第7章 刚体的简单运动概要

第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。

一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。

因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。

§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。

例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。

这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。

刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。

刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。

现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。

刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。

该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。

为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)且二者之间有下列关系AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。

这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。

如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。

将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。

综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。

因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。

所以，刚体的运动可归结为点的运动。

§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。

这些刚体的运动具有一个共同的特点：当刚体运动时，刚体内有一直线始终固定不动，而这条直线以外的各点则绕此直线作圆周运动，刚体的这种运动叫做绕定轴转动，简称转动。

保持不动的那条直线叫做转动轴。

一、转动方程一刚体绕固定轴z 转动。

为了确定刚体在转动过程中的位置，可先通过转轴z 作一固定平面I ，再通过转轴及刚体内任一点A 作一随刚体转动的平面Ⅱ。

这样，任一瞬时刚体的位置，可以用动平面Ⅱ与固定平面Ⅰ的夹角φ来确定。

φ角称为转角。

当刚体转动时，φ随时间不断变化，是时间t 的连续函数，即f(t)=ϕ上式称为刚体绕定轴转动的转动方程。

它表示了刚体的转动规律，用一个参变量φ就可以决定刚体的位置。

转角φ是代数量。

我们规定：从转轴z 的正端向负端看，逆时针转动为正，顺时针转动为负。

转角φ的单位是弧度(rad )。

二、角速度为了度量刚体转动的快慢和方向，引出角速度的概念。

转角φ对时间t 的一阶导数，叫做角速度，用ω表示。

则dtd ϕω= 角速度是代数量。

如果导数在某瞬时的值为正，表示ω的转向与转角φ正向一致，是逆时针转动；反之，如果在某瞬时的值为负，表示ω的转向与转角φ负向一致，是顺时针转动。

因此，角速度的正负号，决定了刚体的转动方向。

角速度的国际单位是弧度/秒(rad/s )。

工程上常用转速n (转/分)，来表示转动的快慢。

转速n 与角速度ω的换算关系为 30πωn =三、角加速度角速度对时间的一阶导数，称为角加速度，用α表示。

22dt d dt d ϕωα== 角加速度也是代数量。

如果导数d ω/dt 在某瞬时的值为正，表示α的转向与φ的正向一致，是逆时针方向；反之，如果导数d ω/dt 在某瞬时的值为负，表示α的转向与φ的负向一致，是顺时针方向。

当ω、α同号时，表示刚体作加速转动；ω、α异号时，表示刚体作减速转动。

角加速度的国际单位是弧度/秒2(rad/s 2)。

根据刚体的运动方程，很容易求得在任何瞬时的角速度和角加速度。

反之，如果知道刚体的角速度或角加速度，欲求刚体的转动方程，则应用积分计算。

积分中出现的积分常数，则由刚体的初始位置φO 和初角速度ωO 决定。

如果刚体的角速度不变，即ω=常量，这样的转动称为匀速转动。

则φ=φO+ωt式中φO是刚体在t=0时的转角。

如果刚体的角加速度不变，即α=常量，这样的转动称为匀变速转动。

则ω=ωO+αtφ=φO+ωO t+1/2αt2ω2=ωO2+2α(φ-φO)式中ωO是刚体在t=0时的角速度，φO为初始转角。

例1卷扬机的鼓轮绕固定轴O逆时针转动。

起动时转动方程为φ=t3(rad)，其中t以秒计。

试计算t=2s时鼓轮转过的圈数、角速度和角加速度。

解由于鼓轮的转动方程已知，可直接按公式求解。

将t=2s代入转动方程即得转角φ=23=8(rad)于是便可求得转过的圈数N=8/2π=1.27圈角速度和角加速度为ω= dφ/d t = 12 rad/sα= dω/d t = 12 rad/s2例2 已知飞轮的转速n=90r/min，当马达关掉后它作匀减速运动，经过t1=40s 后停止。

求这段时间内飞轮转过的圈数。

解由于飞轮作匀减速转动，故φ=ωO t+1/2αt2ω=ωO+αt式中ω为马达关掉以前飞轮的初角速度，即OωO=πn/30在时刻t=t1,飞轮停止转动，即ω1=0将这些数值代入式(b)得0=πn/30+αt1所以α=-πn/(30t1)令N表示在时间t1内飞轮转过的圈数，则在这段时间内飞轮转过的角度为φ1=2πN将α与φ1值代入2πN=πn/30t1-πn/60t1=πn/60t1因此N = nt1/120 = 30转例3 一半径r =0.2m的圆轮绕定轴O作逆时针转动，轮子的转动方程为 = –t2+4t,轮上绕一绳索，绳的下端吊一重物A，求t =1s时，轮缘上任一点M 和重物A的速度和加速度。

（13分）解： s r a d t dtd /242=+-==ϕω 2/2s rad dtd -==ωε s m r v /4.0==ω2/4.0s m r a a t A -===ε22/8.0s m r a n ==ω例4 摇杆机构如图，滑杆AB 以匀速v 向上运动，开始时φ=0 。

试求当φ=π/4时，摇杆OC 的角速度和角加速度。

解 由几何关系得L tg φ = vt于是 t Lv arctg =ϕ 则 L v t Lv L vdt d 2)(12=+==ϕω 222L v dt d -==ωα§7-3 转动刚体内各点的速度与加速度工程中，还常常需要知道转动刚体上某些点的速度与加速度。

因此，我们要研究刚体内各个点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度的关系。

一、速度首先分析转动刚体上各点的速度：刚体定轴转动时，刚体上所有点都将在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在轴线O 上，半径r 等于点到转动轴的距离，称为转动半径。

取MO 为弧坐标的原点，则点沿圆周的运动规律可表示为s = Rφ因此，M 点的速度为v =d s /d t =R ·ω上式表明：转动刚体上任意点的速度等于该点转动半径与刚体角速度的乘积，方向垂直于转动半径，指向与ω的转向一致。

为区别于角速度，转动刚体上的速度称为线速度。

二、加速度转动刚体上各点都作圆周运动，所以，由点的平面曲线运动可知，点的加速度包括切向加速度和法向加速度两部分，它们分别为a τ=d v /d t =d(rω)/d t =rd ω/dt=rαa n =v 2/ρ=(rω)2/r =rω2上式表明：转动刚体上任意点的切向加速度等于该点的转动半径和刚体角加速度的乘积，方向垂直于转动半径，指向与α的转向一致；法向加速度等于该点转动半径和刚体角速度平方的乘积，方向沿半径指向圆心O 。

点M 的全加速度的大小及方向为 4222ωατ+=+=R a a a ntgθ=aτ/a n=｜α｜/ω2式中，θ为全加速度与该点半径之间的夹角。

由于在每一瞬时，刚体的ω和α对于其上所有各点来说具有相同的数值，所以在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径成正比；转动刚体内所有各点的全加速度与转动半径的夹角θ都相同，即θ角与转动半径的大小无关。

例4 平板AB置于两个半径均为r =25cm的圆筒上，某瞬时，平板具有向右的匀加速度a A =0.5m/s2，同一瞬时，圆筒周边上一点的加速度a =3m/s2。

假设平板AB与圆筒间无滑动。

求该瞬时平板AB的速度v AB。

解aτ=0.5 m/s 2an=2.96 m/s2由a n= v2/r得v2= a n·r = 0.7395 v = 0.86 m/s§7—4 轮系的传动比一、齿轮传动定义齿轮的传动比12i 等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。

由式2211r ωr ω= 有122112r r ωωi == 由于齿轮啮合时齿距必须相等，而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。

若设齿轮齿数分别为1z 、2z ，则有221122z r πz r π= 从而得12122112z z r r ωωi === 即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或等于两个齿轮齿数的反比。

二、皮带轮传动皮带轮传动，如图所示。

如不考虑皮带的厚度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮Ⅰ和轮Ⅱ的角速度分别为1ω、2ω，半径分别为1r 和2r ，有2211r ωr ω= 皮带轮的传动比12i 为122112r r ωωi == 即皮带轮的传递时，两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的反比。

图6-12。