三角恒等式-高中数学知识点讲解

高中数学中的三角函数恒等式知识点总结在高中数学中，学习三角函数是一个重要的环节。

而三角函数的恒等式更是其中的难点之一。

恒等式是指对于某个特定的三角函数，无论值为何，该等式始终成立。

下面将对高中数学中的三角函数恒等式的知识点进行总结。

一、基本恒等式1. 余弦函数恒等式：- 余弦函数的倒数等于正弦函数：sec(x) = 1/cos(x)- 余弦函数的平方等于正弦函数的补数：1 - sin²(x) = cos²(x)- 余弦函数的平方等于正弦函数的余补数：sin²(x) + cos²(x) = 12. 正弦函数恒等式：- 正弦函数的倒数等于余弦函数：csc(x) = 1/sin(x)- 正弦函数的平方等于余弦函数的补数：1 - cos²(x) = sin²(x)- 正弦函数的平方等于余弦函数的余补数：sin²(x) + cos²(x) = 13. 正切函数恒等式：- 正切函数的倒数等于余切函数：cot(x) = 1/tan(x)- 正切函数的平方等于正割函数的平方减1：sec²(x) - 1 = tan²(x) - 正切函数的平方等于余割函数的平方减1：cot²(x) + 1 = csc²(x)二、和差恒等式1. 正弦函数的和差恒等式：- 两个角的正弦函数和等于这两个角的正弦函数乘积的和：sin(x ±y) = sin(x)·cos(y) ± cos(x)·sin(y)2. 余弦函数的和差恒等式：- 两个角的余弦函数和等于这两个角的余弦函数乘积的差：cos(x ±y) = cos(x)·cos(y) ∓ sin(x)·sin(y)3. 正切函数的和差恒等式：- 两个角的正切函数和等于这两个角的正切函数之和除以它们的差：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)·tan(y))三、倍角恒等式1. 正弦函数的倍角恒等式：- 正弦函数的倍角等于两倍角的正弦函数乘以余弦函数的平方减一：sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)2. 余弦函数的倍角恒等式：- 余弦函数的倍角等于两倍角的余弦函数的平方减一：cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 2·cos²(x) - 1 = 1 - 2·sin²(x)3. 正切函数的倍角恒等式：- 正切函数的倍角等于两倍角的正切函数的平方减一除以两倍角的正切函数的平方加一：tan(2x) = (2·tan(x)) / (1 - tan²(x))四、半角恒等式1. 正弦函数的半角恒等式：- 正弦函数的半角等于根号下一加正弦函数的二分之一：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/2]2. 余弦函数的半角恒等式：- 余弦函数的半角等于根号下一加余弦函数的二分之一：cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x))/2]3. 正切函数的半角恒等式：- 正切函数的半角等于正根号下一减余弦函数的二分之一除以正根号下一加余弦函数的二分之一：tan(x/2) = ±√[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))]通过对以上恒等式的学习和掌握，可以更好地理解和应用三角函数在高中数学中的相关问题，也为未来学习更高层次的数学知识打下坚实的基础。

2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展 二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。

5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0， 即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值， 此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。

高中数学三角函数恒等式解析在高中数学中，三角函数恒等式是一个非常重要的知识点。

恒等式的意义在于，它们在任何情况下都成立，无论角度大小或者取值范围如何变化。

掌握三角函数恒等式的解析方法，可以帮助我们更好地理解和应用三角函数的性质，解决与三角函数相关的各类问题。

一、基本恒等式基本恒等式是指最基本、最常用的三角函数恒等式。

我们先来看一些常见的基本恒等式：1. 正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等式表明，在任何角度θ下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。

这个恒等式是三角函数的基础，也是许多其他恒等式的基础。

2. 余弦函数的基本恒等式：1 + tan²θ = sec²θ这个恒等式表明，在任何角度θ下，1加上正切函数的平方等于正割函数的平方。

这个恒等式可以通过将正弦函数和余弦函数相除得到。

3. 正切函数的基本恒等式：1 + cot²θ = csc²θ这个恒等式表明，在任何角度θ下，1加上余切函数的平方等于余割函数的平方。

这个恒等式可以通过将正弦函数和余弦函数相除得到。

以上是正弦函数、余弦函数和正切函数的基本恒等式。

掌握了这些基本恒等式，我们就可以在解题过程中灵活运用，简化计算步骤，提高解题效率。

二、恒等式的应用除了基本恒等式外，还有一些常见的恒等式在解题过程中也非常有用。

下面我们来看一些例子。

例1：求证cotθ + tanθ = cscθsecθ解析：我们可以通过将cotθ和tanθ分别表示为余切函数和正切函数的倒数，然后运用基本恒等式进行变形。

cotθ + tanθ = 1/tanθ + tanθ = (1 + tan²θ)/tanθ利用基本恒等式1 + tan²θ = sec²θ，我们可以将上式变形为：(1 + tan²θ)/tanθ = sec²θ/tanθ = (1/cos²θ)/(sinθ/cosθ) = 1/(sinθ/cosθ) = 1/(1/sinθ) =sinθ由于cscθ = 1/sinθ，secθ = 1/cosθ，我们可以得到：cotθ + tanθ = cscθsecθ这样，我们就证明了cotθ + tanθ = cscθsecθ的恒等式成立。

高中数学三角恒等式知识点归纳三角恒等式是高中数学中的重要知识点，它们在三角函数的运算和证明中起到关键的作用。

下面是一些常见的三角恒等式知识点的归纳：1. 基本恒等式- 正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1：$\sin^2x +\cos^2x = 1$- 正切函数是正弦函数与余弦函数的比值：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$- 余切函数是余弦函数与正弦函数的比值：$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$- 正割函数是1除以余弦函数：$\sec x = \frac{1}{\cos x}$- 余割函数是1除以正弦函数：$\csc x = \frac{1}{\sin x}$2. 倍角与半角公式- 正弦函数的倍角公式：$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$- 余弦函数的倍角公式：$\cos 2x = \cos^2x - \sin^2x$- 正切函数的倍角公式：$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2x}$- 正弦函数的半角公式：$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cosx}{2}$- 余弦函数的半角公式：$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cosx}{2}$- 正切函数的半角公式：$\tan\frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$3. 和差与积化和差公式- 正弦函数的和差公式：$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$- 余弦函数的和差公式：$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$- 正切函数的和差公式：$\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$- 正弦函数的积化和差公式：$\sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x - y) - \cos(x + y)]$- 余弦函数的积化和差公式：$\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x - y) + \cos(x + y)]$- 正切函数的积化和差公式：$\tan x \tan y = \frac{1 - \cos(x + y)}{1 + \cos(x + y)}$4. 诱导公式- 正弦函数的诱导公式：$\sin(\pi \pm x) = \mp \sin x$- 余弦函数的诱导公式：$\cos(\pi \pm x) = -\cos x$- 正切函数的诱导公式：$\tan(\pi \pm x) = \mp \tan x$这是一些常见的高中数学中三角恒等式的知识点归纳。

高中数学中的三角恒等式三角恒等式是高中数学中重要的概念之一,它在解决各种与三角函数相关的问题时起到了至关重要的作用。

本文将介绍一些常见的三角恒等式，并探讨它们在解题中的应用。

一、正弦和余弦的恒等式在解决与正弦和余弦相关的问题时，我们常常需要使用以下恒等式：1. 正弦的平方加上余弦的平方等于1：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等式被称为三角恒等式的基本恒等式之一，它表明在单位圆上，任意一点的正弦值的平方加上余弦值的平方等于1。

2. 余弦的商等于正弦的倒数：cosθ = 1/sinθ这个恒等式可以广泛应用于解决与正弦和余弦相关的比例问题。

3. 两角和差的正弦和余弦：sin(α ± β) = sinα * cosβ ± cosα * sinβcos(α ± β) = cosα * cosβ ∓ sinα * sinβ这些恒等式可以用于求解两个角度相加或相减的正弦和余弦。

二、正切和余切的恒等式正切和余切是另外两个与三角函数相关的重要概念，在解题中经常会用到以下恒等式：1. 正切的平方加1等于秒的平方：tan²θ + 1 = sec²θ这个恒等式可以帮助我们在求解与正切和秒相关的问题时转换不同的形式。

2. 秒的平方减1等于正切的平方：sec²θ - 1 = tan²θ同样，这个恒等式也可以帮助我们在解题中进行转换和简化。

3. 余切的平方加1等于牵的平方：cot²θ + 1 = csc²θ这个恒等式在求解与余切和牵相关的问题时非常有用。

三、其他常见的三角恒等式除了上述介绍的恒等式外，还有其他一些常见的恒等式，如：1. 正弦的双倍角公式：sin2θ = 2sinθ * cosθ这个恒等式用于求解正弦的两倍角。

2. 余弦的双倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ这个恒等式可以用于求解余弦的两倍角。

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。

本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。

一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。

高中数学三角函数恒等变形公式高中数学中，三角函数是一个重要的概念和工具，通过恒等变形公式，可以将三角函数的式子进行等价的变换，使得计算更加简化。

本文将介绍一些常用的三角函数恒等变形公式。

首先，我们来介绍几个基本的三角函数公式：1.正余弦函数的平方和恒等式：$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$这个公式是最常见的三角函数公式之一，它表示：对于任意一个角度$x$，它的正弦值的平方和余弦值的平方等于12.余弦函数的和差公式：$$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的余弦值与各个角度的余弦值和正弦值的乘积之间的关系。

3.正弦函数的和差公式：$$\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$$这个公式可以表示两个角度的和或差的正弦值与各个角度的正弦值和余弦值的乘积之间的关系。

4.正弦函数的二倍角公式：$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$这个公式表示角度$2x$的正弦值等于角度$x$的正弦值和余弦值的乘积的两倍。

5.余弦函数的二倍角公式：$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$这个公式表示角度$2x$的余弦值等于角度$x$的余弦值的平方减去正弦值的平方。

以上是一些基础的三角函数公式，下面我们来介绍一些与这些公式相关的恒等变形。

首先是与正弦函数和余弦函数相关的变形公式：1.正弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\sin x} = \csc x$$这个公式表示正弦函数的倒数可以用余割函数来表示。

2.余弦函数的倒数公式：$$\frac{1}{\cos x} = \sec x$$这个公式表示余弦函数的倒数可以用正割函数来表示。

3.余弦函数的平方公式：$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$这个公式表示余弦函数的平方可以用正弦函数的平方的补给来表示。

必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。

2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。