初中数学常用的概念、公式和定理1. 整数(包括包括::正整数、0、负整数负整数))和分数(包括包括::有限小数和无限环循小数有限小数和无限环循小数))都是有理数. 如:－3,,0.231,0.737373,0.231,0.737373……,,.无限不环循小数叫做无理数....如如:π,－-,0.1010010001,0.1010010001……(两个两个11之间依次多之间依次多11个0).0).有理数和无理数统称为有理数和无理数统称为实数.2. 绝对值:a ≥0丨a 丨=a;a ≤0丨a 丨=－a.如:丨－丨=;丨3.143.14－－π丨=π－3.14.3.3.一个一个近似数,从左边笫一个不是从左边笫一个不是00的数字起的数字起,,到最末一个数字止到最末一个数字止,,所有的数字所有的数字,,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972:0.05972精确到精确到精确到0.0010.0010.001得得0.060,0.060,结果有两个有效数字结果有两个有效数字结果有两个有效数字6,0. 6,0.4.4.把一个数写成±把一个数写成±把一个数写成±a a ×10n的形式的形式((其中其中11≤a<10,n a<10,n是整数是整数是整数),),),这种记数法叫做这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=40700=－－4.074.07××105,0.000043=4.3×10－5.5.被开方数的小数点每移动每移动22位,算术平方根的小数点就向相同方向移动算术平方根的小数点就向相同方向移动11位;被开方数的小数点每移动的小数点每移动33位,立方根的小数点就向相同方向移动立方根的小数点就向相同方向移动11位.如:已知=0.4858,=0.4858,则则=48.58;=48.58;已知已知=1.558,=1.558,则则=0.1588.6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除①几个单项式相乘除,,系数与系数相乘除系数与系数相乘除,,同底数的幂结合起来相乘除同底数的幂结合起来相乘除. .②单项式乘以多项式②单项式乘以多项式,,用单项式乘以多项式的每一个项用单项式乘以多项式的每一个项. .③多项式乘以多项式③多项式乘以多项式,,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. . ④多项式除以单项式④多项式除以单项式,,将多项式的每一项分别除以这个单项式将多项式的每一项分别除以这个单项式. .7.幂的运算性质:①a m ×a n =a m+n . ②a m ÷a n =a m －n . ③(a m )n =a mn . ④(ab)n =a n b n .⑤()n =n. ⑥a －n =n,=n,特别特别特别:(:()－n =()n .⑦a 0=1(a ≠0). 如:a 3×a 2=a 5,a 6÷a 2=a 4,(a 3)2=a 6,(3a 3)3=27a 9,(,(－－3)－1=－,5－2==,()－2=()2=,(,(－－3.14)0=1,(－)0=1. 8.乘法公式(反过来就是因式分解的公式反过来就是因式分解的公式): ):①(a+b)(a (a+b)(a－－b)=a 2－b 2. ②(a (a±±b)2=a 2±2ab+b 2.③(a+b)(a 2－ab+b 2)=a 3+b 3. ④(a (a－－b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3; a2+b 2=(a+b)2－2ab, (a －b)2=(a+b)2－4ab. 9.9.选择选择因式分解方法的原则是方法的原则是::先看能否提公因式先看能否提公因式..在没有公因式的情况下在没有公因式的情况下::二项式用平方差公式或立方和差公式方差公式或立方和差公式,,三项式用十字相乘法三项式用十字相乘法((特殊的用完全平方公式特殊的用完全平方公式),),),三项以上用三项以上用分组分解法分组分解法..注意注意::因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. .10.分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式乘除法要先把分子、分母都分解因式,,并颠倒除式并颠倒除式,,约分后相乘约分后相乘;;加减法应先把分母分解因式应先把分母分解因式,,再通分再通分((不能去分母不能去分母).).).注意注意注意::结果要化为最简分式结果要化为最简分式. .11.二次根式:①()2=a(a ≥0),0),②②=丨a 丨,③=×,④=(a>0,b ≥0). 如:①(3)2=45.=45.②②=6.=6.③③a<0a<0时时,=－a .④的平方根的平方根=4=4=4的平方根的平方根的平方根==±2.12.一元二次方程:对于方程对于方程:ax :ax 2+bx+c=0:+bx+c=0:①①求根公式是x=,其中其中=b =b 2－4ac 4ac叫做根叫做根叫做根--的判别式的判别式..当Δ>0>0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根;;当Δ=0=0时时,方程有个相等的实数根方程有个相等的实数根;;当-Δ<0<0时时,方程没有实数根方程没有实数根..注意注意::当Δ≥0时,方程有实数根方程有实数根..③若方程有两个实数根③若方程有两个实数根x x 1和x 2,则x 1+x 2=－,x 1x 2=,并且二次三项式并且二次三项式ax ax 2+bx+c +bx+c可分解为可分解为可分解为a(x a(x a(x－－x 1)(x )(x－－x 2).).④以④以④以a a 和b 为根的一元二次方程是一元二次方程是x x 2－(a+b)x+ab=0.13.解分式方程(去分母或换元去分母或换元))和无理方程(两边平方或换元两边平方或换元))必须检验必须检验..形如形如:-:-的方程组的方程组,,用代入法解用代入法解;;形如形如::的方程组的方程组,,先把一个方程分解为两个一次方程为两个一次方程,,再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组再把这两个方程分别与另一个方程组合成两个方程组,,再用代入法分别解这两个方程组解这两个方程组. .14.不等式两边都乘以或除以同一个负数两边都乘以或除以同一个负数,,不等号要改变方向不等号要改变方向. .15.平面直角坐标系:①各限象内点的坐标如图所示①各限象内点的坐标如图所示. .②横轴②横轴(x (x (x轴轴)上的点上的点,,纵坐标是纵坐标是0;0;0;纵轴纵轴纵轴(y (y (y轴轴)上的点上的点,,横坐标是横坐标是0. 0.③关于横轴对称的两个点③关于横轴对称的两个点,,横坐标相同横坐标相同((纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数); );关于纵轴对称的两个点关于纵轴对称的两个点,,纵坐标相同纵坐标相同((横坐标互为相反数横坐标互为相反数); );关于原点对称的两个点关于原点对称的两个点,,横坐标、纵坐标都互为相反数横坐标、纵坐标都互为相反数. .16.一次函数y=kx+b(k ≠0)0)的图象是一条直线的图象是一条直线的图象是一条直线(b (b (b是直线与是直线与是直线与y y 轴的交点的纵坐标轴的交点的纵坐标).).).当当k>0时,y ,y随随x 的增大而增大的增大而增大((直线从左向右上升直线从左向右上升);););当当k<0k<0时时,y ,y随随x 的增大而减小的增大而减小((直线从左向右下降直线从左向右下降).).特别特别::当b=0b=0时时,y=kx ,y=kx又叫做正比例函数又叫做正比例函数又叫做正比例函数(y (y (y与与x 成正比例成正比例),),),图象必过原点图象必过原点图象必过原点. .17.反比例函数y=(k ≠0)0)的图象叫做双曲线的图象叫做双曲线的图象叫做双曲线..当k>0k>0时时,双曲线在一、三象限三象限((从左向右降从左向右降););当k<0k<0时时,双曲线在二、四象限双曲线在二、四象限((从左向右上升从左向右上升).).).因此因此因此,,它的增减性与一次函数相反它的增减性与一次函数相反. .18.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)0)的图象叫做抛物线的图象叫做抛物线的图象叫做抛物线(c (c (c是抛物线与是抛物线与是抛物线与y y 轴的交点的纵坐标轴的交点的纵坐标).).).①①a>0a>0时时,开口向上开口向上;a<0;a<0;a<0时时,开口向下开口向下..②顶点坐标是②顶点坐标是((－,),),对称轴是直线对称轴是直线对称轴是直线x=x=x=－－. 特别特别::抛物线抛物线y=a(x y=a(x y=a(x－－h)2+k +k的顶点坐标是的顶点坐标是的顶点坐标是(h,k),(h,k),(h,k),对称轴是直线对称轴是直线对称轴是直线x=h. x=h.注意:求解析式的设法①已知三个点的坐标①已知三个点的坐标,,则设为一般形式则设为一般形式y=ax y=ax 2+bx+c;+bx+c;②已知顶点坐标②已知顶点坐标②已知顶点坐标(h,k),(h,k),(h,k),则设为顶点式则设为顶点式y=a(x y=a(x－－h)2+k;+k;③已知抛物线与③已知抛物线与③已知抛物线与x x 轴的两个交点坐标轴的两个交点坐标(x (x 1,0),0)和和(x 2,0),,0),则设为交点式则设为交点式则设为交点式y=a(x y=a(x－x 1)(x )(x－－x 2).19.抛物线与x 轴的位置关系:对于抛物线对于抛物线y=ax y=ax 2+bx+c +bx+c①①Δ<0<0时时,它与它与x x 没有交点②Δ=0=0时时,它与它与x x 轴只有一个交点轴只有一个交点((与x 轴相切轴相切).).).③③Δ>0>0时时,它与它与x x 轴有两个交点轴有两个交点(x (x 1,0),0)和和(x 2,0),,0),其中其中其中x x 1和x 2是方程是方程ax ax 2+bx+c=0+bx+c=0的两个的两个根.20.统计初步:(1)概念:①所要考察的对象的全体叫做总体,其中每一个考察对象叫做个体.从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本容量.②在一组数据中在一组数据中,,出现次数最多的数出现次数最多的数((有时不止一个有时不止一个),),),叫做这组数据的叫做这组数据的众数.③将一组数据按大小顺序排列③将一组数据按大小顺序排列,,把处在最中间的一个数把处在最中间的一个数((或两个数的平均数或两个数的平均数))叫做这组数据的中位数.(2)公式:设有设有n n 个数个数x x 1,x 2,…,x n ,那么那么: :①平均数=(x 1+x 2+…+x n ).).②②方差S 2=[(x 1－)2+(x 2－)2+…+(x n －)2.(是整数时用是整数时用) )③S 2=[(x 12+x 22+…+x n 2)－n()2].].注注:各数据的数位较少或平均数是分数时各数据的数位较少或平均数是分数时,,用此公式用此公式. .④若将④若将n n 个数个数x x 1,x 2,…,x n 各减去一个适当的数各减去一个适当的数a,a,a,得到一组新数得到一组新数得到一组新数x x 1,,x 2,,…,x n ,,那么原来那组数的方差组数的方差S S 2=这组新数的方差这组新数的方差,,平均数=a+,.方差越大,这组数据的波动就越大.通常用样本方差去估计总体方差,用样本平均数去估计总体平均数.方差的算术平方根叫做标准差(3)频率:①把一组数分成若干个小组①把一组数分成若干个小组,,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时求组数时,,用收尾法取整数法取整数),),),这时这时这时,,落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率.因此因此,,各组的频率的和等于1.在频率分布直方图中在频率分布直方图中,,各小长方形的面积等于相应各组的频率小长方形的面积等于相应各组的频率..各小长方形的面积的和等于1.21.锐角三角函数:①设∠①设∠A A 是Rt Δ的任一锐角的任一锐角,,则∠则∠A A 的正弦的正弦:sinA=:sinA=,∠A 的余弦:cosA=,∠A 的正切的正切:tanA=:tanA=,∠A 的余切的余切:cotA=:cotA=. 并且并且sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin sinA=cosB,tgA=ctgB,tgActgA=1,sin 2A+cos 2A=1.0<sinA<1,0<cosA<1,tgA>0,ctgA>0.∠A 越大越大,,∠A 的正弦和正切值越大的正弦和正切值越大,,余弦和余切值反而越小余弦和余切值反而越小. .②余角公式:sin(900－A)=cosA,cos(900－A)=sinA,tg(900－A)=ctgA,ctg(900－A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600=,sin450=cos450=,sin600=cos300=,sin00=cos900=0,sin900=cos00=1,tg300=ctg600=,tg450=ctg450=1-,tg600=ctg300=,tg00=ctg900=0. ④斜坡的坡度i==.设坡角为α,则i=tg α=. 22.三角形:(1)(1)在一个三角形中在一个三角形中在一个三角形中::等边对等角等边对等角,,等角对等边等角对等边. . (2).(2).证明两个三再形全等的方法有证明两个三再形全等的方法有证明两个三再形全等的方法有:SAS,AAS,ASA,SSS,HL. :SAS,AAS,ASA,SSS,HL.(3)(3)在在Rt Δ中,斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半. .(4)(4)证明一个三角形是证明一个三角形是直角三角形的方法有的方法有: :①先证明有一个角等于①先证明有一个角等于90900.②先证明最长边的平方等于另两边的平方和②先证明最长边的平方等于另两边的平方和. .③先证明一条边的中线等于这条边的一半③先证明一条边的中线等于这条边的一半. .(5)三角形的中位线平行于笫三边平行于笫三边,,并且等于笫三边的一半并且等于笫三边的一半. .(6)等腰三角形中,顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合顶角的平分线与底边上的中线和高互相重合. .23.四边形:(1)n (1)n边形的内角和等于边形的内角和等于边形的内角和等于(n (n (n－－2)1800,外角和等于外角和等于3603600.(2)平行四边形的性质的性质::对边平行且相等对边平行且相等;;对角相等对角相等;;邻角互补邻角互补;;对角线互相平分对角线互相平分. .(3)(3)证明一个四边形是证明一个四边形是平行四边形的方法有的方法有::①先证两组对边平行①先证两组对边平行..②先证两组对边相等②先证两组对边相等. . ③先证一组对边平行且相等③先证一组对边平行且相等..④先证两条对角线互相平分④先证两条对角线互相平分..⑤先证两组对角分别相等⑤先证两组对角分别相等. .(4)矩形的对角线相等且互相平分的对角线相等且互相平分;;菱形的对角线互相垂直平分菱形的对角线互相垂直平分,,并且四条边相等并且四条边相等. .(5)(5)证明一个四边形是证明一个四边形是矩形的方法有的方法有::①先证明它有三个角是直角①先证明它有三个角是直角..②先证它是平行四边形,再证它有一个角是直角或对角线相等再证它有一个角是直角或对角线相等. .(6)(6)证明一个四边形是证明一个四边形是菱形的方法有的方法有::①先证明它的四条边相等①先证明它的四条边相等..②先证它是平行四边形②先证它是平行四边形,,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直. .(7)正方形既是矩形又是菱形既是矩形又是菱形,,它具有矩形和菱形的所有性质它具有矩形和菱形的所有性质. .(8)梯形的中位线平行于两底并且等于两底之和的一半平行于两底并且等于两底之和的一半. .(9)轴对称图形有:线段线段,,角,等腰三角形等腰三角形,,等腰梯形等腰梯形,,矩形矩形,,菱形菱形,,正方形正方形,,正多边形正多边形,,圆.中心对称图形有:线段线段,,平行四边形平行四边形,,矩形矩形,,菱形菱形,,正方形正方形,,边数是偶数的正多边形边数是偶数的正多边形,,圆.24.证明两个三角形相似的方法有的方法有: :①先证两组对应角相等①先证两组对应角相等. .②先证两边对应成比例并且夹角相等②先证两边对应成比例并且夹角相等. .③先证三边对应成比例③先证三边对应成比例. .④先证斜边和一条直角边对应成比例④先证斜边和一条直角边对应成比例..相似三角形的性质相似三角形的性质::对应高的比对应高的比,,对应角平分线的比,对应中线的比对应中线的比,,周长的比周长的比,,都等于相似比都等于相似比..面积的比等于相似比的平方面积的比等于相似比的平方. .25.平行切割定理:①如图①如图1,DE 1,DE 1,DE∥∥BC =.②如图②如图2,2,2,若若AB AB∥∥CD CD∥∥EF EF则则=,=. 26.射影定理:如图如图3,3,ΔABC ABC中中,若∠若∠ACB=90ACB=900,CD CD⊥⊥AB,AB,则则:①AC 2=AD ·AB.AB.②②BC 2=BD ·BA.BA.③③AD 2=DA ·DB.27.圆的有关性质:(1)垂径定理:如果一条直线具备以下五个性质中的如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质任意两个性质::①经过圆心①经过圆心;;②垂直弦②垂直弦;;③平分弦③平分弦;;④平分弦所对的劣弧④平分弦所对的劣弧; ;⑤平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的优弧,,那么这条直线就具有另外三个性质那么这条直线就具有另外三个性质..注:具备①具备①,,③时③时,,弦不能是直径.(2)(2)两条两条平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等. .(3)(3)在同圆或等圆中在同圆或等圆中在同圆或等圆中,,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它所对应的其余三组量都分别相等那么它所对应的其余三组量都分别相等. .(4)圆心角的度数等于它所对的弧的度数的度数等于它所对的弧的度数. .(5)(5)一条弧所对的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半等于它所对的圆心角的一半. .(6)(6)圆周角等于它所对的弧的度数的一半圆周角等于它所对的弧的度数的一半圆周角等于它所对的弧的度数的一半. .(7)弦切角等于它所夹的弧的度数的一半等于它所夹的弧的度数的一半. .(8)(8)同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等. .(9)(9)在同圆或等圆中在同圆或等圆中在同圆或等圆中,,相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. .(10).900的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径. .(11)圆内接四边形的对角互补的对角互补,,外角等于它的内对角外角等于它的内对角. .28.直线和圆的位置关系:(1)(1)若⊙若⊙若⊙O O 的半径为的半径为r,r,r,圆心到直线圆心到直线圆心到直线L L 的距离为的距离为d,d,d,则则:①d<r 直线直线L L 和⊙和⊙O O 相交相交..②d=r 直线直线L L 和⊙和⊙O O 相切相切..③d>r直线直线L L 和⊙和⊙O O 相离相离. . (2)(2)切线的判定定理切线的判定定理切线的判定定理::经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线..反之反之::切线垂直过切点的半径直过切点的半径. .(3)(3)切线长定理切线长定理切线长定理,,弦切角定理弦切角定理,,相交弦定理及其推论相交弦定理及其推论,,切割线定理及其推论切割线定理及其推论. . (4)(4)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点三角形的内心就是三内角平分线的交点..三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点三角形的外心就是三边中垂线的交点. .(5)Rt Δ的内切圆的半径的内切圆的半径R R 内=,任意多边形的内切圆的半径任意多边形的内切圆的半径R R 内=. (6)(6)圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和圆外切四边形的一组对边的和等于另一组对边的和. . 29.圆和圆的位置关系:(1)(1)设两圆半径为设两圆半径为设两圆半径为R R 和r,r,圆心距为圆心距为圆心距为d,d,d,则则:①d>R+r两圆外离两圆外离. . ②d=R+r 两圆外切两圆外切..③R －r<d<R+r(R ≥r)两圆相交两圆相交..④d=R d=R－－r 两圆内切两圆内切. . ⑤d<R d<R－－r 两圆内含两圆内含. . 30.圆中常作的辅助线:(1)(1)两圆相交两圆相交两圆相交,,常作公共弦常作公共弦,,连心线连心线. .(2)(2)两圆相切两圆相切两圆相切,,常作公切线常作公切线,,连心线连心线. .(3)(3)已知切线已知切线已知切线,,常过切点作半径常过切点作半径. .(4)(4)已知直径已知直径已知直径,,常作直径所对的圆周角常作直径所对的圆周角. .(5)(5)求解有关弦的问题求解有关弦的问题求解有关弦的问题,,作弦心距作弦心距.(6).(6).(6)弧的中点常和圆心连结弧的中点常和圆心连结弧的中点常和圆心连结. .31.各顶点等分圆周正n 边形各边相等各边相等,,各角相等各角相等,,且每个内角且每个内角==度,中心角=外角外角==度. 32.面积公式:①S 正Δ=×(边长边长))2.②S 平行四边形=底×高底×高..③S 菱形=底×高底×高==×(对角线的积对角线的积) )④S 圆=πR 2.⑤C 圆周长=2πR.R.⑥弧长⑥弧长⑥弧长L=L=.⑦S 扇形==LR.LR.⑧⑧S 圆柱侧=底面周长×高×高. .⑨S 圆锥侧=×底面周长×母线×底面周长×母线==πrR,rR,并且并且并且22πr=(如上图如上图). ).。
