最新浙江省普通高中数学学业水平考试试卷(有答案)

浙江学考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。

）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 1，求下列哪个表达式的值恒为正？A. ab + bc + acB. a^2 + b^2 + c^2C. (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2D. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc（以下选择题依此类推，共10题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

请将答案直接填写在题后的横线上。

）1. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值为______。

2. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值为______。

（以下填空题依此类推，共5题）三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分。

请在答题卡上作答，并写出必要的计算步骤。

）1. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

2. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC为直角三角形。

3. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 100 + 50x，销售价格为P(x) = 200 - 2x，其中x为生产数量。

求该工厂的最优生产数量，使得利润最大化。

四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

请在答题卡上作答，并写出证明过程。

）1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

2. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。

（以下为参考答案部分）一、选择题答案：1. C2. C （以下答案依此类推，共10题）二、填空题答案：1. 72. 37 （以下答案依此类推，共5题）三、解答题答案：1. 解：当x ≥ 3时，不等式化为x - 1 + x - 3 ≥ 5，解得x ≥ 5；当1 ≤ x < 3时，不等式化为x - 1 + 3 - x ≥ 5，此时不等式无解；当x < 1时，不等式化为1 - x + 3 - x ≥ 5，解得x ≤ -1/2。

浙江省绍兴市2024年6月普通高中学业水平适应性考试数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={0,1,3}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {0}B. {−1,0}C. {0,1}D. {−1,0,2}2.复数1+i 的模长为( )A. 2 B. 1 C. 2 D. −13.函数f(x)=(6x )2的定义域为( )A. RB. [0,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,0)∪(0,+∞)4.已知tan φ=43(φ⩽|π2|)，则cos φ=( )A. 35 B. −35 C. 45 D. −455.已知a >0，则下列计算正确的是( )A. (23)α×(23)1α=23 B. a 23×a 13=0C. ln a log 2a =ln2D. log 3a +log 31a =16.在空间中，有一平面α，平面内有一直线l ，平面外有一点P ，下列说法正确的是( )A. 过点P 且与平面α垂直的直线不止一条B. 过点P 且与直线l 垂直的直线有且仅有一条C. 过点P 的直线l 1与直线l 的夹角的余弦值有可能为−35D. 过点P 的直线l 1与平面α的夹角的余弦值不可能为−357.下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则( )A. 该同学数学学科成绩一定下降B. 该同学政治学科成绩一定下降C. 该同学化学学科成绩可能下降D. 该同学语文学科成绩一定提升8.在正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在BC 的延长线上，CF =BC ，则异面直线AF 和DE 所成角的正弦值为( )A. 13B. 2 23C. 15D. 2 659.已知定义域为R 的函数f(x)=(m n )x ，若对任意x 1<0，x 2>0，均有f(x 1)>f(x 2)恒成立，则下列情形可能成立的是( )A. n >m >0B. n >0>mC. 0<n <mD. m <n <010.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了两个问题：问题1:你父亲的公历生日日期是不是奇数?问题2:你是否经常吸烟?调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有的50个白球和50个红球的袋子，这些小球除了颜色外完全相同.每个被调查者随机从袋中摸取一个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答问题1，摸到红球的学生如实回答问题2.已知在被调查的200人中，共有54人回答“是”，试估计这个地区中学生吸烟的百分比最接近( )A. 54%B. 27%C. 13.5%D. 4%11.若存在x 0∈[0,π3]，使函数f(x)=sin (ωx +π4)(ω∈Z +)的图象关于A(x 0,0)对称，则ω的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 412.在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面α，平面α截正方体的截面面积为S ，从剩余9条棱的中点在平面α的投影为A 1，A 2，⋯，A 9，记i ，j ，k ∈{1,2,⋯,12}，当S 最大时，则A i A j ⋅A i A k 的最小值为( )A. −12B. −43C. −2D. −1二、多选题：本题共4小题，共20分。

2024年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01（考试时间：80分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则()A B ⋃R ð＝（）A ．{}|1x x >B ．{}1|x x ≥-C ．{}|12<≤x x D ．{}|12x x ≤≤【答案】B【分析】由补集和并集的定义直接求解.【详解】集合{}|12A x x =-≤≤，{}|1B x x =<，则{}1|B x x =≥R ð，(){}1|=A B x x ≥-R ð.故选：B2．已知复数z 满足(1i)2i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数1i z =-+，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(1i)2i z -=，可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z ⋅+===-+--+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,1)Z -位于第二象限.故选：B.3．函数lg(2)y x =-的定义域是（）A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】C【分析】由对数函数的性质可得函数lg(2)y x =-的定义域．【详解】由函数lg(2)y x =-，得到20x ->解得x 2<，则函数的定义域是(),2∞-，故选：C ．4．三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】A【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A5．已知向量()1,2a =r ，(),3b λ= ，若a b ⊥，则λ=（）A ．6-B ．32-C ．32D ．6【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解.【详解】因为()1,2a =r ，(),3b λ= ，a b ⊥，所以60a b λ⋅=+=，解得6λ=-.故选：A.6．从甲、乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲，乙两人中只有一人被选中的概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】B【分析】利用古典概型，列举计算事件数，即得解.【详解】将甲，乙分别记为x ，y ，另2名同学分别记为a ，b ．设“甲，乙只有一人被选中”为事件A ，则从4名同学中随机选出2名同学参加社区活动的所有可能情况有(),x y ，(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，(),a b ，共6种，其中事件A 包含的可能情况有(),x a ，(),x b ，(),y a ，(),y b ，共4种，故42()63P A ==．故选：B7．在ABC 中，已知D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，若AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则实数λμ+=（）A ．14B ．12C ．34D ．1【答案】C【分析】根据D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，得到11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D 是AB 边上的中点，G 是CD 的中点，所以11,22AD AB CG CD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以12AG AC CG AC CD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，()111242AC AD AC AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为AG AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，所以11,42λμ==，则34λμ+=，故选：C8．若棱长为）A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.9．如图，在四面体ABCD 中，,E F 分别是AC 与BD 的中点，若24CD AB ==，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°【答案】D【分析】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，由三角形中位线定理可得GF AB ∥，GE CD ∥，则GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成的角，结合2AB =，4CD =，EF AB ⊥，在GEF △中，利用三角函数相关知识即可得到答案.【详解】设G 为AD 的中点，连接,GF GE ，则,GF GE 分别为,ABD ACD △△的中位线，所以GF AB ∥，112GF AB ==，GE CD ∥，122GE CD ==，则EF 与CD 所成角的度数等于EF 与GE 所成角的度数，即GEF ∠或其补角即为EF 与CD 所成角，又因为EF AB ⊥，GF AB ∥，所以EF GF ⊥，则GEF △为直角三角形，1GF =，2GE =，90GFE ∠=︒，在直角GEF △中，1sin 2GEF ∠=，即30GEF ∠=︒，所以EF 与CD 所成角的度数为30°.故选：D10．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21xf x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C11．已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．45-D ．45【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.12．若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B．52C．3D．3+【答案】D【分析】先把x y xy +=转化为111x y +=，再将2211x yx y x y +=+--，根据基本不等式即可求出．【详解】0x >，0y >且x y xy +=，111x y∴+=，211x y x y +-- ，()()2211xy x xy y x y -+-=--，21x y xy x y +=--+2x y =+，()112x y x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2333x yy x =++≥++当且仅当2x yy x =，即12x =+，1y =+故211x y x y +--的最小值为3+故选：D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列说法中正确的是（）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=【答案】BC【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，依题得到1020x y +=⎧⎨+=⎩，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0的情况.【详解】对于A 项，由10x y ++=可得：=1y x --，可得直线10x y ++=在y 轴上的截距是1-，故A 项错误；对于B 项，由20mx y m +++=可得：(1)20m x y +++=，因R m ∈，则有：1020x y +=⎧⎨+=⎩，故直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--，故B 项正确；对于C 项，不妨设(0,0),(1,1)A B -,直线:10l x y --=，因直线AB 的斜率为1-与直线l 的斜率为1的乘积为1-，则得AB l ⊥,又由点A 到直线l与点B 到直线l 相等，且在直线l 的两侧，故点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-，即C 项正确；对于D 项，因过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有2y x =，故D 项错误.故选：BC.14．已知()π,0θ∈-，7sin cos 13θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-B ．12cos 13θ=C ．5tan 12θ=D ．17sin cos 13θθ-=-【答案】BD【分析】先利用题给条件求得sin ,cos θθ的值，进而得到θ的范围，tan θ的值和sin cos θθ-的值.【详解】由7sin cos 13θθ+=可得，7cos sin 13θθ=-，则227sin sin 113θθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即524sin 2sin 01313θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得12sin 13θ=或5sin 13θ=-,又()π,0θ∈-，则5sin 13θ=-，故12cos 13θ=，则选项B 判断正确；由5sin 013θ=-<，12cos 013θ=>可得θ为第四象限角，又()π,0θ∈-，则π,02θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则选项A 判断错误；sin θ5tan θcos θ12==-，则选项C 判断错误；51217sin cos 131313θθ-=--=-，则选项D 判断正确.故选：BD15．已知函数()()e ,021,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有两解，则实数a 的值可能为（）A ．1ea =B ．1a =C ．ea =D ．3a =【答案】BD【分析】根据题意分析可得方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，结合()y f x =的单调性与值域以及图象分析判断.【详解】①当0x ≤时，()e xf x =在(],0-∞内单调递增，且()01f =，所以()(]0,1f x ∈；②当0x >时，则()(]*2e ,1,,k x k f x x k k k -=∈-∈N ，可知()f x 在(]*1,,k k k -∈N 内单调递增，且()()21,2ekk f k f k -==，所以()*2,2,e k k f x k ⎛⎤∈∈ ⎥⎝⎦N ，且12222,e e k k kk ++<<∈N .方程()f x a =的根的个数可以转化为()y f x =与y a =的交点个数，可得：当0a ≤时，()y f x =与y a =没有交点；当20e a <≤时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；当122,ek k a k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有2个交点；当222,ek ka k +<≤∈N 时，()y f x =与y a =有且仅有1个交点；若关于x 的方程()f x a =有两解，即()y f x =与y a =有且仅有2个交点，所以实数a 的取值范围为12,2,e k k k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦N ，因为281,1,3,4e e ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，而A 、C 不在相关区间内，所以A 、C 错误，B 、D 正确.故选：BD.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是4+B ．直三棱柱的外接球表面积是4πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置无关D ．1AE EC +的最小值为【答案】ACD【分析】首先计算AC 长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A ；首先计算ABC 外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B ；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C ；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.【详解】A.ABC 中，AC =，所以直棱柱的侧面积为(1124++⨯=+，故A 正确；B.ABC 外接圆的半径12sin120ACr ==，所以直棱柱外接球的半径R =则直三棱柱外接球的表面积24π8πS R ==，故B 错误；C.因为11//BB AA ，且1BB ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以1//BB 平面11AAC C ，点E 在1BB 上，所以点E 到平面11AAC C 的距离相等，为等腰三角形ABC 底边的高为12，且1AAO 的面积为122⨯=则三棱锥1E AAO -的体积为定值1132=，与点E 的位置无关，故C 正确；D.将侧面展开为如图长方形，连结1AC ,交1BB 于点E ，此时1AE EC +=D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D 选项解决的关键是将平面11AA B B 与11CC B B 展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，则()2f =；若()10f x =，则x =．【答案】4-；3-.【分析】利用分段函数的性质计算即可.【详解】由条件可知()2224f =-⨯=-；若()201103x f x x x ≤⇒=+=⇒=-，若()021050x f x x x >⇒=-=⇒=-<，不符题意.故答案为：4-；3-18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为.【解析】求出抛物线的焦点，可得双曲线的c ，运用离心率公式可得a ，再由a ，b ，c 的关系，求得b ，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．【详解】解：抛物线216y x =的焦点为(4,0)，则双曲线的4c =，双曲线的离心率等于2，即2ca=，可得2a =，b ==则双曲线的渐近线方程为y =，顶点坐标为(20)±,，可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d =【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．已知a 、b 、c 分别为ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为．【分析】先求出角A 的大小，由1sin 2S bc A =，考虑余弦定理建立,b c 的方程，再由基本不等式求bc 的最大值.【详解】解析：因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，根据正弦定理可知(a b)()(c b)a b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可知1cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π3A =，又因为2a =，所以224b c bc +-=，2242b c bc bc bc bc =+-≥-=（当且仅当b c =时取等号），即4bc ≤所以11sin 422S bc A =≤⨯=ABC20．已知定义在R 上的函数()f x 在(,3)-∞-上是减函数，若()() 3g x f x =-是奇函数，且()03g =，则满足不等式()0xf x ≤的x 的取值范围是．【答案】][3(),6,-∞-⋃-+∞【分析】由已知条件，可得()g x 是奇函数，则()f x 关于(3,0)-对称，可得()f x 在(,3)-∞-与(3,)-+∞上是减函数，且()()060f f -==，(3)0f -=，画出()f x 对应的函数草图，可得不等式()0xf x ≤的x 的取值范围.【详解】解：将()f x 向右平移3个单位，可得到()3f x -，由()() 3g x f x =-是奇函数，可得()g x 关于原点对称，则()f x 关于(3,0)-对称，且()00(3)g f =-=，由()f x 在(,3)-∞-上是减函数，可得()f x 在(3,)-+∞上也是减函数，由()03g =，可得()()033g g =-=，故可得：()()060f f -==，可得()f x 对应的函数草图如图，可得()0xf x ≤的解集为：][3(),6,-∞-⋃-+∞，故答案为：][3(),6,-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，注意数形结合解题，属于难题.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．为了解某项基本功大赛的初赛情况，一评价机构随机抽取40名选手的初赛成绩(满分100分)，作出如图所示的频率分布直方图：（1）根据上述频率分布直方图估计初赛的平均分；（2）假设初赛选手按1:8的比例进入复赛(即按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛)，试估计能进入复赛选手的最低初赛分数.注：直方图中所涉及的区间是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].【答案】（1）平均分的估计值为72分；（2）最低初赛分数为85分.【分析】（1）利用每小组中间值乘以每小组频率，再求和即可；（2）先设最低分数为x ，依题意大于x 的成绩的频率为0.125，即解得x .【详解】解：（1）由频率分布直方图得样本平均分550.15650.25750.4850.15950.0572x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此，初赛平均分的估计值为72分；（2）根据频率分布直方图，设40名选手进入复赛的最低分数为x ，依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05，成绩落入区间[80,90)的频率是0.15，按初赛成绩由高到低进行排序，前12.5%的初赛选手进入复赛，可判断x 在[80,90)内，则(90)0.0150.050.125x -⨯+=，解得85x =.因此，估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分.22．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的最小正周期是π.（1）求ω值；（2）求()f x 的对称中心；（3）将()f x 的图象向右平移3π个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间.【答案】（1）2；（2）,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈；（3）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【分析】（1）由()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且2T ππω==，即可求ω值；（2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心即可求()f x 的对称中心；（3）由函数平移知()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，结合正弦函数的单调性即可求()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又0ω>，∵2T ππω==，∴2ω=.（2）由（1）知，()2sin 23f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，解得26k x ππ=-.∴()f x 的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈.（3）将()f x 的图像向右平移3π个单位后可得：2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()sin 23g x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，由22232k x k πππππ-≤-≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈.∴()g x 的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【点睛】关键点点睛：（1）应用辅助角公式求三角函数解析式，结合最小正周期求参数.（2）根据正弦函数的对称中心，应用整体代入求()f x 的对称中心.（3）由函数图像平移得()g x 解析式，根据正弦函数的单调增区间，应用整体代入求()g x 的单调增区间.23．函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求实数,a b 的值；(2)用定义证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解关于x 的不等式()()10f x f x -+<．【答案】(1)1a =±，0b =(2)证明见解析(3)102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性、单调性与定义域列式即可得解.【详解】（1）函数()221a xb f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数所以()00f =，则()0001b f b ===+，所以()221a x f x x =+因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2112212514a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭+，则21a =，所以1a =±，此时()21x f x x =+，定义域关于原点对称，又()()()2211xx f x f x x x --==--+-+，所以()f x 是奇函数，满足题意，故1a =±，0b =.（2）由（1）知()21x f x x =+．设12,x x 是()1,1-内的任意两个实数，且12x x <，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，因为()()22121212110,0,10x x x x x x --<+>>+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()1,1-上是增函数.（3）因为()()10f x f x -+<，所以()()1f x f x -<-，即()()1f x f x -<-，则111111xxx x-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，所以021112xxx⎧⎪<<⎪-<<⎨⎪⎪<⎩，所以12x<<，即此不等式解集为12x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。

2024年6月浙江省学业水平第二次适应性联考高二数学学科试题（答案在最后）考生须知：1.本试题卷共4页，满分100分，考试时间80分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.已知集合{25}A xx =-≤<∣，{}3,0,3B =-，则A B = （）A.{}0 B.{}2,0- C.{}0,3 D.{}2,0,3-【答案】C 【解析】【分析】由交集定义运算即可得结果.【详解】根据交集运算可求得{}0,3A B ⋂=.故选：C2.复数12024i z =-（i 为虚数单位）的虚部是（）A .1B.2024- C.2024D.2024i-【答案】B 【解析】【分析】利用复数的概念及虚部的定义可得结果.【详解】由复数的概念可得12024i z =-的虚部是2024-.故选：B3.函数()1sin f x x=的定义域为（）A.(]0,1 B.[)1,0- C.[]1,1- D.[)(]1,00,1- 【答案】D 【解析】【分析】根据开偶次方被开方数非负以及分母不能为零结合一元二次不等式以及三角不等式即可求解.【详解】由题得210sin 0x x ⎧-≥⎨≠⎩，11,Z x x k k π-≤≤⎧⇒⎨≠∈⎩，10x -≤<或01x <≤，所以函数()1sin f x x=的定义域为[)(]1,00,1- .故选：D.4.样本数据1，3，5，6，7，10的中位数为（）A.5 B.5.5C.6D.5或6【答案】B 【解析】【分析】根据中位数定义计算即可.【详解】把数据从小到大排列为1，3，5，6，7，10，可得中位数为565.52+=.故选：B.5.下列函数在定义域上为减函数的是（）A.()21f x x =-B.()1f x x=C.()sin f x x= D.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性分别判断各个选项即可.【详解】()21f x x =-在()-∞+∞，上是单调增函数，A 选项错误；()1f x x=,()()()()11,11,11f f f f -=-=-<,()f x 不是单调减函数，B 选项错误；()sin f x x =,()()()()ππ0sin00,sin =1,01,22f f f f f x ⎛⎫===< ⎪⎝⎭不是单调减函数，C 选项错误；()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，D 选项正确.故选：D.6.已知tan 3α=，则cos 2sin 3sin cos αααα-+的值（）A.12-B.12C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的基本关系将弦化切代入可得结果.【详解】由sin tan 3cos ααα==可得cos 0α≠，将分式cos 2sin 3sin cos αααα-+的分子和分母同时除以cos α可得，cos 2sin 12tan 12313sin cos 3tan 13312αααααα---⨯===-++⨯+.故选：A7.已知()ln f x x =，若13a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2b f =，()4c f =，则（）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c<< D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数性质可求得当1x ≥时，函数()ln f x x =为单调递增，即可得出结论.【详解】由()ln f x x =可得()ln ,1ln ,01x x f x x x ≥⎧=⎨-<<⎩，易知()11ln ln 3ln 3333a f f ⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，易知ln 2,ln 4ln 3,a b c ===，由ln y x =为单调递增函数可得ln 2ln 3ln 4<<，即b a c <<；故选：B8.在一次数学考试中，超过85分（含85分）为优秀，现有5位学生成绩如下：79，83，87，90，95.从这5位学生中随机抽取2位，则抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率（）A.110B.15C.310 D.25【答案】C 【解析】【分析】依题意，由古典概型概率计算公式可得结果.【详解】根据题意可知，抽到的2位同学考试成绩组成的样本空间共有10个样本点；即{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}79,83,79,87,79,90,79,95,83,87,83,90,83,95,87,90,87,95,90,95；其中2位同学考试成绩都为优秀的样本点为{}{}{}87,90,87,95,90,95，共3个；所以抽到的2位同学考试成绩都为优秀的概率为310.故选：C9.已知实数R a ∈，()221xax f x =-是奇函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，化简得到11a -=，得到答案.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即222121x x ax ax--=---，故()11122222222111121a xax x x x ax ax ax ax -=⋅==-----，所以11a -=，解得2a =，经检验，2a =满足题意.故选：A10.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流30A I =时，放电时间15h t =；当放电电流40A I =时，放电时间8h t =.若计算时取lg20.3≈，lg30.477≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55【答案】C 【解析】【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数n .【详解】根据题意由nC I t =⋅可得3015408n nC C ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得30151408n n ⨯=⨯，即可得38415n⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边同时取对数可得38lg lg 415n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得38lg lg 415n =；即()3lg 2lg 31lg 2lg8lg154lg 2lg 3140.30.47712.25lg 3lg 4lg 32lg 2lg 32lg 20.47720.3n -+----⨯--===≈≈----⨯.故选：C11.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，若函数()32231f x x x =-+的图象关于点()00,x y 成中心对称图形，则（）A.00x =B.012x =C.01x =D.02x =【答案】B 【解析】【分析】设()00,x y 为()32231f x x x =-+图象的对称中心，00()()g x f x x y =+-为奇函数，利用()g x 为奇函数，则()()0g x g x -+=，即可得出结果.【详解】因为函数()32231f x x x =-+图象的对称中心为()00,P x y ，则3200000()()2()3()1g x f x x y x x x x y =+-=+-++-3223200000023(21)6()231x x x x x x x x y =+-+-+-+-，因为()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即3223200000023(21)6()231x x x x x x x x y -+---+-+-3223200000023(21)6()231x x x x x x x x y =------+-+，所以得320000210,2310x x x y -=-+-=，解得012x =，012y =.故选：B12.已知关于x 的不等式()21sin 221102x a x a x ⎛⎫⎡⎤--++≤ ⎪⎣⎦⎝⎭对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.11,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数()2211x a y x -++=与1sin 22y x a =-的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可得出结论.【详解】根据题意可得对于函数()2211x a y x -++=，当()22140a +-≤时，即3122a -≤≤时，0∆≤，此时满足()22110y x a x =-++≥恒成立，因此，只需1sin 202x a -≤恒成立即可，因此1in 4s a x ≥恒成立；又易知11sin 44x ≤，所以可得1a 4≥，因此可得1142a ≤≤；当()22140a +-≤时，即32a <-或12a >时，此时0∆>，若32a <-，可得1sin 202x a ->恒成立，因此只需满足()22110y x a x =-++<在()0,x ∈+∞上恒成立，显然不合题意；若12a >，可得1sin 202x a -<恒成立，因此只需满足()22110y x a x =-++>在()0,x ∈+∞上恒成立，不妨取1x =，可得()1211120y a a =-++=-<，显然不合题意；综上可知，实数a 的取值范围是11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C【点睛】方法点睛：解决三角不等式往往利用三角函数有界性，并根据恒成立条件限定出含参数不等式范围，即可求得结论.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13.已知向量()2,1a =，(),2b x = ，下列说法正确的是（）A.若a b ∥，则4x = B.若a b ⊥，则=1x -C.若b =，则1x = D.若()0a a b ⋅-= ，则32x =【答案】ABD 【解析】【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A ；根据两向量垂直的坐标运算判断B ；根据向量模长的坐表示判断C ；根据两向量的积的坐标运算判断D.【详解】因为()2,1a =，(),2b x = ，A 选项，若a b ∥，则有224x =⨯=，A 正确；B 选项，若a b ⊥，则有220x +=，解得=1x -，B 正确；C 选项，若b ==，即245x +=，解得1x =±，C 错误；D 选项，()2,1a b x -=--，若()0a a b ⋅-= ，则()2210x --=，即320x -=，解得32x =，D 正确.故选：ABD14.已知m ，n ，l 是三条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题中真命题是（）A.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥B.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，则l α⊥C.若m α⊥，l //β，l m ∥，则αβ⊥D.若l αβ= ，αγ⊥，βγ⊥，则l γ⊥【答案】ACD 【解析】【分析】由线面垂直性质可判断A 正确；利用线面垂直判定定理可判断B 错误；根据面面垂直的判定定理可得C 正确；由面面垂直的性质可判断D 正确.【详解】对于A ，若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直性质可得m n ⊥，即A 正确；对于B ，若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，可能l ⊂α，所以B 错误；对于C ，若m α⊥，l β ，l m ∥，则在平面β内存在一条直线l '满足l α'⊥，则可得αβ⊥，即C 正确；对于D ，如下图所示：设n αγ= ，m βγ= ，在平面γ内取一点P ，过点P 作直线PM m ⊥，过点P 作直线PN n ⊥，由面面垂直的性质定理可得PM ⊥平面β，PN ^平面α；又l αβ= ，即,l l αβ⊂⊂，所以可得,PM l PN l ⊥⊥；又PM PN P ⋂=，且,PM PN ⊂平面γ，可得l γ⊥，则D 正确.故选：ACD15.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则下列正确的是（）A.函数的值域为[]1,1-B.函数()y f x =的最小正周期为2πωC.当1ω=时，方程()lg f x x =有且仅有1个实根D.()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，则302ω<≤【答案】AD 【解析】【分析】根据振幅判断A 选项；根据函数周期判断B 选项；利用数形结合分别画出sin y x =与lg y x =的图象，根据交点个数判断C 选项；利用换元法，将函数()sin (0)f x x ωω=>，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦化为sin y t =，ππ,34t ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，通过ππ0,34ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再结合已知条件确定ω的取值范围即可判断D.【详解】A 选项，因为()sin (0)f x x ωω=>，函数振幅为1，所以函数的值域为[]1,1-，A 正确；B 选项，函数()y f x =的周期为4πw(0)>ω，所以B 错误；C 选项，1ω=时，()sin f x x =，求方程()lg f x x =的根，可转化为求sin y x =与lg y x =的图象的交点个数，分别画出sin y x =与lg y x =的图象，因为sin y x =为周期函数最大值为1，lg y x =在定义域上单调递增且lg101=，所以两函数图像在10x >之后不会再有交点，所以如图方程()lg f x x =有3个实根，C错误；D 选项，因为ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(0)>ω，令x t ω=，则函数化为sin y t =，又()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以sin y t =在ππ,34t ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为0ω>，所以ππ0,34ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合sin y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得322ωω⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，又因为0ω>，则302ω<≤.故选：AD16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC AC ===，点P 在棱AB 上运动（含端点），则下列结论正确的是（）A.直线1A P 与直线1CC 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.存在点P ，使得1A B ⊥平面1B PCC.若P 为棱AB 的中点，则平面11AC P截三棱柱所得截面积为16D.若Q 为棱BC 上的动点，则三棱锥11P A B Q -体积的最大值为4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由直三棱柱性质11//CC AA ，从而可将直线1A P 与直线1CC 所成角等价转化为为直线1A P 与直线1AA 所成角即可较易求解；对于B ，证明1A B 与1B C 不垂直即可判断；对于C ，先明确平面11AC P 截三棱柱所得截面，再根据已有数据求解即可；对于D ，利用等体积法1111P A B Q Q PA B V V --=即可求解.【详解】对于A ，由直三棱柱性质11//CC AA ，12A AP π∠=，所以直线1A P 与直线1CC 所成角即为直线1A P 与直线1AA 所成角，所以直线1A P 与直线1CC 所成角为1AA P ∠，又点P 在棱AB 上运动（含端点），10,2AA B π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭且11sin 2ABAA B A B∠===，故13AA B π∠=，故10,3AA P π⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，故A 对；对于B ，如图，分别取11A B 、1B B 、AB 中点为D 、E 、F ，设此时Q 为BC 中点，连接DE 、EQ 、DQ 、DF 、FQ，则1//DE A B且1112DE A B ====，1//EQ B C 且1112EQ B C ==，1//DF BB 且1DF BB =，//FQ AC且1322FQ AC ==，2DQ ===，所以222DE EQ DQ +≠，故DE 与EQ 不垂直，故1A B 与1B C 不垂直，故根据垂直定义可知，不存在点P ，使得1A B ⊥平面1B PC ，故B 错；对于C ，若P 为棱AB 的中点，设此时Q 为BC 中点，连接PQ 、1QC ，则//PQ AC 且122PQ AC ==，故由PQ 、AC 可唯一确定一个平面，所以平面11AC P 截三棱柱所得截面为面11AC QP ，又12A P ===，12C Q ===，所以四边形11AC QP 54=，平面11AC P 截三棱柱所得截面积为1522416⎛⨯+⨯= ⎝，故C 正确；对于D ，因为111111111111332P A B Q Q PA B PA B V V S h A B A h A --===⨯⨯⨯ 111326h h ⨯=⨯=，h 为Q 到直线AB 的距离，所以当h 取得最大值时三棱锥11P A B Q -体积最大，而h 最大值为32PC ==，所以三棱锥11P A B Q -体积最大为336324⨯=，故D 对.故选：ACD.【点睛】思路点睛：对于不能直接求出三棱锥体积的三棱锥体积问题通常将三棱锥换底，利用等体积法研究求解.非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a =，2b =，1sin 4A =，则sinB =_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由正弦定理代入即可得结果.【详解】利用正弦定理可得sin sin a bA B =，即sin 211sin 142b A B a ==⨯=；可得1sin 2B =.故答案为：1218.若,0x y >，且21x y +=，则1122log log x y +的最小值为_________；14x y+的最小值为_________.【答案】①.3②.9+##9+【解析】【分析】利用基本不等式可得18xy ≤，再由对数运算法则及对数函数单调性可得1122log log x y +的最小值为3，根据基本不等式中“1”的妙用即可求得出14x y+的最小值.【详解】由,0x y >，且21x y +=可得21x y +=≥=，，所以18xy ≤，当且仅当11,24x y ==时，等号成立；因此111122221log log log log 38x y xy +=≥=，即当11,24x y ==时，1122log log x y +的最小值为3；易知()22141448991y x x x y x y x y y ⎛⎫+=+++≥++ ⎪⎝+=+⎭，当且仅当24y x x y =时，即14,77x y -==时，等号成立；所以当14,77x y -==时，14x y +的最小值为9+.故答案为：3，9+；19.若函数()cos f x x a =+，存在12,R x x ∈使得()()121f x f x ⋅=-，则实数a 的值为_________.【答案】0【解析】【分析】先求得()f x 的值域为[1,1]a a -+，得到()()22121(1)a f x f x a -≤⋅≤+，根据题意，得到211a -≤-，即可求解.【详解】由余弦函数的性质，可得1cos 1x -≤≤，所以()cos f x x a =+的值域为[1,1]a a -+，则121()11()1a f x a a f x a -≤≤+⎧⎨-≤≤+⎩，所以()()22121(1)a f x f x a -≤⋅≤+，存在12,R x x ∈使得()()121f x f x ⋅=-，则满足211a -≤-，即20a ≤，所以0a =，所以实数a 的值为0.故答案为：0.20.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N 分别为线段1B C ，11D C 的中点，点Q 在矩形11D B BD 及其内部运动，则QMN 周长的最小值为_________.+【解析】【分析】取11,A D AD 的中点,E F ，连接,NE EF ，再取EF 的中点G ，连接11,MG A C ，证得NE ⊥平面11BDD B ，且NH EH =，得到,N E 关于平面11BDD B 对称，得到PN PE =，当点,,M P E 三点共线时，此时PE PM +的最小值为ME ，进而求得QMN 周长的最小值.【详解】如图所示，取11,A D AD 的中点,E F ，连接,NE EF ，再取EF 的中点G ，连接11,MG A C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得1111ACB D ⊥，又由1BB ⊥平面1111DC B A ，且11AC ⊂平面1111D C B A ，111AC BB ⊥，因为1111BD BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BDD B ，所以11A C ⊥平面11BDD B ，又因为11//NE A C ，所以NE ⊥平面11BDD B ，且NH EH =，可得,N E 关于平面11BDD B 对称，所以PN PE =，则PN PM PE PM +=+，当点,,M P E 三点共线时，此时PE PM +的最小值为ME ，在直角MGE中，可得ME ===，在直角1MC N中，可得MN ==，所以QMN+.四、解答题（本大题共3小题，共33分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.已知平面向量π2sin 2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，πsin ,2sin 2b x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x a b =⋅rr （1）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）求函数()y f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，并求出取得最大值时x 的值.【答案】（1（2）π（3）max ()2f x =，5π12x =【解析】【分析】（1）解法1：将π3x =代入可得向量,a b，由向量数量积的坐标表示可得结果；解法2：由向量数量积的坐标表示求出函数()f x 的表达式，再代入π3x =可得结果；（2）根据解析式()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得最小正周期；（3）利用正弦函数单调性求得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，再由其值域即可得出结果.【小问1详解】解法1：因为当π3x =时，ππ32sin 362a ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭，5ππ1sin ,2sin 632b ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝，π13322f a b ⎛⎫=⋅-=+ ⎪⎝⎭==解法2：由诱导公式可得()2sin a x x = ，()cos ,2sin b x x = ，所以()2sin cos 2sin f x a b x x x x =⋅=⋅+⋅-)2sin212sin x x =-sin2x x =-π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以ππ2sin 33f ⎛⎫==⎪⎝⎭【小问2详解】由解法2得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故函数()y f x =的最小正周期为π【小问3详解】当π02x ≤≤时，ππ2π2333x -≤-≤，当ππ232x -=，即5π12x =时，函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最大值1，此时max ()2f x =22.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为4的正方形，M ，N 分别为棱AP ，BC 的中点，PA PB =，3CP DP ==，4ACP π∠=.（1）求证：//MN 平面CDP ；（2）求二面角D BC P --的平面角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）作出辅助线证明MNCL 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论；（2）利用线面垂直判定定理作出二面角D BC P --的平面角PGO ∠，再由余弦定理可得结果.【小问1详解】取DP 的中点L ，连接ML ，CL ，如下图所示：M ，L 分别是PA ，PD 的中点，ML AD ∴∥，12ML AD =，CN AD ∥ ，12CN AD =，ML CN ∴∥，ML CN =，可得四边形MNCL 为平行四边形，MN CL ∴∥，MN ⊄ 面CDP ，CL ⊂面CDP ，所以//MN 平面CDP 【小问2详解】取AB ，CD 的中点E ，F ，连接EF ，PF ，PE ，作PO EF ⊥交EF 于O ，3CP DP == ，PF CD ∴⊥且PF = 底面是边长为4的正方形，CD EF ∴⊥，PF EF E = ，PF ，EF ⊂平面PEF ，CD \^平面PEF ，PO ⊂平面PEF ，PO CD ∴⊥，又CD EF F ⋂=且,CD EF ⊂平面ABCD ；即PO ⊥平面ABCD .过O 点作OG BC ⊥，连接PG ，如下图所示：易知知PG BC ⊥，则PGO ∠为二面角D BC P --的平面角.在ACP △中，222π2cos 174AP AC PC AC PC =+-⋅=，在AEP △中，22217413PE AC AE =-=-=，设OF x =，则4OE x =-，则22213(4)5PO x x =--=-，解得1x =，可得512PO =-=，23122PG =-=，所以在Rt PGO 中，2cos 222GO PGO PG ∠===.即二面角D BC P --的平面角的余弦值为22.23.已知函数()()22,R f x x ax b a b =++∈，函数()()f x g x x=.（1）若()()2f x f x =-，且()23f =，求a ，b 的值；（2）当1a =时，若函数()f x 的值域和函数()()ff x 的值域相同，求b 的取值范围；（3）当28b <<时，记(),M a b 为()g x 在[1,2]上的最大值，求(),M a b 的最小值.【答案】（1）4a =-，3b =（2）1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）32-【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组()2282322(2)2a b x ax b x a x b ++=⎧⎨++=-+-+⎩，即可求解；（2）求得()1,8f x b ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，令()t f x =，得到()21112,,488f t t b t b ⎛⎫⎡⎫=++-∈-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，结合函数()f x的值域和函数()()ff x 相同，列出不等式，即可求解；（3）根据题意，得到12<<，得出()()12g g =，且()()max min 0g x g x +=时，(),M a b 取得最小值，求得b ，结合函数的性质，求得()max g x 和()min g x ，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()22,R f x x ax b a b =++∈，因为()()2f x f x =-，且()23f =，可得()2282322(2)2a b x ax b x a x b ++=⎧⎨++=-+-+⎩，解得4,3a b =-=.【小问2详解】解：当1a =，函数()2211122,488f x x x b x b b ⎛⎫⎡⎫=++=++-∈-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，令()t f x =，则()()()2211122,,488f f x f t t t b t b t b ⎛⎫⎡⎫==++=++-∈-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，因为函数()f x 的值域和函数()()ff x 相同，可得1184b -≤-，解得18b ≤-，所以实数b 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【小问3详解】解：由函数()()[]2,1,2f x bg x x a x xx==++∈，当28b <<时，可得12<<，()()12g g =，且当[]1,2x ∈时，()()max min 0g x g x +=时，(),M a b 取得最小值，此时4b =，可得()()max 16g x g a ==+，()ming x g g a ===+，所以60a a +++=，得3a =--所以(),M a b 的最小值为()16633g a =+=--=-。

浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题选择题局部一、选择题〔共 25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分1、设集合 M={0,1,2} ，那么∈M B.2 M ∈M. 〕D.{0}∈M〔 〕2、函数 y x 1 的定义域是〔 〕 A. [0 ，+∞〕3、假设关于 x 的不等式A. －1B.[1 ，+∞〕 mx － 2>0 的解集是 {x|x>2} B. － 2C. 〔－∞， 0]，那么实数 m 等于D.〔－∞， 1]〔 〕4、假设对任意的实数 A. 〔1，2〕 k ，直线 y － 2=k(x+1) B. 〔 1，－ 2〕恒经过定点 M ，那么 M 的坐标是C.〔－ 1，2〕〔 〕D.〔－ 1，－ 2〕5、与角－终边相同的角是〔〕6A. 56B.3C. 116D. 236、假设一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如下图，那么该几何体的正视图是〔 〕A. B. C.D.〔第 6 题图〕7、以点〔 0，1〕为圆心， 2 为半径的圆的方程是〔 〕A.x 2+(y －1) 2=2B. (x － 1) 2+y 2=2C. x 2+(y －1) 2 =4D. (x －1) 2+y 2 =48、在数列 { an } 中， a =1，a =3a (n ∈ N*) ，那么 a 等于〔 〕1n+1n49、函数 yx 的图象可能是〔〕yyyyOxOxOxOxA.B.C. D.a ba bab〔〕10、设 ,是两个平面向量，那么“＝ 〞是“|| ＝| | 〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11、设双曲线 C ：x 2y 2 0)的一个顶点坐标为〔 ， 〕，那么双曲线C 的方程是〔〕a 21(a2 03A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y21163123834312、设函数 f(x)＝sinxcosx ， x∈ R，那么函数f(x)的最小值是〔〕A. 1B.1C.3D.－ 1 422、假设函数f(x)=x a(a∈R)是奇函数，那么 a 的值为〔〕13x21C.－1D.±114、在空间中，设α，表示平面， m，n 表示直线 . 那么以下命题正确的选项是〔〕A. 假设 m∥ n， n⊥α，那么m⊥αB.假设α⊥，m α，那么 m⊥C.假设 m上有无数个点不在α内，那么 m∥αD.假设 m∥α，那么 m与α内的任何直线平行15、在△ ABC中，假设 AB=2，AC=3，∠ A=60°，那么 BC的长为〔〕A. 19B. 13 D.716、以下不等式成立的是〔〕A.1.2 2>1.2 3B.1.2 －3<1.2 －2C. log 2>log 3D.log 2<log 317、设 x0为方程 2x+x=8 的解 . 假设x0∈ (n,n+1)(n ∈N*) ，那么 n 的值为〔〕18、以下命题中，正确的选项是〔〕A. x 0∈Z，x02<0B. x∈Z，x2≤0C.x 0∈Z，x02=1D. x∈Z，x2≥119、假设实数 x,y 满足不等式组x y00，那么 2y－ x 的最大D1C1 x y2E值是〔〕A1B1A. －2B. －1DC20、如图，在正方体 ABCD－A B C D 中， E 为线段 A C 的中点，111111A B那么异面直线 DE 与 B C 所成角的大小为1〔〕〔第 20 题图〕°°°°21、研究发现，某公司年初三个月的月产值y〔万元〕与月份 n 近似地满足函数关系式 y=an2+bn+c〔如 n=1 表示 1 月份〕 . 1 月份的产值为 4 万元， 2 月份的产值为11 万元， 3 月份的产值为 22 万元 . 由此可预测 4 月份的产值为〔〕A.35 万元B.37 万元C.56 万元D.79 万元22、设数列 { a n } ， { a n 2 } (n ∈N*) 都是等差数列，假设 a1＝ 2，那么a22+ a 33+ a 44 + a55 等于〔〕23、设椭圆：x2y21(a b0)的焦点为1，F2 ，假设椭圆上存在点P，使△ P F1F2是以F1P a2b2F为底边的等腰三角形，那么椭圆的离心率的取值范围是〔〕A. (0,1) B. (0,1) C. (1,1) D.(1,1) 232324、设函数 f ( x)x，给出以下两个命题：x1①存在 x0∈(1,+ ∞) ，使得 f(x 0)<2 ；②假设 f(a)=f(b)(a≠b)，那么a+b>4.其中判断正确的选项是〔〕A. ①真，②真B. ①真，②假C. ①假，②真D. ①假，②假25、如图，在 Rt△ABC中， AC=1，BC=x，D 是斜边 AB的中点，将△ BCD沿直线 CD翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，那么 x 的取值范围是〔〕A. (0, 3]B. ( 22,2] C. ( 3, 2 3] D.〔 2， 4] BBDDC ACA〔第 25 题图〕非选择题局部二、填空题〔共 5 小题，每题 2 分，共 10 分〕26、设函数 f(x)=x2 , x 2，那么 f(3) 的值为3x2, x227、假设球 O的体积为3cm.36 cm，那么它的半径等于28、设圆 C：x2+y2=1，直线 l:x+y=2 ，那么圆心 C 到直线 l 的距离等于.29、设 P 是半径为1 的圆上一动点，假设该圆的弦AB= 3uuur uuur，那么 AP AB 的取值范围是30、设 ave{a,b,c}表示实数 a,b,c 的平均数， max{a,b,c} 表示实数 a,b,c的最大值 . 设 A=ave{ 1111，假设的取值范围是2 x 2, x, 2 x 1}，M= max{2 x 2, x,2 x 1}M=3|A－ 1| ，那么 x三、解答题〔共 4 小题，共 30 分〕31、〔此题 7分〕sin 32 ，求cos和 sin(4 ) 的值.5 ,032、〔此题 7分，有〔 A〕，〔B〕两题，任选其中一题完成，两题都做，以〔A〕题记分 . 〕〔A〕如图，四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对P角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段 PD的中点为 F.〔1〕求证： EF∥平面 PBC；〔2〕求证： BD⊥PC.FD CEA B〔第 32 题〔 A〕图〕〔B〕如图，在三棱锥 P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点 D，E 分别为线段 PB， AB的中点 .〔1〕求证： AC⊥平面 PBC；〔2〕设二面角 D－ CE－B 的平面角为θ，假设 PC=2，BC=2AC=23，求 cosθ的值 .33、〔此题 8 分〕如图，设直线 l : y=kx+ 2 (k ∈R)与抛物线 C：y=x2相交于 P， Q 两点，其中 Q点在第一象限.〔1〕假设点 M是线段 PQ的中点，求点 M到 x 轴距离的PDC BEA〔第 32 题〔 B〕图〕yRQ最小值；〔2〕当 k>0 时，过点 Q作 y 轴的垂线交抛物线C于uuur uuur POx点 R，假设PQ PR＝0，求直线 l 的方程 .〔第 33 题图〕34、〔此题 8 分〕设函数 f(x)=x 2－ax+b,a,b ∈ R..〔1〕 f(x) 在区间 ( －∞ ,1) 上单调递减，求 a 的取值范围；〔2〕存在实数 a，使得当 x∈[0,b]时，2≤f(x)≤6恒成立，求b的最大值及此时 a 的值 .浙江省 2021 年 1 月份普通高中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题〔共25 小题， 1－15 每题 2 分， 16－ 25 每题 3 分，共 60 分 . 每题给出的选 项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分 . 〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 1314 15答案A B CC CA CCA AD BBAD题号 1617 18 1920 21 22 232425 答案B BCCBBADCA25 题解答x 2 1 ，BC=x ，取 BC 中点 E ，〔 1〕由题意得， AD=CD=BD=2翻折前，在图 1 中，连接 DE,CD,那么 DE=1 AC=1，22翻折后，在图 2 中，此时 CB ⊥AD 。

一、单选题二、多选题1. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A．是的充分不必要条件B．是的必要不充分条件C．是的既不充分也不必要条件D．是的充要条件2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）A ．5海里B ．4海里C ．3海里D ．2海里4. 设复数满足（是虚数单位），则（ ）A．B．C．D．5. 已知的展开式中的系数为10，则实数a 的值为（ ）A．B．C．D ．26. 若是第四象限角，则是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）A ．-8B ．0C ．-4D ．-28. 已知正四棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．9.已知双曲线的离心率等于，过的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若以为直径的圆过点(为坐标原点)，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的渐近线方程为B ．直线的倾斜角为C ．圆的面积等于D ．与的面积之比为10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（ ）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为11. 甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（ ）2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等B ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定C．乙城市日均气温的极差为D．乙城市日均气温的众数为12. 已知，下列结论正确的是（ ）A ．与向量垂直且模长是2的向量是和B．与向量反向共线的单位向量是C．向量在向量上的投影向量是D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个动点，且AB＝，若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得，则实数a 的值为________．14. 现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是________.（用数字作答）15.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为___________.16.设椭圆：的焦点分别为、，抛物线:的准线与轴的交点为，且．（1）求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图），求四边形面积的最大值和最小值．17. 如图，多面体中，平面，底面为等腰梯形，，，，，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18. 如图所示，四边形ABCD为矩形，，，平面平面ABE，点F为CE中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．19. 2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为．（1）确定，，，的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．①请将列联表补充完整；网龄3年以上网龄不足3年合计购物金额在2000元以上35购物金额在2000元以下20合计100②并据此列联表判断，是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关？参考数据：（参考公式：，其中）20. 已知函数.（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在区间恰有一个零点.21. 已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.。

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

浙江普通高校招生学业水平考试数学试题一、选择题1．已知集合{3,4,5,6}A =，{}B a =，若{6}A B =I ，则a =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D.【解析】试题分析：由{6}A B =I 可知6a =，故选D. 【考点】集合的运算.2．直线1y x =-的倾斜角是（ ） A.6π B.4π C.2π D.34π 【答案】B.【解析】试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14πθθ=⇒=，故选B.【考点】直线的倾斜角.3．函数()ln(3)f x x =-的定义域为（ ）A.{|3}x x >-B.{|0}x x >C.{|3}x x >D.{|3}x x ≥ 【答案】C.【解析】试题分析：由303x x ->⇒>，故定义域为{|3}x x >，故选C. 【考点】函数的定义域.4．若点(3,4)P -在角α的终边上，则cos α=（ ） A.35-B.35C.45-D.45【答案】A.【解析】试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，3cos 5x r α==-，故选A. 【考点】任意角的三角函数定义.5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程22(1)(3)4x y -+-=，则点P 的轨迹经过（ ）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限 【答案】A.【解析】试题分析：由题意得，点P 在以(1,3)为圆心，2为半径的圆上，如下图所示，故可知点P 在第一、二象限，故选A.【考点】圆的标准方程. 6．不等式组36020x y x y -+>⎧⎨-+≤⎩表示的平面区域（阴影部分）是（ ）【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，不等式组表示的区域应为直线360x y -+=的下方以及直线20x y -+=的上方及其边界所围成的区域，故选B. 【考点】二元一次不等式组与平面区域. 7．在空间中，下列命题正确的是（ ） A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个 【答案】D.【解析】试题分析：A ：若三点共线，则平面有无数个，故A 错误；B ：若点在线上，则平面有无数个，故B 错误；C ：若点在线上，则该平面不存在；D 正确，故选D. 【考点】空间中点、线、面的位置关系.8．已知向量a r ，b r ，则“//a b r r”是“||||||a b a b -=-r r r r ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】试题分析：设a r ，b r 的夹角为θ，故22()(||||)||||||||||a b a b a b a b a b ⎧-=-⎪-=-⇔⎨≥⎪⎩r r r r r r r r r r||||(1cos )0||0||||a b b a b θ⎧⋅⋅-=⎪⇔⇔=⎨≥⎪⎩r u u rr r r r 或cos 1θ=，故是必要不充分条件，故选B. 【考点】1.共线向量；2.充分必要条件. 9．函数2()12sin 2f x x =-是（ ）A.偶函数且最小正周期为2πB.奇函数且最小正周期为2πC.偶函数且最小正周期为πD.奇函数且最小正周期为π【答案】A.【解析】试题分析：2()12sin 2cos 4f x x x =-=，故是偶函数且最小正周期为242T ππ==，故选A. 【考点】1.二倍角公式；2.三角函数的性质.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若48a =，4=20S ，则8a =（ ） A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，144141204201022a a S a a a +=⇒⨯=⇒+=⇒=，∴4123a a d -==， ∴81716a a d =+=，故选C.【考点】等差数列的通项公式.11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A.32cm B.322cm C.32cm D.322cm 【答案】A.【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，故其体积11221232V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.【考点】1.三视图；2.空间几何体的体积.12．设向量(2,2)a x =-r ，(4,)b y =r ，(,)c x y =r ，x ，y R ∈，若a b ⊥r r，则||c r 的最小值是（ ） A.25 B.45C.2D.5 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，4(2)20240x y x y -+=⇒+-=，故||c r的最小值即为原点到直线240x y +-=的距离：4555d ==，故选B. 【考点】1.平面向量数量积；2.点到直线距离公式.13．如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周上，若2PA AB ==，AC BC =，则二面角P AC B --大小的正切值是（ ）6677 【答案】B.【解析】试题分析：如图，取AC 中点D ，连结PD ，OD ，由题意得，PD AC ⊥，OD AC ⊥，故PDO ∠即为二面角P AC B --的平面角，在Rt PDO ∆中，3tan622POPDO OD∠===，故选B.【考点】二面角的求解.14．设函数2()()x f x e =，()()3x e g x =，其中e 为自然对数的底数，则（ ） A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥ B.存在正实数x 使得()()f x g x >C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤D.存在正实数x 使得()()f x g x < 【答案】D.【解析】试题分析：∵22()6()()f x g x e =，6e <，∴2601e<<，∴当0x >时，()1()()()f x f xg x g x <⇒<， 当0x <时，()1()()()f x f x g x g x >⇒>，当0x =时，()1()()()f x f xg x g x =⇒=，故选D.【考点】函数的性质.15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12||F F 为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若12||3||F B F A =，则该双曲线的离心率是（ ） A.54 B.43 C.32D.2 【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，连结1AF ，由题意得，1112||||||2F A F B F F c ===，21212||||33cF A F B ==，又∵12||||2F A F B a -=，∴232232c c c a e a -=⇒==，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质.16．函数()f x 按照下述方法定义：当2x ≤时，2()2f x x x =-+；当2x >时，1()(2)2f x f x =-，方程1()5f x =的所有实数根之和是（ ） A.8 B.13 C.18 D.25【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，画出()f x 的函数图象，根据对称性可知，方程1()5f x =共有6个实数根，其和为261018++=，故选C.【考点】1.函数与方程；2.数形结合的数学思想.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．17．设实数a ，b ，c 满足：1a b >>，1c >，则下列不等式中不成立．．．的是（ ） A.b a bca ab ac +<<+ B.1a bc b a b ac +<<+C.1a bc c c b ac+<<+ D.a bc ab b acab +<<+ 【答案】D. 【解析】试题分析：令()(1)a bxf x a b b ax+=>>+，∴222()()()b b b ax a a bx b a b a a f x b ax b ax a a ax b +⋅+-+-===++++， ∴22()1()b b a b f c a a a a b -<<+=+，A ：()1b f c a a<<<，故A 成立；B ：1()1b f c b a a <<<<，故B 成立；C ：11()()11=b b ac bc b c a bc c c c b ac b ac c b ac c+⋅+--+=+>+++，()1f c c <<，故C 正确；D ：∵b a b ba ab a b--=，其差的符号未定，故D 不一定成立；故选D.【考点】1.构造函数；2.不等式的性质.【思路点睛】一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系，而有些不等式的问题，由于条件的限制，利用不等式的性质难以解决，此时可以构造相应的函数，从函数的的观点来解决. 18．如图，在四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BD ==，4AC BC ==，点E ，F ，G ，H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC 上，若直线AB ，CD 都平行于平面EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（ ）A.12B.22C.1D.2【答案】C.【解析】试题分析：=()AB CD CB CA CD CB CD CA CD⋅-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1649164942420242242+-+-=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，∴AB CD GH HE ⊥⇒⊥u u u r u u u r ，设(01)AH k k AC =<<，则1CH k AC=-，由AHE ACD ∆∆:， ∴2HE kCD k==，同理(1)2(1)GH k AB k =-=-，∴4(1)EFGH S HE GH k k =⨯=-214()12k k +-≤⋅=，当且仅当112k k k =-⇒=时，等号成立，故选C. 【考点】1.线面平行的性质；2.立体几何中的最值问题.【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.二、填空题19．已知抛物线22y px =过点(1,2)A ，则p =______，准线方程是______. 【答案】2，1x =-.【解析】试题分析：由题意得，422p p =⇒=，∴准线方程是12px =-=-，故填：2，1x =-.【考点】抛物线的标准方程及其性质.20．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，若11a =，121n n a S +=+，则5S =_______. 【答案】121. 【解析】试题分析：由题意得，1111112121313()22n n n n n n n n n a S S S S S S S S ++++=+⇒-=+⇒=+⇒+=+， ∴1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，∴455132433121222S S +=⋅=⇒=，故填：121.【考点】数列的通项公式及其运算.21．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，若点P 满足2BP PC =u u u r u u u r，则AP BC ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4. 【解析】试题分析：如下图所示，则可知2212()3333AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22121214182()()433333333AP BC AB AC AC AB AB AC AB AC ⋅=+⋅-=-+-⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故填：4.【考点】平面向量数量积及其运算.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 22．函数设1()3()2f x x a R ax =+∈+，若其定义域内不存在．．．实数x ，使得()0f x ≤，则a 的取值范围是_____.【答案】2[0,]3.【解析】试题分析：若0a =：1()32f x x =+，符合题意；若0a <：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，故取22121()332()2f t t t a a a at a t a -+=-++=-++-++，其中0t >，显然，当0t +→时，2()f t a -+可取负值，故0a <不合题意；若0a >：①：2233a a -=-⇒=，1()3223f x x x =++，定义域为(3,)-+∞，显然()0f x >恒成立，符合题意；②22303a a -<-⇒<<：()f x 的定义域为[3,)-+∞，此时2320ax a +≥-+>，()0f x >恒成立，符合题意；③：2233a a ->-⇒>：()f x 的定义域为22[3,)(,)a a---+∞U ，取22121()332()2f t t t a a a at a t a--=--+=--+--+，其中203t a <≤-，显然，当0t +→时，2()f t a --可取负值，故23a >不合题意；综上所述，可知实数a 的取值范围是2[0,]3，故填：2[0,]3.【考点】1.恒成立问题；2.函数综合题；3.分类讨论的数学思想.【思路点睛】一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值，另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：1.()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；2.()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<；3.()a f x >有解min ()a f x ⇔>；4.()a f x <有解max ()a f x ⇔<.三、解答题23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 23cos C C =，其中C 为锐角.（1）求角C 的大小；（2）1a =，4b =，求边c 的长. 【答案】（1）3π；（2）13. 【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的式子进行三角恒等变形即可求解；（2）利用（1）中求得的C 的大小结合余弦定理即可求解.试题解析：（1）由2sin 23cos C C =得2sin cos 3cos C C C =，又∵C 为锐角，∴cos 0C ≠，从而3sin C =，故3C π=；（2）由1a =，4b =，根据余弦定理得2222cos133c a b ab π=+-=，故边c 的长是13.【考点】1.三角恒等变形；2.解三角形．24．设1F ，2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(1,)m -，过点2F 的直线与椭圆交于A ，B 两点.（3）求1F ，2F 的坐标；（4）若直线PA ，2PF ，PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值. 【答案】（1）1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）2-，1-，0，1，2.【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的椭圆的标准方程即可求解；（2）设出直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立后利用韦达定理结合条件斜率之和为0可得到m 的函数表达式，求得其范围后即可求解.试题解析：（1）由椭圆的标准方程是22143x y +=，可知1(1,0)F -，2(1,0)F ；（2）①当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知0m =；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由题意得11x ≠-，21x ≠-，直线PA 的斜率为1111()11y m kx k m x x --+=++，直线2PF 的斜率为2m-， 直线PB的斜率为2222()11y m kx k m x x --+=++，由题意得1212()()0121kx k m kx k m m x x -+-+-+=++，化简整理得1212(4)3()(45)0(*)k m x x m x x k m --+-+=， 将直线AB 方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得222(43)84120k x k x k +-+-=，由韦达定理得2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，代入(*)并化简整理得 216200k m k m ++=，从而220161km k =-+， 当0k =时，0m =； 当0k ≠时，220||5||1612k m k =≤=+，故m 的所有整数值是2-，1-，0，1，2.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.25．设函数21()(|1|)f x x a =--的定义域为D ，其中1a <. （1）当3a =-时，写出函数()f x 的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的[0,2]x D ∈I ，均有2()f x kx ≥成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【解析】试题分析：（1）对x 的取值范围分类讨论，去绝对值号后即可求解；（2）分析题意可知，问题等价于min 2()[]f x k x≤，对a 和x 的取值分类讨论，求得函数最值后即可求解.试题解析：（1）当3a =-时：2221(4)1()1(|1|3)(2)x f x x x ⎧⎪-⎪==⎨-+⎪⎪+⎩，∴()f x 单调递增区间是(,1]-∞，单调递减区间是[1,)+∞；（2）当0x =时：不等式2()f x kx ≥成立；当0x ≠时：2()f x kx ≥等价于21[(|1|)]k x x a ≤--，设(1),01()(|1|)[(1)],12x x a x h x x x a x x a x --<≤⎧=--=⎨-+<≤⎩， ∵|1|0x a --≠，∴1x a ≠±，即{|1}D x x a =≠±，若1a <-：(0,2](0,2]D =I ，()h x 在(0,2]上单调递增，∴0()(2)h x h <≤， 即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-；若1a =-：(0,2](0,2)D =I ，()h x 在(0,2)上单调递增，∴0()(2)h x h <<，即0()2(1)h x a <<-，故214(1)k a ≤-；若10a -<<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =++--I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，1[,1]2a -上单调递减，[1,1)a -上单调递增，(1,2]a -上单调递增，∴max 1()max{(2),()}2ah x h h -=，而21(1)(1)(7)(2)()220244a a a a h h a ---+-=--=>，∴1(2)()2ah h ->，∴0()(2)h x h <≤，即0()2(1)h x a <≤-，故214(1)k a ≤-； 若0a =：(0,2](0,1)(1,2]D =I U ，()h x 在1(0,]2上单调递增，在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，∴1(1)()max{(2),()}2h h x h h <≤，而(2)2h =，11()24h =，∴0()2h x <≤，14k ≤； 若01a <<：(0,2](0,1)(1,1)(1,2]D a a a a =--++I U U ，()h x 在1(0,]2a-上单调递增，在1[,1)2aa --上单调递减，(1,1]a -上单调递减，在[1,1)a +上单调递增，在(1,2]a +上单调递增， ∴1(1)()max{(2),()}2ah h x h h -≤≤且()0h x ≠，而21(1)(2)()2224a a h h a ---=--(1)(7)4a a -+=>，∴()22a h x a-≤≤-且()0h x ≠，故当|22|||a a ->-⇒203a <<时， 214(1)k a ≤-；当2|22|||13a a a -≤-⇒≤<，21k a≤； 综上所述，当23a <时，214(1)k a ≤-，当213a ≤<时，21k a ≤. 【考点】1.函数综合题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】二次函数在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)．无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已．。

【学考模拟】浙江省2024年7月普通高中学业水平测试仿真模拟数学试卷❖一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则复数Z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知，，则在上的投影向量为()A.B.C.D.3.已知函数的定义域为集合A ，值域为集合B ，则()A. B.C. D.4.已知，为钝角，且，，则()A.B.C.D.5.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制先胜4局者胜，比赛结束，已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为()A.B. C.D.6.已知向量，，且，则实数t 的值为()A.3B.C. D.27.用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积()A.B.C. D.8.若m 满足，则m 的值为()A.1B.2C.D.09.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为单位：天，铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，，开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为()A. B.C.D.10.设a ，b 为实数，则“”是“”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.设的内心为I ，而且满足，则的值是()A.B.C.D.12.一个顶点为P ，底面中心为O 的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面ABCD 与该圆锥底面平行，A ，B ，C ，D 这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是()A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共16分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.已知幂函数，其中a ，，则下列说法正确的是()A. B.若时，C.若时，关于y 轴对称D.恒过定点14.饮料瓶的主要成分是聚对苯二甲酸乙二醇酯，简称“PET ”.随着垃圾分类和可持续理念的普及，饮料瓶作为可回收材料的“主力军”之一，得以高效回收，获得循环再生，对于可持续发展具有重要意义，上海某高中随机调查了该校某两个班班，B 班月份每天产生饮料瓶的数目单位：个，并按分组，分别得到频率分布直方图如下：下列说法正确的是()A.A班该月平均每天产生的饮料瓶个数估计为41B.B班5月产生饮料瓶数的第75百分位数C.已知该校共有学生1000人，则约有150人5月份产生饮料瓶数在之间D.15.已知函数，则下列说法正确的是()A.的图像是中心对称图形B.的图像是轴对称图形C.是周期函数D.存在最大值与最小值16.已知函数则关于x的方程根的个数可能是()A.0个B.1个C.2个D.3个三、填空题：本题共4小题，共15分。

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。

一、单选题二、多选题1. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S ，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）A．B．C．D ．12. 已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.已知函数A．B．C．D．5. 2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．486. 在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图时，用函数作为重组率和交换率的校正公式（R 代表基因重组率，x 代表基因交换率），当某生物的基因重组率为时，其交换率为（ ）（参考数据：，）A ．1.2424B ．0.2894C ．0.0323D ．0.14387.如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（）A．B．C．D．8. 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．10.如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，，且，则下列说法正确的是2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题（）．A ．当时，直线与平面所成角的正弦值为B ．当二面角的大小为时，直线与所成角为C．若，则二面角的余弦值为D．若，则四面体的外接球的体积为11. 已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A ．若复数z ＝3+i，则B ．复数z 满足|z ﹣2i|＝1，z 在复平面内对应的点为，则x 2+＝1C ．若复数z 1，z 2，满足，则D ．复数z ＝13i 的虚部是312. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角（）所对的弦长记为.例如圆心角所对弦长等于60个度量单位，即.则（ ）A．B．若，则C．D．（）13.已知等差数列公差，其前n 项和为，若记数据的方差为，数据的方差为，则___________.14.在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.15.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则=_________.16. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植.该县农科所为了对比两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在内，根据亩产数据得到频率分布直方图如下：(1)从种茶叶亩产的20个数据中任取两个，记这两个数据中不低于56千克的个数为，求的分布列及数学期望；(2)在频率分布直方图中，若平均数大于中位数，则称为“右拖尾分布”，若平均数小于中位数，则称为“左拖尾分布”，试通过计算判断种茶叶的亩产量属于上述哪种类型.17. 随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在的概率．18. 某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：1234567611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次106030已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据：62.14 1.54253550.12 3.47其中.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.19. 如图1，在四边形中，.将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，证明：.(2)若点在线段上（点不与端点重合），平面与平面夹角的正弦值为，求的值.20. 某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有列联表：有蛀牙无蛀牙总计爱吃甜食不爱吃甜食总计(1)根据已知条件完成如图所给的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；(2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层抽样的方法随机抽取8人作进一步调查，再从这抽取的8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率.附：，.0.050.010.0053.841 6.6357.87921. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，.（1）若，此三角形是否存在？若存在，求此三角形的面积；若不存在，说明理由；（2）若，点在边上，且，求长.。

浙江数学学考卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列选项中，不是实数的是（）。

A. 0B. √9C. √1D. 3.142. 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=3，则公差d等于（）。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x²B. y = |x|C. y = x³D. y = x⁴4. 不等式x² 2x 3 < 0的解集为（）。

A. x < 1 或 x > 3B. 1 < x < 3C. x < 3 或 x > 1D. x > 1 且 x < 35. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的夹角为（）。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在三角形ABC中，若a=3, b=4, sinB=3/5，则三角形ABC的面积S为（）。

A. 3.6B. 4.8C. 6D. 8.47. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²2x，则f[g(x)]的值为（）。

A. x² 3x 1B. x² + x 1C. 2x² 3x + 1D. 2x² + x 18. 下列命题中，正确的是（）。

A. 若a|b，则b|aB. 若a|b，b|c，则a|cC. 若a|b，b|c，则a|c或c|aD. 若a|b，b|a，则a=b9. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果为（）。

A. {1, 3}B. {2}C. {1, 2, 3}D. ∅10. 下列函数中，单调递减的是（）。

A. y = 2x + 1B. y = x²C. y = x²D. y = x³二、填空题（每题4分，共40分）1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 4，则第10项的值为______。