高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及标准方程1导学案无答案新人教B版

2．1.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义观察图形，回答下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？梳理把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________________叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|?梳理焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标a ，b ，c的关系类型一椭圆的标准方程 命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．命题角度2由标准方程求参数(或其取值范围)例2若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2(1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．(2)若椭圆x 24＋y 2m＝1的焦距为2，则m ＝________.类型二椭圆定义的应用命题角度1椭圆图中的焦点三角形问题例3如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例3中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长．反思与感悟(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．(2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．命题角度2与椭圆有关的轨迹问题例4如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．反思与感悟用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a ，b ，c .跟踪训练4已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是() A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是() A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±56，0) D ．(±536，0)3．设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y2cos α＝1是表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为() A ．(0，π4]B ．(π4，π2)C ．(0，π4)D ．[π4，π2)4．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m ＝________.5．焦点在坐标轴上，且经过A (－2，2)和B (3，1)两点，求椭圆的标准方程．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一 思考1椭圆．思考2笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理定长(大于|F 1F 2|)定点两焦点间的距离 知识点二思考1椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2.思考2只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在．梳理F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )c 2＝a 2－b 2题型探究例1解(1)方法一当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4b 2＝1，122a 2＋32b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎨⎧4a 2＝1，32a 2＋122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1解(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝ －322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.例2(0,1)解析∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.跟踪训练2(1)(7,10)(2)3或5 例3解在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|· cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4， ②①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2| ＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3.引申探究解由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练3解由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， 从而|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 120°， 又由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|，从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， 解得|PF 1|＝65，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×|PF 1|·|F 1F 2|sin 120°＝12×65×2×32＝335. 例4解∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ， ∴|AQ |＝|PQ |，∴|AQ |＋|BQ |＝|PQ |＋|BQ |＝6， ∴点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆， 且2a ＝6,2c ＝4，∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.跟踪训练4解如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距 |PA |＝10－r ，即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.当堂训练 1．D2.C3.C4.255．解设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )，∵A (－2，2)和B (3，1)两点在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋4n ＝1，3m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝310，n ＝110.∴椭圆的标准方程为3x 210＋y 210＝1.。

2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。

练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。

②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290FPF ∠= ,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

2.1.1 椭圆及其标准方程1．掌握椭圆的定义及其标准方程． 2．会推导椭圆的标准方程．1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于定长(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个________叫做椭圆的焦点，________的距离|F 1F 2|叫做椭圆的焦距．在椭圆的定义中，(1)当定长等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2； (2)当定长小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 【做一做1－1】到两定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)的距离之和为10的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段C ．圆D ．以上答案都不正确【做一做1－2】已知椭圆上一点P 到椭圆两个焦点F 1，F 2的距离之和等于10，且椭圆上另一点Q 到焦点F 1的距离为3，则点Q 到焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 2由求椭圆的标准方程的过程可知，只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，才能得到椭圆的标准方程．【做一做2】椭圆x 24＋y 29＝1的焦点坐标为__________．1．椭圆的定义．剖析：(1)用集合语言叙述为：点集P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．(2)在椭圆的定义中，若定长不大于|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．如，动点P 到两定点F 1(1,0)和F 2(－1,0)的距离之和为1.此时定长1小于|F 1F 2|，由平面几何的知识可知，这样的点不存在．2．椭圆的标准方程．剖析：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2.焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，且a ，b ，c 满足a 2＝c 2＋b 2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，椭圆的方程才是标准形式)．在椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，如下图，a ，b ，c 恰能构成一个直角三角形，且都是正数，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c 且a 2＝c 2＋b 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．方程Ax 2＋By 2＝C (A ，B ，C 均不为0)可化为Ax 2C ＋By 2C ＝1，即x 2C A ＋y 2CB＝1.只有当A ，B ，C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆．当C A ＞C B时，椭圆的焦点在x 轴上；当C A ＜C B时，椭圆的焦点在y 轴上．题型一 利用椭圆的定义解题【例1】设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P (x ，y )满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a (a ＞0)，则动点P 的轨迹为( )A ．椭圆B ．线段C ．椭圆或线段或不存在D ．不存在反思：凡涉及动点到两定点距离和的问题，首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，再确定其轨迹．一定要注意2a 与两定点间距离的大小关系．题型二 求椭圆的标准方程【例2】求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”．反思：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴．题型三 易错题型【例3】若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧5－k ＞0，k －3＞0，得3＜k ＜5.错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中的a ＞b ＞0这一条件，当a ＝b 时，方程并不表示椭圆．反思：求解椭圆的标准方程及相关问题时，需要注意： (1)不要忽略定义中的条件2a ＞|F 1F 2|；(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程可能有两个； (3)不要忽略标准方程中a ＞b ＞0这一条件．1到两定点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之和为6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段或不存在 D ．不存在2椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝______.3椭圆的一个焦点坐标为(0，－3)，且过点(4,0)，则椭圆的标准方程为____________________．4如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是______． 5已知点P 在椭圆上，它到椭圆两焦点的距离分别为5,3，过点P 且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．答案：基础知识·梳理1．距离之和 定点F 1，F 2 两焦点【做一做1－1】B 由题意可知，|MF 1|＋|MF 2|＝10＝|F 1F 2|，故点M 的轨迹是线段F 1F 2. 【做一做1－2】D 由椭圆的定义得：点Q 到另一个焦点的距离为10－3＝7.2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) a 2＝b 2＋c 2 a 2＝b 2＋c 2【做一做2】(0，5)和(0，－5) 由椭圆的标准方程知焦点在y 轴上，a 2＝9，b 2＝4，c 2＝5.故焦点坐标为(0，5)和(0，－5)． 典型例题·领悟【例1】C 比较常数a 与|F 1F 2|的大小可知动点P 的轨迹． 当a ＜6时，轨迹不存在； 当a ＝6时，轨迹为线段； 当a ＞6时，轨迹为椭圆．【例2】解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝5＋42＋5－42＝10.∴a ＝5，a 2＝25.又c ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 【例3】正解：由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 5－k ＞0，k －3＞0，5－k ≠k －3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜5，k ＞3，k ≠4⇒3＜k ＜4或4＜k ＜5.随堂练习·巩固1．D ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＜|F 1F 2|＝8，∴轨迹不存在． 2．2 3．y 225＋x 216＝14．0＜k ＜1 方程可化为x 22＋y 22k＝1，因为焦点在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k＞2，k ＞0⇒0＜k ＜1.5．解：设所求的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c 2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，则a 2＝16，c 2＝4，b 2＝a 2－c2＝12.故所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.。

2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆过程、椭圆标准方程推导与化简过程.2.掌握椭圆定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆定义思考1 给你两个图钉、一根无弹性细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间距离是画出椭圆关键.思考2 在上述画出椭圆过程中，你能说出笔尖(动点)满足几何条件吗？答案笔尖(动点)到两定点(绳端点固定点)距离之与始终等于绳长.梳理把平面内到两个定点F1，F2距离之与等于常数(大于|F1F2|)点集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆焦点，两个焦点F1，F2间距离叫作椭圆焦距.知识点二椭圆标准方程思考1 椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上点M到两焦点间距离之与一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形三条边，a是斜边，c是焦距一半.a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.思考2 椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|答案只有当2a>|F1F2|时，动点M轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件点不存在. 梳理命题角度1 焦点位置求椭圆方程例1 求适合以下条件椭圆标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同焦点.解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6. ①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2，∴a 2＝8. 又∵焦点在x 轴上，∴椭圆标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1焦点为(－4，0)与(4，0)，由椭圆定义可得 2a ＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1，将x ＝3，y ＝15代入上面椭圆方程，得 3225＋λ＋1529＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 用待定系数法求椭圆标准方程根本思路：首先根据焦点位置设出椭圆方程，然后根据条件建立关于待定系数方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆标准方程. 跟踪训练1 求适合以下条件椭圆标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2，0)与(0，1).解 (1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).由椭圆定义知， 2a ＝ －322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).又椭圆经过点(2，0)与(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1.命题角度2 焦点位置未知求椭圆方程 例2 求经过(2，－2)与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，142两点椭圆标准方程. 解 方法一 假设焦点在x 轴上，设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.故所求椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1.假设焦点在y 轴上，设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).同理，得a 2＝4，b 2＝8，而a 2<b 2，与焦点在y 轴上矛盾. 综上可知，所求椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1.方法二 设椭圆一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ). 将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1.反思与感悟 如果不能确定焦点位置，那么求椭圆标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上与焦点在y 轴上设出椭圆标准方程，再解答；二是设出椭圆一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答.跟踪训练2 求经过A (0，2)与B (12，3)两点椭圆标准方程.解 方法一 当焦点在x 轴上时，可设椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＝1，122a2＋32b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去.当焦点在y 轴上时，可设椭圆标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，32a2＋122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆标准方程为y 24＋x 2＝1.方法二 设椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). ∵A (0，2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴椭圆标准方程为x 2＋y 24＝1.类型二 椭圆方程中参数取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上椭圆〞充分不必要条件是( ) A.1<m <32B.1<m <2C.2<m <3D.1<m <3答案 A解析 要使方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示焦点在y 轴上椭圆，那么m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2，∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，应选A.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上椭圆条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上椭圆条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在xα取值范围.解 x 2sin α＋y 2cos α＝1，可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1， 由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4. 类型三 椭圆定义应用例4 如下图，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上一点，F 1与F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2面积.解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， ①由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4， ②①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20， ③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3). ∴12F PFS △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－4 3. 引申探究在例4中，假设图中直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2周长.解 由椭圆定义，可得△BPF 2周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.反思与感悟 (1)对于求焦点三角形面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量.(2)焦点三角形周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，那么焦点三角形面积为b 2tan θ2.跟踪训练4 椭圆方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2面积. 解 由得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. 从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4. 解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2面积是32.F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，那么动点M 轨迹是( ) A.椭圆 C.圆答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 轨迹是线段F 1F 2.x 2＋ky 2＝4一个焦点坐标是(0，1)，那么实数k 值是( )A.1B.2 C 答案 B解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0，1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.3.“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上椭圆〞( )A.充分不必要条件 C.充要条件答案 C解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.假设m >n >0，那么0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上椭圆.假设方程表示焦点在y 轴上椭圆，那么1n >1m>0，可得m >n >0.y 轴上，其上任意一点到两焦点距离与为8，焦距为215，那么此椭圆标准方程为________.答案y 216＋x 2＝1 解析 由得2a ＝8，2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为y 216＋x 2＝1.x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2连线夹角为直角，那么|PF 1|·|PF 2|＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5， 所以|F 1F 2|＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100， 即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100. 解得|PF 1|·|PF 2|＝48.F 1，F 2距离之与为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2.对于求解椭圆标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆定义进展求解.3.用待定系数法求椭圆标准方程时，假设焦点位置，可直接设出标准方程；假设焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，防止了分类讨论，到达了简化运算目.40分钟课时作业一、选择题F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|等差中项，那么动点P 轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 23＋y 24＝1答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 轨迹应是以F 1，F 2为焦点椭圆. ∵c ＝1，a ＝2.∴动点P 轨迹方程为x 24＋y 23＝1.α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1是表示焦点在y 轴上椭圆，那么α取值范围为( )A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)答案 C解析 ∵焦点在y 轴上，∴cos α>sin α， 即sin(π2－α)>sin α，又α∈(0，π2)，∴π2－α>α，即α∈(0，π4).x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)关系是( )A.有相等焦距，一样焦点B.有相等焦距，不同焦点C.有不等焦距，不同焦点 答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上.对于曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1，∵0<k <9，∴25－k >9－k >0， ∴焦点在y 轴上，故两者焦点不同. ∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2， ∴2c ＝8，即两者焦距相等.应选B.x 225＋y 29＝1上一点M 到左焦点F 1距离为2，N 是MF 1中点，那么|ON |等于( ) A.2C.8D.32答案 B解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，那么ON 是△F 1MF 2中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，那么点P 轨迹是( ) A.椭圆 C.不存在答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2a ·9a＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|， 点P 轨迹是椭圆.x 24＋y 2＝1焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，那么点M 到x 轴距离为( ) A.233 B.263 C.33 D.3答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→， 由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12， ②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2， 设M 到x 轴距离为h ，那么|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ， h ＝223＝33.二、填空题F 1(－3，0)，F 2(3，0)，椭圆弦AB 过点F 1，且△ABF 2周长等于20，该椭圆标准方程为________________. 答案x 225＋y 216＝1 解析 如图，∵△ABF 2周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. ∴椭圆标准方程为x 225＋y 216＝1.x 210－m ＋y 2m －2＝1焦距为4，那么m ＝________________________________. 答案 4或8解析 (1)当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4， 解得m ＝4.(2)当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4， 解得m ＝8， ∴m ＝4或8.x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上椭圆，那么实数m 取值范围是____________. 答案 (8，25)解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8<m <25.F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.假设△PF 1F 2面积为9，那么b ＝________.答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2. 又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， ∴12PF F S＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3. 三、解答题11.P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上任意一点，F 1，F 2是它两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 轨迹方程.解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，那么OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2，－y 2，又P 点在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1， ∴动点Q 轨迹方程为x 24a 2＋y 24b2＝1 (a >b >0). 12.椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).假设F 1A ⊥F 2A ，求椭圆标准方程.解 设所求椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0). 设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0). ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c ，3)，F 2A →＝(－4－c ，3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5，0)，F 2(5，0).∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝－4＋52＋32＋－4－52＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆标准方程为x 240＋y 215＝1.y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0，1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2余弦值. 解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如下图，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝522＋322－222×52×32＝35.。

2．2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a＞|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a＜|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2思考2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？ [提示] a ，b 的值及焦点所在的位置．1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．] 2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B ．2x 2－3y 2＝2C ．－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 C [A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程．]3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 C [若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.]求椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路探究] 求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142. [解] (1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.椭圆的定义及其应用[探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}． 2．如何判断椭圆的焦点位置？[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．【例2】 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路探究] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF 1|和|PF 2|的方程，解方程组求得|PF 1|，再用面积公式求解．[解] 由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是353.(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P 的坐标． [解] 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353，将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±85，±353.与椭圆有关的轨迹问题【例3】 如图，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．[解] 由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a ，c ，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.2．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．[解] 如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2， ∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量.1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)．( ) (3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆．2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．7D [由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7.]3．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．50B [由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B.]4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．x 24＋y 23＝1 [由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]。

2.1.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；(2)两个焦点的坐标是(0，-2)、(0，2)，并且椭圆经过点(25,23). 解析：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0). ∴2a =10,2c =8,∴a =5,c =4.∴b 2=a 2-c 2=52-42=9. ∴所求椭圆的标准方程为92522y x +=1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为2222bx a y +=1(a ＞b ＞0). 由椭圆的定义知，2a =,102)225()23()225()23(2222=-+-+++- ∴a =10.又c =2,∴b 2=a 2-c 2=10-4=6. ∴所求椭圆的标准方程为61022x y +=1. 温馨提示求椭圆的标准方程就是求a 2及b 2(a ＞b ＞0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为2222b y a x +=1;当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为2222bx a y +=1. 二、应用椭圆的定义解题【例2】 一动圆与已知圆O 1：(x +3)2+y 2=1外切与圆O 2：(x -3)2+y 2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析：两定圆的圆心、半径分别为O 1(-3,0),r 1=1;O 2(3,0)，r 2=9.设动圆圆心为M (x ,y )，半径为R由题设条件知：｜MO 1｜=1+R ，｜MO 2｜=9-R∴｜MO 1｜+｜MO 2｜=10由椭圆的定义知：M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a =5,c =3,∴b 2=a 2-c 2=25-9=16 故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +=1 温馨提示两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点为(0，2)，则k =________.解析：将椭圆方程化为标准方程可得x 2+k y 52=1，由一个焦点为(0，2)知，a 2=k5,b 2=1且a 2-b 2=c 2,即k5-1=4得k =1 温馨提示将椭圆方程化为标准形式可得x 2+k y 52=1,由其中一个焦点为(0，2)可确定a 2-b 2，通过a ,b ,c 之间的关系确定k 的值.各个击破类题演练1求经过两点P 1(31,31),P 2(0,-21)的椭圆的标准方程 解法一：因为焦点位置不确定，故可考虑两种情形.(1)焦点在x 轴上时： 设椭圆的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0). 依题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.41,51,1)21(,1)31()31(22222222b a b b a 解得 ∵4151<,∴方程组无解. (2)焦点在y 轴上时： 设椭圆的方程为2222bx a y +=1(a ＞b ＞0).依题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+.51,41,1)21(,1)31()31(22222222b a ab a 解得 ∴所求椭圆的标准方程为1514122=+x y 解法二：设所求椭圆方程的一般式为Ax 2+By 2=1(A ＞0,B ＞0). 依题意可得⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ 4.5,,1)21(,1)31()31(222B A B B A 解得∴所求椭圆的方程为5x 2+4y 2=1. ∴标准方程为.1514122=+x y 变式提升1 椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3，求此椭圆的标准方程.解析：由题意知：⎩⎨⎧=-=32c a c a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==332c a ∴b 2=9 ∴所求椭圆的标准方程为112919122222=+=+y x y x 或 类题演练2若一个动点P (x ,y )到两个定点A (-1，0)，A ′(1，0)的距离之和为定值m ，试求P 点的轨迹方程.解析：∵｜PA ｜+｜PA ′｜=m ,｜AA ′｜=2,｜PA ｜+｜PA ′｜≥｜AA ′｜,∴m ≥2.(1)当m =2时，P 点的轨迹就是线段AA ′.∴其方程为y =0(-1≤x ≤1).(2)当m ＞2时，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以A 、A′为焦点的椭圆.∵2c =2,2a =m ,∴a =2m ,c =1,b 2=a 2-c 2=42m -1. ∴点P 的轨迹方程为.11442222=--m y m x 变式提升2已知B 、C 是两个定点，｜BC ｜=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 解析：如图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知｜AB ｜+｜AC ｜+｜BC ｜=16，｜BC ｜=6，有｜AB ｜+｜AC ｜=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6,2a =16-6=10.∴c =3,a =5,b 2=52-32=16.但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，∴点A 的轨迹方程是1162522=+y x (y ≠0) 类题演练3 方程x =231y -所表示的曲线为_________.解析：由x =231y -得x 2+3y 2=1 即x 2+312y =1,此方程表示焦点为(36，0)，(-36，0)的椭圆，然而，由题意必须x ≥0,所以x =231y -表示椭圆在y 轴右侧的部分(包括端点)变式提升3 椭圆ky k x y x -+-=+25919252222与=1(0＜k ＜9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点 答案：B。