2.3.2平面与平面垂直的判定

A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2



B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。

二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
二面角记作 l

l
l l二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
D1 A1 D A B B1 C C1
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. 符号语言：
a B a A
a
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个面的垂线.
例: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
回顾：直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角.


思考：那么平面与平面之间能形成角吗？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画这个角的大小？
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 每个半平 面叫做二面角的面,

4.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直 面面垂直
线面垂直判定定理：
l
B
m
nA
mα
n α
m∩n=B l⊥m l⊥n
l ⊥α
探究1：如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
面面垂直 线面垂直 线线垂直
探究2（书P69）:已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD A
AB 面BCD 面ABD 面BCD

A
（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
o
B
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。 l
寻找二面角的平面角 练一练
S
二面角C1—AB—C
二面角S—BC—A
D1
C1
B1 A1
N
M
A
D C
A
B
端点
B
DC
中点
寻找平面角
二面角C1—EF—C D1
C1
B1 A1
N
M
D C
E
G
A
F
B
变式训练：《高考调研》
2、《高》P44第4题.
BC 面PAC
BC 面PBC

面PAC
面PBC
α

温故知新
1、平面几何中“角”的两种定义： 静态定义： 动态定义： 2、立体几何中，“异面直线所成角”、“直线与 平面所成角”是如何定义的？
玉环实验学校 冯米鸿
一、二面角
1、半平面的定义： 平面内的一条直线，把这个平 l 半平面 面分成两部分，每一部分都叫 做半平面. 2、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 这条直线叫做二面角的棱. 这两个半平面叫做二面角的面.
E、 例题 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， F 分别是 BB、CD 1 的中点. AD （1）证明： D1F ； （2）求 AE 与D1F所成的角； （3）求 D1E与面 ABCD 所成角的正切值； （4）求二面角 A B1D1 C 的余弦值； （5）证明：面 AED 面 A1FD1 .
.Q
半平面

B

A
.P

l

记作： 二面角 P AB Q 或 P l Q 或 l .
3、“角”、“二面角”对比：
角
A
二面角
A B
图 形 定 义
顶点 O
边 边


A
B
B

从平面内一点出发的两 条射线（半直线）所组 成的图形
构成 射线-点（顶点）-射线 表示 AOB
二、二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为 O 端点，在两个半平面内分别 作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l A

注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上。 （2）角的两边分别在两个面内。 （3）角的边都要垂直于二面角的棱。
注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小 有关. （2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多 大，就说这个二面角是多少度的二面角. （3）平面角是直角的二面角叫做直二面角. （4）二面角的取值范围一般规定为 0, .