代数式用作差法比较大小PPT优秀课件

应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解 决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填 空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案： 乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案： 乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理 条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相 等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．
(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0. (2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0. ∴(a－b)(bn－an)<0. (3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
[例1]
设△ABC的三边长分别是a、b、c，求证：
4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. [思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形
中，任意两边之和大于第三边”的应用．
[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2 ＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2) ＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0. ∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.

解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用 为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
∴当x>10时，P(x)<Q(x)此时选择起步价为10元的出租车较为
合适． 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适． 当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
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1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号 ，常用的手段有：因式分解，配方，通 分，分子或分母有理化等．
2．作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： a a >1 b<1 则 a<b； ①b>0，若 b ，则 a>b；若
a a >1 b b<1 则 a>b. ②b<0，若 则 a<b；若
(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 符号；② 作商；③变形整理；④判定 与1大小关系 ；⑤得出结论．
甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用

B．M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
[点评] 本题采用“作差法”比较两个代数式的大 小，关键是作差变形后能准确地判断符号．判断符号要注 意配方、因式分解、有理化、通分等方法的灵活使 用．“作差法”的一般步骤：①作差；②变形；③判断符 号；④得出结论．
变式训练2 已知a>0，试比较a与1a的大小．
解：∵a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1，∵a>0， ∴当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a；
[分析]
因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b， 当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba； 当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小． 解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1， 则(a3)a<1，aa<3a； 当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a； 当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
A．M>N
类型二 利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．

4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
a6＋b6 证明：方法一：∵ 2 ab ＋a2b4 a2＋b2a4－a2b2＋b4 ＝ a2b2a2＋b2 a4＋b4－a2b2 ＝ a2b2 2a2b2－a2b2 > ＝1. a2b2 又 a6＋b6>0，a4b2＋a2b4>0 ∴a6＋b6>a4b2＋a2b4
法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)； 证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解 决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填 空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案： 乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案： 乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理 条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相 等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).
[例 2]
设 a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)
ab 2
.
[思路点拨]
不等式两端都是指数式，它们的值均为

因为a>0，b>0，所以我们只要比较
aabb abba
与1的
大小即可．
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[解] aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b， 当a>b>0时，ab>1，且a－b>0，∴(ab)a－b>1. 即aabb>abba； 当b>a>0时，0<ab<1，且a－b<0， ∴(ab)a－b>1.即aabb>abba. 综上知：aabb>abba.
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
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3．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为 ________．
解析：M－N＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34>0 ∴M>N
答案：M>N
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变式训练3 若a>0，比较aa与3a的大小． 解：a3aa＝(a3)a 当0<a<3时，0<a3<1， 则(a3)a<1，aa<3a； 当a＝3时，a3＝1，(a3)a＝1，aa＝3a； 当a>3时，a3>1，(a3)a>1，aa>3a.
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1．设M＝x2，N＝x－1，则M与N的大小关系为( )
类型二 利用作差法比较大小 [例2] 已知a>b>c>0，试比较a－b c与b－a c的大小．
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[解] a－b c－b－a c＝aa－c－abbb－c ＝a2－aca－bb2＋bc＝a2－b2a－b a－bc ＝a－baab＋b－c. 因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0. 所以a－baab＋b－c>0，即a－b c>b－a c.

依题意有：t21m＋t21n＝s，2sm＋2sn＝t2.
所以t1＝m2＋s n，t2＝s（m2m＋nn），所以t1－t2＝来自2s m＋n－
s（m＋n） 2mn
＝
s[42mmnn－（（mm＋＋nn））2]＝－2ms（n（m－m＋n）n）2 . 其中s，m，n都是正数，且m≠n，
所以t1－t2＜0，即t1＜t2， 从而知甲比乙先到达指定地点．
归纳升华 1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量 关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建 立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数 的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以 判断．
比较法
1．作差比较法 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符 号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.
2．作商比较法
(1)理论依据：当b＞0时，a＞b⇔
a b
＞1；a＜b⇔
a b
＜
1；a＝b⇔ab＝1.
(2)定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明
a b
＞1，
当a＜b时，an－1＜bn－1， 所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.
归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分 解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过 通分、有理化、配方、分解因式将差式变形为一个常 数、几个因式的积或一个分式等．以便与0比较大小．
当a<b时，0<ab<1，a－2 b<0，

（4x 3x）（8 y 9 y） 所以，从省料角度考虑，
x y
选择方案2
一、作差法比较大小理论依据 二、作差法比较大小步骤
a b ab0 a b ab0 ab ab0
作差 变形 判断符号 下结论
A从型省钢料板角面度积考比虑B，型应钢选板哪大种方案？
什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
1.用作差法比较 方案2用3块A型钢板，9块B型钢板。
方案1：用4块A型钢板，8块B型钢板 A型钢板面积 方案2：用3块A型钢板，9块B型钢板 比B型钢板大
解：设A型钢板面积为x,B型钢板的面积为y，则
方案1：4x 8 y
x y
方案2：3x 9 y 4x 8y (3x 9 y)
4x 8y 3x 9y
x y 0
4x 8y 3x 9y
位数？
原两位数个位：a 十位： b 新两位数个位：b 十位：a
解： 原两位数：10b a 新两位数： 10a b
10b a (10a b)
10b a 10a b （10b b）（a 10a)
9b 9a
（9 b a)
原两位数：10b a 新两位数： 10a b
10b a (10a b) （9 b a)
归那结么为 什判么断情他况们下的得差到的符两号位数比原来的两位数大？ 什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？ 方案2用3块A型钢板，9块B型钢板。
2
3与 2
2的大小.
归什结么为 情判况断下他得们到的差两的位符数号比原来的两位数小？
什所么以情 ，况从下省得料到角的度两考位虑数，比选原择来方的案两2 位数小？
解： 6x2 3x - 2 (5x2 3x - 5)
6x2 3x - 2 5x2 3x 5

法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)； 证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
ab 2
>0，
ab 2
∴
(ab )
＝a
ab 2
· b
ab 2
a ＝(b)
.
a 当 a＝b 时，显然有(b)
ab 2
＝1；
a－b a 当 a>b>0 时，b>1， >0，所以由指数函数单调 2 a 性，有(b)
ab 2
>1；
a－b a 当 b>a>0 时，0<b<1， <0，所以由指数函数的 2 a 单调性，有(b)
解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用 为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝
10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x ∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0⇔ a>b ，a－b<0⇔ a<b ， a－b＝0⇔ a＝b . (2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理， ③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能
够直接判定差的符号 ，常用的手段有：因式分解，配方，通 分，分子或分母有理化等．

代数式用作差法比较大小
1、将姚明和李连杰的身高标示在数轴上 观察他们的大小关系
李连杰身高 姚明身高
2.29-1.69=0.60>0 归纳： a-b>0 a-b=0 a-b<0
0
1.69 2.29
2.29>1.69 提示：运用了实数 减法运算符号法则
a>b a=b a<b
ab0 a b ab0 ab ab0ຫໍສະໝຸດ ab ab0 ab定号 下结论
3、思考：
①上述例题代数式有一个怎么样的特点？ 答：都是整式
②结合上述例题概括下解题的一般步骤？
答：作差
变形
定号
下结论
合并同类项，
因式分解，配
③上述例题的解法名称是什么？
方等等
答：作差法
2、比较代数式的大小
把整体看着 实数轴上的
一个 a
把整体看着实数轴 上的一个 b
• 例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
•解： 6x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)
作差
= 6x2 +3x+5 –5x2-3x-2
整理变形
=x2+3
2 x 0
2 x 330
∴2x2 +3x+5 –( 5x2+3x+2)>0 ∴2x2 +3x+5 > 5x2+3x+2

[悟一法]
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于
判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分
解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号， 常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差 式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
例：试比较6x2 +3x+5与5x2+3x+2的大小
∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)
即aabb>abba；
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果
作差法
[读教材·填要点]
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
定
要证明 a>b，只要证明
a－b>0
要证明 a>b>0，只要证明
ab＞1
义
要证明 a<b，只要证明
a－b<0
要证明 b＞a＞0，只要证明
b a>1
作差→因式分解(或配
步
作商→恒等变形→判断与 1 的大
方 )→ 判 断 符 号 → 得 出
定号 下结论
类型三 利用作商法比较大小
[例3] 设a>0，b>0，且a≠b，比较aabb与abba的大
小．

甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有
一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果
m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ [思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用
时间，再进Leabharlann 比较．[解]设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走
完这段路程所用的时间分别为 t1，t2 ，依题意有： t1 t1 m＋ n＝s， 2 2 s s ＋ ＝t . 2m 2n 2 sm＋n 2s ∴t1＝ ，t ＝ . 2mn m＋n 2 sm＋n 2s ∴t1－t2＝ － 2mn m＋n s[4mn－m＋n2] sm－n2 ＝ ＝－ . 2mnm＋n 2mnm＋n 其中 s，m，n 都是正数，且 m≠n， ∴t1－t2<0.即 t1<t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．
法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对
差式进行分类讨论．
1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)； 证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)． 2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把 等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解 决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利
用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，
常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填 空题则可用特殊值加以判断．
5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案： 乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案： 乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理 条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相 等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？

B.1 qmn qm qn
C .1 qmn qm qn
D.不 能 确 定
3.在等比数列an和等差数列bn中,a1 b1 0,
a3 b3 0,a1 a3,则a5与b5的大小关系为( A ) A.a5 b5 B.a5 b5 C,a5 b5 D.不能确定
b
b
当且仅当a b时,等号成立.
aabb abba ,当且仅当a b时,等号成立.
abc
变式引申: 求证 : 若a,b,c R ,则aabbcc (abc) 3
补充例题:已知a 2,求证: loga(a 1) log(a1) a
补充练习:
1.已 知a, b, c, d都 是 正 数, 且bc ad,
一、比较法
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解
集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法.
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最重 要的一种方法，用比较法证明不等式的步 骤是：
m(b a) 0 即 a m a 0 a m a
b(b m)
bm b
bm b
1.本题变形的方法—通分法
2.本题的结论反映了分式的一个性质：若 a, b, m 都是正数，
当
a

b
时，a
b

m m

a b
;
当a

b 时，a
b

m m

a b
;
(2)作商比较法
则

两实根为x1,x2. • (1)求 的c 范围； • (2)将(x1-a x2)2表示为 c的函数； • (3)求(x1-x2)2的取值范围a . • 解：(1)因为a＞b＞c，a+b+c=0，
• 所以a＞0，c＜0，且b=-(a+c).
• •
又由由a＞a＞-a-bc＞，c得，2得a＞-c.ca
• 即1≤3a-b≤7，所以3a-b的取值范围为［1,7］.
• 点评：求此类题的关键是先由待定系 数法求得待求式与两个已知式子的系 数关系，再求得所求式子的取值范围.
设60＜a＜84，28＜b＜33，求a+b，a-b及
a b
的取值范围.
• 解：因为60＜a＜84，28＜b＜33，
• 所以88＜a+b＜117.
次数应尽可能少，以免将取值范围扩大.这 时可以用所谓的“线性相关值”.令g(a， b)=pf1(a，b)+qf2(a，b)，用恒等关系求出 待定系数p，q，于是一次加减，便可求到 所需要的范围.
• 所以(x1-x2)2=(x1a+x2)2-4x1xa2
4 a b 2 2-4 a c 4 (a c a ) 2 2-4 a c 4 (a c 1 2 )2 3 .
• (3)因为-2＜ ＜c - ，1 所以 - 3 c 1 0，
a
2
2 a2
• 所以
34(c1)2 312.
a2
• 所以(x1-x2)2∈(3，12).
• 2. 要注意不等式的基本性质成立的条件，
例如：在应用“a＞b，ab＞0 1 1 ”
ab
这一性质时，有些同学要么是弱化了条件
得a＞b1 1 件而得aa＞b1＞b0 1
ab

• 故该命题为真命题.
题型2 差值比较法比较代数式的大小
• 2. 比较1+logx3与2logx2(x＞0且x≠1)的大小.
• 解：(1+logx3)-2logx2=logx 3x.
• 当 0 x 1 • 即0＜x0＜ 134或x x1＞
或 x 时4 ,有log34xx
• (3)若a＜b＜0，则 • (4)若a＜b＜0，则
1 1 ;
ab
b a . ab
• 解：(1)因为c2≥0，所以只有c≠0时才正确；c=0 时，ac2=bc2，所以是假命题.
• 变式：“若ac2＞bc2，则a＞b”是真命题.
• (2)由a＜b，a＜0 a2＞ab；由a＜b，b＜0
• ab＞b2，所以a2＞ab＞b2是真命题.
• 当a¹b时，ab·ba＜aa·bb.
• 解法2: (直接求差不好比较,可取对数
• 后再比较)
• 因为 lg(ab ba ) - lg(aa bb ) b lg a a lg b - a lg a - b lg b
• •
所以当a=(ab-时b)，(lglbg-(lagba·) ba)00=((l当当g(aaaa·bb时时bb)))，；
__a_c<_b_c_____.
• 6.a＞b＞0,c＞d＞0 _________.
•
7.a＞b＞0,n＞1,n∈N
ac<bd _____,
______.
• 8.a＞b,ab＞0 ___1___ 1_. an<bn n a n b
ab
• 1.若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是( )B
• (3)a＞b＞0 -a＜-b， • c＞a＞b＞0 0＜c-a＜c-b