数为m的有穷数列{an }，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，a k 中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{an }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．（2）设{bn }是{an}的控制数列，满足ak+bm﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），an =an2﹣n，{bn}是{an}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．34．已知数列{an }是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn =（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn．35．已知f（x）=，数列{an }为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列{an }和{bn}的通项公式（2）令，{cn }的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有1≤Tn＜4．36．已知数列{an }满足a1=，an=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn =ansin，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：对任意的n∈N*，Tn＜．37．已知数列{an }满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an }是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．38．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b、c满足的关系式．（2）若c=2时，各项不为零的数列{an }满足4Sn•f（）=1，求证：＜＜．（3）设bn =﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．39．在数列{an }中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）设bn =，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an }的前n项和Sn．40．已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式an；（Ⅱ）设Tn 为数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）设bn =，证明：b1+b2+b3+…+bn＜．41．已知数列an满足（1）求数列an 的通项公式an；（2）设，求数列bn 的前n项和Sn；（3）设，数列cn 的前n项和为Tn．求证：对任意的．42．如图，已知曲线C 1：y=（x ＞0）及曲线C 2：y=（x ＞0），C 1上的点P 1的横坐标为a 1（0＜a 1＜）．从C 1上的点P n （n ∈N +）作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n+1．点P n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n } （Ⅰ）试求a n+1与a n 之间的关系，并证明：a 2n ﹣1＜； （Ⅱ）若a 1=，求证：|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |＜．43．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=（n ∈N *）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）数列{b n }满足b n =（3n ﹣1）••a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式（﹣1）n λ＜T n +对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．44．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点（n ，）都在函数f （x ）=x+的图象上．（1）计算a 1，a 2，a 3，并归纳出数列{a n }的通项公式；（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6），（a 7，a 8，a 9，a 10）；（a 11），（a 12，a 13），（a 14，a 15，a 16），（a 17，a 18，a 19，a 20）；（a 21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5+b 100的值； （3）设A n 为数列的前n 项积，若不等式A n ＜f （a ）﹣对一切n ∈N *都成立，求a的取值范围．45．数列{bn }的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{an }共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（﹣1）i bi （i∈N*）后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．46．已知数列{an}的首项，，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：．47．已知数列{an }的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{an }是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn ≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．48．已知数列{an }满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }滿足，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：．49．已知数列{an }的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有an+12﹣1=4an（an+1），bn=2log2（1+an）﹣1．（1）求证：{1+an }是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若数列{bn }中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，求c1+c2+…+c100；（3）设dn =，数列{dn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．50．在数列{an }中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an﹣2n}为等差数列；（2）设数列{bn }满足bn=log2（an+1﹣n），若…对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn }的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an }的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．2．已知数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（1）由数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由an =2n，知bn=an•3n=2n•3n，所以Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，再由错位相减法能够求出数列{bn }的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵an=2n，∴bn =an•3n=2n•3n，∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3∴Sn=+．【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．3．已知数列{an }中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．令bn=．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【分析】（Ⅰ）由题意知an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）=，由此可证明Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知Sn ﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3）即an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（Ⅱ）由于bn=，f（x）=2x﹣1，∴=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）==．【点评】本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．4．已知等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn =（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn ==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴an =a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．5．已知等差数列{an }的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及Sn；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am +am+1+am+2+…+am+k=65．【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n项和公式，把条件转化为关于公差d的二次方程求解，注意d的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{an }的通项公式，利用等差数列的前n项和公式，对am+am+1+am+2+…+am+k=65化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，k ∈N *进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a 1=1，S 2•S 3=36得， （a 1+a 2）（a 1+a 2+a 3）=36，即（2+d ）（3+3d ）=36，化为d 2+3d ﹣10=0， 解得d=2或﹣5， 又公差d ＞0，则d=2， 所以S n =n=n 2（n ∈N *）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， 由a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65得，，即（k+1）（2m+k ﹣1）=65，又m ，k ∈N *，则（k+1）（2m+k ﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k ﹣1）=1×65， 下面分类求解：当k+1=5时，2m+k ﹣1=13，解得k=4，m=5；当k+1=13时，2m+k ﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去； 当k+1=1时，2m+k ﹣1=65，解得k=0，故舍去；当k+1=65时，2m+k ﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去； 综上得，k=4，m=5．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n +3n ，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．所以b n =S n ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．（Ⅱ）由题设条件知S n =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，a n =S n ﹣S n ﹣1=，由此可以求得a 的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n =a n+1=S n +3n ，即S n+1=2S n +3n ， 由此得S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．（4分）因此，所求通项公式为bn =Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n =Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，an an+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an =an+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣an }是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故bn ＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）=由此可知bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知bn＜bn+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣an}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）= =又由（1）知an ＞0且an≠1，故bn+12﹣bn2＞0，因此bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由an≠1可得，即两边开平方得．即bn ＜bn+1，n为正整数．【点评】本题考查数列的综合应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．【分析】（I）使用三角不等式得出|an |﹣|an+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|an|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|an|≤2．【解答】解：（I）∵|an ﹣|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1，∴﹣≤，n∈N*，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+==1﹣＜1．∴|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤++…+=＜．∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①由m的任意性可知|an|≤2．否则，存在n∈N*，使得|a|＞2，取正整数m0＞log且m＞n，则2•（）＜2•（）=|a|﹣2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，都有|an|≤2．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可．【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*．∴当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）当n=1时，a1=S1==1．因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{an }的通项公式an=3n﹣2．（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．则，∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），化为m=3n2﹣4n+2，∵n＞1，∴m=3n2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【分析】（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a 3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当an ≥﹣c时，an+1﹣an=c+8＞c；当﹣c﹣4≤an ＜﹣c时，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当an ＜﹣c﹣4时，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．又{an }为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{an }为递增数列，故an≥a2=0＞﹣c，∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{an }的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则an=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴an=，n≥1，则a3=；（2）∵an=，n≥1，∴数列{an}是公比q=，则数列{an }的前 n项和Tn==2﹣21﹣n．（3）bn =+（1+++…+）an，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴bn =+（1+++…+）an，∴Sn =b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an 与Sn的关系，将条件转化为an的方程，从而求出an；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．（2）由得：．∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0．∴．∴当n≥2时，，又∵a1=2=2×1，∴．（3）由（2）可知=，∀n∈N*，=＜=（），当n=1时，显然有=＜；当n≥2时，＜+=﹣•＜所以，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）分am =2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d．∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4+d=2q，又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d+2q．解得：d=2，q=3．∴对于k∈N*，有．故；（2）若am =2k，则由amam+1=am+2，得2•3k﹣1（2k+1）=2•3k，解得：k=1，则m=2；若am=2k﹣1，则由（2k﹣1）•2•3k﹣1=2k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．故满足条件的正数为2；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①．∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3．当L=1时，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立；当L=2时，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1．若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令，则=．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此时m=2，L=2=a2．当L=3时，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3．综上，存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．【分析】（1）由题意，得，由此可解得an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，∴S22=SmS1，即，解得m=12．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤an+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．17．已知等差数列{an }的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{an }与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．【分析】（Ⅰ）依题意，a2，a5，a14成等比数列⇒（1+4d）2=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{an }的通项公式；由b2=a2=3，b3=a5=9，可求得q与其首项，从而可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an =2n﹣1，bn=3n﹣1，由++…+=an+1，可求得c1=b1a2=3，=an+1﹣an=2（n≥2），于是可求得数列{cn }的通项公式，继而可求得c1+c2+…+c2014的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2），∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn =2bn=2•3n﹣1（n≥2），∴cn=．∴c1+c2+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32013=3+2×（3+32+ (32013)=3+2×。

一、等比数列选择题1．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ）A ．2B ．2或2-C ．2- D2．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 3．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）A ．1B ．2±C ．2D ．2-4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．88．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．119．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．110．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．412．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9813．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6414．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．315．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1116．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74D ．15817．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．618．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102319．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，226598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是（ ） A ．25B ．254C ．5D ．25二、多选题21．题目文件丢失！22．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 23．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为单调递增数列B ．639S S = C ．3S ，6S ，9S 成等比数列D ．12n n S a a =-24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-126．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25 B ．26C ．27D ．2828．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－1229．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ）A ．1023B ．341C ．1024D ．34230．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列31．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T33．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---34．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<35．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 2．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 3．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 4．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 5．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3nn n S =+-=，所以13n S n=，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 6．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <，∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 7．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 8．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 9．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 10．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C .本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 11．A 【分析】利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】已知{}n a 为等比数列，1322a a a ∴=，且22a =，满足13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：（1）先利用等比数列的性质，得1322a a a ∴=，（2）通分化简312311124S a a a ++==. 12．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 13．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S .【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 14．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 15．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 16．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 17．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122nn n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n =故选：C 18．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．B 【分析】由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，可得()2222265986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以685a a +=，所以268113682524a a a a a a +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭， 当且仅当6852a a ==时取等号． 故选：B .二、多选题 21．无22．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122na n da +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 23．BD 【分析】根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案． 【详解】由638a a =，可得3338q a a =，则2q，当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误； 由663312912S S -==-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =⨯， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11122121n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；故选：BD ． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式. 24．ABC 【分析】由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力. 25．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.26．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363aq a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 29．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 30．AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确； 因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 31．ACD 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 32．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 33．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n n n n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 34．ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 35．AB 【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212n n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB 【点睛】本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。