作差法与作商法比较大小

专训2 有理数的比较大小的八种方法名师点金：有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.【导学号：11972021】利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071.点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115， 所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.初中数学试卷马鸣风萧萧。

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总 有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较1731和5293的大小.利用作商法比较大小2.比较－172 016和－344 071的大小.利用找中间量法比较大小3.比较1 0072 016与1 0092 017的大小.利用倒数法比较大小4.比较1111 111和1 11111 111的大小.利用变形法比较大小5.比较－2 0142 015，－1415，－2 0152 016，－1516的大小.6.比较－623，－417，－311，－1247的大小.利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与a 3的大小.答 案1．解：因为5293－1731＝5293－5193＝193＞0，所以5293＞1731. 点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为172 016÷344 071＝172 016×4 07134＝1 3571 344＞1，所以172 016＞344 071.所以－172 016＜－344 071. 点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为1 0072 016＜12，1 0092 017＞12，所以1 0072 016＜1 0092 017. 点拨：对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：1111 111的倒数是101111，1 11111 111的倒数是1011 111. 因为101111＞1011 111，所以1111 111＜1 11111 111. 点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得12 015，115，12 016，116. 因为12 016＜12 015＜116＜115， 所以－2 0152 016＜－2 0142 015＜－1516＜－1415. 点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－623＝－1246，－417＝－1251，－311＝－1244，－1244＜－1246＜－1247＜－1251，所以－311＜－623＜－1247＜－417. 点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞a 3； ②当a ＝0时，a ＝a 3； ③当a ＜0时，|a|＞⎪⎪⎪⎪a 3，则a ＜a 3.。

“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==，∴11222(31)]1---+==．又∵011<<，∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<，即2132(31)-+<． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４ 比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a-+与n n a a -+的大小． 解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->． 又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212x x aa ++<． （2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x aa ++=． （3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。

比较两个代数式大小不等式这一章节有一类题型，告诉两个字母的范围，比较由这些字母组成的代数式的大小关系.简单的代数式的比较，大多数同学都会，可是复杂的代数式怎么比较呢？很多同学不知道怎么下手，复杂的代数式的比较，我们这儿给大家总结了三种方法：作差法，作商法，放缩法.相信学了这几种方法后，同学们遇到这类问题便可以如同瓮中捉鳖了.基本方法比较两个不等式的大小我们总结了三种方法.作差法：如a-b>0,那么a>b;如果a-b<0,那么a<b.这是最基本的方法，其它的一些比较方法均是由此推导出来的.作商法：如果>1,那么a<b;这种比放缩法：如果到：老大比老三大。

体验题1如果体验思路因体验过程∵∴5-a<5-b简单的代数式可以，我们再看一个复杂一些的。

看看我们的方法行不行？体验题2体验题2如1>a>b>0 ,试比较ab,ab2,b2a的大小关系.体验思路本题很明显，ab>0,ab2>0,ab2>0.因此，我们既可以选择作差法，也可以选择作商法.体验过程方法一，作差法.∵ab-ab2=ab(1-b)>0, ∴ ab>a2b∵ab-a2b=ab(1-a)>0, ∴ ab>a2b∵ab2-a2b=ab(b-a)<0, ∴ab2<a2b∴ab> a2b>ab2方法二，作商法.∵1>a>b>0, ∴ab>0,ab 2>0,b 2a>0. ∵21ab ab b=>1, ∴ab>ab 2. ∵21ab a b a =>1, ∴ab>a 2b. ∵22ab b a b a=<1, ∴ab 2<a 2b. ∴ab> a 2b>ab 2体验题3体验题3如果体验思路 ∵体验过程 ∵a<b<0, ∵b a 11--b a b a 题是分数形式的代数式，且上述代数式与0的大小关系已知.另外，易确b a，2a b ,2b a 与1的大小关系，故也可考虑放缩法.∵1>a>b>0, ∴a b >1, b a <1, ∴a b >b a; ∴2a b =a b .a>a b .1=a b>1 (这一步中间过程将a 放缩到1) ∴2b a =b a .b<b a .1=b a<1. (这一步中间过程将b 放缩到1)∴2ba<ba<ab<2ab方法二：作商法∵22bbaa ab=<1,∴ba<ab∵22baab=33ba<1, ∴2ba<2ab,∵2 a ba b∵2 b a b a∴2ba<小结：作差法，..毕竟实践出真知！祝你成功！实践题实践题1 如果a+2b>a+b+1,比较a与b的大小关系 .实践题2 有一个两位数，个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这两位数的个位与十位上的数对调，新得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b 哪个大？实践题答案实践题1实践详解∵a+2b-(a+b+1)=a-(b+1)>0,所以a>b+1b+1>b∴a>b实践题2实践详解原来的两位数是10b+a,新的两位数是10a+b, ∵10a+b-(10b+a)=9(b-a)<0，∴b<a。

比较实数大小的八种方法生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解:由于,且,所以。

说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。

例2 比较与的大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。

例4 比较与的大小。

析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有:例5 比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b有:例6 比较与的大小。

析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据就是:对任意正数a、b有:例7 比较与的大小。

析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法就是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。

探讨两个数比较大小问题陕西省西乡县第二中学 王仕林比较大小是数学及其生活中常常遇到的问题,也是每年高考考查的热点之一。

如何比较两个数的大小，对于迎接高考或者解决现实生活都是最迫切的问题。

本专题主要是针对高一年级学生对比较大小问题的迷茫和对比较两个数大小方法的未知进行探讨。

一、比较两个数大小常用的方法：（1）单调性法； （2）图象法； （3）引进中间数法； （4）范围比较法； （5）作差或作商法； (6) 公式法；二、方法介绍及其例题精选：（1）单调性法：根据两个数构造一函数，利用函数的单调性来比较两个数的大小，这种方法叫单调性法。

例1、比较下列各组中两个数的大小.① 0.2log 0.5和0.2log 0.3 ② 2log 3和 1.5log 3 ③ 0.30.4和0.20.4 ④ -0.1-0.75和0.1-0.75分析：① 可构造函数0.2()log f x x =，利用对数函数0.2()log f x x =在定义域上的单调性比较其大小；②先把两个数化成31log 2和31log 1.5，可构造函数3()log f x x =，利用对数函数3()log f x x =在定义域上的单调性比较3log 2与3log 1.5大小；然后再利用函数1()f x x=的单调性比较2log 3和 1.5log 3的大小。

③ 可构造函数()0.4x f x =，利用对数函数()0.4x f x =在定义域上的单调性比较其大小；④可构造函数()0.75x f x =，利用对数函数()0.75x f x =在定义域上的单调性比较其大小；例2、比较下列各组中两个数的大小.① 0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫ ⎪⎝⎭ ②-12-3⎛⎫ ⎪⎝⎭与-13-5⎛⎫ ⎪⎝⎭ 分析：①可构造函数0.5()f x x =在()0+∞，上是单调递增的；②可构造函数-1()f x x =在()-0∞，上是单调递减的；例3、①定义在R 上的偶函数()f x 满足：对于任意的[)()1212x ,x 0,x x ∈+∞≠，1212()()0f x f x x x -<-。

七年级数学上册有理数比较大小八种方法汇总有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等.利用作差法比较大小1.比较和的大小.17315293利用作商法比较大小2.比较－和－的大小.172 016344 071利用找中间量法比较大小3.比较与的大小.1 0072 016 1 0092 017利用倒数法比较大小4.比较和的大小.1111 111 1 11111 111利用变形法比较大小5.比较－，－，－，－的大小.2 0142 0151415 2 0152 01615166.比较－，－，－，－的大小.6234173111247利用数轴法比较大小7.已知a ＞0，b ＜0，且|b|＜a ，试比较a ，－a ，b ，－b 的大小.利用特殊值法比较大小8.已知a ，b 是有理数，且a ，b 异号，则|a ＋b|，|a －b|，|a|＋|b|的大小关系为________________________________________________________________________.利用分类讨论法比较大小9.比较a 与的大小.a 3答 案1．解：因为－＝－＝＞0，所以＞.529317315293519319352931731点拨：当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法．2．解：因为÷＝×＝＞1，所以＞.所以－＜－172 016344 071172 016 4 07134 1 3571 344172 016344 071172 016.344 071点拨：作商比较法是比较两个数大小的常用方法，当比较的两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当这两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对值大的反而小下结论．3．解：因为＜，＞，所以＜.　点拨：对于类似的两数的大小1 0072 01612 1 0092 01712 1 0072 016 1 0092 017比较，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问题的答案．4．解：的倒数是10，的倒数是10.1111 1111111 1 11111 11111 111因为10＞10，所以＜.111111 1111111 111 1 11111 111点拨：利用倒数法比较两个正数的大小时，需先求出其倒数，再根据倒数大的反而小，从而确定这两个数的大小．5．解：每个分数都加1，分别得，，，.12 01511512 016116因为＜＜＜，12 01612 015116115所以－＜－＜－＜－.2 0152 016 2 0142 01515161415点拨：本题直接比较很困难，但通过把这些数适当变形，再进行比较就简单多了．6．解：因为－＝－，－＝－，－＝－，－＜－＜－＜－，所以6231246417125131112441244124612471251－＜－＜－＜－.3116231247417点拨：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．7．解：把a ，－a ，b ，－b 在数轴上表示出来，如图所示，根据数轴可得－a ＜b ＜－b ＜a.(第7题)点拨：本题运用了数轴法比较有理数的大小，在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置，即可作出判断．8．|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|点拨：已知a ，b 异号，不妨取a ＝2，b ＝－1或a ＝－1，b ＝2.当a ＝2，b ＝－1时，|a ＋b|＝|2＋(－1)|＝1，|a －b|＝|2－(－1)|＝3，|a|＋|b|＝|2|＋|－1|＝3；当a ＝－1，b ＝2时，|a ＋b|＝|－1＋2|＝1，|a －b|＝|－1－2|＝3，|a|＋|b|＝|－1|＋|2|＝3.所以|a ＋b|＜|a －b|＝|a|＋|b|.方法总结：本题运用特殊值法解题，取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a 正、b 负和a 负、b 正两种情况．9．解：分三种情况讨论：①当a ＞0时，a ＞；a 3②当a ＝0时，a ＝；a 3③当a ＜0时，|a|＞，则a ＜.|a 3|a 3。

两个有理数比大小的方法
1．作差法
比较两个数的大小,可以先求出两数的差,看差大于零、等于零或小于零,从而确定两个数的大小.即若a-b＞0,则a＞b；若a-b＝0,则a＝b；若a-b＜0,则a ＜b.
2．作商法
比较两个正数的大小,可以先求出这两个数的商,看商大于1、等于1或小于1,从而确定两个数的大小.
3．倒数法
比较两个数的大小,可以先求出其倒数,视其倒数的大小,从而确定这两个数的大小.
4．变形法
比较大小,有时可以通过把这些数适当地变形,再进行比较.
5．利用有理数大小的比较法则
有理数大小的比较法则为：正数都大于零,负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数,绝对值大的反而小.
6．利用数轴比较法
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来,通过数轴判断两数的大小.
7．注意对字母的分类讨论法。

2．1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．预习小测自我检验1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系________．答案T≤40解析“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．答案M≥N解析因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N.3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．答案c－2b解析c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．答案 2一、用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.文字表述身高在1.2～1.5米身高超过1.5米身高不足1.2米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思感悟(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换跟踪训练1某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)． 二、作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 延伸探究1．若a >0，b >0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a >0，b >0，∴(a －b )2≥0，a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a >0，b >0，n >r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，x －1<0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .重要不等式典例 已知a >0，求证：a ＋1a ≥2.证明 方法一 利用a 2＋b 2≥2ab .∵a >0，∴a ＋1a ＝(a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2≥2a ·1a＝2.方法二 a ＋1a －2＝(a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2≥0，∴a ＋1a≥2.[素养提升] 由a ＋1a构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z>45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y>380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x>95，y>380，z>45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y>380，z>45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人需满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y <200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y ≤200答案 D解析 由题意x ，y 满足的不等式关系为500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200. 3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥b D ．a ≤b 答案 C解析 a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 4．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 答案 x <y解析 x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y . 5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆，y 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*.1．知识清单：(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)． (2)比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析 对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误． 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5 m ．由题意可得4×x0.5>100.3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a>4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200D.⎩⎪⎨⎪⎧a>4b ，4ab ＝200答案 C解析 由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x 表示商品的重量， 则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________．答案x 1＋x2≤12解析 ∵x 1＋x2－12＝2x －1－x22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.(填“>”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴b 1－b 2<0，a 1－a 2<0， 即(b 1－b 2)(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.15．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q答案 A解析 ∵P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c ) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1 ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数，∴等号取不到， ∴P >Q ，故选A.16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？解 设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2，则甲用时t 1＝12s v1＋12s v2，乙用时t 2＝2s v1＋v2，t 1－t 2＝s 2v1＋s 2v2－2s v1＋v2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v1＋v22v1v2－2v1＋v2＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s 2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．∴乙先到达教室．。

无理数的比较大小几种方法到初中阶段，我们知道很多种方法比较两个数的大小，如：平方法、作差法、作商法、倒数法、放缩法等。

无理数的大小比较是中学数学考试中基础题型之一。

但是在中学课本教材中，关于无理数的大小比较，相关例子很少。

这里我们讨论一两个无理数的大小的比较。

一、平方法：两个数分别平方，再比较。

例1：比较的大小与711513++。

解：设a=513+，b=711+，则a 2=2513）（+=18+245,b 2=2711）（+=18+277,因为245＜277，所以a 2＜b 2，所以a ＜b ，即513+＜711+。

二、作差法：两个数作差，看差的符号再比较。

例2：比较2-5与52-5的大小。

解：设a=2-5，b=52-5，则a-b=（2-5）-(52-5)=7-53=）（）（）（7537537-53++⨯=）（7534-+＜0，所以a ＜b ，即2-5＜52-5。

这个方法是：作差后的差值与0比较，若a-b ＜0，则a ＜b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

三、作商法：两个正数相除，看商的值与1比较。

例3：比较6-7与5-6的大小。

解：设a=6-7，b=5-6，67565-66-7b a ++==，因为5667＞，＞，所以1ba ＜，即a ＜b ，所以6-7＜5-6。

这个方法是：作商后的商值与1比较，前提条件：a ＞0，b ＞0；若b a ＞1，则a ＞b ；若b a =1，则a=b ；若ba ＜1，则a ＜b ；则a=b ；若a-b ＞0，则a ＞b 。

四、放缩法：将其中一个数放大或者缩小再比较，或者两个数分别放大或缩小再做比较。

例4：比较62-112与65的大小。

解：62-112=）（6-112=6116116-112++⨯）（）（=61110+＜6610+=65，所以62-112＜65。

五、倒数法：两个正数，倒数大的反而小。

例5：比较3-7与2-6的大小。

解：设a=3-7，b=2-6，则4373-71a 1+==，4262-61b 1+==，显然0b1a 1＞＞；所以a ＜b 。

洋葱数学做差比较法
作差法：比较两数大小的常用方法
应用有理数(式子)的减法运算可以比较两个有理数(式子)的大小，这就是“作差法”,既要比较两个有理数(式子)A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断。

作差法和作商法是比较两数(两式)大小的两种常用方法。

作差变形（提公因式、通分、作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论作差变形（提公因式、通分、因式分解、有理化、配方）定号结论
优处：1.用作差法比较两数(两式)大小与直接比较相比，更容易简便。

2.对于作商法来说，作差法对于难以通分的两数(两式)更易于化简。

劣处：1.对于刚使用作差法的人来说，很容易得错结论。

2.相比于作商法，有时需对两数(两式)进行通分，较为繁琐。

解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。

分数比大小的方法 Prepared on 22 November 2020
分数比大小的方法
1、分母相同比分子，分子越大，分数值越大
2、分子相同比分母，分母越小，分数的值越大
这两个是比较基础的
如果一道题中给了几个数，即有分数，又有小数，建议都化成小数来做
3、倒数法，尤其是当分子分母的差值相同时，分子越大的那个分数值越大
4、当两个分数的分子和分母差不多是成同一个倍数时，就可以和这个倍数的分数单位比较，比如差不多都是5倍时，就可以和5分之1比较，作差，当两个分数都比5分之1小时，差越小值越大，当两个分数都比5分之1大时，差越大值越大
5、作商法，两个分数作商，A÷B，如果值大于1，那么A>B，如果值小于1，那么A<B
6、作差法，A-B和0作比较，如果大于0，那么A>B，如果小于0，那么A<B
7、对于很多分数相乘，和一个数作比较的，先观察是不是和100题中的25题类似，这时候就要添加一些数另为B，之前的数为A，A*B是一个完全平方数，然后比较A、B。