高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式

数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式① ⑤ ② ③ ④ ⑥ 数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式知识、方法、技能Ⅰ．组合恒等式竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如0)1(2321021011111=-++-+-=++++?==+==----+++-nn n n n n n nn n n n n mr mn m n m n r n r n rn r n r nr n rn nr nC C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C组合恒等式的证明方法有：①恒等变形，变换求和指标；②建立递推关系；③数学归纳法；④考虑组合意义；⑤母函数. Ⅱ．组合不等式组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证：（1）∑=≤mi A nI C（2）∑=≥m i A n m C I 12||其中|A i |表示A i 所含元素的个数，||I A n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：.21bb a k -≥ 因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射，（1）若f 为单射，则|X|≤|Y|；（2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合k i i i A A A ,,,21 ，则在∑=ni iA 1||中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合k i i i A A A ,,,21 两两的交集共有2k C 个.由于||,12)1(12j nj i i k A A a k k k C ∑≤≤≤-≥-=在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：1jnj i ii ni i ni AA A A ∑∑≤≤≤==-≥组合不等式（*）可由容斥公式：||)1(||||||1)1(111i ni n jnj i ii ni i ni A AA A A =-≤≤≤==-++-=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有和式得到.采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.3．利用抽屉原则由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.4．利用组合分析在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.赛题精讲例1 证明：∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2【分析】把∑∑∑∑+=+===-nn k kn n n k knnk k nnk k nC C CC21221220202,而对于变形为，变换求和指标.【证明】k n j C CCC Cnn k kn nn k k nnnn k k nnk k nnk k n-=-=-=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2 212212221220202令对于和式，则.20202212212nn nk k n nj n nj n n j j n nn k k nC C C C C C-=-==∑∑∑∑==-=+= 所以.2202202nn nk k n nnk k nC C C+-=∑∑== 即 nn n nk kn C C220222+=∑=，从而有∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2.例2 求证：.,)1(111)1(312111210N n C n m C n m C m C m C m n nm nn nnn n ∈++=++-+-+++-++其中证明设n n n n n n n C n m C m C m C m a 11)1(312111210++-+-+++-+=，则由基本恒等式r n r n r n r n r n C nr C C C C =+=----1111及得.1)1()()1()(31)(211111122111112101110------------++-+++-+-+++++-+=n n n n n n n n n n n n n n C n m C C n m C C m C C m C m a .)1(1)1)(2())(1(!,)1)(2(12111,)3())(1(!))(1()1(1.1,1112111nn m n n n n n n n n n n C n m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m n a a a n m a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-=从而有而所以即故【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，且是递推关系. 例3 求证：∑=+--+=?-nk kk n k n kn C 01222.12)1(【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.【证明】令∑=+--??-=nk kk n k n kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k kn kk n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=?-=?--=?-+?-=+?-+=?-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r r r n n r r n r k kn nk kn kk k n nk k n k nk kkn kn kk k n nk k k n k n k nnk kk n k n k nn a C C Ck r C C C C C a 则令所以令∑=---+==?-nk n n n n kk n k n ka ab b C 01222,2)1(则① .42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=?--=-++?-+=-+?-+=∑∑∑n n n j j jn j n j n n k k n n k k k n k n k nn k n k k n k n k nn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.。

高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-； （2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=； （4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧 例5.求下列三角函数的值 （1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式： （1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（ ） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。

数学中的三角恒等式与三角不等式三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系，而三角不等式则是指在三角函数中成立的不等式关系。

这两个概念在数学中具有重要的意义，不仅在解题过程中有着广泛的应用，而且在理论推导和证明中也起到了关键的作用。

本文将从三角恒等式和三角不等式的定义、性质以及应用等方面进行论述。

一、三角恒等式1. 定义三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。

常见的三角恒等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的恒等式。

例如，正弦函数的恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1是最为著名的三角恒等式之一。

2. 性质三角恒等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角恒等式都成立；（2）三角恒等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（3）三角恒等式可以用来简化复杂的三角函数表达式；（4）三角恒等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。

3. 应用三角恒等式在数学中有着广泛的应用，特别是在解三角方程、求极限、求导数等方面。

通过运用三角恒等式，可以简化问题的解题过程，提高解题的效率。

此外，三角恒等式在物理学、工程学等实际应用中也有着重要的作用。

二、三角不等式1. 定义三角不等式是指在三角函数中成立的不等式关系。

常见的三角不等式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的不等式。

例如，正弦函数的不等式sinθ < 1是最为常见的三角不等式之一。

2. 性质三角不等式具有以下几个重要的性质：（1）对于任意实数θ，三角不等式都成立；（2）三角不等式可以用来判断三角函数的取值范围；（3）三角不等式在数学推导和证明中起到了重要的作用；（4）三角不等式的证明可以通过几何方法、代数方法以及三角函数的性质等多种途径。

3. 应用三角不等式在数学中也有着广泛的应用。

它可以用来证明三角函数的性质，判断三角函数的增减性，以及解决与三角函数相关的不等式问题。

此外，三角不等式在几何学、物理学等领域中也有着重要的应用。

奥林匹克数学题型代数恒等式与不等式奥林匹克数学题型：代数恒等式与不等式代数恒等式和不等式是奥林匹克数学竞赛中常见的题型之一。

通过研究恒等式和不等式的性质和性质，可以深入理解数学的基本概念和方法。

在本文中，我们将探讨奥林匹克数学竞赛中常见的代数恒等式和不等式题型及解题方法。

1. 线性恒等式和不等式线性恒等式和不等式是最简单和最基本的代数恒等式和不等式。

形式上，线性恒等式可用以下表示：ax + b = cx + d其中，a、b、c、d为实数，并且a和c不同时为0。

要求找到x的值使得等式成立。

解决线性恒等式时，可以通过合并同类项、移项、整理得到最终的结果。

例如：2x + 3 = 4x + 5将所有含x的项放到一边，常数项放到另一边，经过整理得到：2x - 4x = 5 - 3-2x = 2x = -1类似地，线性不等式的解题方法与线性恒等式类似。

不同之处在于，当乘以或除以负数时，需要改变不等号的方向。

2. 平方恒等式和不等式平方恒等式和不等式以平方项为主要特征。

形式上，平方恒等式可用以下表示：(ax + b)² = (cx + d)²其中，a、b、c、d为实数，并且a和c不同时为0。

解决平方恒等式的关键是找到可能的解，并对解进行验证。

举例来说：(x + 1)² = 9通过开方可得：x + 1 = ±3当x + 1 = 3时，x = 2当x + 1 = -3时，x = -4平方不等式与平方恒等式类似，不同之处在于需要考虑到平方的非负性质。

3. 分式恒等式和不等式分式恒等式和不等式以分式项为主要特征。

形式上，分式恒等式可用以下表示：(a/x + b/y) = (c/x + d/y)其中，x和y不等于0。

解决分式恒等式的关键是找到可能的解，并对解进行验证。

例如：(3/x + 1/y) = (2/x + 4/y)通过合并同类项，得到：(1/x + 3/y) = 0同样地，分式不等式的解题方法与分式恒等式类似。

竞赛讲座33－三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具.1．角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga 随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在△ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）（A）锐角（B）钝角（C）直角分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当A=90°时，sinA和cosA=1；当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，∴sinA+cosA＞当A=45°时，sinA+cosA=当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞∴sinA+cosA＞∵1, 都大于.∴淘汰（A）、（C），选（B）.例2（1982年某某初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）（A）-1 （B）2-（C）-1（D）（E）分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt△，再用余切定义求之.解如图36-1，作等腰Rt△ABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，ctg67°30′=ctg∠DCB=∴选(A).例3(1990年某某市初中数学竞赛题)如图,在△ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆⊙O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:R≤a·x+a=y+b, ①且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,x-a=y-b. ②①+②得,x=y.从而知a=b.∴GE=BC=a.设⊙O′半径为r.显然R+r≤OO′ (当AB=AC)时取等号.作O′M⊥EO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=∴R+r≤两式相加即得R≤.例4（1985年某某等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：x2+2xsinA1+sinA2=0 ①x2+2xsinA2+sinA3=0 ②x2+2xsinA3+sinA1=0 ③都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.解∵各内角只能是、、、，∴正弦值只能取当sinA1=时，∵sinA2≥sinA3≥∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）≤440方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，∴方程①的判别式△1=4（sin2A1-sinA2）=0.方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.综上所述，可知sinA1=1，A1=.同理，A2=A3=.这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于又n为自然数，∴n=1,凸n边形为6边形,且A4+A5+A6=4×2.解三角形和三角法定理推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.（1）解三角形例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,△CDE和△ABE的面积之比是( ).(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.∴应选(C).例6 (1982年某某初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt△斜边AB=c,∠A=α,求内接正方形的边长.解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得又∵△ABC∽△GFC，∴，即（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难.例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在△ABC中，BE、CF是高，∠A=，则△AFE和四边形FBCE的面积之比是（）（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.在Rt△ABE中，∠ABE=，∴S△AFE∶S FBCE=1∶1.应选(C).例8 (1981年某某中学生数学竞赛题)在△ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB) ①∵∠C是钝角,∴∠A+∠B＜,∴ctgB＞ctg(-A)=tgA.②由①、②和代数基本不等式，得例9 （第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，∴sinθ=1,sin =1,且x-8=0.故θ==此处无图例10 (1964年某某中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:a n+b n＜.分析如图34-8,注意到Rt△ABC的边角关系:a=c sinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sin nα+cos nα＜1来讨论.证明设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则。

高中数学竞赛讲座99三角恒等式与三角不等式三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。

证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。

当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2t a n x t 的代数恒等式的证明问题..为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用.例题讲解1．已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -=+>+=βββαβαα求证2．证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++3．求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++ 4．已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证5．证 明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+-6．求证：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯ 7．证明：对任一自然数n 及任意实数m n k m x k ,,,2,1,0(2 =≠π为任一整数），有8．证明：.2sin 21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 9．若πθ<<0，求证：03sin 312sin 21sin >++θθθ 10．已知πθ<<0，证明：22sin 2θθctg ≤，并讨论等号成立的条件。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

全国高中数学联赛培训讲座第一讲 三角函数 一、 考题回顾1．（92年）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别记为a ,b ,c (b ≠1)，且A B A C sin sin ,都是方程x blog=log b (4x -4)的根，则△ABC ( )(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2．（92年）在区间[0,π]中，三角方程cos7x =cos5x 的解的个数是______. 3．（93年）若M ={(x ,y )| |tg πy |+sin 2πx =0}，N ={(x ,y )|x 2+y 2≤2}，则M N 的元素个数是（ ）(A)4 (B )5 (C )8 (D )9 4．（93年）若直线x =4π被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0 所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( )(A) 4π (B ) 3π (C )2π (D )π5．（93年）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则2cos 2sin A C A C ++-的值是( )(A)1 (B )21 (C )31 (D )-16．（94年）设a,b,c 是实数,那么对任何实数x, 不等式a x b x c sin cos .++>0都成立的充要条件是 (A)a,b 同时为0,且c >0 (B)a b c 22+=(C)a b c 22+< (D)a b c 22+>7．（94年）已知0104<<<<b a ,π,则下列三数:x a b a =(sin )log sin ,y a b a =(cos )log cos , z a b a =(sin )log cos 的大小关系是(A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z8．（94年）已知x y a R ,[,],∈-∈ππ44且x x a y y y a 332040+-=++=⎧⎨⎩sin sin cos 则cos()x y +2=_____.9．（94年）设0<<θπ,则sin (cos )θθ21+的最大值是______.10．（95年）1tg log ,1sin log ,1tg log ,1cos log 1cos 1cos 1sin 1sin 的大小关系是( ) (A)1tg log 1log 1sin log 1cos log 1cos 1sin 1cos 1sin <<<tg (B)1tg log 1cos log 1log 1sin log 1sin 1sin 1cos 1cos <<<tg (C)1cos log 1sin log 1tg log 1tg log 1sin 1cos 1cos 1sin <<< (D)1sin log 1cos log 1tg log 1tg log 1cos 1sin 1sin 1cos <<<11．（96年）设x ∈-(,)120,以下三个数απ1=cos(sin )x ,απ2=sin(cos )x ,απ31=+cos()x 的大小关系是( )(A)ααα321<< (B)ααα132<< (C)ααα312<< (D)ααα231<< 12．（97年）设x x x f π-=2)(,α =arcsin 31,)45(arcctg ),31arccos(,45arctg -=-==δγβ,则(A ))()()()(γδβαf f f f >>> (B ))()()()(γβδαf f f f >>> (C ))()()()(γβαδf f f f >>> (D ))()()()(βγαδf f f f >>> 13．（97年）设x ≥y ≥z ≥12π，且x +y +z =2π，求乘积cos x sin y cos z 的最大值和最小值．14．（99年）在△ ABC 中，记 BC = a ，CA = b ，AB = c ，若9 a 2 +9 b 2-19 c 2=0，则ctgBctgA ctgC+ =__________.15．（99年）已知当 x ∈[0,1]时，不等式x 2co sθ-x(1-x)+(1-x)2s inθ>0，恒成立，试求θ的取值范围。

比赛讲座 11――三角运算及三角不等关系三角运算的基本含义是应用同角公式、引诱公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各样有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。

因为三角公式好多，而且存在着联系，所以必定要注意选择公式的目的性与简单性。

三角运算一．三角运算的惯例思虑三角运算主权波及 3 个主要变形：角、函数名称、运算方式。

此中的难点与重点在角。

大批的三角运算技巧都与角的办理有关。

碰到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这 3 个主要方面去找寻下手地方与行进方向是解题的有效思虑。

特别地，关于证明题，从找条件与结论的差别下手，并向着除去差别的方向行进，常能成功。

例 1．已知,都是钝角，且12， cos()3sin，求 sin 135例 2．设,为锐角，且sin 2sin 2sin() ，求证：。

2二．三角变换与方程数学公式（或条件等式）自己就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。

例 3．已知sin sin b（a2b24），求sin() ， cos() 。

cos cos a三．三角变换与结构法经过结构对偶式、结构方程、结构函数、结构图形等门路来求解三角问题例 5．求cos 2cos4的值。

55例 6．求值：cos210cos2 50 sin 40 sin 80例 7．已知：A1 cos1A2 cos2A n cos n0A1 cos(11)A2cos(21)A n cos(n1)0求证：对随意R ，恒有 A1 cos(1)A2cos(2)A n cos(n)0 。

例 8 求知足等式15 12 cosx7 4 3 sin x 4 的锐角x。

四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其余代数、几何问题。

例 9．已知a b 0 ，求证：2abab a b a 2b2。

a b22例 10．在△ABC 中，P 为形内一点，PD、 PE、 PF为 P到三边BC、CA、AB 的距离，求证：PA PB PC2( PD PE PF )例 11．求函数y x 415 3x 的值域。