定积分的计算方法图文.ppt

2contsdt 2consxdx
0
0
练一练 求下列定积分
(1) 1e2x5dx 0
(3) e1lnxdx 1x
1 x3
(2) 01x4 dx
1
(4)
1
dx
0 x(1x)
练一练（解答）
(1) 1e2x5dx 0
1 2
e1 2x5
0
d(2x5)1e2x5 2

1

2 (1 cos 2t)dt
0
20

1 (t 2
1 sin 2t) 2

2 0


4
说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”


例4
证明 2sinnxdx2conxsdx
0
0
证 1） n=0时，显然成立
2 ） n0时 令 x， t,d xdt
2
则 02sinnxdx2 0sinn(2t)dt
定积分的计算
N-L公式(微积分基本定理)
设f(x)a b 在f[a(,x b) ]d 上连 x 续F ,且(x F) (xb a )是 f(F x)( 的b ) 一 个F 原(a 函) 数,则
a
(1)a f (x)dx 0
b
a
a f (x)dx b f (x)dx
b
b
说明:此公式不仅(2揭)a示kf了(x)微dx分k与a f积(x分)dx的联系,同时指出
了求定积分的方法(3:)(a1b[)f求(x)f(xg)(的x)]原dx函 a数b f ;((x2)d)x求 原ab g函(x)数dx值
差.
b
c

《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

要点二
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间[a, b]分成n个等间隔的小 区间，每个小区间的长度为$Delta x = frac{b-a}{n}$。然 后在每个小区间上取一个矩形，高为函数f(x)在区间[a, b] 上的最大值和最小值之差，即$f(x_i) - f(x_{i-1})$，其中 $x_i$和$x_{i-1}$分别为第i个和第i-1个小区间的右端点和 左端点。将这些矩形的面积加起来，就得到了定积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值。
微积分基本定理的证明
总结词
详细描述
03
定积分的计算方法
CHAPTER
直接法
总结词 公式
详细描述 例子
换元法
总结词
详细描述
公式
换元法是通过替换变量 来简化定积分计算的方 法。
换元法适用于被积函数 和积分区间都比较复杂 的情况。通过替换变量， 可以将复杂的问题简化， 从而更容易地计算定积 分。在替换变量时需要 注意变量的范围和原函 数的对应关系。
梯形法
总结词
详细描述
辛普森法 则
总结词
辛普森法则是另一种定积分近似计算方法，通过将积 分区间划分为若干个小的子区间，然后在每个子区间 上取一个点，并求和得到定积分的近似值。
详细描述
辛普森法则是基于梯形法的改进，它将积分区间[a, b] 分成n个等间隔的小区间，每个小区间的长度为 $Delta x = frac{b-a}{n}$。然后在每个小区间上取一 个点$c_i$，高为函数f(x)在点$c_i$的值。将这些小梯 形的面积加起来，就得到了定积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$的近似值。辛普森法则是数值积 分中常用的方法之一，具有较高的计算精度和稳定性。

03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。

可积的充分条件：
定理2. 函数 f (x) 在 [a,b]上连续 f (x)在 [a,b]上可积 .
定理3. 函数 f (x) 在[a,b]上有界 , 且只有有限个间断点
f (x) 在 [a,b]上可积 .
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n

等分,
分点为
xi

i n
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t) d t .
a
a
a
b
a
(3) a f (x) d x b f (x) d x
可积的必要条件:
定理1. 函数f (x)在区间[a,b]上可积 f (x)在[a,b]上有界.
31
b
n
a
f (x) d x lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x
lim ||x||0
i1
f (i )xi .
b —定积分号； a —积分下限； b —积分上限； a
n
i [xi1, xi ], 作和Sn f (i )xi
n
i 1
若 lim ||x|| 0 i1
f (i )xi
存在,
且该极限值与对区间 [a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 b f (x) d x , 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定积分： a

(梯形公式)
为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
三、定积分的性质
(设所列定积分都存在)
( k 为常数)
证:
= 右端
证: 当
时,
因
在
上可积 ,
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,
于是
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤:
1) 大化小.
第五章
积分学
不定积分
定积分
定积分
第一节
一、定积分问题举例
二、 定积分的定义
三、 定积分的性质
定积分的概念及性质
第五章
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成 ,
求其面积 A .
矩形面积
梯形面积
解决步骤 :
1) 大化小.
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
积分中值定理对
因
例4.
计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均
速度.
解: 已知自由落体速度为
故所求平均速度

02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程