八年级几何证明常见模型

初中常见数学模型几何和证明方法初中数学中的几何和证明方法是学习数学的重要内容之一。

通过几何学习，学生可以掌握基本的几何概念、性质和定理，进而培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

而证明方法则是通过推理和论证的方式验证和证明数学命题的正确性。

下面将对初中常见的几何模型和证明方法进行介绍。

一、几何模型1. 点、线、面：几何学的基本要素是点、线和面。

点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度；面是由无数个线组成的，它有宽度和厚度。

2. 直线和线段：直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点；线段是直线的一部分，有起点和终点。

3. 角：角是由两条射线共同起点组成的，可以用度数来表示。

4. 三角形：三角形是由三条线段组成的，它有三个顶点、三条边和三个角。

5. 直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形，其中的两条边相互垂直。

6. 平行四边形：平行四边形是四边形的一种，它的对边是平行的。

7. 圆：圆是由一个固定点到平面上所有到该点距离相等的点组成的图形。

以上是初中常见的几何模型，通过对这些模型的学习，可以帮助学生理解几何概念和性质，为后续的学习打下基础。

二、证明方法1. 直接证明法：直接证明法是通过一系列逻辑推理，从已知条件出发，推导出结论的过程。

这种证明方法通常可以通过图形、等式等形式来进行。

2. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

3. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明当命题对于某个特定的数成立时，对于下一个数也成立，进而可以推导出对于所有数都成立的结论。

这种证明方法常用于证明与自然数相关的命题。

4. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

5. 用反证法证明：用反证法证明是指通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

初二数学30个重点几何模型初二数学重点几何模型一、直线与角直线是几何中最基本的概念之一。

直线无法直接测量，但可以通过两个点的连线得到一条直线。

直线没有宽度和长度，只有方向。

在几何中，直线通常用字母表示。

角是由两条直线共享一个公共端点而形成的图形。

角度用度数来衡量，通常用小圆圈表示。

角度可以分为钝角、直角、锐角和平角四种类型。

钝角大于90度，直角等于90度，锐角小于90度，平角等于180度。

二、三角形三角形是由三条线段相连而形成的多边形。

三角形有很多种类，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，直角三角形则有一个角度等于90度。

三、四边形四边形是由四条线段相连而形成的多边形。

四边形有很多种类，包括正方形、矩形、平行四边形等。

正方形的四条边长度相等且四个角都是直角，矩形的四个角都是直角，平行四边形的对边平行且长度相等。

四、圆与圆周圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。

圆周是圆的边界，也是圆的周长。

圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为弦。

圆周上的任意点与圆心相连，形成的线段称为半径。

圆周上的任意两点与圆心相连，形成的线段称为直径。

五、多边形多边形是由多条线段相连而形成的封闭图形。

多边形的边数可以是任意大于等于3的整数。

多边形根据边的长度或角的大小可以分为等边多边形、等角多边形和正多边形等。

等边多边形的所有边长度相等，等角多边形的所有角度相等，正多边形既是等边多边形又是等角多边形。

六、相似与全等相似是指两个图形的形状相似，但大小不同。

相似的图形具有对应角度相等和对应边成比例的特点。

全等是指两个图形的形状和大小完全相同。

全等的图形具有对应边相等和对应角度相等的特点。

七、平面镜与对称平面镜是一种可以反射光线的镜子。

平面镜的特点是光线入射角等于反射角，入射光线、反射光线和法线三者在同一平面上。

对称是指图形通过某个中心轴线或中心点对折后，两边或两部分完全重合。

初中几何46种模型大全初中几何46种模型大全正文:几何是初中数学的重要分支,其中涉及到的模型数量和种类非常丰富。

下面,我们将介绍初中几何中的46种模型,包括它们的定义、性质、应用等。

1. 等腰三角形模型定义:一个等腰三角形的两条边长度相等,且它们的腰角度数相等。

性质:1. 等腰三角形的两条底边长度相等;2. 等腰三角形的两条顶角角度数相等;3. 等腰三角形的顶角和等于180度-底边长度的夹角。

应用:等腰三角形模型可以用来证明三角形的性质,如边长相等、角度相等等。

2. 直角三角形模型定义:一个直角三角形的两条直角边长度相等,且它们的斜角角度数相等。

性质:1. 直角三角形的两条直角边长度相等;2. 直角三角形的斜角角度数相等;3. 直角三角形的斜边长度等于两条直角边长度的乘积。

应用:直角三角形模型可以用来解决直角三角形相关问题,如勾股定理等。

3. 等边三角形模型定义:一个等边三角形的三条边长度相等。

性质:1. 等边三角形的三条边长度相等;2. 等边三角形的任意两边长度都大于第三边;3. 等边三角形的任意角度数都小于180度。

应用:等边三角形模型可以用来证明三角形的性质,如边长相等、角度相等等。

4. 正方形模型定义:一个正方形的四条边长度相等。

性质:1. 正方形的四条边长度相等;2. 正方形的任意一个角都是90度;3. 正方形的任意两个角都是直角。

应用:正方形模型可以用来解决正方形相关问题,如面积、周长等。

5. 长方形模型定义:一个长方形的两条边长度相等,且它们的长度之和等于宽度。

性质:1. 长方形的两条边长度相等;2. 长方形的长、宽相等;3. 长方形的任意一个角都是直角。

应用:长方形模型可以用来解决长方形相关问题,如面积、周长等。

6. 菱形模型定义:一个菱形的四条边长度相等且互相平分,对角线互相垂直且相等。

性质:1. 菱形的四条边长度相等且互相平分;2. 菱形的对角线互相垂直且相等;3. 菱形的任意一个角都是45度。

初中数学9大几何模型（证明结论及推导）一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CDO ABCDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

以下是初二上册数学中常见的几何模型：
1. 三角形模型：用于研究三角形中的各种关系和定理，例如三角形的全等、相似和角平分线等。

2. 平行四边形模型：用于研究平行四边形的性质和判定，例如对角线相等、对角线互相平分等。

3. 矩形模型：用于研究矩形的性质和判定，例如四个角都是直角、对角线相等且互相平分等。

4. 菱形模型：用于研究菱形的性质和判定，例如四边相等、对角线互相垂直且平分等。

5. 勾股定理模型：用于研究勾股定理的证明和应用，例如直角三角形的三边关系等。

6. 圆模型：用于研究圆的性质和判定，例如圆周角定理、切线的判定和性质等。

7. 扇形模型：用于研究扇形的性质和面积计算，例如扇形的弧长和面积公式等。

8. 角平分线模型：用于研究角平分线的性质和判定，例如角的平分线与对边的关系等。

9. 中位线模型：用于研究中位线的性质和判定，例如中位线的长度等于它所截两边的平均值等。

10. 直角三角形模型：用于研究直角三角形的性质和判定，例如勾股定理的逆定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等。

以上是初二上册数学中常见的几何模型，掌握这些模型对于解决几何问题非常重要。

八年级下册数学几何模型大全
1. 三角形
- 基本概念：三边、三角形分类（等边、等腰、普通）、角度
分类（锐角、直角、钝角）
- 定理：直角三角形定理、勾股定理、正弦定理、余弦定理、
海龙公式、费马点定理
- 运用：解决三角形面积、周长、角度等问题，证明一些定理
和命题
2. 直线和角
- 基本概念：直线、线段、射线、角度、角的度量单位制
- 定理：同位角定理、平行线与角的性质、垂直线与角的性质、三角形内角和定理、外角和定理
- 运用：求解角度大小，证明一些定理和命题
3. 圆
- 基本概念：圆心、半径、圆弧、圆周、圆心角、弧度制
- 定理：圆心角定理、圆周角定理、相交弦定理、切线和切点、弦切角定理
- 运用：求解圆的周长、面积、角度大小，证明一些定理和命
题
4. 多边形
- 基本概念：多边形、多边形分类、对边、对角线、外接圆、
内切圆
- 定理：正多边形性质、凸多边形性质、不等式关系、欧拉公
式
- 运用：解决多边形面积、周长、角度等问题，证明一些定理
和命题
5. 空间几何体
- 基本概念：点、线、面、空间几何体分类、棱、顶点、底面、侧面、高、体积
- 定理：正方体、正四面体、正六面体、勾股锥体特点和性质、旋转体与内锥体特点和性质
- 运用：求解空间几何体的体积、表面积、证明一些定理和命
题。

初中数学八大基本图形几何模型及练习几何中的模型如同代数中的公式，是同学们快速解题的关键，如果平时多总结一些几何模型，对于几何的学习是非常有帮助的，一些学霸做题非常快，一部分原因就是如此。

今天来列举8个常考的几何模型，看到最后有惊喜！
一、相似三角形基本模型
相似三角形是几何证明中重要的应用之一，利用三角形相似可证明角相等、线段成比例（或等积式）以及求线段的长，所以能在复杂的图形中找到相似三角形的基本模型至关重要圆中得角相等的方法有很多，所以相似三角形常与圆相结合。

二、共顶点模型
又叫做手拉手模型，全等'、相似中最常见的一个类型。

三、半角模型
四、对角互补模型
邻边相等、对角互补是典型的旋转模型。

五、一线三等角模型
六、弦图模型
七、中点模型
倍长中线、中位线等都是很好的解题思路。

八、四点共圆模型
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初中数学42个几何模型证明初中数学中有许多几何模型需要通过证明来推导出相应的结论。

下面是42个几何模型的证明，按照题目的难易程度进行排列。

1. 证明平行线之间的距离在任意两个平行线上的点处相等。

2. 证明对角线相等的平行四边形是矩形。

3. 证明等腰三角形的底角相等。

4. 证明直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

5. 证明等腰梯形两底角相等。

6. 证明三角形内角和为180度。

7. 证明一个等边三角形的内角都是60度。

8. 证明在一个同心圆中，半径较长的弦对应的圆心角较大。

9. 证明1/4圆面积公式：S = πr²/4。

10. 证明与弦垂直的半径平分弦。

11. 证明一个等腰三角形的高既是中位线也是角平分线。

12. 证明平行四边形的对角线互相平分。

13. 证明垂直于同一条直线的两条直线必相互垂直。

14. 证明等腰三角形的高通过顶点平分底边。

15. 证明两圆相切于切点处的半径互相垂直。

16. 证明正方体的面对角线相等。

17. 证明对角线的垂直平分线是平行四边形的对称轴。

18. 证明两直线平行，其上的任一点到另一直线的距离是相等的。

19. 证明半径等长的两圆相交，交点到两圆圆心的连线互相垂直。

20. 证明正方形的对边互相平分。

21. 证明矩形的对角线互相相等。

22. 证明底边垂直于直线平分子午线的梯形是等腰梯形。

23. 证明两对顶点互相对顶的平行四边形是全等的。

24. 证明外接圆的两切线互相垂直。

25. 证明两个互相垂直的直线的交角互为90度。

26. 证明外接圆的直径是角平分线。

27. 证明两条平行线割圆所得弦长度相等。

28. 证明两条互相垂直的直线之间的角度是90度。

29. 证明一个等腰梯形的中线平行于底边且长度等于底边长度之和的一半。

30. 证明三角形的外角等于不相邻的两个内角之和。

31. 证明一个等边三角形的外角都是120度。

32. 证明相似三角形的对应角相等。

33. 证明互余角和互补角之和等于180度。

初中几何十大模型模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。

但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。

模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。

一、 中位线模型 多个中点构造中位线【例】①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA二、 角平分线模型角平分线+垂线=等腰三角形角平分线+垂线=等腰三角形【例】如图所示，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分线，交于F 点，求证：DF=EF三、 三垂直模型与弦图【例】在平面直角坐标系中，A （0,3），点B 的纵坐标为2，点C 的纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。

四、 手拉手模型【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。

（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交条件：1、两个等腰三角形2、顶角相等3、顶点重合结论：1、手相等2、三角形全等3、手的夹角相等4、顶点连手的交点得平分D【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .AD 为ABC ∆中线．求证：AD EG ⊥．六、 弦图与婆罗摩笈多模型【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H，AH 与EG 交于P ．求证：①EP PG =，②2BC AP =．七、 将军饮马模型费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

八年级上册数学重点模型一、三角形全等模型。

1. 平移型。

- 模型特点：两个三角形通过平移可以完全重合。

- 示例：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是因为将△ABC沿着某一方向平移一定距离后可与△DEF重合。

- 解题思路：当遇到此类图形时，可直接利用全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）来证明两个三角形全等，进而得出对应边相等、对应角相等的结论。

例如，若已知AB = DE，BC = EF，AC = DF，可直接根据SSS判定△ABC≌△DEF。

2. 旋转型。

- 模型特点：一个三角形绕着某一点旋转一定角度后与另一个三角形重合。

- 示例：在等腰△ABC中，AB = AC，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，此时AB与AD重合，AC与AE重合，∠BAC = ∠DAE。

- 解题思路：首先要找到旋转中心和旋转角度，然后根据旋转的性质（对应边相等，对应角相等），再结合全等三角形的判定条件来证明三角形全等。

如在上述例子中，因为AB = AD，AC = AE，∠BAC = ∠DAE，根据SAS可判定△ABC≌△ADE。

3. 翻折型（对称型）- 模型特点：一个三角形沿着某一条直线翻折后与另一个三角形重合，这条直线就是对称轴。

- 示例：在△ABC中，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD翻折得到△AED，则△ABD≌△AED。

- 解题思路：根据翻折的性质，即翻折前后的图形全等，得到对应边相等和对应角相等。

在这个例子中，BD = ED，AB = AE，∠B = ∠AED等，再根据这些条件来解决相关问题，如求线段的长度或角的大小等。

二、等腰三角形模型。

1. “三线合一”模型。

- 模型特点：在等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。

- 示例：在等腰△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，则AD也是BC边上的高和∠BAC的平分线。