04 第四节 条件概率
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第四节 条件概率
引例：从1~100这100个数中随机取一数， 1， 求取到的数为4的倍数的概率。
2， 若已知取到的数为6的倍数的概率，求该数为4的倍数的概率。
解 A={取到的数为6的倍数}，B={取到的数为4的倍数}
1，25.0)()()(=Ω=P B P B P 2，5.016
.008
.0)()()|()|(====A P AB P A B P A B P 发生条件下在
一、 条件概率
定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称在事件A 发生条件下事件B 发生的概率为条件概率，记作)|(A B P 。
且：)
()
()|(A P AB P A B P =
特别：当)
()
()|(A P B P A B P A B =
⊂时，有 例1 ，求：设8.0)(;4.0)(;7.0)(===B A P B P A P
)|(3)|(2)|(1B A AB P B A P A B P ，，，
解：7
3
7.08.04.07.0)()()()()()()|(1
=-+=-+==A P B A P B P A P A P AB P A B P ，
32
4.014.08.0)(1)()()(1)()()
()()|(2=--=--=--==
B P B P B A P B P AB P A P B P B A P B A P ，
8
3
8.03.0)()()()])([()|(3====
B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ，
例2 袋中装有9只白球，10只黑球，从中任取5球。
若已知取出的5球都是同一种颜色，求该颜色为黑色的概率。
解：设A = {取出的5球全为白球}；B = {取出的5球全为黑球}。
3
2
)()()()()]([)|(5
1951051959519510=+=+==C C C C C C B P A P B P B A P B A B P B A B P
由条件概率的定义立即得到:
)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)
注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:
)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率. 乘法公式的推广：)|()|()()(12112121-=n n n A A A A P A A P A P A A A P
例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球、7个白球, 先后两次从中随意取一球(不放回), 求：(1)：两次取到的均为黑球的概率.
(2)：第二次取到的黑球的概率.
解 设i A ={第i 次取到的是黑球} ),2,1(=i (1)：)(21A A P )|()(121A A P A P =92103⨯=
.15
1= (2)：
10
39310792103)|()()|()()
()()()(121121212121212=
⨯+⨯=+=+==A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P A P
例4 设袋中装有6只红球, 4只白球.每次自袋中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入2只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一, 二次取到红球且第三, 四次取到白球的概率.
解 以)4,3,2,1(=i A i 表示事件 “第i 次取到红球”,
)(4321A A A A P )(1A P =)|(12A A P )|(213A A A P )|(3214A A A A P
= 6 / 10 × 8 / 12 × 4 / 14 × 6 / 16 = 3 / 70
为完备事件组。
则称两两互斥；
满足：定义：若n n n n A A A A A A A A A A A A ,,,)2(,,,)1(,,,21212121 Ω=
定理1 设 ,,,,21n A A A 是一个完备事件组,且,0)(>i A P ,,2,1 =i 则对任一事件B ,有： +++=)|()()|
()()(11n n A B P A P A B P A P B P
注: 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率)(B P 。
在直接计算)(B P 不易时,可根据具体情况构造一组完备事件}{i A , 使事件B 发生的概率是各事件),2,1( =i A i 发生条件下引起事件B 发生的概率的总和。
例5 某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率为0.05, 求:
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.
解 记事件、A B 分别为甲、乙两厂的产品, C 为废品, 则
(1) )(A P 5030=
,53=)(B P 5020=,5
2=,06.0)|(=A C P 05.0)|(=B C P 由全概率公式得： )(C P )|()()|()(B C P B P A C P A P +=125705.05206.03=⨯+⨯=
(2) 合计产品共：30 × 100 + 20 × 120 = 5400 合计废品共：30 × 100 × 0.06 + 20 × 120 × 0.05 = 300
)(C P 1815400300==
例6 6只乒乓球中有4只新球2只旧球，第一次比赛任取两球，比赛后放回(用后即为旧球)，第二次比赛再任取两球。
求第二次比赛取出的两球都为新球的概率。
解 设B = {第二次比赛取出两只新球}，
Ai = {第一次比赛取出两球中有 i 只新球} ( i = 0,1,2)；则 A 0，A 1，A 2 为完备事件组。
16.0254
2256246)
|()()|()()|()()(2
6
2
22624262326121426242622221100==++=⨯+⨯+⨯=++=C C C C C C C C C C C C C A B P A P A B P A P A B P A P B P
例7 一卡车装有5箱口罩；3箱药水；2箱棉花，到目的地发现途中丢了一箱，现从
剩余的9箱中任取一箱，求
1，取出的一箱是口罩的概率。
解 设B = {取出的是口罩}；A 1 = {丢的一箱为口罩}；A 2 = {丢的一箱为药水}； A 3 = {丢的一箱为棉花}，则A 1，A 2 ，A 3为完备事件组。
1，由全概率公式得：)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=
5.09
5
1029510394105=⋅+⋅+⋅=
2，另若取出的一箱是口罩，如何求出途中丢的一箱为药水的概率，即求：)|(2B A P
四、贝叶斯公式
定理2 设 ,,,,21n A A A 是一完备事件组,则对任一事件B ,0)(>B P ,有
,,2,1,
)|()()
|()()
()
()|( ===
∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P j
j
j i i i i 贝叶斯公式
例7 2，若取出的一箱是口罩，求途中丢的一箱为药水的概率。
解 仍然用例7的记号.要求)|(2B A P ,由贝叶斯公式知
9
3
)()|()()|()()|()()|()()
|()()|(22332211222=
=
++=
B P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P
另可算出：
94
)|()()|()()|()()|()()|(332211111=++=
A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P
9
2
)|()()|()()|()()|()()|(332211333=++=
A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P
注: 在贝叶斯公式中，若取2=n ,并记A A =1, 则A A =2,于是公式成为 .)
|()()|()()
|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P +==
例8 设某批产品中, 甲, 乙两厂生产的产品分别占45%, 55%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 现从中任取一件, 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是各厂生产的概率.
解 设B = {取到的产品为次品}；A = {该产品是甲厂生产的}；A = {该产品是乙厂生产的}，则A ，A 为完备事件组。
根据贝叶斯公式, 有
29
18
02.055.004.045.004.045.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P
29
11
02.055.004.045.002.055.0)|()()|()()|()()|(=
⨯+⨯⨯=+=
A B P A P A B P A P A B P A P B A P。
