两个平面垂直

证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。

两个平面垂直是指它们的法向量垂直。

本文将证明两个平面垂直的判定定理。

二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。

2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。

3. 垂直：两个向量夹角为90度。

三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。

四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。

首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。

假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。

由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。

又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。

因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。

但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。

这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。

接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。

假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

平面垂直的概念平面垂直，是指两个平面之间的夹角为90度，即互相垂直。

在几何学中，平面是指无限延伸的二维空间，可以由两条相交的直线或者直线与一个点确定。

平面垂直是一个基本概念，它在许多几何学和物理学问题中都起到重要的作用。

首先，我们来看一下平面的定义。

平面是由平行于同一直线的无数直线所组成的集合，可以理解为垂直于第三个方向的无限延伸的表面。

平面可以通过两个非平行的直线确定，这两条直线将平面分成两个部分，并且平面内的所有点满足任意一条直线上的点与另一条直线上的点所组成的直线的运算。

平面可以用两个向量来表示，这两个向量可以任意选择，只要它们不平行即可。

接下来，我们来看一下垂直的定义。

垂直是指两个向量之间的夹角为90度，这意味着两个向量相互垂直。

在几何学中，我们通常将两个垂直的向量表示为A⊥B，其中⊥是垂直的符号。

进一步来说，两个平面的垂直被定义为它们之间的法线向量相互垂直。

法线向量是指垂直于平面的向量，它垂直于平面上的每一个点。

当两个平面的法线向量相互垂直时，我们说这两个平面垂直。

从几何角度来看，两个平面的法线向量所确定的直线与这两个平面的交线垂直，因此可以得出两个平面的垂直定义。

在物理学和工程学中，垂直的概念也十分重要。

例如，在力学中，垂直向下的力被定义为重力，它是物体受到的垂直向下的力。

在电磁学中，垂直的概念也很常见，例如，磁场与电场的相互作用垂直。

在光学中，光线的传播方向垂直于光的波前面。

此外，在平面几何学中，垂直还与直角三角形有关。

直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。

在直角三角形中，两条直角边相互垂直，并且满足勾股定理的关系。

在计算机图形学和空间几何学中，垂直的概念也非常重要。

例如，垂直的光照可以用来模拟立体感。

在三维建模中，物体的表面法线用于确定光的入射方向和反射方向，从而实现真实感觉的渲染。

总之，平面垂直是一个基本的几何学概念，在几何学、物理学、工程学和计算机图形学中都起到重要的作用。

平面互相垂直的公式在咱们的数学世界里，平面互相垂直可是个很重要的概念呢，其中涉及的公式更是关键中的关键。

要说平面互相垂直的公式，那咱们得先搞清楚啥叫平面互相垂直。

想象一下，你家的墙和地面，它们是不是直直地、稳稳地成 90 度角？这就是平面互相垂直的一个很直观的例子。

咱们来看这个公式，如果两个平面的法向量分别是$\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$和$\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$，那这两个平面互相垂直的充要条件就是$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$，也就是$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$。

这公式看起来可能有点抽象，但其实用起来还挺顺手的。

就像我之前给学生讲这部分内容的时候，有个特别有趣的事儿。

当时我在黑板上写了一堆例题，让同学们自己先思考。

其中有个平时挺调皮的小男生，皱着眉头盯着黑板看了半天，然后突然举手说：“老师，我感觉这就像搭积木，每个数字和字母都是一块积木，咱们得把它们搭对地方才能盖出漂亮的房子！”他这一说，全班都笑了，可仔细想想，还真有点那个意思。

咱们接着说这个公式啊，在解决实际问题的时候，只要能找到两个平面的法向量，然后代入这个公式，就能判断它们是不是互相垂直啦。

比如说，给你一个平面方程$2x - 3y + 4z = 5$，那它的一个法向量就可以是$(2,-3,4)$。

再比如，在立体几何的题目里，经常会让咱们判断两个复杂图形的平面是不是垂直。

这时候，只要通过一些已知条件，求出它们的法向量，再用这个公式一检验，答案就出来啦。

其实啊，数学里的这些公式就像是我们手里的工具，只要用得好，就能解决好多难题。

就像平面互相垂直的这个公式，虽然看起来可能有点复杂，但只要多练习、多琢磨，就能变得得心应手。

大家在学习的时候，可别被这些公式吓到，要像那个调皮的小男生一样，把它们当成有趣的积木，一点点搭建起自己的知识大厦。

相信大家都能学好这部分内容，加油！。

2023年度：平面与平面垂直的判定定理一、定义在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。

二、定理两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。

证明：设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。

则有：cosα = n1·n2 / |n1||n2|其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。

当两个平面垂直时，α=90°，则有：cos90°=0即：n1·n2 = 0即两个平面的法向量互相垂直。

反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0即：cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0即两个平面的夹角为90度，证毕。

三、应用该定理可以用来解决以下问题：1. 判断两个平面是否垂直。

给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。

2. 求两个平面的交线。

对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。

3. 求一个平面在另一个平面上的投影。

将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。

4. 计算两个平面的夹角。

给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。

总结1. 本文档所涉及简要注释如下：- 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。

- 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。

- 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。

2. 本文档所涉及的法律名词及注释：- 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。

- 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。

- 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。

- 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。

两平面垂直(perpendicular between two pla-nes)，两平面间的一种位置关系。

两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的性质定理
在空间中，如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。

面面垂直的判定定理
面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。

3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。

面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。