人教新课标版数学高二-2-2限时练 1.6 微积分基本定理

§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a ns ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43C.23 D ．－235． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1C ．2 D.π－246．ʃ1－1|x |d x 等于( )A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

§1.6 微积分基本定理一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2B ．e 2－e －ln 2C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] D[解析] ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2.2．若π20(sin cos )d x a x x -⎰＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] A[解析] π20(sin cos )d x a x x -⎰＝(－cos x －a sin x )π20|＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] B[解析] 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)． 又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)， 所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3. 4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] C [解析] ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2， ∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320 ＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233. 5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] C[解析] 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( ) A ．－13B ．－1 C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] sin 1－23[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] －1或13[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] 1[解析] 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的[解析]式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] f (x )＝4x ＋3[解析] ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] π4[解析] ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] B[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的[解析]式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在(0，12e -)上单调递增，在(12e-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 12(e )f -＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。

1.6 微积分基本定理双基达标 (限时20分钟)1．下列积分值等于1的是( )．答案 C2．计算sin 2x2d x ＝( )．A.π4B.π2－1 C ．2D.π－24答案 D 3．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x 2＋1x 3d x ＝ ( )．A ．ln 2＋78 B ．ln 2－72 C ．ln 2－58D ．ln 2－178答案 A4．函数y ＝cos x d x 的导数是________．答案 cos x 5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为________．答案 26．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π4，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积(如图)．综合提高 (限时25分钟)7．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则∫1－1f (x )d x 的值为( )．A.32B.43C.23 D ．－23答案 B 8．计算等于( )．解析 ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，－x (x <0)，答案 C9．已知y ＝f (x )是一次函数，且176，那么f (x )＝________.解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则(ax ＋b )d x ＝12a ＋b ＝5 ①，x (ax ＋b )d x＝13a ＋12b ＝176 ②.由①②得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3. 答案 4x ＋310．计算： (sin x ＋2)d x ＝________.解析(sin x ＋2)d x ＝(－cos x ＋2x )⎪⎪⎪2－2＝－cos 2＋4－(－cos 2－4)＝8.答案 811．已知y ＝f (x )是一元二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(1)＝2，f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (x )的图象过点(1,0)，∴a ＋b ＋c ＝0.① 又f ′(x )＝2ax ＋b 且f ′(1)＝2，∴2a ＋b ＝2.② 又f (x )d x ＝(ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， 即13a ＋b2＋c ＝0.③联立①②③，得a ＝3，b ＝－4，c ＝1， ∴f (x )＝3x 2－4x ＋1.12．(创新拓展)利用微积分基本定理计算2x cos x ＋x 2sin xcos 2xd x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2cos x ′＝2x cos x ＋x 2sin x cos 2x。

一、选择题1．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝⎪⎪⎪10＝34；b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14，∴a >b >c .【答案】 A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)，1x ，x ∈[1，e 2)(其中e 为自然对数的底数)，则f (x )d x的值为( )A.43 B.53 C.73 D.83【解析】 f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋∫e 211x d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋ln x ⎪⎪⎪e 21＝13＋2＝73.【答案】 C3．(2013·安阳高二检测)⎠⎛01|1－x |d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 【解析】 ⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝(x －12x 2)⎪⎪⎪10＋(12x 2－x )⎪⎪⎪21＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1) ＝1. 【答案】 B4．设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A ．－33B.33C ．－13 D.13【解析】 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝(13ax 3＋cx )⎪⎪⎪10＝13a ＋c ，∴ax 20＋c ＝13a ＋c ， ∴x 20＝13.∵0≤x 0≤1.∴x 0＝33.【答案】 B5．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k0＝k 2－k 3，∴k 2－k 3＝0，即k ＝0或k ＝1， 又当k ＝0时，不合题意，∴k ＝1. 【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ，则f [f (π2)]＝________.【解析】 ∵f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪a0＝1－cos a .∴f (π2)＝1－cos π2＝1. ∴f [f (π2)]＝f (1)＝1－cos 1. 【答案】 1－cos 17．(2012·江西高考)计算定积分(x 2＋sin x )d x ＝________.【解析】 ∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ， ∴(x 2＋sin x )d x ＝(13x 3－cos x )⎪⎪⎪1－1＝23. 【答案】 238．(2013·福州高二检测)⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝________.【解析】 ∵⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝(ln x －1x )⎪⎪⎪21＝(ln 2－12)－(ln 1－1)＝ln 2＋12. 【答案】 ln 2＋12 三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ； (2)(cos x ＋2x )d x .【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x＝[ln x －ln(x ＋1)]⎪⎪⎪21＝ln 43.(2)(cos x ＋2x )d x ＝(sin x ＋2x ln 2)⎪⎪⎪⎪π2－π210．(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求f (x )d x .(2)求x 2d x (a >0)．【解】 (1) f (x )d x ＝x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪10＝sin 1－23.(2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得11．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈(2，4]，求使⎠⎛k 3f (x )d x ＝403恒成立的k 值．【解】 (1)当k ∈(2,3]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k3(1＋x 2)d x ＝(x ＋13x 3)⎪⎪⎪3k＝3＋13×33－(k ＋13k 3)＝403 整理得k 3＋3k ＋4＝0， 即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0， ∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0， ∴k ＝－1.而k ∈(2,3]，∴k ＝－1舍去． (2)当k ∈[－2,2]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝(x 2＋x )⎪⎪⎪2k ＋(x ＋13x 3)⎪⎪⎪32＝(22＋2)－(k 2＋k )＋(3＋13×33)－(2＋13×23) ＝403－(k 2＋k )＝403， ∴k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1， 综上所述，k ＝0或k ＝－1.。

1.6微积分基本定理1．了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点) 2．掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1微积分基本定理阅读教材P51～P53“例1”以上内容，完成下列问题．1．内容：如果f(x)是区间[a，b]上的__________函数，并且F′(x)＝f(x)，那么b f(x)d x＝__________.⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做____________．2．表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成__________，即b f(x)dx＝⎠⎛a______________＝______________.【答案】 1.连续F(b)－F(a)牛顿-莱布尼茨公式2．F(x)|b a F(x)|b a F(b)－F(a)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．()【答案】(1)√(2)√(3)√2．若a＝1(x－2)d x，则被积函数的原函数为()⎠⎛A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x【答案】 C3．⎠⎜⎛π2cos x d x＝________.【解析】⎠⎜⎛π2cos x d x＝sin x⎪⎪⎪⎪π2＝sinπ2－sin 0＝1.【答案】 1教材整理2 定积分与曲边梯形面积的关系阅读教材P53“例2”以下部分～P54的内容，完成下列问题．设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1-6-1①，则⎠⎛ab f(x)d x＝__________.(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1-6-1②，则⎠⎛ab f(x)d x＝________.①②③图1-6-1(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1-6-1③，则⎠⎛ab f(x)d x＝______________.特别地，若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝______.【答案】(1)S上(2)－S下(3)S上－S下1．如图1-6-2，阴影部分的面积为________．图1-6-2【解析】根据定积分的几何意义知S阴影＝－⎠⎜⎛π232πcos x d x＝－sin x⎪⎪⎪⎪32ππ2＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin32π－sinπ2＝2.【答案】 22．如图1-6-3，定积分⎠⎛ab f(x)d x的值用阴影面积S1，S2，S3表示为⎠⎛ab f(x)d x＝________.图1-6-3【解析】根据定积分的几何意义知⎠⎛ab f(x)d x＝S1－S2＋S3.【答案】S1－S2＋S3[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分⎠⎛xA．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1(2)求下列定积分．①⎠⎛12(x2＋2x＋3)d x；②⎠⎛π2sin2x2d x.【自主解答】(1)⎠⎛1(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)⎪⎪⎪1＝(12＋e)－(02＋e0)＝1＋e－1＝e.【答案】 C(2)①⎠⎛12(x2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33⎪⎪⎪ 21＋x 2⎪⎪⎪ 21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.②sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ＝sin 2x 2， ∴⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪π20＝π4－12＝π－24.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝________. 【导学号：62952051】【解析】 (1)⎠⎛1(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2，∴k ＝2. (2)⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x －1x 2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 (1)B (2)ln 2－12求分段函数的定积分计算下列定积分．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ； (2)⎠⎛02|x 2－1|d x . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分． 【自主解答】(1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x +⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x.【解】设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，－3≤x<－32，6，－32≤x≤32，4x，32<x≤3.所以⎠⎛-33(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝⎠⎜⎛-3－32(－4x)d x＋⎠⎜⎛－3232 6 d x＋⎠⎜⎛3234x d x＝－2x2⎪⎪⎪－32-3＋6x⎪⎪⎪⎪32－32＋2x2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝⎛⎭⎪⎫9－94＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究⎠⎛【提示】令y＝⎠⎛1(x2＋cx＋c)2d x，则y＝⎠⎛1(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫15x5＋c2x4＋c2＋2c3x3＋c2x2＋c2x⎪⎪⎪1＝15＋76c ＋73c 2＝73⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋142－73×116＋15.∵73>0，∴当c ＝－14时，⎠⎛01(x 2＋cx ＋c )2d x 最小．已知f (x )是一次函数，其图象过点(1,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解． 【自主解答】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k ＋b ＝4.①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，所以k 2＋b ＝1. ②由①②得k ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x －2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．[再练一题]3．上例中，若把“已知f (x )是一次函数”改为“已知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)”，其余条件不变，求f (x )的解析式．【解】 ∵函数的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4， ①又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2，∴a 3＋b2＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－2，所以f (x )＝6x 2－2x .1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2．⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( ) A ．0 B.π4 C ．2 D ．4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2sin x d x ＋⎠⎜⎛-π2π2cos x d x ＝(－cos x )| π2－π2＋sin x⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2.【答案】 C3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.【导学号：62952052】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25．已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，求f (a )的取值范围．【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛-11 f 2(x )d x ＝1，得2a 2＋6b 2＝3,2a 2＝3－6b 2≥0，所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912，所以－22≤f (a )≤1912.。

双基限时练(十三)1．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b 和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛ab f(x)d x ， B ．－⎠⎛ab f(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－a ]d x D.⎠⎛ab [f(x)－b]d x答案 B2．如图，阴影部分的面积为( )A .⎠⎛ab f (x )d xB.⎠⎛a b g(x)d xC .⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x D.⎠⎛ab [f(x)＋g(x)]d x解析 阴影部分的面积 S ＝⎠⎛ab f(x)d x ＋|⎠⎛ab g(x)d x|＝⎠⎛ab f(x)d x －⎠⎛ab g(x)d x＝⎠⎛ab [f(x)－g(x)]d x.答案 C3．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A .⎠⎛1－1(x －x 3)d x B.⎠⎛1－1(x 3－x)d xC ．2⎠⎛01(x －x 3)d x D ．2⎠⎛0－1(x －x 3)d x解析由⎩⎨⎧y ＝x 3，y ＝x ，得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．∴阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x.答案 C4．曲线y ＝cos x(0≤x ≤32π)与坐标轴所围成的面积为( ) A ．2 B ．3 C .52 D ．4解析 利用函数y ＝cos x 在0≤x ≤3π2的图知，所求面积为S ＝3∫π20cos x d x ＝3(sin x)⎪⎪⎪⎪π20＝3.答案 B5．如图阴影部分面积为( )A . 2 3B . 9－2 3C .323D .353解析 S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x)d x＝(3x －13x 3－x 2)⎪⎪⎪⎪ 1－3 ＝53＋9＝323. 答案 C6．f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x<0)，cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .32 B . 1C . 2D .12解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为S ＝12×1×1＋∫π20cos x d x ＝12＋sin x⎪⎪⎪⎪ π20＝32.答案 A7．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形的面积为________． 解析 示意图如图所示，所求面积为S ＝⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x)⎪⎪⎪⎪ 21＝32－ln 2. 答案 32－ln 28．设函数f(x)＝3x 2＋c ，若⎠⎛01f(x)d x ＝5，则实数c 的值为________．解析 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(3x 2＋c)d x＝(x 3＋cx)⎪⎪⎪⎪10＝1＋c ＝5，∴c ＝4. 答案 49．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 依题意得，由y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积S ＝⎠⎛0a x d x ＝23x 32| a 0＝23a 32＝a 2，∴a ＝49.答案 4910．求正弦曲线y ＝ sin x ，x ∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴所围成的平面图形的面积．解 如图，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝ sin x 位于x 轴上方，而当x ∈[π，3π2]时，曲线位于x 轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．∴S ＝⎠⎛0π sin x d x ＋|∫3π2π sin x d x |＝⎠⎛0π sin x d x －∫3π2π sin x d x＝－cos x⎪⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪⎪ 32ππ ＝2＋1＝3.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，抛物线与x 轴所围成的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝16.抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为0和1－k ，∴12S ＝∫1－k 0(x －x 2－kx)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33－k 2x 2⎪⎪⎪1－k0＝16(1－k)3＝112.∴(1－k)3＝12，k ＝1－312＝1－342.12．求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解 由定积分与微积分基本定理得S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)⎪⎪⎪t0＋⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t ＝t 3－13t 3＋13－t 2－13t 3＋t3＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)．S ′＝4t 2－2t ＝2t(2t －1)．当0<t<12时，S ′<0；当12<t<2时S ′>0， ∴当t ＝12时，S 有最小值S min ＝14.。

1．6 微积分基本定理【学习目标】了解微积分基本定理的含义，熟练地用微积分积分定理计算微积分【重点难点】微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分一、自主学习要点1 微积分基本定理(2)如果在区间[a ，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(图2)．由于b －a n >0，f(ξi )≤0，故f(ξi )b －a n≤0.从而定积分 ⎠⎛ab f(x)d x ≤0，这时它等于图2所示曲边梯形面 积的相反值，即S ＝ .(3)当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，定积分⎠⎛ab f(x)d x 在几何上表示图3所示的几个小曲边形面积的代数和(x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号)，即⎠⎛a b f(x)d x ＝ .二、合作，探究，展示，点评题型一 求初等函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)⎠⎛2105x 4d x ； (2)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ； (3)⎠⎛13(x ＋1x)26x d x.思考题1 计算定积分．(1)⎠⎛12(x 2＋1x 4)d x ； (2)⎠⎛0ln2e x (1＋e x )d x.题型二 分段函数定积分例2 (1)求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[0，1)，x ， x ∈[1，2)，2x ， x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．(2)求⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x.思考题2 计算定积分⎠⎛02(|x －1|＋|x －3|)d x.题型三 定积分的应用例3 已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b)d x ＝2a ＋6且f(t)＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b) d x 为偶函数，求a ，b.思考题3 (1)已知函数f(x)＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f(1)－f(－1)＝13，求a ，b 的值．三、知识小结1．微积分基本定理应用的理解:利用微积分基本定理计算定积分⎠⎛ab f(x)d x 的关键是找到使F ′(x)＝f(x)成立的F(x)，通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则．求出F(x)．这个过程与求导运算互为逆运算，为避免出错，在求出F(x)后，可利用F ′(x)＝f(x)对F(x)进行求导验证．2．求定积分的基本方法．(1)利用微积分基本定理：步骤为：①求F(x)，使得F ′(x)＝f(x)．②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义．如定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是14单位圆的面积．所以⎠⎛011－x 2d x ＝14π.。

1.6微积分基本定理（1）【学习目标】1.通过实例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义；2.了解微积分基本定理；3.会用微积分基本定理求函数的定积分．【新知自学】知识回顾：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________．记为_______. 2．定积分的几何意义：______________________ ___________________ .新知梳理：1.微积分基本定理:一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且，)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(________．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了方便，常把)()(b F a F -记成_________，即()()|bbaaf x dx F x ==⎰________________________．2．利用微积分基本定理计算定积分dx x f ba⎰)(的关键是找到满足____________的函数)(x F ，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从 _______上求出)(x F ．3．求导数运算与求原函数运算互为 ___ ． 在微积分基本定理中函数)(x F 叫函数)(x f 在区间[]b a ,上的一个原函数．因为[])()(x F C x F '='+，所以C x F +)(也是函数_________的原函数．对点练习：1.已知)()(x f x F ='，则下列等式正确的是 ( ) A.⎰-=ba a Fb F dx x f )()()( B.⎰-=ba b F a F dx x f )()()(C.)(lim )(1i ni ban F nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=D.x F nab dx x f i ni ban ∆-=∑⎰=∞→)(lim )(1ξ． 2．已知⎩⎨⎧<<≤≤-=10,101,)(2x x x x f ，则⎰-11)(dx x f 的值为 ( )A.23B.32- C.32 D.34 3．设⎰⎰⎰===11132sin ,,xdx c dx x b dx x a ，则c b a ,,的大小关系是( )A.c b a <=B.c b a >=C.c a b <<D.a b c >> 4.计算下列定积分：（1）dx x 3131）（⎰；（2）dx x⎰211.【合作探究】典例精析：例1. 求下列定积分: (1) dx x x ⎰-12)(；(2) dx x x ⎰+20)sin 3(π；变式练习：求下列定积分: (1) dx x x⎰+232)43(；(2)dx ⎰1x .例2.求下列定积分: (1) ⎰πcos xdx ；π变式练习：求下列定积分:（1）dx x x 2202cos 2sin ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+π；（2）xdx ⎰22-2cos ππ.规律总结：利用微积分基本定理求定积分,实质上是求导数逆运算，即求导数等于被积函数的一个函数，求解时注意以下两个方面：（1）熟练掌握基本函数导数及导数的运算法则，学会逆运算；（2）当被积函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解.【课堂小结】1. 由抛物线x y =2和直线x =1所围成的图形的面积等于（ ）A.1B.34 C.32D.312.如果⎰⎰-==1201)(,1)(dx x f dx x f ，则⎰=21)(dx x f ．3.（1）dx x ⎰πsin =________；（2）dx x ⎰π20sin =_________．4.求下列定积分的值 (1)dx x⎰311；（2）dx e x ⎰22.【课时作业】1.dx x1312⎰=_____________. 2.⎰-=-1121dx x ． 3.dx x x10⎰=___________________.4.求下列定积分的值 (1) dx x e ⎰++1211；（2）dx xx x⎰-20sin cos 2cos π;(3) dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-31212.5.已知()623113+=-++⎰-a dx b a ax x且()d x b a ax x t f t⎰-++=033)(为偶函数，求b a ,的值.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°Da +b-aa45°E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +bx -b-ab45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

§1.6 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．1．如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝________，那么ʃba f (x )d x ＝__________.该结论叫做微积分基本定理，又叫________________公式．2．微积分基本定理揭示了________和__________之间的内在联系，同时它也提供了计算____________的一种有效方法；计算定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )． (1)若F ′(x )＝x α，则F (x )＝____________； (2)若F ′(x )＝cos x ，则F (x )＝__________； (3)若F ′(x )＝sin x ，则F (x )＝____________； (4)若F ′(x )＝e x ，则F (x )＝________； (5)若F ′(x )＝1x (x >0)，则F (x )＝__________；(6)F ′(x )＝a x (a >0且a ≠1)，则F (x )＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →0F (x ＋Δx )－F (x )Δx 等于( ) A ．F (x ) B ．f (x ) C ．0 D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( ) A ．1 B.12C.13D.143．2π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22d x 的值是( )A.π2B.π2＋1 C ．－π2 D ．04．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( )A ．－2B ．0C ．5 D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe11x d x ，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．无法确定 6．ʃ421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln27．ʃ10(2x k ＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________． 9．定积分20π⎰1－sin2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2)22ππ-⎰ (cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，2π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．答案知识梳理1．f (x ) F (b )－F (a ) 牛顿一莱布尼兹 2．导数 定积分 定积分(1)1α＋1x α＋1＋C (2)sin x ＋C (3)－cos x ＋C(4)e x ＋C (5)ln x ＋C (6)1ln a ·a x ＋C作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4|10＝14.] 3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 22d x＝2π⎰(1＋sin x )d x＝20xπ＋(－cos x )|20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.] 5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11x d x ＝ln x |e 1＝lne －ln1＝1， m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .] 6．D [ʃ421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln2＝ln2.] 7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 8.12ln2 解析 ∵⎣⎡⎦⎤12ln (1＋x 2)′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln2. 9．2(2－1)解析2π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x＝20π⎰(sin x －cos x )2d x＝20π⎰|cos x －sin x |d x＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )|40π－(cos x ＋sin x )|24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ， ∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数， ∴22ππ-⎰ (cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos2x )d x ＋16x |20π＝⎝⎛⎭⎫x ＋12sin2x |20π＋16x |20π＝172π. 11．解2π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x )|20π＝b ＋a ＝4.60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )|6π＝12b －32a ＋a ＝7－332， 解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ， 则ʃ10(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫ax 22＋bx |10＝a 2＋b ，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x＝⎝⎛⎭⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b2，∴⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0， ∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6， 即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②得a ＝－3，b ＝－9.。

选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )AA.214 B.54 C.338D.218A⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 3| 2－2＋⎝⎛⎭⎫－13x －3| 2－2＝13(x 3－x －3)| 2－2＝13⎝⎛⎭⎫8－18－13⎝⎛⎭⎫－8＋18＝214. 故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d xC∵|x |＝⎩⎨⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在C⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x 取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )]C∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B.223 C.233D.253C⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32 B ．－12C.12D.32D∵1－2sin 2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin xAF (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对C⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 BF (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)． F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 － 0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________23；436；2；1 ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3|1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436. ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2.1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．13长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13.14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.－1或13由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x . (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 2＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 16．计算下列定积分：(1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝⎛⎭⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫92＋ln3＋6－⎝⎛⎭⎫12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．(1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎜⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22| 10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c的值．(1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。