高三数学复习文科学案(二)

第7课时合情推理与演绎推理一、复习要求1.了解合情推理的含义，利用归纳与类比等进行简单的推理。

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能进行简单的推理。

二、知识回顾1、我们学过的合情推理包括和。

2、从出发，推出某个，这种推理成为演绎推理。

是由到的推理。

3、三段论推理的一般模式(用符号表示)：（1）大前提： .（2）小前提： .（3）结论： .4、尽可能少地选取和不加证明的（公理、公设），以此为出发点，应用，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。

三、典型例题例 1 从平面外一点向这个平面引两条斜线，它们的夹角为ϕ，这两条斜线在平面内的射影夹角为θ，如果ϕ、θ∈(0，π)，判断ϕ、θ的大小（）。

A. ϕ=θB. ϕ＜θC. ϕ＞θD. ϕ、θ大小不定设AB⊥平面BCD，BC、BD是AC、AD在平面BCD 内的射影，∠CBD=θ，∠CAD=ϕ。

(见图1)观察图1，凭直觉似应选B：ϕ＜θ；再观察图2，我们视△ABD和△ABE是两个叠合在一起的直角三角形，可立得ϕ=∠EAD＞∠EBD=θ=0；如果我们把问题特殊化，设AB=BE=1，AD=2，BD=3，点C是点E以AB为轴旋转所至，那么，当点C刚刚离开点E一丁点时，凭直觉仍有ϕ＞θ；但把点C旋转至与点B、E共线位置时，则有Ф=π/3+π/4＜π=θ；再考虑到ϕ、θ从ϕ＞θ到ϕ＜θ的大小变化是连续的，则直觉告诉我们应该在某一时刻恰好ϕ=θ。

现证明如下：设CD=x ，在△CAD 和△CBD 中，依余弦定理得，COS Ф=AD AC x AD AC ⋅-+2222=24422x -+ ，COS θ=BD BC x BD BC ⋅-+2222=32312x -+ ，如果24422x -+=32312x -+，化简得x 2=3223628--＞0，故方程在〔13-，13+〕上有解，所以，点C 离开点E 旋转到某一位置，可使COS ϕ= COS θ，根据0＜ϕ，θ＜π得，ϕ=θ；综上所述，本题中ϕ、θ大小不定，应选D 。

点评：本题的解决虽然没有离开逻辑思维，但对逻辑思维模式有所突破，充分体现了合情推理、直觉判断、大胆猜想、小心求证的数学方法，这其中推理者的思维过程，是内在的、有序的、深刻的，且具有鲜明的个性化特征，绝非套用来自“题型教学”的所谓固定程式所至。

经常进行此类问题的解题训练，强化合情推理的教育功能，对学生摆脱“题型教学”的羁绊是大有裨益的。

例2 观察以下各等式：2020003sin 30cos 60sin 30cos 604++=2020003sin 20cos 50sin 20cos504++=2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

猜想：22003sin cos (30)sin cos(30)4αααα++++=。

证明：000221cos21cos(602)sin(302)sin30sin cos (30)sin cos(30)222ααααααα-+++-++++=++00cos(602)cos 2111[sin(302)]222ααα+-=+++-0002sin(302)sin 30111[sin(302)]222αα-+=+++-003113sin(302)sin(302)4224αα=-+++=例 3 已知数列1230,,,a a a ⋅⋅⋅，其中1210,,,a a a ⋅⋅⋅是首项为1，公差为1的等差数列；101120,,,a a a ⋅⋅⋅是公差为d 的等差数列；202130,,,a a a ⋅⋅⋅是公差为2d 的等差数列（0d ≠）. （1）若2040a =，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得303140,,,a a a ⋅⋅⋅是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1）102010.101040,3a a d d ==+=∴=.（2）()22302010101(0)a a d d dd =+=++≠，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当(,0)(0,)d ∈-∞+∞U 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1210,,,a a a ⋅⋅⋅是首项为1，公差为1的等差数列，当1n ≥时，数列1010110(1),,,n n n a a a ++⋅⋅⋅是公差为nd 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出10(1)n a +关于d 的关系式，并求10(1)n a +的取值范围.研究的结论可以是：由()323403010101a a d d d d=+=+++，依次类推可得()110(1)110,1,101110(1), 1.n n n d d a d d dn d ++⎧-⨯≠⎪=++⋅⋅⋅+=-⎨⎪+=⎩当0d >时，10(1)n a +的取值范围为(10,)+∞等.四、基础测试课后评测7一、 选择题1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤.2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c ≠0）” D.“n n n ab a b =（）” 类推出“nn n a b a b +=+（）”3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线α”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误 4、当n =1，2，3，4，5，6时，比较2n和2n 的大小并猜想 （ ）. A.1n ≥时，22nn > B. 3n ≥时，22nn>C. 4n ≥时，22nn > D. 5n ≥时，22nn > 二、填空题5、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。

6、 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：222AB AC BC +=。

若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为: . 7、从11=，14(12)-=-+,149123-+=++，14916(1234)-+-=-+++，…,推广到第n 个等式为_________________________. 8、已知a 1=3，a n+1=33+n na a ，试通过计算a 2,a 3,a 4,a 5的值，推测出a n ＝___________.9、对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题: “ ”,这个类比命题的真假性是 。

10、平面内的1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成4部分，3条相交直线但不共点的直线把平面分成7部分， n 条彼此相交而无3条直线共点的直线把平面分成 部分。

11、若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列,且c n ＞0(n ∈N *),则有d n =____________ (n ∈N *)也是等比数列。

参考答案 课后评测71、D2、C3、A4、D5、146、2222ABD ACD ABC BCDS S S S ∆∆∆∆++= 7、+-+-2224321…)321()1()1(121n n n n +⋅⋅⋅+++⋅-=⋅-+++8、n3 9、如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补。

（答案不唯一）假命题。

10、222++n n 11、n n c c c ⋯21·第8课时 直接证明与间接证明一、复习要求1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法，了解两种方法的思考过程与特点。

2.了解间接证明的一种基本方法：反证法，了解他的思考过程与特点。

二、知识回顾1.证明分为 与 ，直接证明包括 、 等；间接证明主要是 .2.综合法：（1）一般的，利用 等，经过一系列 ，最后 ，这种证明方法叫做综合法。

（2）.综合法的模式;若用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：1P Q ⇒→12Q Q ⇒→23Q Q ⇒→⋅⋅⋅→n Q Q ⇒3.分析法：一般的，从 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为 （已知条件、定义、定理、公理等）。

这种证明方法叫做分析法。

4.反证法：一般的，假设 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过 ，最后得出 ，因此说明 ，从而 ，这样的证明方法叫做反证法。

5、数学归纳法证明的步骤：（1）归纳奠基： ；（2）归纳递推： . 三、典型例题例1、设a ，b ，x ，y ∈R ，且221a b +=，221x y +=，试证1ax by +≤。

分析：可以用综合法与分析法---略例2、若a,b,c 均为实数，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+,求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0。

分析：可以用反证法---略例3、求证：21223(1)332n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=-+对任意自然数n 都成立。

分析：从问题的反面促进学生对归纳原理的理解，学生验证了n=1时成立后，假设n=k 时，等式成立；而令n=k+1得到221223(1)(1)(2)332(1)(2)44k k k k k k k k k ⨯+⨯+⋅⋅⋅+++++=-++++=+当学生大惑不解时，老师提出，若n=k+1时等式成立，就应该有22443(1)3(1)2k k k +=+-++，解出k=1或2，这说明根据k=1时等式成立能推出k=2时等式成立；根据k=2时等式成立能推出k=3时等式成立；而k=3时虽等式成立，但推不出k=4时等式成立，所以，原命题不正确，这例子是何等深刻。