2017届高三复习：数列大题训练50题及答案

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数 列一、选择、填空题1、（2016年北京高考)已知{}na 为等差数列,nS 为其前n 项和，若16a=，350a a +=，则6=S _______。

.2、（2015年北京高考）设{}na 是等差数列。

下列结论中正确的是A.若021>+a a，则032>+a aB 。

若031>+a a,则021<+a aC 。

若210a a<<，则312a a a > D 。

若01<a，则()0)(3212>--a a a a3、（2014年北京高考）若等差数列{}na 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______时，{}na 的前n 项和最大.4、（朝阳区2016届高三二模）为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元。

每年销售蔬菜的收入为26万元。

设()f n 表示前n 年的纯利润(()f n =前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额）,则()f n = （用n 表示）;从第 年开始盈利.5、（东城区2016届高三二模）成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}nb 中的b 、b 、b ，则数列{}nb 的通项公式为A.12n n b -= B 。

13n n b -= C 。

22n n b -=D 。

23n n b -=6、（丰台区2016届高三一模）若数列{}na 满足*12(0,)N n n na a a n，且2a 与4a 的等差中项是5,则12n aa a 等于（A)2n（B ）21n（C ）12n (D ）121n7、(海淀区2016届高三二模）在数列{}na 中，12a=，且1(1)nn n ana ++=，则3a的值为A 。

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1,1,2,3,5,8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{}n a 为“斐波那契”数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则（Ⅰ）7S =__________； （Ⅱ）若2017a m =，则2015S =__________．（用m 表示） 3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41n n S a =+*()n ∈N ，设3log ||n n b a =，则数列{}n b 的通项公式为________.4、（襄阳市2017届高三1月调研）在等差数列{}n a 中，已知123249,21a a a a a ++==，数列{}n b 满足()12121211,2n n n n n b b b n N S b b b a a a *+++=-∈=+++，若2n S >，则n的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 25、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±6、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 .7、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在等差数列{}n a 中，36954a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11S =A. 18B. 99C. 198D. 2978、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+uu r uur uu u r，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ） A.20172 B. 2017 C. 2016 D. 201529、（荆州中学2017届高三1月质量检测）对于数列{}n a ，定义na a a Hn nn 12122-+++=为{}n a 的“优值”.现在已知某数列{}n a 的“优值”12+=n Hn ，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，n为正整数.（1）令2n n n b a =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++，求n T .2、（荆门市2017届高三元月调考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S .（Ⅰ）求2a ，3a 和通项n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12-⋅=n n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n S n b b b =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2016T .4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()x f x a =的图象过点1(1,)2，且点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令112n n n b a a +=-，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证5n S <.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()22441,.n n a S n n N *+=++∈（1）求1a 及通项公式n a ；（2）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤ .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：49n T ≤.7、（襄阳市2017届高三1月调研）设各项均为正数的等比数列{}n a 中，132464,72.a a a a =+= (1)求数列{}n a 的通项公式； (2))设21log n nb n a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，不等式()log 2n a S a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知数列{n a }的前n 项和为n s ,且1a =2，n +1n a =2(n+1)n a（1）记=nn a b n，求数列{n b }的通项公式； （2）求通项n a 及前n 项和n s .9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知等差数列{}n a 满足()()()()()1223121.n n a a a a a a n n n N *+++++++=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .参考答案一、选择、填空题1、20162、（Ⅰ）33 （Ⅱ）1m -3、n b n =-4、B5、A6、357、C 8、A 9、167[,]73二、解答题 1、解：（I ）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I ）得，所以由①-②得……12分2、(I)11=a ，当2n =时，22222(1)32S a a =+=-，则24a =，当3n =时，24)41(22333-=++=a a S ，则63=a ，………………2分 当2n ≥时，2)1(2-+=n n a n S ，∴当3n ≥时，2211-=--n n na S ， ∴当3n ≥时，n n n n n a na a n S S 2)1()(211=-+=---， 即3n ≥时，1)1(-=-n n na a n ，所以11-=-n an a n n ， …………………4分 因为22323==a a ，111=a ，所以11n n a a n n -==-…32232a a===，因此，当2n ≥时，n a n 2=，故1,(1),2,(2)n n a n n =⎧=⎨⎩≥. ……………6分(Ⅱ)由(I)可知，1,(1),2,(2)n nn b n n =⎧=⎨⋅⎩≥，所以当1=n 时，11==b T n ，…………8分 当2n ≥时，12n T b b =++…2312232n b +=+⨯+⨯+…2n n +⋅， 则34222232n T =+⨯+⨯+…1(1)22n n n n ++-⋅+⋅， 作差得：3418(22n T =--++…112)2(1)21n n n n n ++++⋅=-⋅+ 故12)1(1+⋅-=+n n n T ，)(+∈N n . ……………………………………………………12分3、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ·················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ············· 3分 所以3n a n =. ························· 4分易知164b =， ························ 5分 当2n ≥时11214n S n b b b --=，又124n S n b b b =，两式相除得64(2)n n b n =≥， ················· 7分 164b =满足上式，所以64n n b =. ··············· 8分 （Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++， 10分11(1)361n T n =-+， ····················· 11分 因此2016562017T =. ····················· 12分 4、【解析】（Ⅰ）∵函数()x f x a =的图象过点1(1,)2， ∴11,()()22x a f x ==………………………………………………2分又点2(1,)()n a n n n*-∈N 在函数()x f x a =的图象上从而2112n n a n -=，即212n n n a -=……………………………………6分（Ⅱ）证明：由22(1)21222n n n n n n n b ++=-= 得23521222n n n S +=+++………………………………8分 则231135212122222n n n n n S +-+=++++ 两式相减得， 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ∴2552n nn S +=-…………………………………………11分∴5n S <……………………………………………………12分5、6、解：（Ⅰ）由19a =，2a 为整数可知，等差数列{}n a 的公差d 为整数， 由5n S S ≤,知560,0a a ≥≤， 于是940d +≥ ，950d +≤，d 为整数，2d ∴=-.故{}n a 的通项公式为112n a n =-…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得()()11111111292292112n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪----⎝⎭， 1111111111......27957921122929n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令192n b n =-，由函数()192f x x=-的图象关于点()4.5,0对称及其单调性，知12340b b b b <<<<，567...0b b b <<<<，41n b b ∴≤=.1141299n T ⎛⎫∴≤-= ⎪⎝⎭………12分7、(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q ，则错误！未找到引用源。

2017年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列1.（2017·全国卷Ⅰ理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 CA ．1B ．2C ．4D ．82.（2017·全国卷Ⅱ理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 21n n + 3.（2017·浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列1.（2017·全国卷Ⅲ理科）设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-，则4a =____．8-2.（2017·江苏卷）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =,6634S =，则8a = . 32 3.（2017·全国卷Ⅱ理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍， 则塔的顶层共有灯 BA ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 考法3 等差数列与等比数列综合1.（2017·全国卷Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为 AA ．24-B ．3-C ．3D ．82.（2017·北京理科）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b ==-,44a b =8=，则22a b =____. 1 3.（2017·全国卷Ⅰ文科）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；(2)n n a =-（Ⅱ）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列.4.（2017·全国卷Ⅱ文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的 前n 项和为n T .11a =-，11b =，222a b +=.（Ⅰ）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； 12n n b -= （Ⅱ）若321T =，求3S . 321S =或36S =-.5.（2017·北京文科）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==,24a a +10=，245b b a ⋅=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；21n a n =- , （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．312n T -=.6.（2017·天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 1328433n n n T +-=⨯+ 7.（2017·天津文科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首 项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； 32n a n =-，2n n b = （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*()n ∈N . 2(34)216n n T n +=-⨯+8.（2017·山东理科）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； 12n n x -=（Ⅱ）如图，在在平面直角坐标xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,1)P x ，,11(,1)n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域面积n T ．1211222n n n T --=⨯+9.（2017·山东文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=,123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； 2n n a =（Ⅱ）{}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 15(25)()2n n T n =-+⨯考法4 一般数列1.（2017·全国卷Ⅲ文科）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；221n a n =- （Ⅱ）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 221n n S n =+。

文科数列专题复习一、等差数列与等比数列1。

基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

(a 〉0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

4、典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 （文16）已知{a n｝是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列｛a n｝的通项;（Ⅱ）求数列｛2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3,a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n｝的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ）由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2。

小结与拓展:数列{}n a是等差数列，则数列}{n a a是等比数列，公比为d a,其中a是常数，d是{}n a的公差.（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 已知数列｛a n}的前三项与数列{b n｝的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N＊都成立，数列｛bn＋1－b n｝是等差数列．求数列｛a n}与{b n}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N＊）①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*）②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n,在①中令n＝1,可得a1＝8＝24－1,∴a n＝24－n（n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4,b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{b n＋1－b n｝的公差为－2－（－4)＝2,∴b n＋1－b n＝－4＋（n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1）＋(b3－b2）＋…＋(b n－b n－1）＝8＋（－4)＋(－2）＋…＋（2n－8）＝n2－7n＋14（n∈N＊）．法二（累加法)即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4,b1＝8,相加得b n＝8＋(－4）＋(－2）＋…＋（2n－8)＝8＋（n －1）（－4＋2n －8）2＝n 2－7n ＋14(n∈N ＊）．小结与拓展:1）在数列{a n ｝中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n 。

数列045、设3x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ，12321=++a a a ，记n S =()31+n a f ，令n n n S a b =，数列}1{nb 的前n 项和为n T . （1）求{}n a 的通项公式和n S ；（2）求证：31<n T ；（3）是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由.【答案】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由7213=+=d a a , 12331321=+=++d a a a a .解得11=a ，d =3 ， ……………2分 ∴23-=n a n ……………4分∵3x x f =)(， ∴S n =()31+n a f =131+=+n a n . ……………6分（2）)13)(23(+-==n n S a b n n n∴)131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ……………8分 ∴31)1311(31<+-=n T n ……………10分（3）由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，13+=n n n T ，∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 1341)13(2+=+n n m m ……………12分 即n n m m 4312+=+6当1=m 时，7n n 43+=，n =1，不合题意；当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； 当3=m 时，919n n 43+=，n 无正整数解；当4=m 时，1625n n 43+=，n 无正整数解； 当5=m 时，2531n n 43+=，n 无正整数解；当6=m 时，3637n n 43+=，n 无正整数解； ……………15分当7≥m 时，010)3(1622>--=--m m m ，则1162<+m m ，而34343>+=+n n n ，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分另解：（3）由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，13+=n n n T ∵n m T T T ,,1成等比数列. ∴ 21()31431m n m n =⋅++， ……………12分 取倒数再化简得n n mm 4312+=+6 当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； ……………14分 2221161611193,0,39339m m m m m m m +⎛⎫≥<≤=+=+-≤< ⎪⎝⎭时， 而34343>+=+nn n ， 所以，此时不存在正整数m 、n , 且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………17分 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. ……………18分6、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）写出一个正整数m ，使得91+m a 是数列}{n b 的项；（3）设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ），使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知，有⎩⎨⎧=+=+9333416211d a d a ，……（2分）解得11=a ，2=d ，…………（3分）所以}{n a 的通项公式为12-=n a n （*N ∈n ）．…………（4分）（2）当1=n 时，1111b T b -==，所以211=b ．……（1分） 由n n b T -=1，得111++-=n n b T ，两式相减，得11++-=n n n b b b ， 故n n b b 211=+，……（2分） 所以，}{n b 是首项为21，公比为21的等比数列，所以n n b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21．……（3分） )4(2182191+=+=+m m a m ，…………（4分） 要使91+m a 是}{n b 中的项，只要n m 24=+即可，可取4=m ．…………（6分） （只要写出一个m 的值就给分，写出42-=n m ，*N ∈n ，3≥n 也给分）（3）由（1）知，tn n c n +--=1212，…………（1分） 要使1c ，2c ，k c 成等差数列，必须k c c c +=122，即tk k t t +--++=+12121136，…………（2分） 化简得143-+=t k ．…………（3分） 因为k 与t 都是正整数，所以t 只能取2，3，5．…………（4分）当2=t 时，7=k ；当3=t 时，5=k ；当5=t 时，4=k ．…………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数t 和k ，所有符合条件的有序整数对),(k t 为： )7,2(，)5,3(，)4,5(．…………（6分）7、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分）（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．（6分）【答案】解：（1）解：40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q 2分 10411=+c c 计算出21=c 3分 121242--=⋅=n n n c 4分 12-=∴n a n 5分（2）11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭6分 于是11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 8分 n n T ∞→lim =21 10分（3）假设否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列，则2121321m n m n ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 12分 可得2232410m m n m -++=>，由分子为正，解得1122m -<<+由,1m N m *∈>，得2m =，此时12n =， 当且仅当2m =，12n =时，1,,m n T T T 成等比数列。

北京市部份区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编数列一、选择、填空题一、（昌平区2017届高三上学期期末）已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，12a =,2312a a +=,则5S =________ .二、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，32a S =，则2a = ，10S =3、（朝阳区2017届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a = ，4S =4、（东城区2017届高三上学期期末）数列{}n a 表示第n 天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n 天的日增加率0.6n r =(*1n nn na a r n a +-=∈N ，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增加率n r 会发生转变．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q 随时间的转变规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增加率n r 的规律描述正确的是5、（丰台区2017届高三上学期期末）在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____.7、（石景山区2017届高三上学期期末）等差数列{}n a 学科网中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．8、（通州区2017届高三上学期期末）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若11a =，7524S S -=，则6____.S =9、（西城区2017届高三上学期期末）设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．二、解答题一、（朝阳区2017届高三上学期期末）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n 中互不相同的元素．若数列m A 知足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1k k m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”．（Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是不是是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥．二、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知数列{}()N n a n *∈是公差不为0的等差数列，11a =，且248111,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证:1n T <.3、（朝阳区2017届高三上学期期中）设b a ,是正奇数，数列}{n c （n *∈N ）概念如下：b c a c ==21,，对任意3≥n ，n c 是21--+n n c c 的最大奇约数．数列}{n c 中的所有项组成集合A ．（Ⅰ）若15,9==b a ，写出集合A ；（Ⅱ）对1≥k ，令221=max {,}k k k d c c -(max{,}p q 表示,p q 中的较大值），求证：k k d d ≤+1；（Ⅲ）证明集合A 是有限集，并写出集合A 中的最小数．4、（东城区2017届高三上学期期末）已知{}n a 是等比数列，知足13a =，424a =，数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．五、（海淀区2017届高三上学期期末）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 别离表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有知足该条件的{}n a ．六、（丰台区2017届高三上学期期末）已知无穷数列{}n c 知足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是不是存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 知足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.八、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是无穷数列，知足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-（2,3,4,n =）.（Ⅰ）若122,3a a ==，求345,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{}n a 中*()k a k ∃∈N ,使得12k a <≤.九、（通州区2017届高三上学期期末）已知数列}{n a 对任意的*N n ∈知足：+212n n n+a a a ，则称数列}{n a 为“T 数列”.（Ⅰ）求证：数列{}2n 是“T 数列”；（Ⅱ）若212nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否是“T 数列”，并说明理由；（Ⅲ）若数列{}n a 是各项均为正的“T 数列”，求证：13212421n na a a n a a a n.10、（西城区2017届高三上学期期末）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列组成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．参考答案一、选择、填空题一、62 二、4,110 3、12，1524、B 五、D 六、24 7、4 八、36 九、12n -；63二、解答题 一、解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项， 若剩下两项从909199,,,中任取，则都符合条件，有21045C =种； 若剩下两项从798088,,,中任取一个，则另一项必对应909199,,,中的一个，有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，仍是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<．把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤学科网，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤，又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j 个不同取值，矛盾． 所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+，即1212m a a a n m ++++≥．…………………13分 二、解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为248111,,a a a 成等比数列，所以2428111()a a a =⋅．即2111111()37a d a d a d=⋅+++ ．化简得2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即21d a d =．又11a =，且0d ≠，解得1d = ．所以有1(1)n a a n d n =+-=． …………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅⋅++．所以11111111122311n T n n n =-+-++-=-<++ ． 因此，1n T <． …………………13分 3、解：（Ⅰ）数列}{n c 为：9，15，3，9，3，3，3，……．故集合}3,15,9{=A ． ……………3分 （Ⅱ）证明：由题设，对3≥n ，2-n c ，1-n c 都是奇数，所以21--+n n c c 是偶数．从而21--+n n c c 的最大奇约数221--+≤n n n c c c ， 所以},m ax {21--≤n n n c c c ，当且仅当21--=n n c c 时等号成立． 所以，对1≥k 有k k k k d c c c =≤-+},m ax {12212，且k k k k k k d d d c c c =≤≤++},m ax {},m ax {21222．所以k k k k d c c d ≤=+++},m ax {12221，当且仅当122-=k k c c 时等号成立．………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3≥n 时，有},m ax {21--≤n n n c c c ． 所以对3≥n ，有12max max {,}{,}n c c c a b ≤=． 又n c 是正奇数，且不超过max {,}a b 的正奇数是有限的， 所以数列}{n c 中的不同项是有限的． 所以集合A 是有限集．集合A 中的最小数是b a ,的最大公约数． ……………14分4、解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ． 由题意，得3418a q a ==，2q =． 所以11132n n n a a q --==⋅(1,2,)n =． ……………3分又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列， 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．从而1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =． ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,)n =数列{3}n +的前n 项和为(7)2n n +． ……………9分 数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(12)32312n n -=⨯--． ……………12分 所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)3232n n n +-⨯+． ………13分 五、解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：知足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不知足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是第一次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不知足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有知足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）六、解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在知足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可适当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =知足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可适当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分 （Ⅲ）2………………13分7、解析：（I ）（II ）八、解析：（III）九、解：(Ⅰ)22252n n n ++=⋅，12242n n +⋅=⋅ 212n n n a a a ++∴+-=21222220n n n n +++-⋅=> 212n n n a a a ++∴+>……………….3分(Ⅱ)222112(2)2n n n n a a a n +++⎛⎫+-=+⋅ ⎪⎝⎭212n n ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭1212(1)2n n +⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭2221(2)[(1)]24nn n n +⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭214024nn n ⎛⎫-⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，*4,n n N >∈，故数列{}n a 不是T 数列.……………….7分(Ⅲ)要证13212421n n a a a n a a a n +++++>+++ 只需证1321242()(1)n n n a a a n a a a ++++>++++……………….8分下面运用数学归纳法证明。

山东省13市2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数列2017.03一、选择、填空题1、（聊城市2017届高三高考模拟（一））已知数列{}n a 为等差数列，且1251,5,8a a a ≥≤≥，设数列{}n a 的前n 项和为S ，15S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m + （ ） A ．500 B ．600 C. 700 D ．8002、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知1x >，1y >，且lg x ，14，lg y 成等比数列，则xy 有A ．最小值10 BC ．最大值10D二、解答题QQ 请到学科网下载，不要放到群1、（滨州市2017届高三下学期一模考试） 已知数列{}n a 满足22,,2,n n n a n a n N a n +++⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数，且121,2a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1(1),n n n n b a a n N ++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .2、（德州市2017届高三第一次模拟考试）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n N +∈，21n b n =-，且12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1nn n n na cb -=，n T 为数列{}nc 的前n 项和，求n T ．3、（菏泽市2017年高考一模）在数列{a n }中，a 1=1，=+（n ∈N*）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1+a（n ∈N*），求数列{2nb n }的前n 项和S n ．4、（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22n n S a n N *=-∈，数列{}n b 为等差数列，且满足2183,b a b a ==．(I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (II)令()111n n n c a +=--，关于k 的不等式()40971100,k c k k N *≥≤≤∈的解集为M ，求所有()k k a b k M +∈的和S ．5、（聊城市2017届高三高考模拟（一））设,n n S T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，已知对于任意*n N ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，且51025,19T b ==. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设()1n nn a b c n n =+，数列{}n c 的前n 项和为R ，求使n R >2017成立的n 的取值范围.6、（临沂市2017届高三2月份教学质量检测（一模））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n n N *=+-∈．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)定义[]x x x =+，其中[]x 为实数x 的整数部分，x 为x 的小数部分，且01x ≤<，记1n n n na a c S +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．7、（青岛市2017年高三统一质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121n n a S +=+,N n *∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令32log n n c a =，21n n n b c c +=⋅ ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意N n *∈，n T λ<恒成立，求实数λ的取值范围.8、（日照市2017届高三下学期第一次模拟）已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-，其中n N +∈.(I)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；(II)设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对于n N +∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．9、（泰安市2017届高三第一轮复习质量检测（一模））若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1211,2n n n n b b a b b nb +==+=且 (I)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (Ⅱ)设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式()1nn T λ-<12n n -+对一切n N *∈都成立，求实数λ的取值范围.10、（潍坊市2017届高三下学期第一次模拟） 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S 。

金牌数学高二（必修五）专题系列之 数列（四）2107年真题汇编一、等差数列1．通项公式： . 2．等差中项： . 3．求和公式： . 4．性 质： . 二、等比数列1.通项公式： .2.等比中项： .3.求和公式： .4.性 质： .三、等差等比通用公式： .题型一 选择题例1： (2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选 C.变式训练1. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()71238112x -=-可得3x =，故选B 。

2. (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2232612115a a a d d d =⋅⇒+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-，()665612242S ⨯=⨯+⨯-=-，故选A. 3. (2017年浙江卷) 6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C题型二 填空题例2：( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑ ．【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ，所以()1,2n nn n a n S +==，那么()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，那么11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ .变式训练1.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8-【解析】由题意可得：()()1211113a q a q ⎧+=-⎪⎨-=-⎪⎩ ，解得：112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-2. (2017年北京卷理) （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_______. 【答案】1【解析】322131383,211(2)a d q d qb -+-+=-=⇒==-⇒==-⨯-3. (2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=.题型二 解答题例3：( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=… （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和； 【答案】【解析】（1）当=1n 时，12a = (1)当2n ≥时，由()123+212n a a n a n ++-=...① (2)()()12-13+232-1n a a n a n ++-=...②. (3)① -②得()212n n a -= (4)即()2221n a n n =≥- 验证12a =符合上式 所以()221n a n N n *=∈- (6)（2）()()2112121212121n a n n n n n ==-+-+-+ (8)11111111211335232121212121n nS n n n n n n =-+-++-+-=-=---+++ (12)变式训练1.(2017年天津卷理)已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是学 科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .【答案】 （1）32n a n =-.2nn b =.（2）1328433n n n T +-=⨯+. 【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2【山东省济南市2012届高三12月考】28. （本小题满分8分）已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S .【答案】28．（本小题满分8分）解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d >0 由1672=+a a .得12716a d += ① ---------------1分 由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ② ---------------2分由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=。

山东省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）若12,x x 是函数()()20,0f x xax b a b =-+>> 的两个不同的零点，且12,2,x x -成等比数列，若这三个数重新排序后成等差数列，则a b + 的值等于（ ） （A ）7 (B ）8 （C)9 (D)10 2、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，则角B 3、(德州市2016届高三上学期期末）已知数列｛na ｝为等差数列,1233a aa ++=，5679a a a ++=，则4a =A ．1B ．2C ．3D ．44、（莱芜市2016届高三上学期期末）若等差数列{}na 的前7项和721S=，且21a=-，则6a =A 。

5 B.6 C 。

7 D.85、（泰安市2016届高三上学期期末）设{}na 是公差为正数的等差数列，若1310a a+=,1316a a =，则12a 等于A.25B.30 C 。

35 D.406、（（济宁市2016届高三上学期期末）在数列{}na 中,112,2(*)n n n aa a n N +==+∈，则数列{}n a 的通项公式为7、（胶州市2016届高三上学期期末)等比数列{}na 的前项和为nS ,已知12323S S S ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比为8、（泰安市2016高三3月模拟）已知{}na 为等比数列,下列结论 ①3542a a a +≥；②2223542aa a +≥；③若35a a =，则12a a =； ④若53aa >，则75a a >。

其中正确结论的序号是 ▲ 。

9、（威海市2016高三3月模拟）已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且21()n n S a n *=-∈N ,则5a =A.16- B. 16 C 。

姓名____________学号___________一、填空题：1. 已知等比数列}{n a 的各项均为正数，42a ，3a ，54a 成等差数列，且2232a a =，那么数列}{n a 的通项公式=n a ．2. 已知n S 为数列}{n a 的前项和，且12+=n n S ,则数列}{n a 的通项公式为 ．3. 已知数列满足11=a ，11--=-n n n n a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为 ．4.对于数列}{n a ，定义数列}{n b 满足：)(1*+∈-=Νn a a b n n n ，且)(11*+∈=-Νn b b n n ,13=a ，14-=a ，则=1a ．5.已知数列}{n a 满足11=a ，1log log 212+=+n n a a )(*∈Νn ，它的前项和为n S ，且满足1025>n S 的最小n 的值是 ．6. 已知数列}{n a 满足11=a ，)(1)1(11*+∈=+-Νn a a n n ）（,则∑=+10011)(k k kaa 的值为 ．7.已知数列}{n a 满足01=a ，1331+-=+n n n a a a )(*∈Νn ，则=2017a ．8. 若数列}{n a 中，11=a ，n S 为数列}{n a 的前项和，且1(1)34nn nS S n S +=+≥，求数列}{n a 的通项=n a ．二、解答题:9. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，241+=+n n a S )(*∈Νn ，(1)设nn n a b 2=，求证：数列}{n b 是等差数列；(2)求数列}{n a 的通项公式.10．已知数列}{n a 满足：211=a , nq p a a n n n -⋅=-+1-13)(*∈Νn ,∈q p ,R . (1)若0=q ，且数列}{n a 为等比数列，求p 的值.(2)若1=p ，且4a 为数列}{n a 的最小项，求q 的取值范围.数列综合答案：1．n )21(；2．⎩⎨⎧≥==-2,21,31n n a n n ；3.21n a n =；4.8；5.11；6. 101100；7.0；8.见详解.解答与提示：5.因为1log 12=+n n a a ，所以21=+nn a a，可得12-=n n a ，102512>-=n n S ，则n 的最小值为11.6.由题意11++=-n n n n a a a a ，两边同除以1+n n a a 得，1111=-+nn a a ，则}1{n a 等差，所以n n a n =⨯-+=1)1(11，则na n 1=，所以111)1(11+-=+=+n n n n a a n n ，所以101100)(10011=∑=+k k k a a . 7.由01=a 及递推关系1331+-=+n n n a a a ,计算2a ,3a ,4a ,所以01=a ,32-=a ,33=a ,04=a ,则}{n a 周期为3，所以012017==a a . 8.取倒数4311+=+n n S S ，则)21(3212+=++n n S S ，又03211≠=+S ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n S 为等比，则nn S 321=+，所以231-=n n S ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅-⋅-==2,12383321,12n n a n n nn . 9. (1)因为241+=+n n a S ，所以)2(241≥+=-n a S n n ，两式相减得)2(4411≥=+-+n a a a n n n , 所以n n nn n n n n n b a a a b b 224221111111==+=++--++-+)2(≥n ，所以数列}{n b 是等差数列.(2)由(1)可得413)1(4321-=-+=n n b n ，所以nn n a 2413⋅-=.10. (1)当0=q 时，1-13n n n p a a ⋅=-+， 2-1-3n n n p a a ⋅=-,…, 0123⋅=-p a a （2≥n ）,累加可得213211-⋅+=-n n p a （2≥n ），又数列}{a n 为等比数列，且211=a ，01或=∴p .(2)当1=p 时，nq a a n n n -=-+1-13，累加可得,[]q n n a n n )1(3211--=-4a ≥，即()q n n n ⋅--≥-1227321-对∀)(*∈Νn 恒成立，当1=n 时，613≥q ，当2=n 时，512≥q ，当3=n 时3≥q ，当4=n 时,∈q R ,当5≥n 时，1227321---≤-n n q n 恒成立，令1227321---=-n n c n n ，因为01>-+n n c c ，∴数列}{c n 在5≥n 且)(*∈Νn 时单调递增，4275=≤∴c q ，综上，4273≤≤q .。

高三数列专题训练二一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ． 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ． 13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n b 的前n 项和。

最新2017高考数学数列经典例题高考数学数列经典例题（一）高考数学数列经典例题（一）高考数学数列知识点数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。

如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。

福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则131211a a a ++=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234nL . ① 第二步：将数列①的各项乘以2n，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a L . 则1223341n n a a a a a a a a -++++=L ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为( )A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则105S S 等于（ ） A ．-3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{n a 与}{n b 满足)(32*∈+=N n b a n n ，若}{n b 的前n 项和为)13(23-=nn S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 .6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 已知等差数列{}n a 前9项和为27，()1099=8=a a ，则A ． 100 B. 99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos1b b a a +-⋅的值是（ ）A.12B.2C.12-D.2-8、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）n n n C B A ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n C B A ∆的面积为n S ，n=1,2,3,…，若11c b >，1112a c b =+，n n a a =+1，21nn n a c b +=+，21nn n a b c +=+，则 A.{S n }为递增数列 B.{S n }为递减数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））数列{}n a 满足143a =，()()*111n n n a a a n N +-=-∈，且12111n nS a a a =+++…学科网，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{}0 1 2，， B ．{}0 1 2 3，，， C.{}1 2， D ．{}0 2， 10、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{11+n a }是等差数列，则a 4=( ) （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）6111、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()*0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项公式n a =_____________．12、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知数列{}n a 满足：112(2)n n n a a a n -+=+≥，11=a ，且2410a a +=，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2183n n S a ++的最小值为（A ）4（B ）3（C ）264（D ）13313、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）等比数列{a n }的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LA ．12B ．10C ．8D ．32log 5+ 14、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）数列n n n n n n a a a S S n a 的通项公式为则且项和为的前}{,12,}{-== 二、解答题 1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）已知数列{a n }满足111,(1)(1)!.n n a a n a n +==+++(Ⅰ)求证：数列!n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭学科网是等差数列，并求{a n }的通项公式； (Ⅱ)设11++=n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2、（莆田市2017届高三3月教学质量检查） 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n kn =+，其中k 为常数，1413,,a a a 成等比数列. （1）求k 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设14(1)(3)n n n b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：512n T <.3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）在数列}{n a 中，1,111+•==+n nn a c a a a （c为常数，*N ∈n ），且521,,a a a 成公比不为1的等比数列. （1）求证：数列}1{na 是等差数列；并求c 的值； （2）设1+=n n n a ab ，求数列}{n b 的前n 项和为.n S4、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++L ，求使1262n n S n ++>g 成立的正整数n 的最小值．5、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝n 2－3n .（I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n ＝1S n ＋4n ，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N *），当T n ＞20162017 时，求n 的最小值.6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 已知等差数列{}n a 满足：1=2a ，且1313a a a ，，成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，是否存在正整数n ，使得S 40600?n n >+若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.7、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()n N *∈，且满足222n n a S n +=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：21223111133(2)(2)3(2)(2)3(2)(2)4n n n a a a a a a +⋯+++<------.8、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）记S n 为数列{}n a 的前项n 和，已知0n a >, 22S =2n n n a a --（n N *∈）（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）设2223n n n b a a +=，求数列{}n b 的前项n 和n T .9、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，且2510a a =。

数列难题专题一．解答题（共50小题）1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和T n ．2．已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2，a 1+a 2+a 3=12． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n •3n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3）．令b n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若f （x ）=2x ﹣1，求证：T n =b 1f （1）+b 2f （2）+…+b n f （n ）＜（n ≥1）．4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）令b n =（﹣1）n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．5．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 2•S 3=36． （Ⅰ）求d 及S n ；（Ⅱ）求m ，k （m ，k ∈N *）的值，使得a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．16．已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．17．已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{c n }对任意自然数n 均有=a n+1成立，求c 1+c 2+…+c 2014的值．18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，，n ∈N *．（1）求a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．19．数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n =（n ≥2）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）..（1+S n ）对一切n ∈N ×都成立，求k 的最大值． 20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，．（1）证明：数列{a n ﹣2}为等比数列； （2）求数列{S n }的前n 项和T n ．21．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n+1﹣a n ，其中n=1，2，3，…． （Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n+1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2．（ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列； （ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．22．在数列{an }中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．23．设数列{an }的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an }的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an }是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an }，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．24．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an} 前n项和为Sn ，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an }前2k项和S2k；（3）在数列{an }中，是否存在连续的三项am，am+1，am+2，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m的值；若不存在，说明理由．25．已知数列{an }满足a1=1，|an+1﹣an|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{an }是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．26．已知数列{an }满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=（n=1，2，…），记集合M={an|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．27．设数列{an }的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．28．已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an }的首项a1=1．（1）若q=，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列{an }的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．29．已知数列{an }的各项均为正数，bn=n（1+）n an（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令cn =（a1a2…an），数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．30．设等差数列{an }的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和Tn．31．正整数列{an }，{bn}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，ak是ak﹣1与bk﹣1的等差中项，bk是ak﹣1与bk﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{an }是等差数列的充要条件是{an}为常数数列；（3）记cn =|an﹣bn|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+cn与c1的大小关系并说明理由．32．已知数列{an }是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{an }中，求证：数列{an}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{an }中任何一项都不等于1，记bn=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{bn}是单调递减数列．33．对于项数为m的有穷数列{an }，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，a k 中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（1）若各项均为正整数的数列{an }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{an}．（2）设{bn }是{an}的控制数列，满足ak+bm﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），an =an2﹣n，{bn}是{an}的控制数列，求（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100）．34．已知数列{an }是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立．（Ⅰ）求数列{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn =（﹣1）n，求数列{cn}的前n项和Tn．35．已知f（x）=，数列{an }为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{bn}中b1=，且bn+1=f（bn），（1）求数列{an }和{bn}的通项公式（2）令，{cn }的前n项和为Tn，证明：对∀n∈N+有1≤Tn＜4．36．已知数列{an }满足a1=，an=（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn =ansin，数列{cn}的前n项和为Tn．求证：对任意的n∈N*，Tn＜．37．已知数列{an }满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an }是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．38．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b、c满足的关系式．（2）若c=2时，各项不为零的数列{an }满足4Sn•f（）=1，求证：＜＜．（3）设bn =﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．39．在数列{an }中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）设bn =，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an }的前n项和Sn．40．已知数列{an }的前n项和为Sn，且满足a1=2，nan+1=Sn+n（n+1）．（Ⅰ）求数列{an }的通项公式an；（Ⅱ）设Tn 为数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）设bn =，证明：b1+b2+b3+…+bn＜．41．已知数列an满足（1）求数列an 的通项公式an；（2）设，求数列bn 的前n项和Sn；（3）设，数列cn 的前n项和为Tn．求证：对任意的．42．如图，已知曲线C 1：y=（x ＞0）及曲线C 2：y=（x ＞0），C 1上的点P 1的横坐标为a 1（0＜a 1＜）．从C 1上的点P n （n ∈N +）作直线平行于x 轴，交曲线C 2于点Q n ，再从点Q n 作直线平行于y 轴，交曲线C 1于点P n+1．点P n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{a n } （Ⅰ）试求a n+1与a n 之间的关系，并证明：a 2n ﹣1＜； （Ⅱ）若a 1=，求证：|a 2﹣a 1|+|a 3﹣a 2|+…+|a n+1﹣a n |＜．43．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=（n ∈N *）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；（2）数列{b n }满足b n =（3n ﹣1）••a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式（﹣1）n λ＜T n +对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．44．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点（n ，）都在函数f （x ）=x+的图象上．（1）计算a 1，a 2，a 3，并归纳出数列{a n }的通项公式；（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6），（a 7，a 8，a 9，a 10）；（a 11），（a 12，a 13），（a 14，a 15，a 16），（a 17，a 18，a 19，a 20）；（a 21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5+b 100的值； （3）设A n 为数列的前n 项积，若不等式A n ＜f （a ）﹣对一切n ∈N *都成立，求a的取值范围．45．数列{bn }的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{bn}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{an }共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个（﹣1）i bi （i∈N*）后，得到一个新数列{cn}，求数列{cn}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．46．已知数列{an}的首项，，n=1，2，…．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的x＞0，，n=1，2，…；（Ⅲ）证明：．47．已知数列{an }的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n+1）bn=an+1﹣，（n+2）cn=﹣，其中n∈N*．（1）若数列{an }是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn ≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．48．已知数列{an }满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }滿足，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：．49．已知数列{an }的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有an+12﹣1=4an（an+1），bn=2log2（1+an）﹣1．（1）求证：{1+an }是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若数列{bn }中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，求c1+c2+…+c100；（3）设dn =，数列{dn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．50．在数列{an }中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*）（1）求证：数列{an﹣2n}为等差数列；（2）设数列{bn }满足bn=log2（an+1﹣n），若…对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn }满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn }的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an }的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．2．已知数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•3n，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（1）由数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由an =2n，知bn=an•3n=2n•3n，所以Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，再由错位相减法能够求出数列{bn }的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵数列{an }是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴an=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵an=2n，∴bn =an•3n=2n•3n，∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3∴Sn=+．【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行求和．3．已知数列{an }中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．令bn=．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【分析】（Ⅰ）由题意知an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）=，由此可证明Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知Sn ﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1（n≥3）即an =an﹣1+2n﹣1（n≥3）∴an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（Ⅱ）由于bn=，f（x）=2x﹣1，∴=．故Tn =b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）==．【点评】本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．4．已知等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn =（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an }的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn ==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴an =a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．5．已知等差数列{an }的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．（Ⅰ）求d及Sn；（Ⅱ）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am +am+1+am+2+…+am+k=65．【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n项和公式，把条件转化为关于公差d的二次方程求解，注意d的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{an }的通项公式，利用等差数列的前n项和公式，对am+am+1+am+2+…+am+k=65化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，k ∈N *进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a 1=1，S 2•S 3=36得， （a 1+a 2）（a 1+a 2+a 3）=36，即（2+d ）（3+3d ）=36，化为d 2+3d ﹣10=0， 解得d=2或﹣5， 又公差d ＞0，则d=2， 所以S n =n=n 2（n ∈N *）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1， 由a m +a m+1+a m+2+…+a m+k =65得，，即（k+1）（2m+k ﹣1）=65，又m ，k ∈N *，则（k+1）（2m+k ﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k ﹣1）=1×65， 下面分类求解：当k+1=5时，2m+k ﹣1=13，解得k=4，m=5；当k+1=13时，2m+k ﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去； 当k+1=1时，2m+k ﹣1=65，解得k=0，故舍去；当k+1=65时，2m+k ﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去； 综上得，k=4，m=5．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n+1=S n +3n ，n ∈N *． （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式； （Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n +3n ，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．所以b n =S n ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．（Ⅱ）由题设条件知S n =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，a n =S n ﹣S n ﹣1=，由此可以求得a 的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n+1﹣S n =a n+1=S n +3n ，即S n+1=2S n +3n ， 由此得S n+1﹣3n+1=2S n +3n ﹣3n+1=2（S n ﹣3n ）．（4分）因此，所求通项公式为bn =Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分）（Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n =Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2，a n+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=，当n≥2时，⇔a≥﹣9．又a2=a1+3＞a1．综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．7．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵an an+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，an an+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，∴an =an+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，an=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．8．设数列{an }的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn ＜bn+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣an }是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故bn ＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）=由此可知bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知bn＜bn+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣an}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故bn＞0．那么，bn+12﹣bn2=an+12（3﹣2an+1）﹣an2（3﹣2an）= =又由（1）知an ＞0且an≠1，故bn+12﹣bn2＞0，因此bn ＜bn+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由an≠1可得，即两边开平方得．即bn ＜bn+1，n为正整数．【点评】本题考查数列的综合应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．9．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an |≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．【分析】（I）使用三角不等式得出|an |﹣|an+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|an|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|an|≤2．【解答】解：（I）∵|an ﹣|≤1，∴|an|﹣|an+1|≤1，∴﹣≤，n∈N*，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+==1﹣＜1．∴|an |≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤++…+=＜．∴|an|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①由m的任意性可知|an|≤2．否则，存在n∈N*，使得|a|＞2，取正整数m0＞log且m＞n，则2•（）＜2•（）=|a|﹣2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，都有|an|≤2．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．10．已知数列{an }的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可．【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*．∴当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）当n=1时，a1=S1==1．因此当n=1时，（*）也成立．∴数列{an }的通项公式an=3n﹣2．（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．则，∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），化为m=3n2﹣4n+2，∵n＞1，∴m=3n2﹣4n+2=＞1，因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11．给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【分析】（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a 3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当an ≥﹣c时，an+1﹣an=c+8＞c；当﹣c﹣4≤an ＜﹣c时，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当an ＜﹣c﹣4时，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．又{an }为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{an }为递增数列，故an≥a2=0＞﹣c，∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．12．数列{an }满足：a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{an }的前 n项和Tn；（3）令b1=a1，bn=+（1+++…+）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{an }的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+nan=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得nan=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则an=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴an=，n≥1，则a3=；（2）∵an=，n≥1，∴数列{an}是公比q=，则数列{an }的前 n项和Tn==2﹣21﹣n．（3）bn =+（1+++…+）an，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴bn =+（1+++…+）an，∴Sn =b1+b2+…+bn=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）an=（1+++…+）（a1+a2+…+an）=（1+++…+）Tn=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．13．设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣3）Sn﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S1=a1求出a1的值；（2）利用an 与Sn的关系，将条件转化为an的方程，从而求出an；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：，即．∴（S1+3）（S1﹣2）=0．∵S1＞0，∴S1=2，即a1=2．（2）由得：．∵an＞0（n∈N*），∴Sn＞0．∴．∴当n≥2时，，又∵a1=2=2×1，∴．（3）由（2）可知=，∀n∈N*，=＜=（），当n=1时，显然有=＜；当n≥2时，＜+=﹣•＜所以，对一切正整数n，有．【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．14．已知数列{an }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{an}前n项和为Sn ，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若am am+1=am+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；（2）分am =2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d．∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4+d=2q，又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d+2q．解得：d=2，q=3．∴对于k∈N*，有．故；（2）若am =2k，则由amam+1=am+2，得2•3k﹣1（2k+1）=2•3k，解得：k=1，则m=2；若am=2k﹣1，则由（2k﹣1）•2•3k﹣1=2k+1，此时左边为偶数，右边为奇数，不成立．故满足条件的正数为2；（3）对于k∈N*，有．．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①．∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3．当L=1时，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立；当L=2时，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1．若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令，则=．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此时m=2，L=2=a2．当L=3时，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3．综上，存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题．15．已知等差数列{an }中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足，其前n项和为Sn．（1）求数列{an }的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，求m的值．【分析】（1）由题意，得，由此可解得an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，Sm（m∈N*）的等比中项，∴S22=SmS1，即，解得m=12．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，因此≤an+1≤（n∈N*）②，由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．17．已知等差数列{an }的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{an }与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn }对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．【分析】（Ⅰ）依题意，a2，a5，a14成等比数列⇒（1+4d）2=（1+d）（1+13d），可求得d，继而可求得数列{an }的通项公式；由b2=a2=3，b3=a5=9，可求得q与其首项，从而可得数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an =2n﹣1，bn=3n﹣1，由++…+=an+1，可求得c1=b1a2=3，=an+1﹣an=2（n≥2），于是可求得数列{cn }的通项公式，继而可求得c1+c2+…+c2014的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1．（Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2），∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn =2bn=2•3n﹣1（n≥2），∴cn=．∴c1+c2+…+c2014=3+2×3+2×32+…+2×32013=3+2×（3+32+ (32013)=3+2×。

1.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++．2.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a =▲当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2 C ．4 D ．845113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+=联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②得()211524-=d 624d =4d =∴4.记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求Sn ，并判断S n+1，S n ，S n+2是否成等差数列5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 由题意有：1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=, 裂项有：()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，据此： 11111111221......21223111nk k n S n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .1）设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得d+q=3. ①7.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 8.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .：(I)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知,22111(1)6,a q a q a q +==. 又0n a >， 解得1,22a q ==， 所以2n n a =.两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-. 9.已知为等差数列，前n 项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.10.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件。

山东省2017年高考数学（理科）专题练习等差数列、等比数列答案【真题回访】回访一等差数列基本量的运算1．C2．A回访二等差数列基本量的运算3．B4．64热点题型1 等差、等比数列的基本运算【例2】（1）D（2）C【变式训练二】（1）A（2）C热点题型3 等差、等比数列的证明两式相减得121()n n n n a a a a λ＋＋＋-=， 由于10n a ≠＋，所以2n n a a λ＋-=. （2）由题设知11a =，1211a a S λ=－，可得21a λ=－. 由（1）知，31a λ=+ 令2132a a a =+，解得4λ=.故24n n a a ＋-=，由此可得21{}n a －是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n －=-.{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-.所以21n a n =-，12n n a a ＋-= ，因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列. 专题限时集训（四） 等差数列、等比数列 【高考达标】 一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．D 二、填空题 6．2016 7．20 8．28 三、解答题 9．[解]（1）当1n =时，由1111()q S qa +=-，得11a =.当2n ≥时，由)11(n n q S qa +=-，得1111()n n q S qa +-=－－，两式相减得1n n a qa =－.又1()0q q -≠，所以{}n a 是以1为首项，q 为公比的等比数列，故1n n a q =－.山东省2017年高考数学（理科）专题练习＝．故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝⎛⎭⎫12＝.n 27n 1结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6．又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64．] 热点题型1 等差、等比数列的基本运算 【例1】（1）B [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×2＋162＝135，故选B ．]（2）D [由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列， 所以S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12，故选D ．]【变式训练一】（1）6 [（1）由a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3， 所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列. 由S n ＝n ＋n n －12×3＝51，即(3n ＋17)(n －6)＝0， 解得n ＝6或n ＝－173(舍). ]（2）13 [由题意知S 1＋3S 3＝4S 2，即a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)＝4(a 1＋a 2)，即3a 3＝a 2，所以a 3a 2＝13，即公比q ＝13.] 【例2】（1）D [（1）由题意得S 4＝41(1)1q a q --＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q 41－1q＝q 4－1a 1q 3q －1＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q3＝2，故选D ．] （2）C [由S 15＝11515()2a a +＝15×2a 82＝15a 8>0，S 16＝11616()2a a +＝16×a 8＋a 92<0，可得a 8>0，a 9<0，d <0，故S n 最大为S 8．又d <0，所以{a n }单调递减，因为前8项中S n 递增，所以S n 最大且a n 取最小正值时S na n 有最大值，即S 8a 8最大，故选C ．] 【变式训练二】（1）A [（1）∵{a n }是等差数列，∴a 2＋a 12＝2a 7，∴2a 2－a 27＋2a 12＝4a 7－a 27＝0.又a 7≠0，∴a 7＝4．又{b n }是等比数列，∴b 3b 11＝b 27＝a 27＝16．]（2）C [∵{a n }为等比数列，∴a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，∴(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝a 5＋a 72a 1＋a 3＝428＝2．同理a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， ∴(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)，故a 13＋a 15＝a 9＋a 112a 5＋a 7＝224＝1．∴a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3．] 【例3】[解] （1）证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1．（2）由（1）得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1． 【变式训练三】.[解] （1）证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. （2）由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由（1）知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3. {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列.专题限时集训（四） 等差数列、等比数列 【高考达标】 一、选择题1．A [a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝8，从而q 2＝2，所以a 1＝a 3q 2＝1，故选A ．]2．B [法一：由题意得a 3＝2，a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝6，解得d ＝4，故选B ． 法二：在公差为d 的等差数列{a n }中，a m ＝a n ＋(m －n )d (m ，n ∈N *).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 7－2a 4＝a 1＋6d －2a 1＋3d ＝6，a 3＝a 1＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，d ＝4.] 3．A [若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝2×9a 1， 得a 1＝0，矛盾，故q ≠1．所以31(1)1q a q --＋61(1)1q a q -- ＝291(1)1q a q--，解得q 3＝－12或1(舍)，故选A ．]4．D [由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列.数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n ，b n ＝3n .又c n ＝ba n ＝33n ，∴c 2 016＝33×2 016＝272 016，故选D ．]5．D [根据等差数列的前n 项和公式及S n T n ＝n2n ＋1(n ∈N *)，可设S n ＝kn 2，T n ＝kn (2n ＋1)，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝k (2n －1)，b n ＝T n －T n －1＝k (4n －1)，所以a 5b 6＝923，故选D ．] 二、填空题6．2016 [在等差数列{a n }中，由S 3＝2a 3知，3a 2＝2a 3，而S 5＝15，则a 3＝3，于是a 2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此a n ＝n ，故a 2 016＝2 016．]7．20 [由等差数列的性质可得a 3＝35，a 4＝33，故d ＝－2，a n ＝35＋(n －3)×(－2)＝41－2n ，易知数列前20项大于0，从第21项起为负项，故使得S n 达到最大值的n 是20.] 8．28 [由题意可知，公比q 3＝a 6a 3＝27，∴S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝1＋27＝28．] 三、解答题9．[解] （1）当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，得a 1＝1.当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得a n ＝qa n －1． 又q (q －1)≠0，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列，故a n ＝q n －1． （2）证明：由（1）可知S n ＝1－a n q1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝21－a 9q1－q， 化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列.10．[解] （1）由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝4，5a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *). （2）由a n ＝2n －7<0，得n <72，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7<0，当n ≥4时，a n ＝2n －7>0. 易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13. 当n ≤3时，T n ＝－S n ＝6n －n 2；当n ≥4时，T n ＝－S 3＋(S n －S 3)＝S n －2S 3＝n 2－6n ＋18.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4. 【名校冲刺】 一、选择题1．A [设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝52(a 1＋a 5)＝5(a 1＋2d )＝55，所以d ＝4，所以k PQ ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝2d2＝d ＝4，故选A ．]2．A [根据已知得3a n ＝a n ＋1，∴数列{a n }是等比数列且其公比为3， ∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝9×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－5．]3．C [第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C ．] 4．D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1，2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }为首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D ．] 二、填空题5．6 [由题意，得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝8，S k －S k －2＝a k －1＋a k ＝4(k >2)，两式相减，得4d ＝4，即d ＝1．由S k ＝ka 1＋k k －12＝0，得a 1＝－k －12，将a 1＝－k －12代入a k －1＋a k ＝4，得－(k －1)＋(2k －3)＝k －2＝4，解得k ＝6．]6．⎝⎛⎭⎫0，63∪(1，＋∞) [由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k 2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k 2n ＋1＋2k 2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立.当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2min ＝23，∴k 2<23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎝⎛⎭⎫0，63∪(1，＋∞).] 三、解答题7．[解] （1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .（2）由点(b n ，a n )在函数y ＝log 2 x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ， 所以b n ＝2a n ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列，1所以T n ＝n16(116)116--＝16n ＋1－1615. 8．[解] （1）由已知可得a 1＝S 1＝p ＋2，S 2＝4p ＋4，即a 1＋a 2＝4p ＋4，∴a 2＝3p ＋2. 由已知得a 2－a 1＝2p ＝2，∴p ＝1，∴a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *.（2）证明：在等比数列{b n }中，b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，则公比为b 4b 3＝3．由b 3＝b 1·32，得b 1＝13， ∴数列{b n }是以13为首项，以3为公比的等比数列，∴T n ＝n 1(13)313--＝16·(3n－1)，即T n ＋16＝16×3n＝12×3n －1．又∵T 1＋16＝12，T n ＋16T n －1＋16＝3，n ≥2，n ∈N *，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，以3为公比的等比数列.。

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题1、（2016年江苏高考）已知｛a n }是等差数列，S n 是其前n 项和。

若a 1+a 22=-3，S 5=10,则a 9的值是 ▲ .2、（2015年江苏高考）数列{}na 满足11a=，且11n na a n +-=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________.3、（2014年江苏高考)在各项均为正数的等比数列}{na 中，若12=a，2682a a a +=，则6a 的值是 ▲4、（南京市2016届高三三模）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．5、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）在等比数列{}na 中，21a=，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是 ▲ ．6、（南通市2016届高三一模）设等比数列}{na 的前n 项的和为nS ，若15,342==S S ,则6S 的值为7、（苏锡常镇四市2016届高三一模)设数列{a n }是首项为l,公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则数列{a n ｝的公差 为 。

8、(苏锡常镇四市市2016届高三二模）设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若19m S-=-，0mS=,其中3m >，且*m ∈N ,则na = ▲ ．9、（镇江市2016届高三一模）S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若错误!＝错误!，则错误!＝________．10、（常州市2016届高三上期末）已知等比数列{}na 的各项均为正数,且1249aa +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为11、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）若公比不为1的等比数列}{na 满足13)(log 13212=⋯aa a ,等差数列}{nb 满足77a b =,则1321b bb +⋯++的值为12、(南京、盐城市2016届高三上期末)设nS 是等比数列{}na 的前n 项和，0na >，若6325S S -=,则96S S -的最小值为 ▲13、（无锡市2016届高三上期末）对于数列{}na ，定义数列{}nb 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈,且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =14、(扬州市2016届高三上期末）已知等比数列{}na 满足4212=+a a，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲15、（扬州中2016届高三3月质检)已知等差数列{}na 的公差0≠d ，且39108aa a a +=-．若n a ＝0 ,则n ＝ .二、解答题1、(2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*na n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS =;若{}12,,k T t t t =…，,定义12+k T t t t S a a a =++…。

福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（2016年全国I 卷)已知等差数列{}na 前9项的和为27，10=8a，则100=a （ ）（A)100 （B ）99 (C ）98 （D ）97 2、（2016年全国I 卷）设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为3、（2015年全国II 卷）等比数列｛a n ｝满足a 1=3,135a aa ++=21，则357aa a ++=( )（A)21 (B ）42 （C ）63 （D ）844、（福建省2016届高三4月质检）已知等比数列{}na 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为nT ，且243a aa =,则使得1n T >的n 的最小值为（A ）4 （B ）5 （C)6 （D ）75、（福州市2016届高三5月综合质量检测）数列{}na 的前n 项和为nS ．已知12a=，1(1)2n n n SS n++-=，则100S=________6、（龙岩市2016届高三3月质量检查）已知{}na 是公差为12的等差数列，nS 为{}na 的前n 项和．若2614,,a a a 成等比数列,则5S=A ．352B ．35C ．252 D ．257、(南平市2016届高三3月质量检查） 数列{}na 中,31,2111nn n a a a a+==+记数列}1{na 的前n 项和为nT ,则8T 的值为(A ）57 (B)77（C)100 (D ）1268、（莆田市2016高中毕业班3月质量检测）已知公比为2的等比数列{}na 的前n 项和为nS ，若45616a a a ,则9SA ．56B ．128C ．144D ．1469、（泉州市2016届高中毕业班3月质量检查）已知数列}{na 的前n项和为，，，046,21>==n n S S SS 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列,12221-2,++n n n S S S ，成等差数列,则2016a 等于A.1008-B.1009- C 。

江西省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编数学科网列 2017。

02一、选择、填空题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知{}na 是公比为q 的等比数列，nS 是{}n a 的前n 项和,且369SS =，若正数,a b 满足：24q a b +=，则2112a b +--的最小值为（ ）．A ．2B ．322C ．52D ．3214+2、（红色七校2017届高三第二次联考）已知数列{}na 的前n 项和21n S n n =++,则135a a a ++=；3、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知数列{}na 、{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈，其中{}nb 是等差数列,且920094a a =，则=++++2017321.....b b b b ( ）A 。

2017 B.4034 C. 2log 2017D 。

201724、（新余市2017高三上学期期末考试）已知等比数列｛a n }中，a n+1=36,a n+3=m ，a n+5=4，则圆锥曲线+=1的离心率为( ） A ． B ． C ．或 D ．5、（新余市2017高三上学期期末考试）若等差数列{a n ｝的前7项和S 7=21，且a 2=﹣1，则a 6= 7 ．6、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）等差数列{}na 的前n 项和为n S ,若公差,0>d 0))((5958<--S S S S，则（ ）A ．78||||aa > B ．78||||aa < C ．78||||aa = D ．70a=7、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）已知等比数列{}na 满足:1611=a，12573-=a a a ，则______3=a 。

8、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）在等差数列{}na 中,已知386a a +=，则2163aa +的值为( ）A.24 B 。