作差法比较大小

阅读与思考用作差法比较大小教学目标1、理解作差法比较大小的依据。

2、掌握作差法比较大小的一般步骤3、能利用作差法比较大小解决实际问题教学设计一、课题引入1.计算下列减法算式的结果：3－2= 5－4= 6－5=2－3= 6－7= 5－9=1－1= 5－5= 3－3=2.小组讨论，从算式中发现规律第一组算式：被减数比减数大，得数为正数（大于零）；第二组算式：被减数比减数小，得数为正数（小于零）；第三组算式：被减数比减数大，得数为正数（等于零）。

二、探究新知提问1.从上述规律中大家能得到怎样的启示呢？（从上述规律中，我们可以归纳出一种比较两个数或两个代数式的大小的方法。

）作差法比较大小：如果a－b>0，则a>b；如果a－b<0，则a<b；如果a－b=0，则a=b.提问2.作差法比较大小应当经历那些步骤？运用求差法比较大小的一般步骤是：（1）作差；（2）根据差的情况确定被减数与减数的大小.三、实例巩固【例1】设x>y，试比较代数式-（8-10x）与－（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件x>y，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）－［－（8-10y）］＝-8+10x+8-10y＝10x-10y.因为x>y，所以10x>10y，即10x-10y>0.所以-（8-10x）>－（8-10y）.又由题意得-（8-10x）>0，即x>4/5，所以x最小的正整数值为1.【例2】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的80％收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为a元，依题意东方旅行社的收费为2a＋70％a＝2.7a，光明旅行社的收费为3a×80％＝2.4a.因为2.7a－2.4a＝0.3a>0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】若两家旅行社的票价不相同，我们能否比较出哪个旅行社的费用低呢？.四、课堂小结1.什么作差法比较大小2. 作差法比较大小具体操作步骤。

有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧．1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝1×4，B＝ 3×2，试比较A和B的大小．解：设1＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2)∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2)＝m2+3m-m2-3m-2＝-2＜0。

∴A＜B。

2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小．4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311444＝(44)11＝25611533＝(53)11＝12511∴ 444＞355＞5335、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8解：6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：故-a＜b＜-b＜a．7、注意对字母的分类讨论法例10比较a与2a的大小．解：a表示的数可分为正数、零、负数三种情况：当a＞0时，a＜2a；当a＝0时，a＝2a；当a＜0时，a＞2a．。

作差法比较大小例题
作差法比较大小例题是一种使用加减法来比较两个数字的大小的方法，也叫做“比较法”。

在这种方法中，我们要对两个数字进行减法运算，将其中一个数字减去另外一个数字，然后比较所得到的差值的正负来判断大小。

如果差值为正，则表明第一个数字比第二个数字大，反之，则表明第一个数字比第二个数字小。

例如，当我们想要比较7和10的大小时，可以用作差法比较大小的方法。

首先，将7减去10，即7-10=-3，由于结果为负数，因此可以判断7比10小。

另一个例子是比较30和45的大小，我们将30减去45，即30-45=-15，由于结果仍为负数，因此可以判断30比45小。

同样地，当我们要比较50和36的大小时，可以将50减去36，即50-36=14，由于结果为正数，因此可以判断50比36大。

作差法比较大小的方法有两个优点：一是它能够有效地比较数字的大小；二是它能够节省计算的时间。

此外，作差法比较大小的方法不仅可以用来比较两个数字的大小，同样也可以用来比较两个表达式的大小，例如比较
2x+3和3x+2的大小，可以将2x+3减去3x+2，即(2x+3)-(3x+2)=-x，由于结果为负数，因此可以判断2x+3比3x+2小。

总之，作差法比较大小的方法可以节省计算时间，而且也非常容易理解和使用，因此在学习和工作中都是非常有用的方法。

题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a -b O= a ba-b=0u a=ba —b ：： O ：= a ：： b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。

变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作 差等方法，同时注意每一步变形必须是等价变形。

变形的结果是因式积，完全平方式等形式。

变形的目的是为了判断差值的符号。

作差比较法适用于实数 （代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问 题。

回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论。

两者之间大致相同。

例1已知a,b∙= R ',且a =b,试比较a 5+b 5和a 3b 2 a 2b 3的大小.解：a 5+b 5「a 3b 2「a 2b 3 = a 3（a 2 ~b 2）+b 3（b 2「a 2） = （a 2 -b 2）（a 3「b 3）=(a b)(a -b)(a -b)(a 2 ab b 2) = (a -b)2(a b) (a 1 b)2 ■ - b 212 4」因为 a,b R ',且a = b, 所以(a -b)2 O ， ab O ， (a 1b)2 3b 2 O ， 2 4所以 a 5+b 5 - a 3b 2 -a 2b 3 O所以 a 5 +b 5 a 3b 2 a 2b 3 小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法1例2：设X ∙ R ,比较 ------ 与1 -x 的大小.X +1-(^X )=2 X当X =O 时， O1 +x=(1 -χ)x∙ι<Zχ1 2当-1.; X：：：O 或X . 0 时，O1 +x1>(1 -X)X 1小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论例3•已知a丄1 ,试比较M= a • 1 -a和N = ... a - .. a -1的大小•解: M-N^(” a 1+、、a)(「'a . a -1)因为a _1 ,所以、.a -1 一、、a • 1 >0, ∙.. a • 1 + -、a >0,、、a ∙∙. a -1 >0,所以M - N 0 ,所以M ∙N •小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧来看看几道练习题：2 2 2 21、若X ：：：y ：：：0,试比较(X ∙ y )(x - y)与(X - y )(x y)的大小关系•2 12、若a R,p=a -a 1,q 2 ,比较P与q的大小关系•a +a +13、设a 5,试比较M =、a-3-〔a-4与N= a-4-∙∙. a-5的大小关系答案：1、(x2y2)(χ「y) > (χ2「y2)(X y)2、P —q,当且仅当a=0时，等号成立3、M<N_ J a -1 - J a+1题型2比较大小之作差比较法作差比较法的理论依据：a b OU a ba -b = 0 二a = ba -b O = a b作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。