2019-2020学年浙江省金兰教育合作组织高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2024-2025学年浙江省金兰教育合作组织高一上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则∁U(M∩N)=( )A. {5}B. {2,3}C. {1,4}D. {1,4,5}2.下列说法正确的是( )A. ∀x∈R，|x+1|>1B. “x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件C. ∃x>0，x3=−xD. “x2−x=0”是“x=1”的必要不充分条件3.已知集合{1,a,ba}={0,a2,a+b}，则a2024+b2024的值为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−14.设函数f(x)=2x−12x，则f(x)( )A. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递增B. 是奇函数，且在(−∞,+∞)上单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递增D. 是偶函数，且在(−∞,+∞)上单调递减5.下列函数中最小值为4的是( )A. y=x2+2x+4B. y=x+4xC. y=2x+22−xD. y=x2+5+1x2+56.函数y=−6xx2+2的图象大致为( )A. B.C. D.7.下列说法正确的是()．A. 若a >b >0，则ac 2>bc 2B. 若a >b ，则a 2>b 2C. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2D. 若a <b ，则1a >1b 8.若定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(2)=0，则满足(x−1)f(x−2)≥0的x 的取值范围是( )A. [0,1]∪[4,+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [0,1]∪[2,+∞)D. [0,1]∪[2,4]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由补集的概念，得，故选C．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．2.函数的定义域为（）A. [，3）∪（3，+∞）B. （-∞，3）∪（3，+∞）C. [，+∞）D. （3，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.4.设函数=则 ( )A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式得到=，.【详解】函数=,=,.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.5.，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将、、均化为的指数幂，然后利用指数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】，，，且指数函数在上是增函数，则，因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数幂的大小比较，考查指数函数单调性的应用，解题的关键就是将三个数化为同一底数的指数幂，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，化简为，再根据图象的变换，即可得到答案.【详解】由题意，函数可化简得：则可将反比例函数的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象，答案为选项C.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与图象的变换，其中解答中正确化简函数的解析式，合理利用函数的图象变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数在区间上单调递减，则取值的集合为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先求出函数的对称轴，以及函数的单调递减区间，根据题意可知是函数单调递减区间的子集.详解：函数的对称轴是，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是，若函数在区间上单调递减，所以，即，解得，故选C.点睛：本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，意在考查学生转化与化归的能力，属于基础题型.8.已知函数，且，则的值为A. -2017B. -3C. -1D. 3【答案】D【解析】【分析】设函数=g+2,其中g是奇函数，= -g +2，= g+2，故g，g是奇函数，故g，代入求值即可.【详解】函数=g+2,其中g是奇函数，= g+2= -g+2= g+2，故g g是奇函数，故g，故= g+2= 3.故答案：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性，奇偶函数常见的性质有：奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.9.已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数为偶函数，得出定义域关于原点对称，可求得的值，再由二次函数的对称轴为轴得出，然后由二次函数的单调性可得出函数的最大值.【详解】由于函数是定义在上的偶函数，则定义域关于原点对称，所以，，解得，，对称轴为直线，得，，定义域为.由二次函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增.由于，因此，函数的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了二次函数的最值问题，在考查函数的奇偶性时，需要注意定义域关于原点对称这一条件的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.函数是上的减函数，则的取值范围是( )A. （0，1）B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0，从而求得a的取值范围．【详解】当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有即0＜a≤．故答案为:B．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.11.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由偶函数性质可将不等式化为，由函数在区间上的单调性得出，解出该不等式即可.【详解】由于函数为偶函数，则，由可得，函数在区间上单调递增，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，在涉及到偶函数的问题时，可充分利用性质来将不等式进行等价转化，考查运算求解能力，属于中等题.12.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，共4题20分）13.不论为何值，函数的图象一定经过点P，则点P的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可.【详解】不论为何值，函数的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得y=2,故点P（2，2）.故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数型函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如的指数型函数过的定点是：.14.设函数，若，则实数 .【答案】-4,2.【解析】【分析】先根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式列方程，解出结果.【详解】当时，，所以；当时，，所以故 .【点睛】本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力.15.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】先利用换元法求出函数的解析式，然后可计算出的值.【详解】令，得，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了函数值的计算，解题的关键就是利用换元法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.16.设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．【答案】或3【解析】【分析】首先换元，设，函数变为，再分和两种情况讨论的范围，根据的范围求二次函数的最大值，求得实数的范围.【详解】令t＝ax(a>0，且a≠1)，则原函数化y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①当0<a<1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈，此时f(t)在上为增函数．所以f(t)max＝f＝－2＝14.所以＝16，解得a＝－ (舍去)或a＝.②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或3.【点睛】本题考查了二次型函数求值域，考查了分类讨论的思想，属于中档题型.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年浙江省金兰组织高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若b 2+c 2−a 2=bc ，则sin(B +C)=( ) A. −B.C. −D.2. 已知△ABC 的三内角A ，B ，C ，所对三边分别为a ，b ，c ，sin(A −π4)=√210，若△ABC 的面积S =24，b =10，则a 的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 83. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3=S 7，a 2=7，则a 5=( )A. 5B. 3C. 1D. −14. 已知数列{a n }满足a n =1，a n+1−a n ≥2(n ∈N +)，且{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. a n ≥2n +1B. S n ≥n 2C. a n ≥2n−1D. S n ≥2n−15. 已知tan α=，则sin2 α−2cos 2 α−1=( )A.B.C.D. −26. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f(32+x)=f(−x)，f(1)=−3，数列{a n }满足a 1=−1，且S n =2a n +n(n ∈N ∗)，(其中S n 为{a n }的前n 项和).则f(a 5)+f(a 6)=( )A. −3B. −2C. 3D. 27. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinB =12,sinC =√32，则a ：b ：c 为( )A. 1：√3：2B. 1：1：√3C. 1：2：√3D. 2：1：√3或1：1：√38. 4.设，则等于A.B.C.D.9. 在等比数列{a n }中，a 1=1，q =12，a n =132，则n =( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 函数y =sin(2x +π6)+cos(2x −π3)的最小正周期和振幅分别是A. π，√2B. π，2C. 2π，1D. 2π，√2二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 海中有一小岛，周围n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6n mile 以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________n mile 后海轮会触礁．12. 已知sinα=35，且α为第一象限角，则tan2α的值为______． 13. 已知数列{a n }满足a n+1a n=n+2n(n ∈N +)，且a 1=1，则a n =________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 函数f(x)=sin 2x +sinxcosx +1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 15. 设数列{a n }满足a 1=1,a 2=180,a n+2=a n +n +(−1)n n ，则：(1)a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019= (1) ； (2)数列{a 2n2n }中最小项对应的项数n 为 (2) ．16. 函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1的最小正周期是 (1) ，单调递减区间是 (2) ．17. 对于n ∈N +，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，当i =0时，a i =1，当1≤i ≤k 时，a 1为0或1.记I(n)为上述表示中a i 为0的个数(例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I (1)=0，I(4)=2)，则(1)I(12)= (1) ；(2)∑2I(n)127n=1= (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=sin(3x +π4).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，求cosα−sinα的值．19. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ：sin B ：sinC =3：4：5．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长．20. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1，且6S n =(a n +1)(a n +2)，n ∈N ∗．(1)求{a n }的通项公式：(2)设数列{b n }满足b n ={a n ,n 是奇数2n ,n 是偶数，并记T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．21. (12分)如图，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边测出CD 的长为km ，∠ ADB =∠ CDB =30°，∠ ACD =60°∠ ACB =45°，求A 、B两点间的距离．22.已知数列{a n}，满足a n+1={2a n,n为偶数a n+1,n为奇数，a1=1，若b n=a2n−1+2(b n≠0)．(Ⅰ)求a4，并证明数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)令c n=n⋅a2n−1，求数列{c n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：b 2+c 2−a 2=bc ⇒cosA ==，sin(B +C)=sinA =．2.答案：D解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及两角差的正弦公式等应用，考查化简、计算能力．属于中档题．由题意和两角差的正弦公式化简已知的式子，联立平方关系、内角的范围求出sin A 和cos A 的值，由条件和三角形的面积公式列出方程求出c ，由余弦定理求出a 的值． 解：由sin(A −π4)=√210得，√22(sinA −cosA)=√210，则sinA −cosA =15，联立sin 2A +cos 2A =1，且，解得{sinA =45cosA =35或{sinA =−35cosA =−45(舍去)，因为△ABC 的面积S =24，b =10， 所以12bcsinA =24，解得c =6， 由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =100+36−2×10×6×35=64，则a =8， 故选D ．3.答案：C解析：解：设公差为d ，由S 3=S 7，a 2=7，可得{3a 1+3d =7a 1+21d a 1+d =a 2=7，解得a 1=9，d =−2， ∴a 5=a 1+4d =8−8=1， 故选：C ．根据S3=S7，a2=7，列出方程组，求出等差数列{a n}的首项和公差，然后求出a5即可本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：由题意可得a2−a1≥2，a3−a2≥2，a4−a2≥2，…+a n−a n−1≥2，∴a n−a1≥2(n−1)，∴a n≥2n−1，∴S n=a1+a2+a3+⋯+a n≥1+3+5+⋯+(2n−1)=n(1+2n−1)2=n2，故选：B．根据累加法求出a n≥2n−1，再根据放缩法和等差数列的求和公式可得S n≥n2．本题考查了累加法和等差数列的求和公式，属于中档题．5.答案：A解析：本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数的基本关系式，∵，tanα=，∴上式=，故选A．6.答案：C解析：解：∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，又∵f(32+x)=f(−x)，∴f(32+x)=−f(x)，∴f(x+3)=f[32+(32+x)]=−f(32+x)=f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∵数列{a n}满足a1=−1，且S n=2a n+n(n∈N∗)，∴当n≥2时，S n−1=2a n−1+n−1，则a n =2a n −2a n−1+1，即a n =2a n−1−1， ∴a n −1=2(a n−1−1)(n ≥2)，又∵a 1−1=−2， ∴数列{a n −1}是首相为−2，公比为2的等比数列， ∴a n −1=−2×2n−1=−2n ， ∴a n =1−2n ，此式对n =1也成立， ∴数列{a n }的通项公式为a n =1−2n ， ∴a 5=−31，a 6=−63，∴f(a 5)+f(a 6)=f(−31)+f(−63)=f(2)+f(0)=f(2)=−f(−2)=−f(1)=3， 故选：C ．先求出函数的周期，再求出数列的通项，即可算出结果． 本题主要考查了函数的周期性，以及数列求通项，是中档题．7.答案：D解析：解：由sinB =12，sinC =√32得：B =π6或5π6，C =π3或2π3，当B =π6，C =π3时，求出A =π2，根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =1：12：√32=2：1：√3；当B =π6，C =2π3时，求出A =π6， 根据正弦定理得：a ：b ：c =sinA ：sin B ：sinC =12：12：√32=1：1：√3；当B =5π6，C =π3或2π3时，与三角形的内角和定理矛盾，舍去， 综上，a ：b ：c =2：：1：√3或1：1：√3． 故选：D ．先根据特殊角的三角函数值，求出B 与C 的度数，然后分情况讨论B 的度数与C 的度数，利用三角形的内角和定理求出A 的度数，根据正弦定理得到三边之比等于三个角正弦值之比，根据求出的三角形的三内角分别求出三内角的正弦值，即可得到三边之比．此题考查了正弦定理，及特殊角的三角函数值．根据sin B 和sin C 的值，得到B 与C 的度数，进而利用分类讨论的思想及三角形的内角和定理求出A 的度数是解本题的关键．学生做题时注意舍去不合题意的情况．8.答案：B解析：试题分析：，故选B．考点：两角和与差的三角函数，倍角公式．9.答案：B解析：解：a n=132=1×(12)n−1，解得n=6．故选：B．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性和振幅，求得该函数的最小正周期和振幅．本题主要考查三角恒等变换、余弦函数的周期性和振幅，属于基础题．解：由已知可得：y=sin(2x+π6)+cos(2x−π3)=sin2x⋅√3+cos2x⋅1+cos2x⋅1+sin2x⋅√3=cos2x+√3sin2x=2cos(2x−π3 )所以函数的最小正周期为2π2=π，它的振幅是2，故选B．11.答案：解析：试题分析：由题意可知，该海轮在A 处望见岛C 在北偏东60°，航行6 n mile 到达B 处，望见岛在北偏东30°，所以，所以BC =6，如果继续航行到达D 处触角，则在中，，根据余弦定理可以求出，所以经过n mile 后海轮会触礁．考点：本小题主要考查解三角形在实际应用题中的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力． 点评：解决实际应用题的关键是准确将实际问题转化为熟悉的数学问题，用数学知识解决问题．12.答案：247解析：解：∵已知sinα=35，α为第一象限角， ∴cosα=√1−sin 2α=45，则tanα=sinαcosα=34， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×341−916=247．故答案为：247．利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值，进而利用二倍角的正切函数公式即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．13.答案：n(n+1)2解析：本题考查数列的求通项公式，由已知结合累乘法即可求解．解：由已知得a nan−1=n+1n−1，所以n ≥2时，a n =a na n−1×a n−1a n−2×⋯×a 2a 1×a 1=n+1n−1×n n−2×⋯×21×1=n(n+1)2，又a 1=1也符合上式，所以a n=n(n+1)2．故答案为n(n+1)2．14.答案：π[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)解析：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．由三角函数公式化简可得f(x)=√22sin(2x−π4)+32，易得最小正周期，解不等式2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得函数的单调递减区间．解：化简可得f(x)=sin2x+sinxcosx+1=12(1−cos2x)+12sin2x+1=√22sin(2x−π4)+32，∴原函数的最小正周期为T=2π2=π，由2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)可得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8(k∈Z)，∴函数的单调递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)故答案为π；[kπ+3π8,kπ+7π8](k∈Z)15.答案：10109或10解析：解：(1)数列{a n}满足a1=1,a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，则：a3=a1+1+(−1)1⋅1=1，a5=a3+3+(−1)3⋅3=1，……，a2019=a2017+2017+(−1)2017⋅2017=1，所以a1+a3+a5+⋯+a2019=20202=1010．故答案为：1010．(2)由题意知：a2=180,a n+2=a n+n+(−1)n n，因为n为偶数，所以a n+2=a n+2n，整理得a n+2−a n=2n，a n−a n−2=2(n−2)，……，a6−a4=2×4，a4−a2=2×2，累加得：a n+2−a2=2(2+4+⋯+n)，整理得：a n+2=12n2+n+180，所以：a n=12n2−n+180(n为偶数)，从而得到a nn =n2+180n−1(n为偶数)，由于n2+180n≥6√10,当且仅当n2=180n即n=6√10时取等号，又因为n∈N∗且n为偶数，所以当n=18或20时，a nn的值最小．所以数列{a2n2n}中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．(1)当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．(2)当n为偶数时，a n+2−a n=2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出a nn，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．16.答案：π[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z解析：本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论． 解：函数f(x)=sin2x +sinxcosx +1=32sin2x +1的最小正周期为2π2=π， 令2kπ+π2≤2x ≤2kπ+3π2，求得kπ+π4≤x ≤kπ+3π4，可得函数的单调减区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ，故答案为：π；[kπ+π4,kπ+3π4]，k ∈Z ．17.答案：21093解析：解：(1)根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I(12)=2； (2)127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20， 设64≤n ≤126，且n 为整数；则n =1×26+a 1×25+a 2×24+a 3×23+a 4×22+a 5×21+a 6×20， a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C 60种情况，即有C 60个I(n)=6； 其中有一个为1时，有C 61种情况，即有C 61个I(n)=5； 其中有2个为1时，有C 62种情况，即有C 62个I(n)=4；…∑2I(n)127n=64=C 6026+C 61×25+C 62×24+C 63×23+C 64×22+C 65×2+1=(2+1)n =36， 同理可得：∑2I(n)63n=32=35， …∑2I(n)3n=2=31， 2I(1)=1；则 ∑2I(n)127n=1=1+3+32+⋯+36=37−13−1=1093；故答案为：(1)2；(2)1093．(1)根据题意，分析可得，将n 表示n =a 0×2k +a 1×2k−1+a 2×2k−2+⋯+a k−1×21+a k ×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I(n)的意义，可得答案；(2)将n 分为n =127，64≤n ≤126，32≤n ≤63，…n =1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I(n)的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．解本题关键在于分析题意，透彻理解I(n)的含义 ∑2I(n)127n=1的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n 项和公式进行计算．18.答案：解：(1)∵函数f(x)=sin(3x +π4)，令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，求得2kπ3−π4≤x ≤2kπ3+π12，故函数的增区间为[2kπ3−π4,2kπ3+π12]，k ∈Z ．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α， ∴sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，即sin(α+π4)=45cos(α+π4)(cos 2α−sin 2α)，∴sinαcosπ4+cosαsin π4=45(cosαcos π4−sinαsin π4)(cosα−sinα)(cosα+sinα) 即(sinα+cosα)=45⋅(cosα−sinα)2(cosα+sinα)， 又∵α是第二象限角，∴cosα−sinα<0，当sinα+cosα=0时，tanα=−1，sinα=√22，cosα=−√22，此时cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，此时cosα−sinα=−√52．综上所述：cosα−sinα=−√2或−√52．解析：(1)令2kπ−π2≤3x +π4≤2kπ+π2，k ∈z ，求得x 的范围，可得函数的增区间．(2)由函数的解析式可得f(α3)=sin(α+π4)，又f(α3)=45cos(α+π4)cos2α，可得sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，化简可得(cosα−sinα)2=54.再由α是第二象限角，cosα−sinα<0，从而求得cosα−sinα的值．本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19.答案：(本题满分为12分)解：(1)∵sinA ：sin B ：sinC =3：4：5．∴由正弦定理可得：a：b：c=3：4：5．∴a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，∴C为直角，即C=π2…6分(2)由题意及(1)可得：12ab=32，即ab=3c5×4c5=3，结合c=52，解得：a=32，b=2，可得△ABC的周长为a+b+c=6…12分解析：(1)由已知及正弦定理可得：a：b：c=3：4：5，从而可求a2+b2=(3c5)2+(4c5)2=c2，利用勾股定理可得C为直角，即可得解．(2)由题意及(1)可得：12ab=32，结合c=52，解得a，b的值，即可得解．本题主要考查了正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.答案：解：(1)由a1=S1=16(a1+1)(a1+2)，整理可得：a12−3a1+2=0，结合a1=S1>1，解得a1=2由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得(a n+1+a n)(a n+1−a n−3)=0，又a n>0，得a n+1−a n=3从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=3n−1．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)=n(2+6n−4)2+4(1−4n)1−4=4n+1−43+3n2−n．解析：(1)由令递推式中n=1得a1=2，由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得a n+1−a n=3，从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，即可求解．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)，分别求和即可．本题考查了等差、等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．21.答案：河对岸A、B两点间距离为km．解析：在△BCD中，∠CBD=180°—30°—105°=45°，由正弦定理，得=，则BC==(km)．在△ACD中，∠CAD=180°—60°—60°=60°，∴△ACD为正三角形．∴AC=CD=(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2—2AC·BC cos45°=+—2×××=，∴AB=(km)．∴河对岸A、B两点间距离为km．22.答案：解：(Ⅰ)∵a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，∴a 2=1+1=2， ∴a 3=4， ∴a 4=4+1=5； ∵b n+1b n=a 2n+1+2a 2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，故数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ， 令S n =1+2⋅21+⋯+n ⋅2n−1，① 2S n =2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ，②①−②得：−S n =1+21+22+⋯+2n−1−n ⋅2n =(1−n)⋅2n−1， ∴S n =(n −1)2n−1+1．故T n =3S n −(2+4+6+⋯+2n)=(3n −3)⋅2n−1+3−n 2−n ．解析：(Ⅰ)由于a 1=1，a n+1={2a n ,n 为偶数a n +1,n 为奇数，分别令n =1，2，3即可得出．由于b n+1b n =a 2n+1+2a2n−1+2=2a 2n +2a 2n −1+2=2，即可证明数列{b n }是等比数列．(Ⅱ)由(I)知：b n =3⋅2n−1，且c n =n ⋅a 2n−1=3n ⋅2n−1−2n ，利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了分段数列的性质、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一第一学期期中联考试题数学一、选择题：每小题4分，共40分 1.已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A. ｛1，2｝B. ｛（1，2）｝C. （1，2）D. ∅【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素以及集合交集概念求A B 即可.【详解】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此AB =∅.故选：D【点睛】本题考查了对集合概念以及集合的交集概念的理解，属于基础题. 2.已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A. ()8x f x =B. ()2f x x =C. ()2f x x -= D. ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 设幂函数y x α=，把点12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入幂函数求出α即可.【详解】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题.3.溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】把溶液氢离子的浓度610/mol L -代入lg H +⎡⎤-⎣⎦即可求解.【详解】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题.4.已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A. ()0,2B. ()1,2-C. (),1-∞-D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先根据()3f x <求出()33f x -<<，然后根据函数在R 上为增函数对照表格即可求解. 【详解】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B【点睛】本题考查了由函数的单调性解不等式，属于基础题. 5.设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A. a ＜c ＜b B. b ＜c ＜aC. a ＜b ＜cD. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】【详解】∵a ＝log 54＜log 55＝1，b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1，c ＝log 45＞log 44＝1，所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 7.已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A. ()()04f f =- B. ()()04f f =C. ()()22f f -=D. ()20f =【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2y f x =-是偶函数可得(2)(2)f x f x -=--，从而有()f x 的图像关于2x =-对称求解. 【详解】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--， ∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.8.已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ） A. 122x x += B. 123x x <-C. 214x x ->D. 1213x x -<<<【答案】D 【解析】 【分析】首先由不等式的解集可得()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由数形结合可得11x <-，23x >，从而得出选项.【详解】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D【点睛】本题考查了函数与方程的关系以及函数的零点，解决此题可借助于数形结合，属于中档题.9.已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ）A. 5aB. 5C. 3aD. 3【答案】B 【解析】 【分析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-，当0a =、160a-<，不合题意；当12t =，此时22t =不符合题意，当12t =-，此时26t =，解1t x x =+即可.【详解】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意. 所以1126t a =-，2126t a=+- 当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B【点睛】本题考查函数的零点，利用函数的零点为方程的根求解方程的根进行运算，属于中档题. 10.已知定义在R 上的函数()f x 满足)21fx x x +=，则下列函数中为增函数的是（ ）A. 21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D. ()lg 1y f x =+【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t 21x x =+＞0，则211x x t=+，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0），当1x x≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减； 对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x +1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ．【点睛】本题考查换元法求解析式以及复合函数的单调性，属于中档题. 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________．【答案】 (1). －3 (2). 4 【解析】 【分析】根据1A ∈可知1是方程220x ax ++=的根，代入即可求a ；由a 代入解方程，求出集合A 中的元素即可求出集合A 的子集个数. 【详解】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 4【点睛】本题考查元素与集合的关系，根据元素与集合的关系求参数，求集合的子集个数，当集合中的元素为n 可利用公式2n 求解.12.已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】15【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化以及换底公式即可求解.【详解】若3c =，则53b =，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35a b c ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b+=，即35112log log c c += 由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c = 即215c =，所以15c =【点睛】本题考查指数式与对数式的互化、换底公式，属于基础题. 13.函数()22f x x x =-___________；值域为___________．【答案】 (1). []1,2 (2). []0,1 【解析】 【分析】首先求出定义域{}02x x ≤≤，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域. 【详解】函数()22f x x x =-220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤，令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y u=在定义域内为增函数，所以()22f x x x =-[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤， 所以()[]220,1f x x x =-.故答案为：[]1,2 ；[]0,1【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域.14.已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】 (1). 1 (2). 28x - 【解析】 【分析】（1）由()()20f x f x ++=得31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据函数为奇函数11()()22f f -=-，代入解析式即可求解；（2）由()()20f x f x ++=可得()f x 是以4为周期的函数，，当()3,5x ∈时，()41,1x -∈-，利用()1,1x ∈-时，()2f x x =，可求得答案.【详解】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性以及函数解析式的求解，求函数解析式时求出()f x 是以4为周期的函数是关键，属于基础题.15.某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】作出维恩图，结合维恩图列出方程组，能求出只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数． 【详解】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．【点睛】本题考查只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥ 【解析】 【分析】对x ∈[﹣2，2]，进行分类讨论，当x ∈[12，2]时，两边平方，利用恒成立问题，求出a 的范围． 【详解】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立， 当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥.【点睛】考查了绝对值不等式的解法，分类讨论法，恒成立问题的解法，中档题．17.设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推，因此如果f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点即可．【详解】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．【点睛】本题考查了函数的图象变换，函数零点定义，数形结合的思想方法，转化思想， 三、解答题：5小题，共74分18.已知集合(){}|21ln 3A x y x x =--，集合{}2|0B x x a =-<．（1）求A R；（2）若()A B B =R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1(,)3,2-∞⋃+∞ （2）1(,)4-∞ 【解析】 【分析】（1） 使()21ln 3y x x =--有意义得21030x x -≥⎧⎨->⎩，解方程组求出132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，再由集合的补集运算即可求解. （2）由()A B B =R 得RB A ⊆，讨论集合B =∅或B ≠∅即可求解.【详解】（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12RA x x ⎧=<⎨⎩或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞⋃+∞R（2）由()A B B =R ，所以RB A ⊆，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤， 当B ≠∅时，20x a -<解得a x a <由RB A ⊆12a <，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，在求参数范围时注意空集这类情况，此题属于易错题. 19.函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}20log 3x x << （2）1m 【解析】 【分析】 （1）由()1f x <，根据对数的单调性可得212x -<，然后解指数不等式即可.（2）由()()4log 4x f x m =-实数根，化为214x x m -=-有实根，令2x t =，22()210t t m ⋅-⋅+-=有正根即可，对称轴12t =，开口向上，只需0∆≥即可求解. 【详解】（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根， 所以214x x m -=-有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-=令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m .故实数m 的取值范围1m .【点睛】本题考查了利用对数的单调性解不等式、根据对数型方程的根求参数的取值范围，属于中档题. 20.如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设BP x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式； （2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．【答案】（1）223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）627-【解析】 【分析】（1）作ABC △的高AD ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 求得34x MP =，54xBM =；当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆，则MP PC MC AD DC AC ==，求得3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -=，即可求面积以及周长. （2）由（1）当04x <≤时，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()24844x x S x F x L x x -+-==+，令4t x =+，21(4)4(4)8284()64t t t F t t t--+--==--+，利用基本不等式即可求最大值.【详解】作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54xBM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=， 35()344x xL x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆，则MP PC MC ADDCAC==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+- 3()62xL x BP MP BA AM =+++=+综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()66274t t t F t t t--+--==--+≤- 当且仅当27t =274x =-等号成立. 故()F x 的最大值为627-又16272->. 综上所述：()F x 的最大值为627-【点睛】本题主要考查了分段函数以及分段函数的最值，属于中档题. 21.已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）1a ≤-或2a ≥ 【解析】 【分析】（1）零点分段化简()f x ，3a =时代入，结合二次函数的性质可得函数()f x 的单调区间. （2）对a 进行分段讨论求解()f x 的最大值小于等于2a 恒成立可求实数a 的取值范围.【详解】（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-；当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a af a-⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ； 当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a Ra a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥综上可得：1a ≤-或2a ≥【点睛】本题考查分段函数的单调区间、绝对值不等式恒成立问题，综合性比较强.22.已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增．（1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求1(21)2f x -≥的解集．【答案】（1）(0)0f =；(1)1f =；奇函数（2）2422,33xk x k k z ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）令0x y ==，求得(0)0f =或1(1)2f =；令1x =，0y =，又求得1(0)2f =（舍去），可求得(0)0f =，(1)1f =；令1x =，y x =，得(1)(1)f x f x +=-，再令y x =-，得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-即可证得()f x 为奇函数.（2）首先令13x y ==，求得11()32f =，再有（1）可得()f x 的周期为4且51()32f =，结合函数在[]22-,的图像得154214,33k x k k z +≤-≤+∈ 即可求解.【详解】（1）由对于任意x ，y R ∈满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =；令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±， 令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<所以(0)0f =，(1)1f =. 综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()* 令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅ 因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=- 代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-， 显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=- 即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k z +≤-≤+∈ 解得2422,33k x k k z +≤≤+∈故不等式的解集为2422,33xk x k k z ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查抽象函数求值、抽象函数的奇偶性以及解抽象函数不等式，解题的关键对x 、y 赋值，此题综合性比较强.。

浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题 1．已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A ．｛1，2｝B ．｛（1，2）｝C ．（1，2）D ．∅【答案】D 【解析】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此A B =∅.故选：D 2．已知点12,4⎛⎫⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A ．()8x f x =B ．()2f x x =C ．()2f x x -= D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C3．溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C4．已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(),1-∞-D ．()2,+∞【答案】B 【解析】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B5．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.7．已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A ．()()04f f =- B ．()()04f f =C ．()()22f f -=D ．()20f =【答案】A 【解析】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--， ∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A8．已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<【答案】D【解析】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D9．已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ） A ．5a B ．5C ．3aD ．3【答案】B 【解析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意.所以12t =，22t =+当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B10．已知定义在R 上的函数()f x 满足)fx x =，则下列函数中为增函数的是（ ）A ．21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D ．()lg 1y f x =+【答案】C【解析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t x ＞0，则1x t=，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0）， 当1x x≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减； 对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x+1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ． 二、填空题11．已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________． 【答案】－3 4 【解析】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3-412．已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】9【解析】若3c =，则53b =，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35abc ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b+=，即35112log log c c += 由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c = 即215c =，所以c =.13．函数()f x =___________；值域为___________．【答案】[]1,2 []0,1【解析】函数()f x =则220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤， 令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y =()f x =[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤，所以()[]0,1f x =.故答案为：[]1,2 ；[]0,114．已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】1 28x -【解析】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 为奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=-故答案为： 1 ； 28x -15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．16．若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥【解析】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立， 当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立，当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥.17．设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1【解析】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．三、解答题18．已知集合(){}|ln 3A x y x =-，集合{}2|0B x x a =-<． （1）求A R ð； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭ 所以12R A x x ⎧=<⎨⎩ð或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞+∞R ð（2）由()A B B =R ð，所以R B A ⊆ð，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤，当B ≠∅时，20x a -<解得x <<由R B A ⊆ð12<，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞. 19．函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．解：（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-= 令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令 2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.20．如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设B P x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式；（2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．解：作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BM AD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54x BM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=， 35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆，则MP PCMCAD DC AC ==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+- 3()62x L x BP MP BA AM =+++=+ 综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩ （2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++ 令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()664t t t F t t t--+--==--+≤-当且仅当t =4x =等号成立.故()F x的最大值为6-又162->. 综上所述：()F x的最大值为6-21．已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-.（2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-； 当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a a f a-⎧≤⎪⎨⎪≤⎩， 11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ；当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a R a a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥ 综上可得：1a ≤-或2a ≥22．已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增．（1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）求1(21)2f x -≥的解集． 解：（1）由对于任意x ，y ∈R 满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =； 令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±， 令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f << 所以(0)0f =，(1)1f =.综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()*令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=-代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-，显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k +≤-≤+∈Z 解得2422,33k x k k +≤≤+∈Z 故不等式的解集为2422,33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z。

2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤33．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．1794．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数y =x−1√4−x 2的定义域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣2，2）C ．（﹣2，1）∪（1，2）D ．[﹣2，1）∪（1，2]6．设a =(54)14，b =(45)−15，c =(34)−13，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t （n ）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={√n n ＜N 0√0n ≥N 0（t 0，N 0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（ ） A ．6小时 B ．7小时C ．9小时D ．5小时8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53]B ．（1，+∞）C ．[2，52]D ．[53，52]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ） A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减 B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点 10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．1212．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ．14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= ．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0． （1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明． 20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4． （1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x−600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ． （1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围； （3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式．2023-2024学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合P ＝{x |x 2﹣3x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则（∁R P ）∩Q 等于（ ） A ．[0，1）B ．（0，3]C ．（1，3）D ．[1，3]解：解不等式x 2﹣3x ≥0可得x ≥3或x ≤0， 即P ＝{x |x ≥3或x ≤0}，则∁R P ＝{x |0＜x ＜3}，又Q ＝{x |1＜x ≤3}， 所以（∁R P ）∩Q ＝{x |1＜x ＜3}＝（1，3）． 故选：C ．2．命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是（ ） A ．∀x ＜5，﹣x 2+2x ＜3 B ．∃x ≥5，﹣x 2+2x ＜3 C ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3D ．∃x ＜5，﹣x 2+2x ≤3解：命题“∀x ＜5，﹣x 2+2x ≥3“的否定是“∃x ＜5，﹣x 2+2x ＜3“． 故选：C ．3．已知函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f(2f(2))的值为（ ）A ．7136B ．6C ．74D ．179解：函数f(x)={2−x 2，x ≤1x 2+2x −2，x ＞1，则f （2）＝22+2×2﹣2＝6， 故f(2f(2))=f(13)=1−(13)2=179． 故选：D ．4．可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ）A ．B ．C．D．解：由函数的定义可知，每一个x有且只有一个函数值与之对应，故选：C．5．函数y=x−1√4−x2的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）∪（1，2）D．[﹣2，1）∪（1，2]解：由题意得：4﹣x2＞0，解得：﹣2＜x＜2，故函数的定义域是（﹣2，2）．故选：B．6．设a=(54)14，b=(45)−15，c=(34)−13，则（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：b=(45)−15=(54)15，因为函数y=(54)x是增函数，所以(54)15＜(54)14，即b＜a，又c=(34)−13=(43)13＞(54)13＞(54)14=a，所以b＜a＜c．故选：C．7．某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为t(n)={t0√n n＜N0t0√0n≥N0（t0，N0为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为（）A．6小时B．7小时C．9小时D．5小时解：因为第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以16＜N 0， 所以0√16=10，即t 0＝40， 所以√N 0=5，解得N 0＝64，所以t(n)={40√n n ＜645，n ≥64，所以第36天检测过程平均耗时t(36)=40√36=203≈7小时． 故选：B ．8．已知函数f(x)=x+mx+1(1≤x ≤2)，函数g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2），若任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则m 的取值范围是（ ） A ．(1，53] B ．（1，+∞） C ．[2，52]D ．[53，52]解：f(x)=x+m x+1=x+1+m−1x+1=1+m−1x+1(1≤x ≤2)，g （x ）＝（m ﹣1）x （1≤x ≤2）， ①当m ＞1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递减，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递增， 可得f(x)∈[m+23，m+12]，g （x ）∈[m ﹣1，2m ﹣2]， 由题意，得m −1≤m+23＜m+12≤2m −2， 解得53≤m ≤52；②当m ＜1时，函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增，函数g （x ）在区间[1，2]上单调递减， 可得f(x)∈[m+12，m+23]，g （x ）∈[2m ﹣2，m ﹣1]， 由题意，得2m −2≤m+12＜m+23≤m −1， 解得m ∈∅；③当m ＝1时，f （x ）＝1，g （x ）＝0，显然不满足， 故实数m 的取值范围为[53，52]． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，则（ ）A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减B ．f （8）＞0C ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣4）∪（0，4）D ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点解：对于A ，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数且在（0，+∞）上单调递减，f （﹣4）＝0，根据奇函数特征，f （x ）在 （﹣∞，0）上单调递减，f （4）＝﹣f （﹣4）＝0，f （0）＝0，故A 正确； 对于B ，由奇偶性及单调性可知 f （8）＜0，故B 错误；对于C ，由题意可知，不等式f （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（0，4），故C 正确； 对于D ，由题意得f （4）＝f （﹣4）＝f （0）＝0，即函数图象与x 轴有3个交点，D 错误． 故选：AC ．10．下列命题中正确的是（ ） A ．√x 2+42√x 2+4的最小值为2√2B ．已知a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件C ．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ，则x ＜0时，f （x ）＝x 2+xD ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2是两个相同的函数 解：对于A ，√x 2+42√x 2+4≥2√√x 2+42√x 2+4=2√2，当且仅当x 2+4＝2时取“＝”，显然不成立，所以A 错误； 对于B ，由a ≠0不能推出ab ≠0，而ab ≠0⇒a ≠0， 所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，所以B 正确； 对于C ，f （x ）为定义在R 上的奇函数，x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+x ， x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2﹣x ＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝﹣x 2﹣x ，则C 正确；对于D ，f （x ）＝|x |，g(x)=√x 2=|x|，两个函数的定义域，对应关系都一样， 所以是两个相同的函数，则D 正确． 故选：BCD ．11．已知函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，若f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的可能取值为（ ） A ．0B ．−12C ．﹣1D ．12解：因为函数y ＝f （x ﹣1）的图象关于x ＝1对称，所以函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，则f （x ）为偶函数， 又因为当x 1，x 2∈（﹣∞，0]，且x 1≠x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0成立，所以f （x ）在（﹣∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增， 则f （4bx ）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即f （|4bx |）＜f （2x 2+1）对任意x ∈R 恒成立， 即|4bx |＜2x 2+1对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，0＜1成立；当x ≠0时，即|4b|＜2|x|+1|x|对任意x ∈R 恒成立， 而2|x|+1|x|≥2√2|x|⋅1|x|=2√2，当且仅当 2|x|=1|x|，即 |x|=√22时，等号成立， 所以 |4b|＜2√2，即 |b|＜√22．故选：ABD ．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ）下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）的值域是[0，1]B ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1C ．f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立D ．存在三个点A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），C （x 3，f （x 3）），使得△ABC 为等腰直角三角形 解：对于A ，函数的值域为{0，1}，可知A 错误；对于B ，当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （x ）＝1， ∴∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故B 正确；对于C ，当x 为有理数时，x +2为有理数，f （x +2）＝f （x ）＝1， 当x 为无理数时，x +2为无理数，f （x +2）＝f （x ）＝0， ∴f （x +2）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立，故C 正确； 对于D ，若△ABC 为等腰直角三角形，不妨设B 为直角，则f （x 1），f （x 2），f （x 3）的取值的可能性为：f （x 1）＝0，f （x 2）＝1，f （x 3）＝0， 或f （x 1）＝1，f （x 2）＝0，f （x 3）＝1，由等腰直角三角形的性质得|x 2﹣x 1|＝1， ∴f （x 1）＝f （x 2），这与f （x 1）≠f （x 2）矛盾，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 在第一象限单调递减，则f （m ）＝ ﹣1 ． 解：由幂函数定义可得m 2﹣2m ﹣2＝1， 即m 2﹣2m ﹣3＝0，解得m ＝3或m ＝﹣1，又函数f （x ）在第一象限单调递减，所以m ＝﹣1，即f （x ）＝x ﹣1，即可得f(m)=f(−1)=1−1=−1． 故答案为：﹣1． 14．0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6= 81 ．解：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6=(18)−13−1+432+(212×313)6=813−1+23+23×32＝2﹣1+8+8×9 ＝81． 故答案为：81．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数，则实数a 的取值范围是 [0，32] ． 解：当a ＝0时，f （x ）＝﹣3x +1在（﹣∞，0）上是减函数，符合题意； 当a ≠0时，f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1为一元二次函数，对称轴为x =3+a2a ， 因为函数f （x ）＝ax 2﹣（3+a ）x +1在（﹣∞，a ）上是减函数， 所以{a ＞03+a 2a≥a，解得0＜a ≤32，综上，0≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是[0，32]． 故答案为：[0，32]．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0），且f （a 2+3）＝f （3a ﹣2），则f(n)+6a n+1(n ∈N ∗)的最小值为145．解：函数f （x ）＝x 2﹣（a +4）x +a 2+a +10（a ＞0）的对称轴为x =a+42， 由题意可得a 2+3＝3a ﹣2或a 2+3+3a ﹣2＝2×a+42， 解得a ＝1或a ＝﹣3，由a ＞0，可得a ＝1， ∴f （x ）＝x 2﹣5x +12，即有f （n ）＝n 2﹣5n +12， ∴f(n)+6a n+1=n 2−5n+18n+1=n +1+24n+1−7≥2√24−7＝4√6−7， 当且仅当n +1=24n+1，即n ＝2√6−1时取等号， 但n 为正整数，且2√6−1∈（3，4）， 由n ＝3时，∴f(n)+6a n+1=3，n ＝4时，∴f(n)+6a n+1=145＜3，故当n ＝4时，原式取最小值为145．故答案为：145．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}，C ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m }． （1）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ；（2）若B ∩C ＝C ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为集合A ＝{x |x ≤﹣4或x ≥3}，B ＝{x |1＜x ≤5}， 所以A ∩B ＝{x |3≤x ≤5}，∁R A ＝{x |﹣4＜x ＜3} 所以（∁R A ）∪B ＝{x |﹣4＜x ≤5}； （2）因为B ∩C ＝C ，所以C ⊆B ， ①当C ＝∅时，m ﹣1＞2m ，解得m ＜﹣1， ②当C ≠∅时，则{m −1≤2mm −1＞12m ≤5，解得2＜m ≤52，综上所述：m 的取值范围是(−∞，−1)∪(2，52]． 18．（12分）已知正数a 、b 满足1a +2b=2．（1）求a +b 的最小值； （2）求4a 2a−1+2bb−1的最小值．解：（1）因为a 、b 是正数，所以a +b =12(a +b)(1a +2b )=12(3+b a +2a b )≥32+√2当且仅当a =√2+12，b =2+√22时等号成立， 所以a +b 的最小值为32+√2．（2）因为1a+2b =2， 所以a ＞12，b ＞1，所以2a ﹣1＞0，b ﹣1＞0，（2a ﹣1）•（b ﹣1）＝1 则4a 2a−1+2b b−1=4+22a−1+2b−1≥4+2√22a−1⋅2b−1=8，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，所以4a 2a−1+2b b−1的最小值为8．19．（12分）已知函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，且f （0）＝0．（1）求函数f （x ）的解析式，并判断其奇偶性；（2）判断函数f （x ）在R 上的单调性，并利用单调性定义法证明．解：（1）∵函数f(x)=1−42a x +a （a ＞0且a ≠1）的定义域为R ，f(0)=1−42+a=0，解得：a ＝2， ∴f(x)=1−22x +1，f(x)=2x −12x +1，f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．（2）设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，∴f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=2(2x 1+1−2x 2−1)(2x 1+1)(2x 2+1)=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵2x 1+1＞0，2x 2+1＞0，2x 1−2x 2＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即当x 1＜x 2时，f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）在R 上单调递增．20．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4．（1）若t ＝1，求f （x ）在[﹣1，3]上的值域；（2）若存在x ∈[4，10]，使得不等式f （x ）＜tx 有解，求实数t 的取值范围．解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4，因为t ＝1，则f （x ）＝x 2+4，又由﹣1≤x ≤3，当x ＝0时，f （x ）有最小值4，当x ＝3时，f （x ）有最大值13，则有4≤f （x ）≤13，即函数f （x ）的值域为[4，13]（2）f （x ）＝x 2﹣2（t ﹣1）x +4＜tx 整理得x 2+2x +4＜3tx因为x ∈[4，10]，所以3t ＞x 2+2x+4x =x +4x+2 令g(x)=x +4x ，设x 1，x 2∈[4，10]，且x 1＞x 2，则g(x 1)−g(x 2)=x 1+4x 1−(x 2+4x 2)=(x 1x 2−4)(x 1−x 2)x 1x 2， 因为x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＞0，所以g （x 1）﹣g （x 2）＞0，即g （x 1）＞g （x 2），所以g(x)=x +4x 在[4，10]单调递增，所以当x ＝4时，(x +4x +2)min =7，所以t 的范围为{t |t ＞73}．21．（12分）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每年生产x 千件，需另投入成本C （x ）．当年产量不足50千件时，C(x)=12x 2+20x （万元）；年产量不小于50千件时，C(x)=51x +3600x −600（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）∵每千件商品售价为50万元，∴x 千件产品销售额为50x ，当0＜x ＜50时，L （x ）＝50x −(12x 2+20x)−200=−12x 2+30x −200，当x ≥50时，L （x ）＝50x −(51x +3600x −600)−200=400−(x +3600x )． 综上所述，L （x ）={−12x 2+30x −200，0＜x ＜50400−(x +3600x )，x ≥50． （2）当0＜x ＜50时，L （x ）=−12(x −30)2+250，则L （x ）≤L （30）＝250万元，当x ≥50时，L （x ）=400−(x +3600x )≤400−2√x ⋅360x =400﹣120＝280，当且仅当x =3600x，即x ＝60时，等号成立，由于280＞250， 则当年产量为60千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是280万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −a|−9x+a ，a ∈R ．（1）若a ＝0，求f （x ）的单调递增区间；（2）若函数f （x ）在[1，a ]上单调，且对任意x ∈[1，a ]，f （x ）＜﹣2恒成立，求a 的取值范围；（3）当a ∈（3，6）时，函数f （x ）在区间[1，6]上的最大值为M （a ），求M （a ）的函数解析式． 解：（1）当a ＝0时，f(x)=|x|−9x (x ≠0)，x ＞0时，f(x)=x −9x ，由y ＝x 与y =−9x 在（0，+∞）单调递增可知，此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），x ＜0时，f(x)=−x −9x ，此时由对勾函数的性质可知，f （x ）的单调增区间为（﹣3，0），∴此时f （x ）的单调增区间为（0，+∞），（﹣3，0）．（2）当x ∈[1，a ]时，f(x)=−x −9x +2a ，因为函数f （x ）在[1，a ]上单调，所以1＜a ≤3，此时f （x ）在[1，a ]上单调递增，f(x)max =f(a)=−9a +a ，由题意：f(x)max =−9a +a ＜−2恒成立，即a 2+2a ﹣9＜0，所以−√10−1＜a ＜√10−1，又1＜a ≤3，∴1＜a ＜√10−1，即a 的取值范围为（1，√10−1）．（3）当x ∈[1，6]时，f(x)={−x −9x +2a ，x ∈[1，a]x −9x ，a ∈(a ，6]， 又a ∈（3，6），由上式知，f （x ）在区间（a ，6]单调递增，当a ∈（3，6）时，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，所以，f （x ）在[1，3）上单调递增，在[3，a ]上单调递减，（a ，6]上单调递增，则f(x)max =max{f(3)，f(6)}=max{2a −6，92}={92，a ∈(3，214)2a −6，a ∈[214，6)，综上所述，函数f（x）的最大值的表达式为：M(a)={92，a∈(3，214)2a−6，a∈[214，6)．。

浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题 1．已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则AB =（ ）A ．｛1，2｝B ．｛（1，2）｝C ．（1，2）D ．∅【答案】D 【解析】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此A B =∅.故选：D2．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A ．()8x f x =B ．()2f x x =C ．()2f x x -= D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=- 所以幂函数为()2f x x -=.故选：C3．溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C4．已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(),1-∞-D ．()2,+∞【答案】B 【解析】()3f x <，()33f x ∴-<<又()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B5．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.7．已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A ．()()04f f =- B ．()()04f f =C ．()()22f f -=D ．()20f =【答案】A 【解析】函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--，∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A8．已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<【答案】D【解析】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D9．已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ） A ．5a B ．5C ．3aD ．3【答案】B 【解析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意.所以12t =-，22t =+，当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B10．已知定义在R 上的函数()f x 满足)f x x =，则下列函数中为增函数的是（ ）A ．21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D ．()lg 1y f x =+【答案】C【解析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t x ＞0，则1x t=，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0）， 当1x x ≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减；对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x+1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ． 二、填空题11．已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________． 【答案】－3 4 【解析】1A ∈，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 412．已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】9【解析】若3c =，则53b=，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35abc ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c= 由112a b +=，即35112log log c c +=由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c =即215c =，所以c =.13．函数()f x =___________；值域为___________．【答案】[]1,2 []0,1【解析】函数()f x =则220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤， 令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y =()f x =[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤，所以()[]0,1f x =.故答案为：[]1,2 ；[]0,114．已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】1 28x -【解析】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x 为奇函数，11()()22f f ∴-=-，又()()0,1,2x f x x ∈=，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 为奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．16．若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥【解析】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立，当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥. 17．设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1【解析】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．三、解答题18．已知集合(){}|ln 3A x y x =-，集合{}2|0B x x a =-<． （1）求A R ð； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12R A x x ⎧=<⎨⎩ð或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞+∞R ð（2）由()A B B =R ð，所以R B A ⊆ð，当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤，当B ≠∅时，20x a -<解得x <<由R B A ⊆ð12<，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.19．函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．解：（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x << 所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4xf x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x xm ⋅-⋅+-= 令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令 2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.20．如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设B P x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式； （2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．解：作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆，所以MP BP BMAD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54xBM =， 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=，35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADCMPC ∆∆，则MP PC MC ADDCAC==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -=，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+-3()62xL x BP MP BA AM =+++=+综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩（2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++ 令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()664t t t F t t t--+--==--+≤-当且仅当t =时，即4x =等号成立. 故()F x的最大值为6-又162->. 综上所述：()F x的最大值为6-21．已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-. （2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤，1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-；当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a af a -⎧≤⎪⎨⎪≤⎩， 11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ； 当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩ 12a Ra a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥综上可得：1a ≤-或2a ≥22．已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增． （1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求1(21)2f x -≥的解集． 解：（1）由对于任意x ，y ∈R 满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =； 令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±，令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f <<所以(0)0f =，(1)1f =. 综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()* 令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅ 因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=- 代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-， 显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=， 所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=- 即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =， 由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k +≤-≤+∈Z 解得2422,33k x k k +≤≤+∈Z故不等式的解集为2422,33xk x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z。

浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题 1．已知集合(){},|1A x y y x ==+，集合{}|2,0xB y y x ==≥，则A B =I（ ）A ．｛1，2｝B ．｛（1，2）｝C ．（1，2）D ．∅【答案】D 【解析】由集合(){},|1A x y y x ==+知集合A 中的元素为直线1y x =+上的点，集合{}|2,0xB y y x ==≥知集合B 中的元素为2,0xy x =≥的值域，显然集合A 为点构成的集合，集合B 为实数构成的集合，因此A B =∅I . 故选：D2．已知点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是（ ） A ．()8x f x =B ．()2f x x =C ．()2f x x -= D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设幂函数为y x α=，把点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得124α=，解得2α=-所以幂函数为()2f x x -=.故选：C3．溶液的酸碱度是通过PH 值来刻画的，已知某溶液的PH 值等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，若某溶液氢离子的浓度为610/mol L -，则该溶液的PH 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】由题意可得：该溶液的PH 为6lg106--=故选：C4．已知()y f x =是R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足()3f x <的x 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()1,2-C ．(),1-∞-D ．()2,+∞【答案】B【解析】()3f x <Q ，()33f x ∴-<< 又Q ()y f x =是R 上的增函数，根据表格∴12x -<<.故选：B5．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【答案】D【解析】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选：D ．6．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ， 所以舍去C ；因此选B.7．已知()2y f x =-是偶函数，则下列选项正确的是（ ） A ．()()04f f =- B ．()()04f f =C ．()()22f f -=D ．()20f =【答案】A【解析】Q 函数()2y f x =-是偶函数，∴(2)(2)f x f x -=--， ∴()f x 的图像关于2x =-对称，()()04f f ∴=-故选：A8．已知关于x 的不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．122x x +=B ．123x x <-C ．214x x ->D ．1213x x -<<<【答案】D【解析】由不等式()()()13100a x x a +-+>≠的解集是()()1212,x x x x <， 则可知0a <，且()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x ，不妨设()()()()130f x a x x a =+-≠，由函数与方程的关系()()()13100a x x a +-+=≠的两根为1x 、2x 化为()f x 与1y =-的交点的横坐标为1x 、2x ，由图二次函数的对称轴为1x =，又12x x <，所以11x <-，23x >， 因此D 错误. 故选：D9．已知函数()221141f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰有三个不同的零点，则该三个零点之和为（ ） A ．5a B ．5C ．3aD ．3【答案】B 【解析】令1t x x=+，则()f x 有三个零点等价于关于t 的方程2(2)610a t a --+=有两解，且其中一解为2或2-，另一解大于2或小于2-.当0a =不合题意，所以2(2)610a t a --+=得21(2)6t a-=-. 若160a-<，则该方程无解，不合题意.所以12t =-，22t =，当12t =，此时22t =不符合题意 当12t =-，此时26t =，解得110a =- 由1t x x =+，当11x t x +=，解得11x =-，当21x t x+=整理2610x x -+= 所以236x x +=，所以1235x x x ++=. 故选：B10．已知定义在R 上的函数()f x 满足)f x x =，则下列函数中为增函数的是（ ）A ．21y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．121x y f ⎛⎫= ⎪+⎝⎭D ．()lg 1y f x =+【答案】C【解析】利用换元法先求出函数f （x ）的解析式，再求出其单调性，然后利用复合函数“同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论． 【详解】解：令t x ＞0，则1x t=，两式相减得：122t x t =-， ∴()122t f t t =-， ∴()112f x x x=-（x ＞0）， 当1x x ≥即0＜x ≤1时，()112f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()21'10f x x =--＜，则f （x ）在（0，1]上单调递减；同理可得f （x ）在[1，+∞）上单调递增； 对于A 选项，令21u x =，其在（0，+∞）上单调递减，所以原函数（0，1]上单调递增；同理可得原函数在[1，+∞）上单调递减；对于B 选项，令1u x x=-，其在（0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，所以原函数在（0，+∞）上单调递减；对于C 选项，令u ＝2x +1＞1且在R 上单调递增，则原函数可化为111122y u u u u ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在（1，+∞）上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增； 对于D 选项，令u ＝lg |x |+1＞0得110x -＜或110x ＞，且其在110⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调． 故选：C ． 二、填空题11．已知集合{}2|20A x x ax =++=，且满足1A ∈，则a =___________，集合A 的子集个数为___________． 【答案】－3 4 【解析】1A ∈Q ，1∴满足方程220x ax ++=，代入可得3a =-，当3a =-时，方程为2320x x -+=，解方程可得11x =，22x = 所以集合{}1,2A =，所以集合A 的子集个数为224=. 故答案为：3- 412．已知35a b c ==，若3c =，则25b =___________，若112a b+=，则c =___________． 【答案】9【解析】若3c =，则53b=，所以5log 3b =，所以()552log 3log 322525539b ====因为35a b c ==，所以3log a c =，5log b c =，所以311log a c =，511log b c=由112a b +=，即35112log log c c +=由换底公式可得log 3log 52c c +=，所以log 152c =即215c =，所以c =.13．函数()f x =___________；值域为___________．【答案】[]1,2 []0,1【解析】函数()f x =则220x x -≥，解得函数的定义域为{}02x x ≤≤， 令2()2u x x x =-，对称轴为1x =，开口向下，所以()u x 在[]0,1上为增函数，在[]1,2为减函数，又y =()f x =[]1,2；由2()2u x x x =-，02x ≤≤，所以2021x x ≤-≤，即0()1u x ≤≤，所以()[]0,1f x =.故答案为：[]1,2 ；[]0,114．已知奇函数()f x 满足()()20f x f x ++=，当()0,1x ∈时，()2f x x =，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________；当()3,5x ∈时，()f x =___________． 【答案】1 28x -【解析】（1）由()()20f x f x ++=，则(2)()f x f x +=-，∴31()22f f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 又()f x Q 为奇函数，11()()22f f ∴-=-， 又()()0,1,2x f x x ∈=Q ，∴1()12f = ，311()()1222f f f ⎛⎫∴=--== ⎪⎝⎭（2）Q ()()20f x f x ++=，(2)()f x f x ∴+=-，[](2)2(2)()f x f x f x ∴++=-+=，()f x ∴是以4为周期的函数，当()3,5x ∈时，则()41,1x -∈-()f x 为奇函数，由()0,1x ∈，()2f x x =，所以当()1,1x ∈-，则()2f x x =所以()3,5x ∈，()(4)2(4)28f x f x x x =-=-=- 故答案为： 1 ； 28x -15．某班有40名同学报名参加集邮、辩论、摄影课外兴趣小组，要求每位同学至少参加其中一项，已知参加集邮、辩论、摄影兴趣小组的人数分别为25，15，13，同时参加三项的同学有2人，只参加集邮与辩论两项的同学有6人，则只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为___________． 【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则815825213m y n x x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，且m +n +x +y +z +8＝40， ∴7﹣y +17﹣x +x +y +z +8＝40， 解得z ＝8．∴只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为8． 故答案为：8．16．若不等式13x a x x -++≥对任意[]2,2x ∈-都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】{1a a ≤-或}5a ≥【解析】解：当x ∈[﹣2，0]时，3x ≤0，所以对任意的a ，显然成立，当x ∈[0，2]时，由|x ﹣a |+|x +1|≥3x 可得，|x ﹣a |≥3x ﹣x ﹣1＝2x ﹣1， 当x ∈[0，12]时，显然成立， 当x ∈[12，2]时，2x ﹣1≥0，所以（x ﹣a ）2≥（2x ﹣1）2， 化简得3x 2+x （2a ﹣4）21a +-≤0，在x ∈[12，2]上恒成立，所以2212431042124810a a a a -⎧⨯++-≤⎪⎨⎪+-+-≤⎩， 解得：a ≤﹣1，或a ≥5． 故答案为：{1a a ≤-或}5a ≥. 17．设0a >，函数()()21,02,0x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨-->⎩，()y f x =有无数个零点，则实数a 的最大值为___________． 【答案】1【解析】解：因为a ＞0，函数()()21020x a x f x f x a x -+≤⎧=⎨--⎩，，＞，当x ≤0时，图象是射线；当0＜x ≤a 时，﹣a ＜x ﹣a ≤0，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（﹣a ，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）＝﹣2f （x ﹣a ）的图象是把（0，a ]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a 个单位长度；以此类推；若f （x ）有无数个零点，则只要f （x ）在（﹣a ，0]上有零点，即x 12a -=∈（﹣a ，0]， ∴a ∈（13，1]，故a 的最大值为1； 故答案为：1．三、解答题18．已知集合(){}|ln 3A x y x =-，集合{}2|0B x x a =-<． （1）求A R ð；（2）若()A B B =R I ð，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意得21030x x -≥⎧⎨->⎩ 解得132x ≤<，即132A x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭所以12R A x x ⎧=<⎨⎩ð或}3x ≥，故[)1(,)3,2A =-∞+∞R U ð （2）由()AB B =R I ð，所以R B A ⊆ð， 当B =∅时，20x a -<无解，即0a ≤，当B ≠∅时，20x a -<解得x <<由R B A ⊆ð12<，解得14a <. 综上所述，14a <，即实数a 的取值范围为1(,)4-∞.19．函数()()2log 21xf x =-．（1）解不等式()1f x <；（2）若方程()()4log 4xf x m =-有实数解，求实数m 的取值范围．解：（1）由()1f x <，即2log (21)1x -<，所以0212x <-<，123x <<，解得20log 3x <<所以不等式的解集为{}20log 3x x <<.（2）由()()4log 4x f x m =-实数根，即()()221log 21log 42x x m -=-有实数根，所以21x -=有实根，两边平方整理可得22(2)2210x x m ⋅-⋅+-=令2x t =，且1t >，由题意知22()210t t m ⋅-⋅+-=有大于1根即可，即22()21t t m ⋅-⋅+=，令 2()2()21g t t t =⋅-⋅+，1t >，故()1g t >故1m >.故实数m 的取值范围1m >.20．如图，已知ABC △，5AB AC ==，8BC =，点P 从B 点沿直线BC 运动到C 点，过P 做BC 的垂线l ，记直线l 左侧部分的多边形为Ω，设BP x =，Ω的面积为()S x ，Ω的周长为()L x ．（1）求()S x 和()L x 的解析式；（2）记()()()S x F x L x =，求()F x 的最大值．解：作ABC △的高AD ，由5AB AC ==，8BC =，所以3AD = ，当04x <≤时，则ABD MBP ∆∆:，所以MP BP BM AD BD BA==， 由BP x =，则34x MP =，54x BM =，所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅=， 35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当48x <≤时，由ADC MPC ∆∆:，则MP PCMCAD DC AC ==，所以3(8)4x MP -=，5(8)4x MC -= ，5204x AM -= 213()2061228ABC MPC S x S S PC MP x x =-=-⋅=-+- 3()62x L x BP MP BA AM =+++=+ 综上所述， 223(04)8()3612(48)8x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ ()304()36(48)2x x L x x x ⎧<≤⎪=⎨+<≤⎪⎩ （2）由（1）当04x <≤时，()()()110,82S x F x x L x ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，()F x 的最大值为12当48x <≤时，()()()22361248843462x x x x S x F x L x x x -+--+-===++ 令[]44,12t x =+∈，则4x t =-，所以21(4)4(4)8284()664t t t F t t t--+--==--+≤-当且仅当t =时，即4x =等号成立.故()F x的最大值为6-又162->. 综上所述：()F x的最大值为6-21．已知函数()()1f x x a x =+-．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当[]2,2x ∈-时，不等式2()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）当3a =时，()()(3)(1)11(3)(1)1x x x f x x a x x x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩结合图像可知函数的增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞；函数的减区间为(1,1)-.（2）由于()()()(1)11()(1)1x a x x f x x a x x a x x +⋅-≥⎧=+-=⎨-+⋅-<⎩当1a -≥时，即1a ≤-时，只需2(2)f a ≤， 1a ∴≤-或2a ≥，从而得到1a ≤-； 当1122a a -<⎧⎪⎨->-⎪⎩时，即15a -<<时，只需221()(2)a f a a f a-⎧≤⎪⎨⎪≤⎩， 11312a a a a ⎧≥≤-⎪∴⎨⎪≤-≥⎩或或 从而得到25a ≤< ；当1122a a -<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩时，即5a ≥时，只需22(2)(2)f a f a ⎧-≤⎨≤⎩12a R a a ∈⎧∴⎨≤-≥⎩或 ，从而得到5a ≥ 综上可得：1a ≤-或2a ≥22．已知定义在R 上的函数()f x 且不恒为零，对,x y ∀满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，且()f x 在[]0,1上单调递增．（1）求()0f ，()1f 的值，并判断函数()f x 的奇偶性；（2）求1(21)2f x -≥的解集． 解：（1）由对于任意x ，y ∈R 满足()()()()()11f x y f x f y f y f x +=-+-，令0x y ==， 则(0)(0)(1)(0)(1)2(1)(0)f f f f f f f =⋅+⋅=⋅，所以(0)0f =或1(1)2f =； 令1x =，0y =，则(1)(1)(1)(0)(0)f f f f f =⋅+⋅，上一步若1(1)2f =，代入可得1(0)2f =±， 令12x y ==，11()22f =±，因为()f x 在[]0,1上单调递增，所以1(0)()(1)2f f f << 所以(0)0f =，(1)1f =.综上所述：(0)0f =；(1)1f =令y x =-，则[]()()()()()11f x x f x f x f x f x +-=++-- ()*令1x =，y x =，则(1)(1)(1)()(0)f x f f x f x f +=⋅-+⋅因为(0)0f =，(1)1f =，所以(1)(1)f x f x +=-代入()*式得[](0)0(1)()()f f x f x f x ==+⋅+-，显然(1)f x +不等于0，所以()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数.（2）由（1）可得()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-即函数()f x 的最小正周期为4. 令13x y ==，则 2121233333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11()32f =，由（1）可得51()32f =，根据函数在[]22-,的图像以及函数的周期性， 观察得 若1(21)2f x -≥，则154214,33k x k k +≤-≤+∈Z 解得2422,33k x k k +≤≤+∈Z 故不等式的解集为2422,33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z。