作差法与作商法比较大小教学文案

课题：2。

1不等式的性质—-比较实数大小的方法教学目的：1。

了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2。

掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系,反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0），若再加m(m>0）克糖，则糖水更甜了，为什么？分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证〉即可怎么证呢？引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义:用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b,a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是:由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．三、讲解范例:例1比较与的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差,然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：∵∴〈例2已知≠0,比较与的大小。

分析：此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判断时引起注意,对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式,去括号法则，合并同类项解:∵-∵∴从而>引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件,那么两式的大小关系如何？若没有这一条件，则,从而大于或等于此题意在培养学生分类讨论的数学思想,提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是:作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3已知a>b〉0，m〉0，试比较与的大小解:∵a>b〉0，m>0，∴a-b>0，a+m〉0 ∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例4比较与的大小。

求差法：【例一】比较5和3的大小：因为5-3=2，2>0，所以5-3>0，移项后可得：5>3【例二】比较和的大小：—1818由于32=42，18=32所以3232=2，2>0所以32>183********) - (1) = 3 , 3>0,4) > (1)x x x x x x ++++++【例三】比较与的大小由于( 所以(0总结 ： 比较两个数a 和b 的大小，只要比较（a-b)与的大小如果（a-b)>0, 那么a>b; 如果(a-b)<0, 那么a<b 。

求商法：一般用于两个数同号的情况；如果两个数异号，则正数大于负数92498892=12<499499992=12<48843218432=4218=323218=341,32183a b a b)1a b •÷<÷>÷>>÷÷第一种情况，当两个数都是正数时【例一】 比较和的大小 由于， ，所以 也可以说，由于， ，所以【例二】比较与的大小由于，，所以， 由于所以总结：对于两个正数和，比较(和的大小，如果()>1,a>b;a b)<1,a<ba ab a b=ba 1,ab b ÷÷>>那么如果(那么这是因为，当和都是正数时， 如果移项可得；同理可得另一种情况21-3-92199213=13977921392139a b a b)1a b)>1,•−÷−>−>−−−−<−÷÷第二种情况，当两个数都是负数时这种情况运用求商法，实际上是先比较两个数绝对值的大小，再比较这两个本身的大小【例三】 比较和的大小 由于， ，所以 由于和都是负数，所以绝对值大的反而小， 所以总结：对于两个负数和，比较(和的大小， 如果(那a<b;a b)>1,a<b a a b 1b ÷么如果(那么这是因为，当和都是负数时，比较与的大小过程中， 移项后需要变号。

第二册第三单元教案：数的大小比较1.教学目标通过教学，培养学生正确地认识数的大小关系，学会简单的数的大小比较，并能够解决实际问题。

2.教学重点通过实际例子，帮助学生较为清晰地感知数的大小关系。

3.教学难点解决学生在理解小于、大于、等于符号之间的含义和使用方法时存在的困难。

4.教学方法以“实物比较法”和“数字比较法”为主要教学方法，采用活动、讲解、练习等方式进行教学。

5.教学过程第一步：引入引导学生思考问题：“在我们的生活和学习中，什么时候需要对数进行大小比较？”学生回答后，老师引导学生仔细观察、思考、找规律，从而引出本单元数的大小比较这个主要问题。

第二步：讲练结合A、实物比较法通过教学设计，让学生使用比较法，通过参考实物和数字的大小关系，学会并掌握数的大小比较方法。

举例：小A手中有三个苹果，小B手中有两个苹果，老师请小A和小B将手中的苹果进行比较，判断谁手中的苹果多。

B、数字比较法教师根据教学设计提供一些数字大小关系，运用数字比较法，让学生深入体验数字大小关系。

例如：1<2,5<6,8>6，学生从这些数字和符号中找规律，以巩固学会数字大小比较。

第三步：知识点总结由学生或老师对本堂课所学内容进行回顾，强化记忆，巩固掌握数的大小比较方法，让学生感受到学习的成就感。

6.课后作业小学数学是一门理论课程，需要大量的实践来巩固知识点。

在日常生活中，老师鼓励学生积极寻找数的大小比较机会，用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。

7.教学反思本堂课程通过活动、讲解、练习等多种方式进行教学，使学生在参与互动中掌握数的大小比较方法。

让学生在了解这些知识点的同时，体验到学习的意义和快乐，达到了预期效果。

课程结束后，老师要关心学生的情况，做好教学反思，总结教学效果，探索更好的教学方式和教学方法，提高教学质量。

选修4-5第二讲比较法学案一、知识概述主要学习了用比较法证明不等式，要注意作差法与作商法的应用，另外注意作商法的限制条件．二、重难点知识归纳1、作差法由于a>b a－b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a－b>0，这种证法就是求差比较法．求差比较法求差后主要是变形形式的处理，常用方法有：（1）将差变形为常数或变形为一个常数与几个平方和的形式，常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号．（2）将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法．（3）变形后得到二次三项式常用判别式判定符号．2、作商法由于当b>0时，，因此，证明a>b(b>0)可以转化为证明与之等价的，这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式a>b时，一定要注意(b>0)的前提条件．求商比较法的基本步骤是：“求商——变形——判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，求商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明．三、典型例题剖析例1、设a＞0，b＞0，求证．分析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明．证法一：左边－右边＝∴原不等式成立．证法二：左边＞0，右边＞0．且a＞0，b＞0．∴．当且仅当a＝b时等号成立．∴，∴原不等式成立．例2、已知a，b，c均为正实数，求证：a3＋b3＋c3≥3abc．证明：a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3a2b－3ab2－3abc＋c3＝(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)［(a＋b)2－(a＋b)c＋c2－3ab］＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝(a＋b＋c)［(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2］≥0．∴a3＋b3＋c3≥3abc．例3、当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．证明：∵(m3－m2n－3mn2)－(2m2n－6mn2＋n3)＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝(m－n)3，又m＞n，∴m－n＞0，∴(m－n)3＞0，即(m3－m2n－3mn2)－(2m2n－6mn2＋n3)＞0，故m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．例4、已知a，b均为正实数，且，求证：．分析：由于所比较的两式均为单项式，且为正值，故可作商与1比较，其中要用到指数函数性质，并由题意条件，得出a－b与m－n同号，再作分类讨论．证明：，由得：（1）当a>b>0时，有．（2）当b>a>0时，有．综上，不等式恒成立．例5、甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解析：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是，，则：．可得：．∴．∵都是正数，且，∴，即：，所以，甲先到达指定地点.。

结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较
通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：y=a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y=log a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；
（1）作差法：作差与0作比较；
（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；
结构相同的比较大小题目，可以构造函数，利用函数的单调性比较大小
通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构
造函数f(x)=
e x―x―1，利用导数证明得到x>0时，
e
x>x+1，进而放缩得到a=
e
0.2
>1+0.2=1.2=ln
e
1.2.
由数形结合可知sin x >3πx 在0,π
6
恒成立，所以sin π9>1
3，
所以c <a <b ，故选：A
当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈
由x=π∈(0,2)，故(π)2 <
所以b<a<c，
故选：A
8．（2023·河南开封·校考模拟预测）若。

作差法在高中数学教学中的运用作者：李耀先来源：《新课程·下旬》2018年第08期摘要：高中数学是否能够学好既是对初中小学基础的检验，也是对学生接受新鲜知识、抓住学习重点和正确的学习方法养成的重要阶段。

作差法作为一种化繁为简的教学方式，广泛存在于各类数学题目中。

这种教学方式在高中数学教学中的应用应该积极推广，造福广大学子。

作差法的教学方法让学生必须学会“举一反三”，数学中函数、方程、不等式等都可以运用作差法，而在高中数学的学习过程中，就需要把所有的知识形成一个完整的数学体系，让学生在遇到数学题目的时候能够及时读出题目中需要使用到的数学知识，从而判断出是否能够使用作差法，又是否有更适合的其他学习方法，从而使难题迎刃而解。

关键词：作差法；高中数学；数学教学高中数学的知识点广泛而复杂，想要把抽象化的概念、定理理解透彻、巩固扎实，没有形成数学思维是很难做到的。

所以在高中数学教学过程中，灵活地掌握一些数学相关的思维习惯，学习才能事半功倍，例如在学习不等式、比较有理数大小等课程时，就可以使用“作差法”。

作差法综合来说，集合了“观察”“分析”“思考”和“表达”四个维度，学生在利用作差法解决问题的过程中，也在不断地积累新的知识点，从而在以后的解题过程中思路更加广阔，更容易灵活应对各类题型。

一、作差法的概念“作差法”和“作商法”是数学中常用的比较大小的方法，对于高中数学来说，很多问题都需要做许多辅助工作才能够接近题目的核心内容，所以作差法的应用就成了最简单的辅助。

简单举例来说，如果想要比较两个有理数的大小，其中一种方法就是应用有理数的减法运算，这种模式就称为“作差法”，比较两个有理数a与b的大小，求出a与b的差a-b即可，若a 与b的差大于0，则a大，反之就是b大。

二、作差法在高中数学教学中的运用的优势1.拓宽学生解题思路，灵活应对各类题型作差法表面上来看只是一种比较大小的方式方法，但是在高中数学的教学方式中，由无数种类似的方式方法才能组成最终的整体化的数学思维方式，构建出一整套的数学知识体系，而且在利用作差法解决问题的过程中，也在不断地积累新的知识点，从而在以后的解题过程中思路更加广阔，更容易灵活应对各类题型。

课题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课教学过程：一、引入：人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．三、讲解范例：例1比较与的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题. 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：∵∴<例2已知≠0,比较与的大小.分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：∵-∵∴从而>引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?若没有这一条件,则,从而大于或等于此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3已知a>b>0，m>0，试比较与的大小解：∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例4比较与的大小.解:说明：“变形”的目的是为了判定符号，“变形”是解题的关键，因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法四、课堂练习：1.比较与的大小.2.如果,比较与的大小.3.已知,比较与的大小.五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：作差——变形——判断符号在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：1.比较与的大小.提示:∵∵∴<2.比较与的大小.3.已知，比较与的大小解： =……=∴≥七、板书设计（略）。

大小比较，“作和法”真的让你想不到！不等式证明本有很多的方法但题做的多了才发现原来比较法才是真的好比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，在具体操作时，常有以下三种方式：1.作差比较法理论依据:适用特点：原则上来说，一般的不等式证明均适用常见步骤：作差变形（因式分解，配方，有理化）定正负典型例题：作差比较法，适用于大部分不等式的证明。

因为要确定差的正负，作差后的变形一般为因式分解和配方，若有无理式，可能会考虑使用根式有理化。

若差式不能采用上述变形，一般可以考虑选择主元，构造函数，从函数最值角度确定差的正负。

2.作商比较法理论依据：分式基本性质适用特征：作商法一般适用于分式或指幂结构大小比较。

基本步骤：作商后一般要比较分子与分母的大小，可考虑将分子分母中能够统一的部分统一化，再单独比较不相同的部分。

典型例题：这个题的不等式，相信很多同学都熟悉了。

我一般让学生这么记：真分数越加（正数）越大，假分数越加（正数）越小。

3.作和比较法理论依据：有理数加法符号法则文字描述：异号两数相加，取绝对值较大数的符号作为和的符号.符号描述：适用特征：绝对值大小比较典型例题：绝对值问题对有些学生来说，一直深受困扰。

作和法比较绝对值大小，利用了有理数加法的符号法则，这种逆向思维的方式，避免了讨论代数式正负和问题，相对会使过程更简洁。

当然，例6的给出，只是用来秀一下我的作和法。

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