上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(word版含答案)

华师大二附中2017届高三期中考试数学试卷一.填空题1.已知1sin23α=，则cos α=________.2.双曲线2212x y -=的实轴长为________3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N = ，则复数z =________.4.在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为____________.5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.6.已知函数21()x f x x a +=+1()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数=a ________.7.设1e ，2e 为单位向量．且1e 、2e的夹角为，若a =1e +32e ，b =21e ，则向量a 在b 方向上的射影为________.8.若na 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭_________．9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为nS ，当且仅当8n =时nS 取得最大值，则d 的取值范围为________．10.给出下列命题:①1y =是幂函数；②函数2()2log x f x x =-的零点有且只有1个；③2)0x -≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤数列{}na 的前n 项和为n S ，且1nnS a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则ab =________.12.已知函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.二.选择题13.若1a b >>，01c <<，则A.cc a b < B.c cab ba < C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a A.43- B.34-C. D.215.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是A.若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B.若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C.若α∥β，m α⊆，则m ∥βD.若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等16.在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =A.1B.2C.3D.417.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为（）A.33B.23C.22D.118.如图1所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l//l 1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点，设弧FG 的x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f(x)图象大致是图1A. B.C. D.三.解答题19.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2AB =，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且3tan 2θ=；（1）求证:平面ACD ⊥平面ADE ；（2）记AC x =，(x)V 表示三棱锥A CBE -的体积，求(x)V 的表达式及最大值；20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元；（1）求{}n a 的通项公式；（2）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P F Q ⊥，求直线l 的方程.22.已知函数()2cos 10cos222x x x f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．23.已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；（1）求实数a ､b 的值；（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的函数()ϕx ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<= ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()()|nii i x xM ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()ϕx 为在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.华师大二附中2017届高三期中考试数学试卷一.填空题1.已知1sin 23α=，则cos α=________.【答案】79【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值.【详解】217cos 12sin 12299αα=-=-⨯=，故答案为：79.【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.2.双曲线2212x y -=的实轴长为________【答案】【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.【详解】由2212x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N = ，则复数z =________.【答案】4i-【分析】根据{}4M N = 可得4M Î，从而可求z .【详解】因为{}4M N = ，故4M Î，而{}1,2,M zi =，所以4zi =，故44z i i==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N = .故答案为：4i -.【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题.4.在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为____________.【答案】12-【详解】试卷分析：x a =时1y x a =--取得最小值1-．即函数1y x a =--的图像的最低点为(),1a -．当0a ≥时，由数形结合可知此时直线2y a =与1y x a =--的图像必有两个交点，故舍；当a<0时，要使直线2y a =与1y x a =--的图像只有一个交点，则有直线2y a =必过点(),1a -，即21a =-，解得12a =-．综上可得12a =-．考点：1函数图像交点问题；2数形结合思想．5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.【答案】19【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率.【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，所以基本事件的总数为36.设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369P A ==.故答案为：19【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题.6.已知函数21()x f x x a+=+1()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数=a ________.【答案】2-【分析】求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.【详解】令21+=+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()112ax f x x --=-，因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1f x f x -=，所以2112+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()2222321x x ax a x a --=-+-+，故答案为：2-.【点睛】本题考查反函数的性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.7.设1e ，2e 为单位向量．且1e 、2e的夹角为，若a =1e +32e ，b =21e ，则向量a 在b方向上的射影为________.【答案】52【详解】1211112(3)2265cos 13cos .2232e e e e e e e a b a b a a a b bπθ+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅====+=⋅考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.8.若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭_________．【答案】8【详解】试卷分析：由题意222n n na C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+=111118[(1)()()]2231n n -+-++-- 88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________．【答案】7(1,8--【详解】试卷分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8d -<<-考点：等差数列性质10.给出下列命题:①1y =是幂函数；②函数2()2log xf x x =-的零点有且只有1个；③1(2)0x x --≥的解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1nn S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项.【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x R ∈.故1y =不是幂函数，故①错误.对于②，在同一坐标系画出22,log xy y x ==的图象（如图所示）：则22,log xy y x ==的图象没有公共点，故2()2log xf x x =-没有零点，故②错误.对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件，故④正确.对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,10,2n n a n -=⎧=⎨≥⎩，该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误.故答案为：④.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则ab =________.【答案】0【分析】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，求出(),P x y 在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下对应的点Q 的坐标，代入2221x y -=后整理得到的方程就是方程22421x xy y ++=，从而可求,a b 的值.【详解】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，(),Q x y ''为在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下对应的点，则x x ay y bx y=+⎧⎨=+''⎩，因为(),Q x y ''在2221x y -=上，故()()2221x ay bx y +-+=，整理得到()()()2222122421bx a b xy ay -+-+-=，而22421x xy y ++=，故2212124422b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以0ab =.故答案为：0.【点睛】本题考查变换的求法，注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程，从而根据系数关系可得参数满足的方程组，此类问题属于中档题，有一定的思维要求.12.已知函数22(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.【答案】1142a -<或62a >【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，然后就32a >、1322a ≤≤、12a <分三类求()f x 的最值，最后根据最值的范围可得实数a 的取值范围.【详解】设()22(1)1f x x a x a =++++-，故22221(1),1()1(1),1x x a a x af x x x a a x a ⎧++-++≥-=⎨--+++<-⎩，若32a >，则112a -<-，此时()f x 在(],1a -∞-上为减函数，在11,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为减函数，在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，故()2min 11324f x f a a ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，因为32a >，故21991133544242a a +->+-=>，故32a >满足条件.若1322a ≤≤，则11122a -≤-≤，此时()f x 在[)1,a -+∞上为增函数，在(],1a -∞-上为减函数，故()()2min122f x f a a =-=+，令22251322a a ⎧+>⎪⎨≤≤⎪⎩，故6322a <≤.若12a <，则112a ->，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在[)1,a -+∞上为增函数，故()2min 1724f x f a a ⎛⎫==++⎪⎝⎭，令275412a a a ⎧++>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，故12a -<.综上，a 的取值范围为：1142a -<或62a >.故答案为：1142a -<或62a >.【点睛】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再依据函数的单调性求最值，本题属于难题.二.选择题13.若1a b >>，01c <<，则A.c c a b < B.c cab ba < C.log log b a a c b c< D.log log a b c c<【答案】C【详解】试卷分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.14.圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a A.43-B.34-C. D.2【答案】A【详解】试卷分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.【考点】圆的方程，点到直线的距离公式【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．15.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是A.若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B.若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C.若α∥β，m α⊆，则m ∥βD.若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【答案】A 【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项.【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ= ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.故选：A.【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.16.在ABC中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A.1B.2C.3D.4【答案】A【详解】余弦定理2222·cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为（）A.33B.23C.2D.1【答案】C【分析】方法一：设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意求出点M 的坐标，再根据基本不等式即可求出．【详解】［方法一］：【最优解】直接法设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知(,0)2pF ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则2001112()(,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：2000232263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号．故选：C ．［方法二］：参数法由题意可知：(,0)2pF ，设P 点坐标为2(2,2)(0)pt pt t >，M 点坐标为(,)x y .||2||PM MF =,则13FM FP = ，即223323pt p x pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222212312212233OMpty t pt p x t t t k ====≤+++，当且仅当221t =等号成立.则直线OM 斜率的最大值22．故选：C ．［方法三］：几何法由题意可知：(,0)2pF ，P 点坐标为2000(,)(0)2y y y p >，M 点坐标为(,)x y ，作点O 关于点F 的对称点(,0)N p ，由已知可得点M 为OPN 重心，坐标为2002,33y p y p⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭001222ON y k y p x p y ∴==≤+，当且仅当2202y p =等号成立.则直线OM 斜率的最大值22．故选：C ．［方法四］：方程法由题意可知：(,0)2pF ，设P 点坐标为200(,)2y y p，M 点坐标为(,)x y .易知直线OM 的斜率最大时，00y >，2PM MF =，则2PM MF =，可得200(,)2(,)22y p x y y x y p --=--，即200363y p x p y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点M 的轨迹方程为：22962y px p =-与y kx =联立可得2229620k x px p -+=，222(6)4920p k p ∆=--⨯⨯≥2222k ∴-≤≤，则直线OM 斜率的最大值22．故选：C ．【整体点评】方法一：设出点P 的坐标，再求出点M 坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：同方法一几乎一致，只是设点P 的坐标形式与方法一不同；方法三：构造三角形，利用三角形重心性质求出点M 坐标，再基本不等式求出最值；方法四：先求出点M 的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．18.如图1所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l//l 1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点，设弧FG 的x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f(x)图象大致是图1A.B.C.D.【答案】D【详解】如图1cos64cos22222.sin603x x xy BE BC--=+===-︒由余弦函数的图象性质可得D 正确.考点：本题主要考查三角函数的概念、图象、性质及其应用.三.解答题19.如图，ABC∆内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，2AB=，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tan2θ=；（1）求证:平面ACD⊥平面ADE；（2）记AC x=，(x)V表示三棱锥A CBE-的体积，求(x)V的表达式及最大值；【答案】（1）证明见解析；（2）3()6V x=(02)x<<，max3()3V x=.【分析】（1）可证DE⊥平面ACD，从而得到平面ACD⊥平面ADE.（2）可证EAB∠为AE与平面ABC所成的角为θ，从而可得BE=，又可证BE⊥平面ABC，从而()3ACBV x S∆=，利用基本不等式可求(x)V的最大值.【详解】（1）因为ABC∆内接于圆O，AB是圆O的直径，所以AC CB⊥，因为四边形DCBE为平行四边形，故//DE CB，所以AC DE⊥.因为DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故DC BC⊥，所以CD DE⊥，因为DC AC C=，故DE⊥平面ACD，而DE⊂平面ADE，故平面ACD⊥平面ADE.（2）因为四边形DCBE 为平行四边形，故//BE CD ，由（1）可知DC AC ⊥，DC CB ⊥，故BE AC ⊥，BE CB ⊥，因为AC BC C = ，故BE ⊥平面ACB ，所以EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，故EAB θ∠=.在Rt ABE ∆中，tan 2EAB ∠=，故2BE AB ==故1313()3326ACB V x BE S ∆=⨯=⨯=，其中02x <<.由基本不等式有22422x x +-≤=，当且仅当x =时等号成立，故max 3()6V x =.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换，后者注意选择合适的顶点来计算体积，本题属于中档题.20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元；（1）求{}n a 的通项公式；（2）当38ab ≥时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?【答案】（1）12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））；（2）是.【分析】（1）由题设可知当2n ≥时，收入n a 由两部分构成：一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第n 1-项，据此可求{}n a 的通项公式.（2）利用基本不等式可得()2n a a n >≥总成立，从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】（1）由题设有1a a =，223a ab =+，当2n ≥时，收入n a 由两部分构成，一部分是以a 为首项，公比为23的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为32的等比数列的第n 1-项，故当2n ≥时122332n n n a a b --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩））.（2）当38a b ≥时，121211232332332382342n n n n n n a a b a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥+=+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由基本不等式可有11232342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因不存在*,2n N n ∈≥，使得11213342n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭成立，故1123342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭总成立，所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，涉及到通项的求法、基本不等式的应用等，注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明，也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明，本题属于中档题.21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P F Q ⊥，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）2214133x y +=；（Ⅱ）10x +-=或10x --=．【详解】试卷分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把11F P FQ ⊥转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试卷解析：（1）112F B B ∆为等边三角形，则2222222433{{{1113a ab bc a b c b =-==⇒⇒-===椭圆C 的方程为：223314x y +=；（2）容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，由()221{12y k x x y =-+=得()()2222214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ∵11F P FQ ⊥ ，∴11·0F P F Q=，即()()()()()2121212*********x x y y x x x x kx x +++=++++--()()()22221212271111021k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得217k =，即77k =±，故直线l的方程为10x +-=或10x -=.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．22.已知函数()2cos 10cos 222x x xf x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．23.已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；（1）求实数a ､b 的值；（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在[,]p q 上的函数()ϕx ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<= ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()()|nii i x xM ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()ϕx 为在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.【答案】（1）1a =，0b =；（3）104k <<或4k >；（3）是，min 10M =.【分析】（1）根据()g x 在[]2,4上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.（2）不等式2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 0k k ->，由后者可以得到2log 2k >，从而可求k 的取值范围.（3）对任意的[]0,4上的划分，必定存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤= ，从而可得()()()11|()()|042nii k i f x f xf f f x -=-=+-∑，故可得11|()()|ni i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,4上的有界变差函数且min 10M =.【详解】（1）因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a >故()g x 在[2,4]为增函数，所以()max ()481g x g a b ==++，()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又819a b ⨯++=，解得1a =.所以1,0a b ==.（2）由（1）得2()(||)21f x g x x x ==-+，因为()21f =，所以2(log )(2)f k f >等价于222log 2log 11k k -+>，所以2log 2k >，故2log 2k >或2log 2k <-，解得104k <<或4k >.（3）当[]0,4x ∈时，()221f x x x =-+，此时()()max min 9,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,4为增函数.设1x ､2x ､L ､1n x -将区间[0,4]任意划分成n 个小区间，且01104i i n x x x x x -=<<<<<<= ，则存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤= ，所以()()()()()()1011211|()()|nii k k i f x f xf x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ ()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++- ，整理得到()()()()()()101|()()|2042nii n k k i f x f xf x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，因为()0k f x ≥，()()()()()0420410k f f f x f f +-≤+=，故11|()()|10nii i f x f x-=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立，故()f x 是[]0,4上的有界变差函数，又10M ≥，所以min 10M =.【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，注意根据对称轴的位置确定函数的单调性从而研究其最值，对于含绝对值的代数式的最值问题，可根据函数的单调性来确定绝对值符号内的代数式的符号，有时也可以利用绝对值不等式来放缩求最值，本题属于难题.。

2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。

上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. arccos()arctan(2-+= 2. 已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为 3. 已知函数sin(2)y x ϕ=+（22ππϕ-<<）的图像关于直线3x π=对称，则ϕ的值为4. 已知tan 7α=，则tan2α=5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=6. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2555a S =+，则数列{}n a 的公差为7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC的面积为2，且A 、B 、C 成等差数列，则ac 的最小值为9. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为 10. 已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中任意一项k a ，kpa 也是数列 {}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”；若等比数列的{}n a项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，则T = （用m 和p 表示） 二. 选择题11. 已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋅⋅⋅+（k *∈N ），则（ ）A. (1)()22f k f k k +-=+B. (1)()33f k f k k +-=+C. (1)()42f k f k k +-=+D. (1)()43f k f k k +-=+ 12. 下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ=B. 1arccos()1202-=C. arcsin(sin)33ππ=D. 2arctan24π= 13. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像关于点(,0)3π-对称B. 函数图像关于直线6x π=-对称C. 函数(2)f x 的最小正周期为πD. 当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图像与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 14. 已知||0x y >>；将四个数x ，x y -，x y +，22x y -按照一定顺序排列成一个数列，则（ ） A. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 B. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列 C. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 D. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列三. 解答题15. 已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.16. 已知数列{}n a 是等差数列，110a =-，公差0d ≠，且2a 、4a 、5a 是等比数列. （1）求n a ；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T .17. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）n S 为数列2{}na 前n 项和，对于任意n *∈N ，有123n b n S t +=⋅，求实数t 的值； （3）求数列{}n n a b 的前n 项和n A .18. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N . （1）求2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数，n 有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<.四. 附加题19. 已知函数()sin()cos()g x x x ππ=-，()f x =1544x ≤≤）. （1）试讨论并直接写出()g x 的单调性； （2）试求()f x 的最小值.20. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =⋅⋅⋅.（1）令1(1)n n b a n n =++，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求n S .参考答案一. 填空题 1.2π2. 12-3. 6π-4. 724-5. 16. 1-7. 1(2)n --8. 49. ①③ 10. 2mT p =二. 选择题11. B 12. C 13. D 14. D三. 解答题15.（1）T π=；（2）最大值1+. 16.（1）212n a n =-；（2）当6n ≤，211n T n n =-；当6n ≥，21160n T n n =-+.17.（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）23t =；（3）2(23)3n n -+. 18.（1）23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）证明略.四. 附加题 19.（1）增区间，13[2,2]44k k -++；减区间，37[2,2]44k k ++，k ∈Z ；（2）min 5()()4f x f ==. 20.（1）证明略；（2）1112n n S n =-+.。

2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．2．若，则= ．3．函数的最小正周期为．4．在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若，，则tanαtanβ= ．6．已知，则x= （用反正弦表示）7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m 的最小值为．9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．2．若，则=sin．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，则===|sin|=，故答案为：sin．3．函数的最小正周期为 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．在△ABC中，若，则△ABC为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin （A+B ）=sinC=1，C 为直角，从而得出结论． 【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA ，∴sin （A+B ）=sinC=1，∴C=，故△ABC 为直角三角形， 故答案为：直角．5．若，，则tan αtan β=．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，联立解得cos αcos β，sin αsin β，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，∴联立，解得：cos αcos β=，sin αsin β=，∴tan αtan β==．故答案为：．6．已知，则x=（用反正弦表示）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．7．函数y=2sin 2x ﹣3sinx+1，的值域为 ．【考点】HW ：三角函数的最值．【分析】令sinx=t ，求出t 的范围，得出关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：令sinx=t ，则y=2t 2﹣3t+1=2（t ﹣）2﹣，∵x ∈[，]，∴t ∈[，1]，∴当t=时，y 取得最小值﹣，当t=或1时，y 取得最大值0．故答案为：．8．将函数y=cos2x ﹣sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=cos（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m的最小值为，故答案为：9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 2 个点关于y轴对称．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，根据函数图象即可得出结论．【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，如图所示；则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．故答案为：2．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11 个．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=s in1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= sin（x﹣）+（写出一个即可）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，∴ω=，k∈Z，取ω=；∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；∴①﹣②得A=3∴A（cosφ﹣sinφ）=3∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=∴Acos（φ+）=令A=，则φ=﹣；∴写出满足条件的一个函数为f （x ）=sin （x ﹣）+；故答案为：．二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】GC ：三角函数值的符号． 【分析】根据三角函数值的符号判断即可．【解答】解：∵﹣＜α＜0，∴cos α＞0 tan α＜0 tan α•cot α=1 ∴cot α＜0∴点（cot α，cos α）在第一象限． 故选：D ．14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）A ．y=tan|x|B ．y=cos （﹣x ）C ．D ．y=|cot|【考点】3J ：偶函数；3E ：函数单调性的判断与证明． 【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．【解答】解：y=sin （x ﹣）=﹣sin （﹣x ）=﹣cosx 故选C ．15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【考点】3L：函数奇偶性的性质；H5：正弦函数的单调性．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得： tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数的递增区间：，k∈Z；令2x﹣=，解得x=+，∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；令2x﹣=kπ得x=+，∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；作图如下：（1）列表：作出图象如下：20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f （x+3）=﹣f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；（3）以f（x）=cos（）为例即可得出结论．【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）=sin（）﹣sin（）+cos（）=sin（）+cos（）=sin（+）=sin（）=g（x+1），∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），∴g（x）∈A．（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数．（3）A中的元素不一定是奇函数，令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos（+）=cos（）﹣cos（）﹣sin（）=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．∴f（x）=cos（x）∈A，而f（x）=cos（x）是偶函数，故A中的元素不一定是奇函数．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x ∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，∴f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，∵sinx≠0，∴a=﹣，令h（x）=﹣=2sinx﹣，h′（x）=2cosx+=，令h′（x）=0得x=或，∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．2017年6月6日。

上海华东师范大学第二附属中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则（）A. 1B. －1C.2D. －2参考答案：A2. 设集合，集合B={2,3,4}，则A∩B=( )A.（2,4）B.{2.4}C.{3}D.{2,3}参考答案：D3. 已知、、为△的三边,且,则角等于( )A. B. C. D.参考答案：B4. 已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列， -1,b1,b2,b3, -9五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)的值为（）A. 8B.-8 C.8 D.参考答案：B略5. 若当时，均有意义，则函数的图像大致是（）参考答案：B6. 已知单位向量与单位向量的夹角为，=3+4，则||等于（）A．5 B．6 C．D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可．【解答】解：单位向量与单位向量的夹角为，∴?=1×1×cos=，又=3+4，∴=9+24?+16=9×1+24×+16×1=37，∴||=．故选：C．7. 对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“ V类三角形”一定满足（）．A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°参考答案：B【分析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C，即：tan C＝1，解得：C＝45°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．8. 在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（）A. B. 1 C. D.参考答案：D【分析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.【详解】为中点和为等腰三角形，同理可得：本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.9. 已知直线l1：x+2y+t2=0和直线l2：2x+4y+2t﹣3=0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为（）A．1 B．C．D．2参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵直线l2：2x+4y+2t﹣3=0，即x+2y+=0．∴直线l1∥直线l2，∴l1与l2间的距离d==≥，当且仅当t=时取等号．∴当l1与l2间的距离最短时t的值为．故选：B．10. y=（m2﹣2m+2）x2m+1是一个幂函数，则m=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】据幂函数的定义：形如y=xα的函数为幂函数，令x前的系数为1，求出m的值．【解答】解：令m2﹣2m+2=1，解得：m=1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 比较大小：.参考答案：略12. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.参考答案：分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：. 故答案为：.点睛：1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， （1）若l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． （2）若l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.13.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别参考答案：31，26 14. 已知函数,分别由下表给出:则当时,.参考答案：3 略15. 若，则的取值范围为________________.参考答案：16. 直线xsin α﹣y+1=0的倾角的取值范围 ．参考答案：[0，]∪[）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由正切函数的单调性求得倾角的取值范围．【解答】解：直线xsin α﹣y+1=0的斜率为k=sin α，则﹣1≤k≤1，设直线xsin α﹣y+1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则﹣1≤tanθ≤1， ∴θ∈[0，]∪[）．故答案为：[0，]∪[）．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，训练了由直线斜率的范围求倾斜角的范围，是基础题．17. 函数的定义域为参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

华师大二附中2019届高一第二学期数学学科质量调研一、填空题（4*10=40分） 1、若4α与20︒的终边相同，则适合0360α︒︒≤≤的角α的集合用列举法表示为________________. 2、在半径为2的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，则扇形的面积为______________.3、锐角α的终边上有一点P 的坐标是(2sin2,2cos2)-，则α=____________. 4、已知tan 22α=,则1sin 2cos21sin 2cos2αααα+-=++_____________. 5、若7sin sin(2)βαβ=+,此时tan()tan 0a b αβα+-=恒成立，,0a b ≠，则a b=_____________。

6、化简：-=_____________。

7、若(0,2)απ∈，则适合2cot α-=的角α的集合是_____________。

8、2111111csc α=---_____________.9、已知sin sin cos 3x y x y +=+=，则tan tan x y =____________。

10、设,a b 是非零实数，x R ∈，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则2016201620142014sin cos x x a b+=____________.二、选择题（4*4=16分） 11、已知tan110a ︒=,求tan50︒的值（用a 表示)，王老师得到的结果是，张老师得到的结果是212a a -，对此你的判断是（ ） A 、王老师对、张老师错 B 、两人都对C 、张老师对、王老师错D 、两人都错 12、下列四个命题，其中为假命题的是（） A 、不存在无穷多个角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=- B 、存在这样的角α和β,使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C 、对任意角α和β，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D 、不存在这样的角α和β,使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+≠+13、命题α：“X>1”是“1x x >”的充要条件；命题β：28164x x x -+≤-的解集为[]4,5,那么( ）A 、“α或β”为假B 、“α且β”为真C 、“α且β”为真D 、“α且β”为真14、已知,,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，且{33sin 204sin cos 0x x a y y y a +-=++=，则cos(x 2y)+=A 、12-B 、12C 、1D 、—1 三、解答题（10＊2+12＊2=44分） 15、已知关于X 的方程2(1a)x (a 2)x 40,a R -++-=∈(1)若方程有两个正跟，求a 的取值范围；(2)若方程至少有一个正跟,求a 的取值范围。

2015-2016学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1.求值arctan (cot^)= _______________________ .o2.函数f (x) __________________________ -:的定义域是.3.若tan 9= - 3,贝U sin 0 (sin B— 2cos 0) = _________________ .4.若x€( 0, 2n),则使-^1-^Fin2x=sinx - cosx成立的x的取值范围是 ________________________________IT5.若arcsinx —arccosx=^—，贝y x= .66._________________________________________________ 函数f (x) =logcosi (sinx)的单调递增区间是 _____________________________________________________________________ .7T7.若0v 0< —，贝U cos0, cos ( sin0), sin (cos 0)的大小顺序为_____________________________ .8若关于x的函数y=sin ax在［-..,..］上的最大值为1，贝U 3的取值范围是_______________________________兀\ x3+sins - 2a=0...--二匕且| ，则cos (x+2y)9.已知-■v L4 % +^sin2y+a=0亡：门1丿弋* 口inF10 .设函数f （x） = ■，关于f （x）的性质，下列说法正确的是____________________1+cosZs 一cosxn①定义域是{x| XM k n+ , k € Z};②值域是R;③最小正周期是n;④f （x）是奇函数；⑤f （x）在定义域上单调递增.二、选择题（4*4=16分）n11.为了得到y=3sin （2x+ .）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）n , n , n nA .向左平移一厂B .向右平移丁C .向右平移^D .向左平移—7T12.a, B€（迈-,n）,且tan a< cot 3,则必有（）" , 一一3兀- -3兀A . a< 3B. a> 3 C. a+ 3< D . a+ 3>IT13.下列函数中以n为周期，在（0,——）上单调递减的是（）A . y= （cot1）tanx B. y=| sinx| C. y= - cos2x D. y= - tan|x|14.下列命题中错误的是（）A .存在定义在［-1, 1］上的函数f （x）使得对任意实数y有等式f （cosy）=cos2y成立B .存在定义在［-1, 1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin2y 成立C .存在定义在［-1，1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( cosy )=cos3y 成立D .存在定义在［-1,1］上的函数f (x )使得对任意实数 y 有等式f ( siny ) =sin3y 成立三、解答题(8+10+12+14=44 分)求a, 3的值.16.若关于x 的方程sinx+J^cosx+a=0在(0, 2 n)内有两个不同的实数根 a, 3,求实数a 的取值范围及相应的 a+ 3的值.(1) 设变量t=sin 0+cos 0,试用t 表示y=f (t )，并写出t 的范围;(2) 求函数y=f (t )的值域.18•用a , b , c 分别表示厶ABC 的三个内角A , B , C 所对边的边长，R 表示△ ABC 的外接圆 半径.(1) R=2, a=2, B=45 ° 求 AB 的长；2 2 2(2) 在厶ABC 中，若/ C 是钝角，求证：a 2+b 2v 4R 2；(3) 给定三个正实数 a , b , R ,其中bw a ,问a , b , R 满足怎样的关系时，以 a , b 为边长,R 为外接圆半径的厶ABC 不存在，存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶 ABC 存在的情况下，用 a , b , R 表示c .15.已知a,(0, n),并且 sin (5 n- a) ^^2 cos (石 n+ B) , cos (- a) = - ^2 cos ( n+ 3 ),17.已知函数si 卫。

华师大二附中2019届高一12月数学学业检查试卷2016.12一. 填空题1. 已知23a=，3log 5b =，则15log 20= （用,a b 表示） 2.若lg()lg(2)lg 2lg lg x y x y x y -++=++，则xy= 3. 已知,a b R ∈，命题:2a bp +<:||||||q a b a b +=+，则p 是q 成立的 条件4.函数1(2y =的单调递增区间是5. 借助计算器用二分法求方程237xx +=的近似解0x = （精确到0.01） 6. 设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[ 1.2]2-=-，[0.5]0=，则使[|1|]3x -=成立的x 的取值范围是7. 函数2()2f x x x =-+的定义域和值域分别是[,]m n 和[3,3]m n ，则m n +=8. 已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是9. 已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图像如下所示：给出下列四个命题：① 方程[()]0f g x =有且仅有6个根；② 方程[()]0g f x =有且仅有3 个根；③ 方程[()]0f f x =有且仅有5个根；④ 方程[()]0g g x =有且仅有4个根； 其中正确的命题是 （将所有正确的命题序号填在横线上）10. 设,x y 为实数，且满足20172017(1)2013(1)1(1)2013(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y += 11. 不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系 中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=12. 已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德 金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，结束了无理数被认为“无理”的时代， 也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q = ，M N =∅ ，M 中每一个元素都 小于N 中每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割，试判断对于任意戴德金分割(,)M N ， 下列选项中不可能成立的是（ ）A. M 没有最大元素，N 有一个最小元素B. M 没有最大元素，N 也没有最小元素C. M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D. M 有一个最大元素，N 没有最小元素14. 若函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，则下列关于函数 奇偶性的说法一定正确的是（ ）A. 是偶函数但不是奇函数 C. 是奇函数但不是偶函数B. 是非奇非偶函数 D. 可能是奇函数也可能是偶函数 15. 在同一坐标系中，函数1y ax =+与|1|x y a-=(0a >且1)a ≠的图像可能是（ ）A. B. C. D.16. 如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD 边的中点，则当P 沿着A B C M ---运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积为y ，函数()y f x =的图像大致是（ ）A. B. C. D.三. 解答题17. 已知关于x 的方程9336(5)0x x k k k ⋅-⋅+-=，[0,2]x ∈；分别求满足下列条件的实 数k 的取值范围：（1）有解；（2）有唯一解；（3）有两个解；18. 有一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含以 下三个方面：① 下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为2190x 升；② 水底作 业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③ 返回水面时，速度为每分钟0.5x 米，每分 钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升； （1）将y 表示为x 的函数；（2）若[4,8]x ∈，求总用氧量y 的取值范围；19. 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >，()0f x <，(1)2f =-；（1）判断()f x 的奇偶性，并证明； （2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值；（3）解关于x 的不等式2()2()()4f ax f x f ax -<+；20. 定义符号函数1,0sgn()1,0x x x ≥⎧=⎨-<⎩，已知,a b R ∈，()||sgn(1)f x x x a x b =--+；（1）求(2)(1)f f -关于a 的表达式，并求(2)(1)f f -的最小值；（2）当12b =时，函数()f x 在(0,1)上有唯一零点，求a 的取值范围； （3）已知存在a ，使得()0f x <对任意的[1,2]x ∈恒成立，求b 的取值范围；参考答案一. 填空题 1.2ab a ab ++ 2. 2 3. 充分不必要 4. 1[,2]25. 1.436. (3,2][4,5)--7. 1-8. 1(0,]49. ①③④ 10. 2 11. 1- 12. (,1)-∞二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）1[,8]2；（2）115[,){8}22 ；（3）15[,8)2； 18.（1）1233x y x =++，(0,)x ∈+∞；（2）22[7,]3； 19.（1）奇函数；（2）6；（3）当0a <时，21x a<<；当0a =时，1x <；当02a <<， 2x a >或1x <；当2a =时，1x ≠且x R ∈；当2a >时，2x a<或1x >； 20.（1）3,1(2)(1)35,123,2a a f f a a a a -+<⎧⎪-=-+≤≤⎨⎪->⎩，最小值为1-；（2）13(,)[,)22-∞+∞ ；（3）2(,)3-∞-；。

华师大二附中高一数学期中试卷2016.04一. 填空题1. 求值arctan(cot)3π=2. 函数()f x =的定义域是3. 若tan 3θ=-，则sin (sin 2cos )θθθ-=4. 若(0,2)x π∈sin cos x x =-成立的x 的取值集合是5. 若arcsin arccos 6x x π-=，则x =6. 函数cos1()log (sin )f x x =的单调递增区间是7. 若02πθ<<，则cos θ、cos(sin )θ、sin(cos )θ的大小顺序为8. 若关于x 的函数sin y x ω=在[,]32ππ-上的最大值为1，则ω的取值范围是 9. 已知,[,]44x y ππ∈-，a R ∈，并且有方程组33sin 2040.5sin 20x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩成立，则 cos(2)x y +=10. 设函数sin 2sin ()1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是 ① 定义域是{|,}2x x k k Z ππ≠+∈；② 值域是R ；③ 最小正周期是π；④ ()f x 是奇函数；⑤ ()f x 在定义域上单调递增；二. 选择题11. 为了得到3sin(2)4y x π=+的图像，只需将3cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移4π B. 向右平移4π C. 向左平移8π D. 向右平移8π 12. ,(,)2παβπ∈，且tan cot αβ<，则必有（ ）A. αβ<B. αβ>C.32παβ+< D. 32παβ+> 13. 下列函数中以π为周期，在(0,)2π上递减的是（ ） A. tan (cot1)x y = B. |sin |y x = C. cos 2y x =- D. tan ||y x =-14. 下列命题中错误的是（ ）A. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos 2f y y =成立B. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 2f y y =成立C. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(cos )cos3f y y =成立D. 存在定义在[1,1]-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式(sin )sin 3f y y =成立三. 解答题15. 已知,(0,)αβπ∈，7sin(5)cos()2παπβ-=+))απβ-=+， 求α、β的值；16. 若关于x 的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有两个不同的实数根α、β，求实数a 的取值范围及相应αβ+的值；17. 已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++； （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域；18. 用a 、b 、c 分别表示ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的边长，R 表示ABC ∆的外接圆半径；（1）若2R =，2a =，45B ︒=，求AB 的长；（2）在ABC ∆中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定的三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情况下，用a 、b 、R 表示c ；微信公众号:上海试卷参考答案一. 填空题1.6π 2. {|2,}x x k k Z π=∈ 3. 32 4. 5[,]44ππ 5. 2 6. 3[2,2]2k k ππππ--()k Z ∈ 7. cos(sin )cos sin(cos )θθθ>> 8. 3(,][1,)2-∞-+∞U 9. 1 10. ②④二. 选择题11. D 12. C 13. A 14. B三. 解答题 15. 4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=；16. (2,(2)a ∈-U ；当(2,a ∈-，3παβ+=；当(2)a ∈，73παβ+=；17.（1）2142t y t-=+，[t ∈；（2）；18.（1（2）略；（3）① 2a R b >≥或2a b R ≥≥时，不存在；② 当2a R =且2b R <时，存在一个，c =③ 当a b ==，存在一个，c a =；④ 当2b a R <<，存在两个，2c R =；。

2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且，则=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A． B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）已知θ是第四象限角，且，则=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴﹣+2kπ＜θ＜2kπ，则﹣+2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，又sin（θ+）=﹣，∴cos（θ+）==．∴cos（﹣θ）=sin（θ+）=﹣，sin（﹣θ）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（﹣θ）=﹣=．故答案为：．9．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为4．【解答】解：∵对任意n∈N*，S n∈{1，3}，∴a1=S1∈{1，3}，∴a1=1或a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴a n可能的值只有0，2，﹣2，三种情况，故数列{a n}最多有1，0，2，﹣2，或3，0，2，﹣2四个数字组成，故答案为4．10．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）已知，，，则β=（）A． B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）（2016秋•潮南区期末）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．【解答】解：据图，A=2，，∴T=π，∵T=，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），将点（，2）代入上式，得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；故选A．13．（3分）（2017春•浦东新区校级期中）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B三.简答题15．（2017春•浦东新区校级期中）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．（2016•天津）已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．（2017春•浦东新区校级期中）已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．（2017春•浦东新区校级期中）已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x+≥2或4﹣x+≤﹣2，∴0＜tana≤或≤tana＜0，综上，≤tana≤，∴a∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得﹣＜tana＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜2，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana＜﹣，又，解得tana≤﹣，综上，﹣＜tana≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．:whgcn；caoqz；左杰；沂蒙松；w3239003；sxs123；zhczcb；changq；豫汝王世崇（排名不分先后）菁优网2017年6月7日。