二次函数的图象和性质微课获奖课件

本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？
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x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
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5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像特征．
图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称．
当x＞0时，y随x增大而减小． 抛物线开口向下．
5.2 二次函数图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合
二次函数图像是怎样？
试着画一画吧！
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5.2 二次函数图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
列表时自变量要 均匀和对称！
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5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
当x＜0时，y随x增大而减小．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
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5.2 二次函数图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
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5.2 二次函数图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像 特征异同点．
假如是函数y＝2x2与y＝－2x2(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x²，y＝－2x²，
y＝
1 2
x²和y＝
-
1 2
x²图像，并说出图像特征．
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5.2 二次函数图像和性质(1)

y
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所表示，
则a、b、c符号为
o
x
2、假如抛物线y=x2+px+q 顶点坐标是（2，-1），
则p=
q=
3、二次函数 y=x2-４x+3 对称轴是
４、一抛物线y=-2x2形状和开口方向相同，顶点为（1，-4），则 它函数解析式为
5、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴交点个数为（ ）
大而增大；在对称轴右4侧a ，y伴随x增大而减小。当
时，函数y有最大值x b
2a
4ac b2
4a 第4页
y
1、已知二次函数图像如图所表示，以下结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确结论个数是（ ） D A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
-1 0 1 x
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
倍速课时学练
６、说出以下抛物线与x轴交点个数：
⑴y=2x２-x-1
⑵y=4x2+4x+1
⑶y=3x2+2x+5
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交点个数由什 么决定？
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倍速课时学练
y
(0,c). o x1
y
y=ax2+bx+c
.( b ,c) a
与
；当
1
x b2-4a2c=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-
4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
2、当a ﹥0时，抛物线开口向上，而且向上无限伸展；当a ﹤0时，抛物线开口向下，而且向下无限伸展。

方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
二次函 待定系数法确定二次函数的解析式分三种情况：
数解析 1.已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般形式；
式的 2.已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式；
确定 3.已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标时，选用交点式.
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第12课时┃ 二次函数旳图象与性质
考点4 二次函数与一元二次方程
数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次
方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是
(B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解 析 由于二次函数 y＝x2－3x＋m(m 为常数)的图 象与 x 轴的一个交点为(1，0)，即 x＝1 是一元二次方程 x2 －3x＋m＝0 的根，代入得 12－3＋m＝0，m＝2，原方程 为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，故选 B.

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4．小结
（1）一个函数是否为二次函数关键是什么？ （2）实际问题中列二次函数解析式需要考虑什么？
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5．布置作业
教科书习题 22.1 第 1，2 题．
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课件说明
• 本课是在学生已经学习了一次函数基础上，继续进 行函数学习，学习二次函数定义，这是对函数知 识完善与提升．
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课件说明
• 学习目标： 经过对实际问题分析，体会二次函数意义．
• 学习重点： 了解二次函数定义．
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1．由实际生活引入二次函数
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它 们形状是怎样画出来？
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3．练习、巩固二次函数定义
练习2 填空： （1）一个圆柱高等于底面半径，则它表面积 S 与底面半径 r 之间关系式是____S_=__4_π_r；2 （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
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3．练习、巩固二次函数定义
解：（1）由题意，得 2x 2 y 18，y 9 x． ∵ x＞y＞0，
∴ x 取值范围是
＜92x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
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3．练习、巩固二次函数定义
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x2 + 9x = 18，
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形长为 x m，宽为 y m，面积为 S m2（x＞y）．
（1）假如用 18 m 建筑材料来修建绿地边缘 （即周长），求 S 与 x 函数关系，并求出 x 取值范 围．
（2）依据小区规划要求， 所修建绿地面积必 须是 18 m2，在满足（1）条件下，矩形长和宽各为多 少m？

y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－21 x2,y=－2x2旳图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)旳图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
旳最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴旳左侧， y伴随x旳增大而增大。
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对称轴旳左侧，y随x旳增大而增大； 在对称轴旳右侧，y随x旳增大而减小。
巩固 1、说出下列函数图象旳性质：
(1) y 3x2 (2) y 3x2 (3) y 1 x2
3
2、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线旳函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6旳点旳坐标。
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 旳右侧)时, y伴随 x旳增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴旳 下方(除顶点外),顶点 是它旳最高点,开口 向下,而且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 旳值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
y ax2
二次函数y=ax2旳性质
1.抛物线y=ax2旳顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴旳上方(除顶点外), 它旳开口向上,而且向上无限伸展；

2.二次函数y=a(x-h)2图像能够由y=ax2图像作以下平移得到:当h>0时, 向右平移h个单位长度;当h<0时,向左平移|h|个单位长度.
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一起探究
在如图所表示直角坐标系中,已经画出了二次函数y=(x-3)2图像. (1)请你在该坐标系中再画出二次函 数y=(x-3)2+1和y=(x-3)2-3图像.
y=a(x-h)2
当x<h时,y随x增大而减小;当
(a>0) 向上 x=h (h,0) x>h时,y随x增大而增大
最值
有最低点(h,0). 当x=h时,y最小=0
y=a(x-h)2
当x<h时,y随x增大而增大;当
(a<0) 向下 x=h (h,0) x>h时,y随x增大而减小
有最高点(h,0). 当x=h时,y最大=0
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2
…9 4 1 0 1 4 9 …
x
…0 1 2 3 4 5 6 …
y=(x-3)2
…9
4
1
0
1
4
9…
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …
y=(x+2)2 … 9
4
1
0
1
4
9…
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思索: 1.将下表 补充完整:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2
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1.二次函数y=a(x-h)2+k图像和性质:
表示式
开口 对称 顶点 y随x 方向 轴 坐标 改变情况
最大(或 最小)值
y=a(x-h)2 向上 x=h (h,k) 当x<h时,y随x增大而减小;当 有最低点(h,k).当

2.抛物线y=-x2+4x-4 最值是 A.当x=-2时,y有最大值0 B.当x=2时,y有最大值0 C.当x=-2时,y有最小值0 D.当x=2时,y有最小值0
( B)
检测反馈
D)
解析:因为y=-x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2,所以顶点坐标为(2,0),又 a=-1<0,所以当x=2时,y有最大值0.故选B.
4.待最定值系数法当求x=函- 数表时示, y最式小.值=
当x=- 时,y最大值=
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1.将二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x-h)2+k形式,结果为 ( A.y=(x+1)2+4 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x-1)2+2 解析:y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2.故选D.
(3)你能将二次函数y=x2-2x-1化成顶点式吗? (4)不画二次函数图像,你能直接说出函数y=x2-2x-1图像开口方向、对
称轴和顶点坐标吗?
【思索2】 (1)对于二次函数y=2x2-4x+6,你能化成顶点式吗?
(2)用一样方法,将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式.
y ax2 bx c
若a>0 ,则抛物线开口向上,顶点坐标是（ b
，4a随x增大而减小;当x>- b 时,y随x增大而增
2a
大;当x=-
时b,y取得最小值,且y最小=
2a
2a
4ac ; b2
4a
若a<0 ,则抛物线开口向下,顶点坐标是( b , 4ac b2 ).