第二讲：三角形一边的平行线性质定理解析

第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。

初三数学备课组教师班级学生日期上课时间主课题：三角形一边的平行线教学内容知识要点1.三角形一边得平行线性质定理及推论定理：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得得对应线段成比例.推论：平行于三角形一边得直线截其它两边所在的直线，截得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.1、如图，在ABC AB=10AC=8.V中，，（1）已知点D在边AB上，过点D作DE//BC交边AC于点E。

若BD=4，求AE的长；（2）已知点D在直线AB上，过点D作DE//BC，交直线AC于点E。

若BD=4，求AE的长。

2、如图所示，已知：在平行四边形ABCD的对角线AC上取一点G，过G做一直线分别交AB的延长线、BC和AD及CD的延长线于P、Q、E、S.求证：GP GQ GE GS=.3、如图所示，//DE BC，//EF AB，则下列比例式中不成立的是（）A.BF AE ADFC EC DB== B.BF AE ADBC AC AB==C.AD AE DEEF EC FC== D.AD AE DEAB AC FC==CBABA DCGPSQ4、如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方点B20米处有一堵墙CD ，且CD BD ⊥。

有一身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（,F EF CD EF BD ⊥<垂足为，且），他的影子的总长度为3米。

试求该学生到路灯正下方点B 的距离BF 的长。

5、如图所示，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，且:1:3AF FD =，联接BF ，并延长交AC 于E .求证：:6:1CE EA =.6、如下图所示，在ABC 中，BF 为AC 边上中线，D 和E 为BC 边上的三等分点、AD 和AE 分别交BF 于点P 、Q .求::PB PQ QF 的值.2.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对应中点的距离的两倍. 7.如上图所示，G 为ABC 重心，则下列关系成立的是（ ）A.12AG AF GD FB == B.12AG CG GD GF == C.2AG CG GD GF == D.1AE CE AF BF== A BCGFEDA CBFDEBF DE CA Q PDCB A8、如图，在ABC V 中，AD 是中线，G 是AD 上一点，//,//GE AB GF AC ，点E 、F 都在边BC 上，（1）求证: BE=CF （2）如果G 是ABC V 的重心，求EFBC的值。

A B C DEFl 123l l 图3图5C B E F G A D第二讲 相似 平行线分线段成比例【知识点】1、平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2、三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3、三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4、三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

5、几种基本图形∵l 1∥l 2∥l 3 ∴DFEFAC BC DF DEAC AB EF DEBC AB === ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。

②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EF DEBC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 6、三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。

（1）这个定理可以用来判定两条直线平行。

（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

7、三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。

它是一个假命题，如图3，其中AB=BC ，DE=EF ，则1==EF DE BC AB ，但L 1、L 2、L 3不平行。

L L L 图1-（1）CFA B EDFC 图1-（2）3E D 12B AF3L C图1-（3）2L L 1BE A 图1-（4）FL 3CL 2L 1B D A3L 2L L 1(D)(E)L L L 图1-（1）C F A B E D F C 图1-（2）3E D 12B A F 3L C 图1-（3）2L L 1B E A 图1-（4）F L 3C L 2L 1B D A 3L 2L L 1(D)(E)ABCDEF 图6【典型例题】例1如图5，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AC 上的点，AD 与BE 交于点F ，若AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF:EF 的值。

平行线的性质、三角形内角和定理【教学目标】1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2、能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．【重点难点】重点：平行线的判定性质及三角形内角和定理.难点：推理过程的规范化表达.【教学内容】一、平行线的性质1、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简称：两直线平行，同位角相等。

2、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简称：两直线平行，内错角相等。

3、两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简称：两直线平行，同旁内角互补。

注意：“同位角相等，两直线平行”的条件是同位角相等，结论是两直线平行，“两直线平行，同位角相等”的条件是两直线平行，结论是同位角相等。

要注意区分平行的判定和平行的性质。

二、平行线间的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线距离。

注意：①夹在这两条平行线间的线段必须与这两条平行线垂直；②线段是图形，而距离是长度，是一个数量。

典例剖析：例1 如图，已知DE ⊥AO 于E ，BO ⊥AO ，FC ⊥AB 于C ，∠1＝∠2，试证明DO ⊥AB 。

AO DE CF 132思路探索：由于FC⊥AB，要证明DO⊥AB，故只须证明CF∥DO，于是我们可证明∠1＝∠3，由于已知里面有条件∠1＝∠2，所以我们只需证明∠2＝∠3。

解析：∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）∴DE∥BO（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）∵FC⊥AB（已知）∴DO⊥AB（如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）规律总结：有时候证明两条直线垂直，可通过说明一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于平行线中的另一条。

基础知识点三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线，截得的对应线段成比例。

如图(1)，若DE//BC ，则AD AE DB EC =或AD AE AB AC =或DB CEAB AC =如图(2)，若DE//BC ，则AB AC AE AD =或AB AC EB DC =或EA DAEB DC=EDE（2）（1）CBADC BA三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图(1)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE//BC ，则AD DE AEAB BC AC==; 如图(2)已知：△ABC 中，点D 、E 分别在CA 、BA 的延长线上，且DE//BC ，则AB BC ACAE DE AD==. EDE（2）（1）CBADC BA同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比（2）（1）DCBADCBA如图(1)：ABD ADCS BDSDC =如图(2)：若AD//BC,则ADC ABCS ADSBC=三角形重心(三中线交点)：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。

1、三角形三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

2、三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍。

例题解析如图，在ABC ∆中，DE //BC ，下列各式中错误的是( ). A.AD AB AE AC = B.BD EC AD AE = C.AD DE DB BC = D.AE DEAC BC =答案：C变式：如图，已知在ABC ∆中，DE //BC ，EF //CD ，那么下列线段的比中与AEAC相等的有( )个。

①AF AB②AF AD ③FD FB④ADABA.0B.1C.2D.3答案：C,①和④例题讲解:在△ABC 中，DE//BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E 。

精锐教育学科辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张俊授课类型 T 同步课堂C 专题 T 能力提升授课日期及时段 家庭作业教学内容同步课堂一、知识点梳理：1.三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.EDABCAEDCBAC AE AB AD BC DE == 2.三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三角形重心要掌握三点：1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2.作法：两条中线的交点.3.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.3、三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC===ABCDE三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.AEDCB4、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.FED CB A用符号语言表示： ΘAD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===. 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.（一）、比例式 比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ． （二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ．AD CEB4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31， DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型 1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ，若35 OD OC ，则BOAO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ）（A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FB CF ；（C ）BC DE ＝DC AD； （D ）BC DE ＝AB DF ． （五）、重心1、如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3.6，BC ＝4.8，点G 为△ABC 的重心，则点G 到AB 中点的距离为 ．3、如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ．则FCDF＝ ．4、如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝ ．DACBOE DABC ODBCEFBCDE B CE AF OBAECFD专题一、填空题：1．若():1:2x y y -=，则:x y =___ _． 2．已知线段a ，b ，c 满足关系式a bb c=，且3b =，则ac =_ _． 3．已知345x y z==，且18x y z -+=，则2x y z ++= ． 4．如图1－1所示，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，=3AD ，=5AB ，=1CE ，那么=AC ．ABCD E1－1A BCDE F1－2ABCDE1－31－4E D CBAF5．如图1－2所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，如果12AD DB =，那么EFBF= ． 6．如图1-3所示，在△ABC 中，BD 平分ABC ∠，交AC 于D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，若=6AB ，=4DE ，则=BC ．7．如图1－4所示，EF 平行BC ，FD 平行AB ，=18AE ，=12BE ，=14CD ，则=BD ．A BCDE1－5G1－6FEDCBA1－7F EDCBAABCDEF1－88．如图1－5所示，△ABC 中，DE ∥BC ，4AB =，8AC =，DB AE =，则AE = ．9．如图1－6所示，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，若::=2:5:9DE FG BC ，则::AD DF =FB ． 10．如图1－7所示，AB ⊥BC 于B ，EF ⊥BC 于F ， DC ⊥BC 于C ，=4AB ，=14DC ，且:=2:3BF FC ．则EF 的值为 ．11．如图1-8所示，ABCD Y 中，DE 平分ADC ∠，=2AB ，=3AD ，则=DF FE ： ． 12．如图1－9所示，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC DC ⊥，3=AD ，6=BC ，4=CD ，则=AO ． 1－9DCBAO13．如图1－10所示，△ABC 中，DE ∥AC ，FD ∥AB ，则ABDFAC DE +的值为 ． 1－10FE DCBAABC DEF1－11A BCDEF1－12O 1-13E DC BA14．在△ABC 中，如果5==AC AB 厘米，8=BC 厘米，那么这个三角形的重心G 到BC 的距离是 ． 15．如图1－11所示，E 为ABCD Y 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AE AD 215-=，BE 交DC 于点F ，已知15+=AB ，则CF 的长是 ．16．如图1－12所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O ，过O 点做AD 的平行线交AB 于点E ，交CD 于F ，若3=AD ，5=BC ，则=EF ． 17．如果线段a ，b 满足222350a ab b --=，则ab的值是 ．18．平行四边形ABCD 中，对角线BD 的四等分点为1O ，2O ，3O ，1AO 的延长线交BC 于E ，3EO 的延长线交AD 于F ，则:AF FD = ．19．如图1－13所示，在△ABC 中，C ∠90=o ，3AC =，D 为BC 上一点，过点D 作DE BC ⊥交AB 于点E ，若1ED =，2BD =．则DC 的长为 ．20．如图1－14所示，边长为8的正△ABC ，DE ∥BC ，面积比:1:4BCD ABC S S =△△，则EC = ．1-14E D CBAQF1-15EDCB AHF 1-16EDCBA21．若a b c k b c a c a b===+++，则k = ． 22．如图1－15所示，四边形ABCD ，EQ ∥CD ，EF ∥AB ，则EF EQAB CD+= ． 23．如图1－16所示，E 是△ABC 中BC 边的中点，F 是BC 边上任一点，过F 作FH ∥AE ，交BA 的延长线于点D ，交CA 于点H ，则FD FHAE AE+= ．24．已知::2:3:5a b c =，5a b c ++=，求a ，b ，c 的值 ． 25．已知31212358a a a b b b ===，则1212a ab b ++= ，1313a a b b ++= ． 26．已知23a c b d ==，则44a cb d--= ． 27．已知::2:3:4a b c =，则有23a b ca++= ．28．2，3，6的第四比例项是 ．二、解答题：1．如图1－31所示，B ，C 是△APM 边AP 上的两点，过B 作BN ∥AM 交PM 于N ，过N 作ND ∥MC 交AP 于D ． 求证：PA PCPB PD=． N1-31D C B MAP2．如图1－32所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，过O 作AD 的平行线与两腰分别相交于E ，F ，比较OE 与OF 的大小关系，并说明理由．O1-32D CBEA F3．已知线段a ，b ，c 如图1－33所示，求作线段x ，使2bc x a=． c b a 1-334．如图1－34所示，在△ABC 中，12==AC AB ，4=BC ，BD 平分ABC ∠，DE ∥BC ． 求△ADE 的周长．1－34E DCBA5．如图1－35所示，已知在△ABC 中，EFCD 是菱形，且3AD =，5=BF ．求菱形EFCD 的边长．1－35F E DCBA6．如图1－36所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相较于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 与点F ． 求FODF的值．DCBEAF1-36O7．如图1－37所示，在△ABC 中，EF ∥BC ,DF ∥EC ．求证：AE 是AB AD 与的比例中项．1-37F AE BCD ADEBCF1-388．如图1－38所示，在△ABC 中，AB AD 31=，延长BC 到点F ，使得BC CF 31=．连接DF ，交AC 于点E ， 求证：（1）EF DE =；（2）EC AE 2=．9．如图1－39所示，AD ∥EF ∥BC ，5AD =，7BC =，E 是AB 的黄金分割点，BE AE >． 求EF 的长．ADE BCF1-3910．如图1－40所示，已知E 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ． 求证：DC DE FB AD ::=．1-40CBED AF11．已知a ，b ，c ，d 四条线段能够成比例，2=a 厘米，3=b 厘米，5=c 厘米．求线段d 的长度．12．如图1－41所示，在ABCD Y 中，E 是AB 的中点，=AF 12DF ，EF 交AC 于点G ．求AC AG的值． ADE BCF1-41G13．如图1－42所示，D 为△ABC 中BC 上一点，EF ∥BC 交AD 于点H ．求证：EH BD HF CD=． HADEBCF1-4214．如图1－43所示，在△ABC 中，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，H 为AC 上一点，且AH AD =，过点H 作HF ∥BC 交AB 于点F ． 求证：FH BE =．HAD EBCF 1-43课后总结：能力提升一、填空题：1．如图1—61所示，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC =3，AB =5, E 是DA 的黄金分割点，且EF ∥AB 交BC 于点F ，则EF = ．1-61D CBE AF B 2A 2C 2A 1B 1C 11-62CBA 1-63DC BEA FE nE 3E 2E 1D nD 3D 21-64D 1CBA2．如图1—62所示，点1A ，2A ，1B ，2B ，1C ，2C 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的三等分点，若△ABC 的周长是m ，则六边形1A 2A 1B 2B 1C 2C 的周长是 ．3．如图1—63所示，AD ∥EF ∥BC ,AD =12，BC =17，AE :EB =2:3，则EF = ．4．△ABC 中，BC =a ，若1D ，1E 分别是BC ，AC 的中点，则1D 1E =12a ；若2D ，2E 分别是1D B ，1E C 的中点，则2D 2E =113()224a a a +=；若3D ，3E 分别是2D B ，2E C 的中点，则3D 3E =137()248a a a +=；…；若n D ，n E 分别是1n D B -，1n E C -的中点，则n n D E = ．5．如图1—64所示，△ABC 中，BC =a ． （1）若1AD =13AB ，1AE =13AC ，则11D E = ；（2）若12D D =113D B ，12E E =113E C ，则22D E = ；（3）若1n n D D -=113n D B -，1n n E E -=113n E C -，则n n D E = ．6．如图1—65所示，已知DE ∥BC ，且BF ：EF =3：2，则AC ：AE = ，AD ：DB = ．1-65DC BEAFM1-66DCBEAF 1-67DCBEAFO1-68DCBEAF7．如图1—66所示，四边形ABCD 中，==90A C ∠∠o，M 为BD 上一点，ME AB ⊥于点E ,MF CD ⊥于点F ，则MF MEBC AD+= ． 8．如图1—67所示，AF ∥BE ∥CD ，AF =12，BE = 19，CD =28．则FE ：ED 的值等于 ．9．如图1—68所示，ABCD Y的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 于点F ．则DF ：FO = ．10．如图1－69所示，DC ∥MN ∥PQ ∥AB ，2=DC ，5.3=AB ，PA MP DM ==，则=MN ，=PQ ．1-69ABD C Q M P N FABCDE1-701-71MkN A CEFDBL 3L 2L 111．如图1－70所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 3=，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则FD AF :的值等于 ．12．如图1－71所示，1L ∥2L ∥3L ， 4.2CN =，3AM =，5BM =，12EF =，则=DN ，=EK ． 13．如图1－72所示，已知EFDFBC AB =,则1l ∥2l ∥3l ，此命题是 （真、假）命题． 1-72A BCD EF321课后作业：1．如图1－83所示，已知D 是△ABC 中AC 边的中点，过点D 的任意直线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：BE CF BF EA ⋅=⋅．1-83EFC BDA2．如图1－84所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，延长DE 交BC 的延长线于点F ．求证：FCBF EC AE =． 1-84F DAB EC3．如图1－85所示，D ，E 是△ABC 的AB ，BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，AC AB DE BD ::=．求证：△EFC 是等腰三角形．F D AB EC1-854．如图1－86所示，已知四边形ABCD 是正方形，FG ∥CD ．求证：GF BF =．G 1-86CE B A D F5．如图1－87所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，G 是对角线AC 上一点，且:1:5AG GC =，EG 的延长线交AD 与点F ．求:DF FA 的值．G 1-87CEB A D F6．如图1－88所示，D 为△ABC 中AC 边上的一点，E 为CB 延长线上的一点，EB AD =，DE 交AB 于点F ．求证：AC DF BC EF ⋅=⋅．1－88AB CDE F7．如图1－89（1）所示，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为点B ，D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD ，垂足为点F ，我们可以证明111+=AB CD EF成立（不要求证明）． 若将图1－89（1）中的垂线改为斜交，如图1－89（2），AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点E ．过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ．则：（1）111+=AB CD EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2）请找出面积ABD S △，BED S △和BDC S △间的关系式，并给出证明．（2）（1）AD BC F E 1-89EF C BD A8．如图1－91所示，如果M 是△ABC 中BC 边的中点，P 是CM 上任一点，过点P 作PR ∥AM ，交BA 延长线于点Q ，交CA 于点R ．求证：BM BC AM PR AM PQ =+． 1－91MRQP C B A9．如图1－90（1）所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ，AG ∥BC 交EF 于点G ，我们可以证明EG DC ⋅=ED ⋅AG 成立（不要求证明）． （1）如图l －90（2）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，改为交BA 于点E ，其他条件不变，则AG ED DC EG ⋅=⋅还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）根据图1－90（2）所示，请你找出EG ，FD ，ED ，FG 四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图l －90（3）所示，若将图1－90（1）中的过点D 的一条直线交AC 于点F ，改为交CA 的反向延长线于点F ，其他条件不变，则（2）得到的结论是否成立？1－90（3）（2）（1）A FG E B D C A G B D C FE EFC DB G A10．如图1－92所示，已知△ABC 中=90ACB ∠o ，以BC 为边向外作正方形BCDE ，连接AE 交BC 于点F ，作FG ∥AC 交AB 于点G ．求证：FG FC =．1－92A B CDGFE11．如图1－93所示，△ABC 中，DE ∥BC ，CD ，BE 交于点O ，过点O 作MN ∥BC ，分别交AB ，AC 于点M ，N ．求证：MNBC DE 211=+． 1－93N ME O DC B A12．如图1－94所示，以AC ，BC 为底向AB 同侧作两个顶角相等的等腰△ADC ，△CEB ，若AE ，DC 交于点P ，BD ，CE 交于点Q ．求证：CQ CP =．AP C DQB E1－9413．如图1－95所示，BD ∥FG ，BE ∥FC ．求证：DC ∥EG ．1－95G FEDCB A14．如图1－96所示，在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，点F 在边BC 上，且BF CF3=，EF 与BD相交于点G ．求证：BG DG 5=．1－96AB C D EF G15．如图1－97所示，在等腰△ABC 中，AC AB =，底边BC 外接正方形BCDE ，AD ，AE 分别交BC 于点F ，G ，过F 点作FH ∥CD 交AC 于H ．求证：HF GF =．1－97A B C DE F HG16．如图l －98所示，已知：梯形ABCD ，AB ∥CD ，且7=AB ，4=CD ，延长AD ，BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC ，BD 的延长线于M ，N ．求：MN 的长．1－98A B C DE N M17．如图1－99所示，在平行四边形ABCD 中，EH 交BA ，BC 延长线于E ，H 点，且交AD ，DC 于F ，G ，交BD 于P 点．求证：EP PF PH PG ⋅=⋅．P 1-99EFC BDAG H18．如图1－100所示，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于F ，EG 过F 点且与AB 平行． 求证：2EG EG AB CD+=． 1-100G FEDC BA19．如图1－101所示，△ABC 中，AP 平分BAC ∠，BE AP ⊥，垂足为Q ，BE 交AC 的延长线于E ，M 为BC 的中点，延长AM 交BE 于N ，连结NP ．求证：NP ∥AB ．QAB CE MN P 1-101。

第2讲三角形一边的平行线（一）【学习目标】三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．【基础知识】一、三角形一边的平行线性质定理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABCl BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么．∆，直线//二、三角形一边的平行线性质定理推论1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D、E分别在ABC∆的边AB、AC上，//DE BC，那么．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【考点剖析】考点一：三角形一边的平行线性质定理例1．如图，在ABCBD=，求CE．DE BC，6∆中，15AB=，10AC=，//【难度】★【答案】4．【解析】，代入可得：=4CE．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．例2．阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边 到窗下的墙角距离8.7CE =米，窗口 1.8AB =米，求窗口底边离地面的高BC ．【难度】★ 【答案】5.8m ．【解析】射入的光线平行，则有，代入可求得： 5.8AC m =，．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．例3．在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，//DE BC ，若:2:3AD AB =，12EC =厘米，则AC =．【难度】★ 【答案】7.2cm ．【解析】由//DE BC ，可得，故，代入求得7.2AC cm =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例4．如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，．由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，． 又CD 平分ACB ∠， ． ， ．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．例5．如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF的周长．【难度】★ 【答案】16．【解析】2AE CE =，． 又//DE BC ，//EF AB ， 2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，， 四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．例6．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC 的垂线交AB于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．【难度】★★ 【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC =，BF FC =， 即得：，可得：． 又AD BC ⊥，EF BC ⊥， EF ∴//AD ， ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．例7．如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，．代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：，即， 又根据平行，可得：， ．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．例8．如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★ 【答案】12． 【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形， 故34ECD BCDSDE BC S==， 由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形， ∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．例9．如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ，////RB DI SD BQ ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PS PR PB PQ==， PQ PI PR PS ∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例10．如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．【难度】★★【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ， ．根据三角形一边平行线的性质定理， 则有：， 2BF FG EF =．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．例11．如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）； （2）．【难度】★★【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，．∵点C 在线段AB 上， ．//AM CN ∴，．（2）同（1）易证得//CM BN ，则有． AMC ∆和CBN ∆是等边三角形， MC AM NB CN ∴==，， ， ．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化． 考点二：三角形一边的平行线性质定理推论例1．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ．（1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长；（2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长； （3）如果，求的值．【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴，∴4AD =，∴； （3）∵//DE BC ，∴．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．例2．已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的 底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB = 米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．例3．如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ； ③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先 增大后减小，故④成立． 【总结】找准临界值，注意进行思维分析．例4．已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）【难度】★★【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc=的是C选项．【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．例5．如图，ABC∆中，//DE BC，3AE=，4DE=，2DF=，5CF=，求EC的长．【难度】★★【答案】92 EC=．【解析】//DE BC，，即，求得：92 EC=．【总结】相似三角形中“A”字型和“X”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．例6．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，若:1:2DE EC=，则:BF BE=．【难度】★★【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC=，可知，由//CE AB，可知，故:3:5BF BE=．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型．例7．如图，在ABC∆中，6BC=，G是ABC∆的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，求GH的长．【难度】★★【答案】2．【解析】连结AG并延长交BC于点D，根据重心的定义，可知D为BC中点，则132DC BC==，根据重心的性质，又//GH DC，可得：，求得2GH=．【总结】考查三角形重心的性质．例8．如图，已知////AB CD EF．AB m=，CD n=，求EF的长．（用m、n的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF，则有，即，得mnEFm n=+．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例9．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，，BE的延长线交CD的延长线于点G，交AD于点F，求:BF FG的值．【难度】★★【答案】1:2．【解析】由//AF BC，可得，即，故，由//AB DG，可得：．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例10．如图，，，:4:1BC CD=，求:AE EC的值．【难度】★★【答案】2:1．【解析】由，得：，又:4:1BC CD=，可得，故．【总结】考查相似三角形中“X”字型的综合应用，得到比例关系．例11．如图，在梯形ABCD中，//AD BC，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，且//EO BC，已知3AD=，6BC=．求EO的长．【难度】★★【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：， 故，由//EO BC ，，求得2EO =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．例12．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点， 且//EF AD ，，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ，则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ， 可得：，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．【真题演练】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，//BC MN ，//DN MC ，下列结论正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】//BC MN， //DN MC，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 2．（2021·上海九年级专题练习）如图，//DE BC ，//EF AB ，则下列式子中成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【详解】//DE BC//EF AB故选：D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 3．（2021·上海九年级一模）如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE ∥BC ，如果AD=2，AB=3，AC=6，那么AE 等于（ ） A ． B ．C ．4D ．9【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵ED ∥BC ， ∴ ， 即362AE， ∴AE ＝4， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．4．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）如图，在ABC 中，//DE BC ，若，则:ADE BEC S S △△等于（ ）A ．2:15B ．4:15C ．4:9D ．3:15【答案】B【分析】由//DE BC ，证明，再证明，设=2ADE S m ，再求解152BECmS=，从而可得答案． 【详解】解： //DE BC ，， ，2233ADE ABE BDEBECS S SS∴==， 设=2ADESm ，则3BDES m =，=5ABESm ∴，152BECmS∴=， 24.15152ADE BECS m m S∴== 故选B ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键．5．（2020·上海市金山初级中学九年级月考）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且3AD DB ==，则的值为（ ） A ．1 B ．2C ．13D ．23【答案】A【分析】根据平行可以得到AE ADEC DB=． 【详解】解：∵//DE BC ， ∴． 故选：A ．【点睛】本题考查线段成比例，解题的关键是掌握根据平行线得到对应的线段成比例的方法． 6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若，则等于( )A．13B．25C．23D．35【答案】C试题解析：：∵DE∥BC，∴，故选C．考点：平行线分线段成比例．7．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知线段a、b、c，求作线段abxc=，下列作法中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【详解】由A得，a bc x=，则x＝bca，A错误；由B得，b ac x=，则x＝acb，B错误；由C得，b xa c=，则x＝bca，C错误；由D得，c ba x=，则x＝abc，D正确.故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可．【详解】如图：，只有B 选项符合，A 、C 、D 都错误． 故选B ．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可． 9．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点O ，则下列比例式中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】利用//,AB CD 得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：//,AB CD故A 错误；//,AB CD故B 错误；//,AB CD故C 错误；//,AB CD，故D 正确， 故选.D【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 二、填空题10．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AE=2CE ，AB=6，BC=9，那么四边形BDEF 的周长是_________．【答案】16【分析】由平行线分线段成比例得出比例式，求出BF 和BD 的长度即可． 【详解】解：2,AE CE23AE AC ∴= //,DE BC，∵AB=6，BC=9，4,6AD DE ∴==，∴2,BD =∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴6DE BF ==，四边形BDEF 的周长是2+2+6+6=16； 故答案为：16．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例和平行四边形的性质；掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意线段的对应关系．11．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，//DE BC ， ，9BC =，那么ED =_________．【答案】3【分析】根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵//DE BC ∴， ∵BC =9， 故答案为：3．【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 12．（2020·上海九年级月考）如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE //FG //BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为_____．【答案】9【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ＝3：2：1，设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ，根据AG ＝15得到方程3x+2x ＝15，求出x ，再求出答案即可． 【详解】解：∵DE ∥FG ∥BC ， ∴AD ：DF ：FB ＝AE ：EG ：GC ，∵AD ：DF ：FB ＝3：2：1， ∴AE ：EG ：GC ＝3：2：1， 设AE ＝3x ，则EG ＝2x ，GC ＝x ， ∵AG ＝15， ∴3x+2x ＝15， 解得：x ＝3，∴AE ＝9，EG ＝6，GC ＝3， ∴EC ＝EG+GC ＝6+3＝9， 故答案为：9．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理得到比例式，并设元求出各段的长是解题关键．13．（2020·上海上外附中）如图，在梯形ABCD 中，//3,5,,AD BC AD BC E F ==、是两腰上的点，且//,:1:2,EF AD AE EB =则EF =__________【答案】【分析】过点A 作AG ∥CD 交EF 于H ，交BC 于G ，易证四边形AHFD 、AGCD 均为平行四边形，则有CG=HF=AD=3，BG=2,再由平行线分线段成比例可得，可求得EH ，进而可求得EF 的长． 【详解】解：过点A 作AG ∥CD 交EF 于H ，交BC 于G ，∵AD ∥BC ∥EF ，∴四边形AHFD 、AGCD 均为平行四边形， ∴CG=HF=AD=3， ∴BG=BC ﹣CG=2，∵//,:1:2,EF AD AE EB = ∴， ∴EH=13BG=23，∴EF=EH+HF=,故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例，将梯形问题通过作辅助平行线转化为三角形问题是解答的关键．14．（2020·上海炫学培训学校有限公司）△ABC 中，AB=AC=10，重心G 到底边BC 的距离为2，那么AG=_________． 【答案】4【分析】过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，首先利用重心的概念和平行线分线段成比例得出，然后代入计算即可．【详解】如图，过点D 作//DE BF 交AC 于点E ，∵G 是△ABC 重心，∴AD ，BF 都是△ABC 的中线，,AF CF BD DC ∴==． //DE BF ，12CE EF CF ∴==， 2AF EF ∴= ．//DE BF ，．2GD =，4AG ∴=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握重心的概念和平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 15．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O 是△ABC 的重心，过点O 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若BC ＝6，则EF ＝________．【答案】4【分析】连接AO 并延长交BC 于Q ，利用重心性质得AO ：OQ=2：1，则AO ：AQ=2：3，再证明△AEF ∽△ABC ，△AEO ∽△ABQ ，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵连接AO 并延长交BC 于Q ，∵O是△ABC的重心，∴AO：OQ=2：1，∴AO：AQ=2：3，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABQ，△AEF∽△ABC，∴∵BC＝6，∴EF=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，G为△ABC的重心，GE∥AB，则＝_________．【答案】1 2【分析】根据重心的概念和性质得到2,3AGBM CMAM==，根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案．【详解】解析：∵G为△ABC的重心，∴2,3AGBM CMAM==，∵GE∥AB，∴∴．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理，掌握三角形的重心是三条中线的交点、重心到顶点的距离等于它到中点的距离的2倍是解题的关键．三、解答题17．（2019·上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在BC 、AC 上，BE 平分∠ABC ，DE ∥BA ，如果CE =24，AE =26，AB =45，求DE 和CD 的长．【答案】1085DE =，129665CD =【分析】根据平行线截线段成比例的性质求解． 【详解】解：∵DE ∥BA ， 即∵DE ∥BA ， ∴∠ABE =∠DEB ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE =∠DBE ， ∴∠DBE =∠DEB ，1085BD DE ∴==∵DE ∥BA ，即24,10824265CD CD =++129665CD ∴=【点睛】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线截线段成比例定理是解题关键．18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线与，求证：2OC OA OE =⋅．【分析】通过AD ∥BC 可得到，再根据BE ∥CD 可得到，从而得到答案； 【详解】证明：∵AD ∥BC ， ∴，又∵BE ∥CD ， ∴， ∴，∴2OC OA OE =⋅．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，准确证明是解题的关键．19．（2020·上海九年级月考）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE //BC ． （1）若S △ADE ＝2，S △BCE ＝7.5，求S △BDE ；（2）若S △BDE ＝m ，S △BCE ＝n ，求S △ABC （用m 、n 表示）．【答案】（1）3 （2）2n n m- 【分析】（1）根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比，可以得到ADE ABE BDEBCESS SS=,设S △BDE＝x ，再将x 的值代入即可得出答案； （2）由（1）知ADE ABE BDEBCES S SS=，设S △ADE ＝y ，又S △BDE ＝m ，S △BCE ＝n ，从而得出y 与m 、n 的函数关系式，即可表示出三角形ABC 的面积． 【详解】解：（1）设S △BDE ＝x ． ∵， ∵DE ∥BC ， ∴， ∴ADE ABE BDEBCES S SS=∵S △ADE ＝2，S △BCE ＝7.5， ∴，解得：x 1＝﹣5（舍），x 2＝3．经检验x ＝3是此题的解， ∴S △BDE ＝3； （2）由（1）知ADE ABE BDEBCES S SS=，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，∴y y mm n+ =，解得2myn m =-，∴22 ABCm nS m nn m n m∆=++=--．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得出面积比之间的相等关系是解决问题的关键．【过关检测】1.已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）【难度】★【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C选项满足题意．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．2.如图，//EF AB，//DE BC，下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】★【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可知A选项正确；B、C、D错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．3.如图，ABC∆中，，，//DE AC，求:AB BD的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由，，可得，根据比例的合比性质，可得，由//DE AC，可得．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．4.如图，在ABC∆，//DE BC，DE与边AB、AC分别交于点D、E．（1）已知6AD=，8BD=，4AE=，求CE、AC的长；（2）已知:2:5AE AC=，10AB=，求AD的长．【难度】★【答案】（1）162833AE CE==，；（2）4．【解析】（1）∵//DE BC，∴，∴163 CE=；（2）∵//DE BC，:2:5AE AC=，∴，∴4AD=．【总结】考查三角形一边平行线的性质．5.如图，菱形ADEF内接于ABC∆，16AB=，14BC=，12AC=，求BE的长．【难度】★【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，，即有，可解得菱形边长487 DE AD==，故647BD AB AD=-=，，∴8BE=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．6.如图，，已知20AB=，80CD=，求EF的长．【难度】★★【答案】16【解析】由，可得:，，则有，代入计算得16EF=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．7.如图，在ABC∆中，D是边BC上一点，//DF AB，//DE CA．（1）求证：；（2）如果2CF=，5AC=，6AB=，求AE、DE的长．【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE==，．【解析】（1）证明：//DE CA，，又//DF AB，，．（2）解：由（1）可得，根据比例的合比性质，得：，代入可解得：621255 AE⨯==，由//DE CA，//DF AB，可知四边形AEDF为平行四边形，即得：．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．8.如图，P是ABC∆的中线AD上一点，//PE AB，//PF AC．求证：BE CF=．【难度】★★【解析】证明：//PE AB，//PF AC，，，又BD CD=，．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．9.如图，在ABC∆中，//DE BC，且:2:3AD AB=，求:EO EB的值．【难度】★★【答案】2:5．【解析】由//DE BC，可得，则，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB=．【总结】找准图形中的“A”字型和“X”字型进行比例线段的转化构造．10.在ABC∆中，AB AC=，如果中线BM与高AD相交于点G，求．【难度】★★【答案】23．【解析】，．即D为BC中点，M为AC中点，G∴为ABC∆重心，．【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．11.如图ABC∆，点D、E分别在BC、AC上，BE平分ABC∠，//DE BA．如果24CE=，26AE=，45AB=，求DE和CD的长．【难度】★★【答案】1085DE=，129665CD=．【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得，∴．由BE平分ABC∠，则有，由//DE BA，可得：，即，故1085 BD DE==，进而可得：，∴129665BD CECDAE⋅==．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．。