几何的五大模型ppt课件

几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1：S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABC= S△BAD反之，如果S△ABC= S△BCD，则可知直线AB平行于CD （AB∥CD）二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC：S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。

证明：图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2△ABE中S△ADE：S△ABE=AD：AB同理S△ADE：S△ABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2 所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ADE：S△ABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明（1）：在△ABD中，S1：S2=DO:OB在△DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

1.共边模型（等积变形）
·两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

·拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

·两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍
·两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍
小结：边比=面积比，找等高最常见
2.共角模型（鸟头模型）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角
三角
形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，S?abc:S?ade=(AB×AC):(AD×AE)
A.牢记公式
3.
蝴蝶模型（风筝模型）重点！！！
(②理解记忆(羊肉串1))
4.梯形蝴蝶模型
梯形中的比例关系：
①S?=S?
②S?:S?:S?:S?=a2+b2:ab:ab
5.燕尾模型
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交同一点O，那么S?abo:
S ?aco
= BD:DC
A.牢记公式。

几何的五大模型一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

解析：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于10×8÷2+10=50厘米2 。

解析：利用燕尾定理，连接FC ，BFD 面积 /BFC 面积=DE/EC=1/2，如果BFD 面积为1份的话，BFC 为2份；又DF=FG ，所以BFG 面积与BFD 面积相等也是1份，故FGC 面积是2-1=1份，那么BG=GC ；再利用燕尾定理，DFC 的面积与DFB 相等也是1份，BDC 的面积是4份=6，故一份面积是6/4=，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是×5/3=解析： 如图，长方形ABCD 的面积是12，CE = 2DE ，F 是DG 的中点，那么图中阴影部分面积是________。

如下图，在梯形中，与平行，且，点、分别是和的中点，已知阴影四边形的面积是54平方厘米，则梯形的面积是 平方厘米．如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF=（a+2a）=，所以，。

数 学 几 何 五 大 模 型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S 1S 2S ab图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：（1） 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯（2）()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)（1）2213::S S a b =（2）221324::::::S S S S a b ab ab =；（3）梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型（1）AD AE DE AFAB AC BC AG===； （2）22::ADE ABCS S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比⑶两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1: S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S AABC= S △BAD反之，如果S\ABC= S ABCD,则可知直线AB平行于CD (AB// CD二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图在△ ABC中, D, E分别是AB, AC上的点如图.(或D在BA的延长线上, E在AC上)，贝卩S AABC： S AD E=(AB X AC):(AD X AE)推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。

证明：图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2△ ABE中SA ADE SA ABE=A：AB同理SA ADE SA ABE=H1 H2 AD : AB= H1: H2 L又因SAADE=AE*H1*1/2S △ ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AX AC):(AD X AE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2△ DBE中，SA ADE SA ABE二AD ABS A ADE SA ABE= H1 H2 AD : AB= HI: H2又因SAADE=AE*H1*1/2S A ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AB< AC):(AD X AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明(1):在A ABD中, S1 : S2=DO:OB在A DCB中, S4: S3二DO OB 得至U S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4(十字相乘法)证明(2):设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)= (AO*H1*1/2+AO*H2*1/2): ( OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2) 约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

第三、四讲 几何——五大模型与构造思小升初必考知识点——五大模型随着小升初考察难度的增加，几何问题变得越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各个学校都更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面，几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学所期望的．几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12～14分(包含1道大题和2道左右的小题)．尤其重要的就是平面图形中的面积计算．几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积(三角形、四边形为主)、圆的面积以及二者的综合．其中直线形面积所涉及的五大模型近年来考的比较多，值得我们重点学习．模型一、三角形的等积变化我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图错误！嵌入对象无效。

；反之，如果错误！嵌入对象无效。

，则可知直线错误！嵌入对象无效。

平行于错误！嵌入对象无效。

． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．等积变化拓展——鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵知识点拨例题精讲【例 1】 (四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．A【巩固】 图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？B【巩固】 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【巩固】 如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【例 2】 (第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 3】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BA【巩固】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？D【例 4】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A【巩固】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD EF G【例 5】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF模型二、任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．【例 6】 (人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．ABCDEFG【例 7】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．AB【例 8】 (清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 ．BD【例 9】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．NM OCBA模型三、相似三角形(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 10】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO 的面积是ABO 面积的几倍？ABCDO【例 11】 (”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD 和EFGH 都是平行四边形，四边形ABCD 的面积是16，:3:1BG GC =，则四边形EFGH 的面积=________．G ECBA【例 12】 图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积是 ．H A【例 13】 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．H GFEDC BA模型四、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCD O ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 14】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FEDCB A【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321【例 15】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．B【巩固】 右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【例 16】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =___________．QPNMABCD E FG【例 17】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点，已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．D模型五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 18】 如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BE【例 19】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【巩固】 如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BC【巩固】 如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBA【例 20】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F B【例 21】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EF【巩固】 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDEMN【例 22】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBA【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF G练习1. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习2. 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EF练习3. 如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．课后作业D练习4. 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO练习5. 右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B练习6. 如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA。

1.共边模型（等积变形）
·两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

·拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

·两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍·两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍
小结：边比=面积比，找等高最常见
2.共角模型（鸟头模型）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，:=(AB AC):(AD AE)
3.蝴蝶模型（风筝模型）重点！！！
(②理解记忆(羊肉串1))
4.梯形蝴蝶模型
梯形中的比例关系：
①S₂=S₄
②S₁:S₃:S₂:S₄=a²+b²:ab:ab
5.燕尾模型
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交同一点O，那么: = BD:DC
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时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日之马矢奏春创作 一、等积变换模型其它罕见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比即是它们的底之比；两个三角形底相等,面积比即是它们的高之比.如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD .⑷正方形的面积即是对角线长度平方的一半；⑸三角形面积即是与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比即是对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图,在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上(如图2),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面,也可以获得与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△.所谓的相似三角形,就是形状相同,年夜小分歧的三角形(只要其形状不改变,不论年夜小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的经常使用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,而且这个比例即是它们的相似比；⑵相似三角形的面积比即是它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△EGC=BE:ECS△BGA:S△BGC=S△AGF:S△FGC=AF:FCS△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB典范例题精讲例1一个长方形分成4个分歧的三角形,绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍,黄色三角形的面积是21平方厘米.问：长方形的面积是__________平方厘米.1图例2如图,三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张年夜伯常走这两条小路,他知道DF＝DC,且AD＝2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是__________.2图【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形,如图所示, 三个三角形的面积分别是3,7,7,则阴影四边形的面积是几多？一反三图【拓展】如图,已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是几多？时间：二O 二一年七月二十九日时间：二O 二一年七月二十九日展图例3如图,将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D,BC 边延长2倍到E,CA边延长3倍到F.如果三角形ABC 的面积即是1,那么三角形DEF 的面积是__________.3图【拓展】如图,在△ABC 中,延长AB 至D,使BD ＝AB,延长BC 至E,使12CE BC ,F 是AC 的中点,若△ABC 的面积是2,则△DEF 的面积是几多？展图例4如图,在△ABC 中,已知M 、N 分别在边AC 、BC 上,BM 与AN 相交于O,若△AOM、△ABO 和△BON 的面积分别是3、2、1,则△MNC 的面积是__________.4图【秒杀题】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图所示）.如果三角形ABD 的面积即是三角形BCD 的面积的13,且AO ＝2,DO ＝3,那么CO 的长度是DO 的长度的__________倍. 杀题图例5如图,四边形EFGH 的面积是66平方米,EA ＝AB,CB ＝BF,DC ＝CG,HD ＝DA,求四边形ABCD 的面积.5图例6如右图长方形ABCD中,EF＝16,F＝9,求AG的长.6图【铺垫】图中四边形 ABCD是边长为12cm的正方形,从 G到正方形极点C、D连成一个三角形,已知这个三角形在 AB上截得的 EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是几多？垫图例7如图,长方形ABCD中,E为AD中点,AF与BE、BD分别交于G、H,已知AH＝5cm,HF＝3cm,求AG.例7图例8如右图,三角形ABC中,BD∶DC＝4∶9,CE∶EA＝4∶3,求AF∶FB.8图【拓展】如图,三角形ABC的面积是1,BD＝DE＝EC, CF＝FG＝GA,三角形ABC被分成9部份,请写出这9部份的面积各是几多?展图例9如右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积年夜7.2平方厘米,则△ABC的面积是几多平方厘米？时间：二O二一年七月二十九日9图例10如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE＝2BE,CF ＝2DF,连接BF,DE,相交于点G,过G作MN,PQ获得两个正方形MGQA和正方形PCNG,设正方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,则S1：S2＝______.时间：二O二一年七月二十九日。