高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及答案

【最新】数学高考《计数原理与概率统计》专题解析一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质和相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】因为0.850k =>，所以y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg ，故B 正确； 回归直线一定过样本点的中心点(),x y ，回归直线有可能不经过样本数据， 故D 正确；C 错误. 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程的定义，相关性质，属基础题.3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A AC ．322367A A AD ．362467A A A【答案】D 【解析】 【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A 种．综上所述，不同的排法共有362467A A A 种. 故选D. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．4．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=.故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.5．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x nx m -+=有实数根的概率为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】A 【解析】 【分析】根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果. 【详解】若方程20x nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，即111124118S P S ⨯⨯===⨯阴影正方形. 故选：A . 【点睛】本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程7．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．710【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.8．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．10．33ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析 根据二项式33ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得2212133()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种【答案】B 【解析】 【分析】首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】从7名党员选3名去甲村共有37C 种情况，3名全是男性党员共有34C 种情况，3名全是女性党员共有33C 种情况，3名既有男性，又有女性共有33374330C C C --=种情况.故选：B 【点睛】本题主要考查组合的应用，属于简单题.12．若二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x 项的系数为（ ） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20 【答案】C 【解析】 【分析】对2nx ⎫⎪⎭令1x =，结合展开式中各项的系数和为243列方程，由此求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得含x 项的系数. 【详解】对2n x ⎫⎪⎭令1x =得()123243n n +==，解得5n =.二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()515312225522rr rr rr C x xC x---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令53122r -=，解得1r =，故展开式中含x 项的系数为115210C ⋅=.故选：C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查求二项式展开式指定项的系数，属于基础题.13．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126【答案】A 【解析】 【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.14．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B．13C ．926D．26【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得AB =所以DF AB =.所以所求概率为24=13DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．15．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，2s '分别为（ ）A ．32x +，232s +B ．3x ，23sC ．32x +，29sD ．32x +，292s +【答案】C 【解析】 【分析】由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001()100x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100x x x x x x x ++++++=++++⨯=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001[()()()]100s x x x x x x =-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：222121001{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001[9()9()9()]9100x x x x x x s =-+-++-=L 故选C. 【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A ．残差平方和变小B ．相关系数r 变小C ．相关指数2R 变小D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项. 【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A. 【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.17．二项式51(2)x x -的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−80 【答案】D【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C r r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭n n n n ， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-n ，故选D .18．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）C ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＞D （η）D ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η） 【答案】A【解析】【分析】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=， ()25D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E η=， ()2449D η=，即可得解． 【详解】当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，()134336115C C P C ξ⋅===，()342236325C C P C ξ⋅===，()343136135C C P C ξ⋅===， ∴()131232555E ξ=+⨯+⨯=，()112555D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4， ()1434374135C C P C η⋅===，()22437418235C P C C η==⋅=， ()31437412335C P C C η==⋅=，()4404375143C C P C η⋅===， ∴()41812116234353535357E η=+⨯+⨯+⨯=，()22224161816121611612343573573575494372D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<．故选：A ．【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.19．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D【解析】【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.20．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a 的值（ ）A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得b a的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r r r r T C x +=， 设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．。

《计数原理与概率统计》考试知识点一、选择题1．336 ax⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11adxx=⎰（）A．2ln2B．ln2C．2D．1【答案】A【解析】【分析】首先根据二项式定理求出a，把a的值带入11adxx⎰即可求出结果.【详解】解题分析根据二项式336ax⎛⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式的通项公式得2212133()4aT C ax x+⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭.Q第三项的系数为1，1,44aa∴=∴=，则4411111d d ln2ln2ax x xx x===⎰⎰.故选：A【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk nT a b-+=.属于中等题.2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2 B．3 C．10 D．15【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种【答案】C 【解析】 【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1343C C ⋅；第2社区2个、第3社区安排2个，共2242C C ⋅；第2社区3个，第3社区安排1个，共1141C C ⋅；故所有安排总数为1322114342413()42C C C C C C ⨯⋅+⋅+⋅=.故选：C. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）A ．314B ．27C ．928D ．1928【答案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814 p==.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A．112B．115C．118D．114【答案】D【解析】【分析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C=种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种，所以概率为212814 P==.故选：D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有233()27C =种不同结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有22133218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计算公式可得所求概率为182273=. 故选：D 【点睛】不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【答案】B 【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C 【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（）A．18B．35C．58D．78【答案】C【解析】【分析】设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.【详解】设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200A表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a＝{（x，y）|0≤x≤5或0≤y≤5}，即图中的阴影部分，面积为S′＝125，代入几何概型概率公式，可得P（A）'12552008 SS===故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ-1 1 3P2(1)p - 2(1)p p -2p则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，()221331321222228D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：()()221210p p p p -+-+= ，且()2011p <-<，()0211p p <-<，201p <<解得：01p <<，()()()2211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，()()()()()()22222141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦288p p =-+，设()411,3E p t ξ=-=∈-，221113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪⎝⎭ ()21122t =--+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2880,2D p p t ξ=-+=∈，21822p t ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，21228t p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.11．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5ˆbx ye -=，其一组数据如下表所示：若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．112eC ．7eD ．152e【答案】D 【解析】 【分析】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结果. 【详解】由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =⨯-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5x y e -=，当5x =时，$151.650.52y e e ⨯-==，故选D. 【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A 【解析】【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种C ．12种D ．18种【答案】C 【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.15．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个【答案】C 【解析】由题意得，0a ≠，a 的选择一共有14C =4，b 的选择一共有155C =，c 的选择共155C =种，根据分步计数原理，不同的二次函数共有N=455⨯⨯=100种。

【最新】数学《计数原理与概率统计》专题解析(1)一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．25【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．4．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35B ．925C ．1625D ．25【答案】B 【解析】PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π-16π925π25=,故选B.5．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180【答案】B 【解析】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用6．已知()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，()20121nn n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则()0121nn a a a a -+-+-L 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】Q ()1nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，∴23n n C C =，∴5n =，令0x =，则051a =，令1x =，则()0155212422431a a a a λ+=++=+=++L ，∴2λ=，令1x =-，则()05251112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.7．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“01x <”的概率为（ ）． A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：解分式不等式得集合P ，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果. 详解：(5)(1)050101x x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|15P x x =-<<，||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．8．如图所示，线段BD 是正方形ABCD 的一条对角线，现以BD 为一条边，作正方形BEFD ，记正方形ABCD 与BEFD 的公共部分为Ω（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD 中投掷一点，该点落在Ω内的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．13【解析】 【分析】五边形ABEFD 的面积52S =，阴影Ω的面积为12，得到概率. 【详解】不妨设1AB =，故五边形ABEFD 的面积15222S =+=，阴影Ω的面积为12，故所求概率为1121522P ==+， 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C．4D．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.10．已知()812x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba的值（ ） A ．1265B ．1285C ．1253D ．26【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求得a ，系数的最大值为b 求得b ，从而求得ba的值． 【详解】由题意可得4870a C ==，又展开式的通项公式为182r rr r T C x +=，设第1r +项的系数最大，则11881188·2?2·2?2r r r r r r r r C C C C ++--⎧⎨⎩……，即56r r ⎧⎨⎩…„， 求得=5r 或6，此时，872b =⨯，∴1285b a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二项式系数的性质，第n 项的二项式系数与第n 项的系数之间的关系，属于中档题．11．某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（ ） A ．12B ．310C ．14D ．15【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数，计算即可求出第1次、第2次两次均未命中的概率． 【详解】由题可得基本事件总数336320n C C == ，第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数2132434m C C C ==所以他第1次、第2次两次均未命中的概率是41205m P n === 故选D. 【点睛】本题考查计数原理及排列组合的应用，解题的关键是正确求出基本事件个数．12．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66C ．72D ．126【答案】A【分析】要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：所以共有1331545460C C C C +=种取法.故选：A 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.13．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．14．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种C ．12种D ．18种【答案】C 【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C16．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.17．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη= D ．E E ξη=，D D ξη=【答案】C 【解析】 【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．18．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96B ．84C ．120D ．360 【答案】B【解析】【分析】先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案.【详解】由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为444A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选：B.【点睛】本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.19．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“x y 、中有偶数，且x y ≠”，则概率()P B A =( )A ．13B ．12C ．14D ．25【答案】A【解析】【分析】根据题意有()))|(=(n AB P n A A B ，所以只须分析事件A 和事件AB 所包含的基本事件，即可根据公式求出结果.【详解】解：事件A 中“x y +为偶数”，所以,x y 同奇同偶，共包含22318⨯=种基本事件；事件AB 同时发生，则,x y 都为偶数，且x y ≠，则包含236A =个基本事件； ()()61=)13|=(8n AB n A P B A =. 故选：A.【点睛】 本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.20．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++LL 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．101) 【答案】C【解析】【分析】 令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得；【详解】解：因为)1021001210x a a x a x a x =++++L ，令1x =得)100123101a a a a a =++++L ，令1x =-得)100123101a a a a a =-+-++L ， 所以()(220210139)a a a a a a +++-+++L L ()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L ))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦= 1011==故选：C【点睛】本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．。

新数学复习题《计数原理与概率统计》专题解析(1)一、选择题1．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.2．若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70C ．256xD ．256x -【答案】B 【解析】由题意可得26n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44445881()70T C x C x===，故选B.3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种． A ．2267A A B ．3247A AC ．322367A A AD ．362467A A A【答案】D【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A 种．综上所述，不同的排法共有362467A A A 种. 故选D. 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的5．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为35，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．611B ．511C ．59D ．49【答案】A 【解析】 【分析】由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为611AD BC p AD CD BC +==++.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3C ．0.58D ．0.958【答案】D 【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.7．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2 B ．52C ．94D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值.【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．8．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）A ．110B ．15C ．25D ．12【答案】C 【解析】 【分析】从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数1122152222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：1122122222()8,m C C C C C =+=，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82205m p n ===． 故选：C ． 【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.9．从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C =这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B10．36ax ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式36ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种C ．28种D ．25种【答案】B 【解析】 【分析】首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】从7名党员选3名去甲村共有37C 种情况，3名全是男性党员共有34C 种情况，3名全是女性党员共有33C 种情况，3名既有男性，又有女性共有33374330C C C --=种情况.故选：B 【点睛】本题主要考查组合的应用，属于简单题.12．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】B 【解析】 【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABC S S V V =12． 故选B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．13．已知()929012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式()913x -展开式的通项为()193rrr T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.【详解】二项式()913x -展开式的通项()193rr r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数时，0r a >，因此，()990191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.14．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.15．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种【答案】C 【解析】由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，有122A =种结果，Q 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有424248A A =，根据分步计数原理知共有24896⨯=种结果，故选C.16．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90 C ．425 D ．512【答案】D 【解析】利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有09C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有29C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有99C 种；故总数为012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.故选D.17．若随机变量()23,X N σ:，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】A 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】 由于()23,X N σ:，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.18．概率论起源于博弈游戏．17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ） A ．甲48枚，乙48枚 B ．甲64枚，乙32枚 C ．甲72枚，乙24枚 D ．甲80枚，乙16枚【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，计算甲乙两人获得96枚金币的概率，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为12， 假设两人继续进行比赛，甲获取96枚金币的概率111132224P =+⨯=， 乙获取96枚金币的概率2111224P =⨯=， 则甲应该获得396724⨯=枚金币；乙应该获得196244⨯=枚金币； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查概率在实际问题中的应用，涉及到独立事件的概率，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.19．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】【分析】利用二项式系数对应的杨辉上三角形的第1n +行，令1x =，得到二项展开式的二项式系数的和，再结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第1n +行，令1x =，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为02，第2行为12，第3行为22，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为122112n n n S -==--， 若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4,L可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则(1)2n n n T +=， 令(1)152n n +=，解得5n =， 所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即()72113114--=， 即前15项的数字之和为114，故选B.【点睛】本题主要考查了借助杨辉三角形的系数与二项式系数的关系考查等差、等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，结合二项式系数，利用等差等比数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ）A ．54万元B ．55万元C ．56万元D ．57万元【答案】D【解析】试题分析：由表格可算出1(1245)34x =+++=,1(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,ˆ9b=,代入算出ˆ3a =,所以ˆ93y x =+,当6x =时,ˆ57y =,故选D. 考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .。