谈中学数学中的对称美

数学之美数学的世界，是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，我们可以感受到布局的合理，结构的严谨、关系的和谐以及形式的简洁。

经过对数学美表现的研究，我们可以肯定的回答，数学中含有美的因素，数学发展受美育思想的影响，在此，可以借助古代哲学家、数学家普洛克拉斯的断言：“哪里有数，哪里就有美”。

我们该怎么把数学的魅力展示给我们学生看呢？倘若我们深入考察某个结论产生的背景知识，所经历过的一些曲折过程，所反映的一些自然社会现象，之后再反过来看这个结论就会有感触了。

我们也把这种过程讲给学生，那在讲述的过程中教师就能融入自己的感受，表达得就更有激情，同时也能与学生产生共鸣。

此时，学生就能真正体会到数学的神奇与魅力。

中学数学中的美，体现在以下几个方面。

1 语言的简洁美数学之所以如此重要，就在于它是精确、简约、通用的科学语言；它用最少量，最明确的语言表达最大量，最准确的信息；用最抽象，最概括的语言表达普遍存在的矛盾规律，绝没有含糊不清或产生歧义的缺点。

一个公式胜过一打说明。

也正因为如此，数学语言成为全世界使用最广泛的语言，成为唯一通用的科学语言。

伟人说过：“美，本质上终究是简单性。

”美，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。

在数学界，也被多数人所认同。

朴素，简单，是其外在形式，只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

例如用符号“⊥”来表示两直线互相垂直；用符号“∥”来表示两直线互相平行；用希腊字母“△”表示一元二次方程根的判别式；圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球的定义：球是到定点的距离等于定长的点的集合；公理：两点之间线段最短；半径为R的圆的周长为：C=2πR等等，都充分体现了数学语言的简洁美。

2 图形符号的对称美在自然界有许多对称的事物，动物的身体结构是对称的，如飞禽的双翅、双脚等。

植物的许多叶片是对称的，有的叶片上的缕纹也是对称的，如玉米的叶子。

浅谈高中数学之美发表时间：2012-04-28T13:15:14.030Z 来源：《少年智力开发报》2011年第22期供稿作者：高海芳[导读] 数学的发展是逐步统一的过程。

统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。

陕西省靖边中学高海芳如果说自然美和艺术美是由视觉、听觉等感官所接受的美感。

数学美则是大脑思考所产生的思想结构上的精神美。

数学美是一种理性的美、抽象的美。

没有一定数学素养的人，不可能感悟数学美，更难以发现数学美。

下面从几个方面来简单的探讨一下在高中数学教学中让学生来感受数学美。

1、简洁美简洁美在数字符号、运算符号等数学符号上，在命题的表述和论证上，在数学的逻辑体系和问题转换上都有体现。

爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。

”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。

物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。

朴素简单是其外在形式。

只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

比如：圆的周长公式：C=2πR勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。

正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，而在数学解题思维中，如能从简洁、朴素的角度出发，审视问题的结构，分析问题的特点，转化思考的方向，常常可以获得简洁明快的效果。

2 、和谐美和谐是数学美的最高境界。

如果把数学比作一座殿堂，那么和谐性是其主要建筑特色，无论从局部或整体来看，都让人体会到平衡协调、相互呼应、浑然一体的美感。

欧拉公式：ei?仔=-1，曾获得“最美的数学定理”称号欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序和谐的美，在数学中多得不可胜数。

如著名的黄金分割比，即0.61803398…。

“黄金分割”问题，为什么它被誉为“黄金”呢？黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。

达•芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。

有关函数对称性的几个重要结论学园IACADEMY有关函数对称性的几个重要结论赵建刚河北省石家庄二中函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学自鸲￡础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对.称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.一函数自身的对称性[重要结论1]函数:,()的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是厂()+厂(2a—x)=2b.证明:(必要性)设点P(,Y)是Y=,(x)图像上任一点,.‘点P(,Y)关于点A(口,b)的对称点P’(2a—,2b—J,)也在y=f()图像上,.?.2b—Y=‘厂(2a—X).即+,(2a—)=2b,故f()+,(2a—x)=2b,必要性得证.(充分性)设点P(Xo,)是Y=,()图像上任一点,则yo=/(洳).‘.‘,(X)+,(2a—X)=2b,.’.f(Xo)+(2a—XO)=2b,即26一),o=.厂(2口一j【0)0故点P’(2a—XO,2b—yo)也在Y=_厂(X)图像上,而点P与点p’关于点A(a,b)对称,充分性得征..推论1:函数Y=.厂()的图像关于原点0对称的充要条件是厂()+厂(一X)=0.[重要结论2]函数Y=厂()的图像关于直线=口对称的充要条件是:,(a+)=,(a-x),即,()=厂(2a—x)(证明同上)推论2:函数Y:,()的图像关于y轴对称的充要条件是,():,(一)[重要结论3](1)若函数Y=厂()图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(日≠b),则Y=.厂()是周期函数,且21a一61是其一个周期.(2)若函数y=厂()图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(口≠6),则y=f(x)是周期函数,且21a—bl是其一个周期.(3)若函数Y=厂()图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线X=b成轴对称(Ⅱ≠6),则Y=厂(x)是周期函数, 且41a一6i是其一个周期.(1)(2)的证明留给读者,以下给出(3)的证明:.函数Y:厂()图像关于点A(a,c)成中心对称...厂()+厂(2a—X)=2c,用2b—代X得:.厂(2b—)+.厂[2a一(2b—)]=2c(1)又?.’函数Y=厂(x)图像关于直线x=b成轴对称...厂(2b—)=厂()代入(1)得:厂()=2c—f[2(a—b)+](2)用2(a—b)一代人得:/[2(a—b)+]=2c—f[4(a—b)+]代人(2)得:一126—2010年第6期,(x)=,[4(a—b)+],故Y=,(x)是周期函数,且41a—bl是其一个周期.’二两个函数的对称性[重要结论4]函数y=f()与=2b-f(2a—)的图像关于点A(a,b)成中心对称.[重要结论5](1)函数Y=-厂(X)与y=f(2a—)的图像关于直线=a成轴对称.(2)函数Y=,()与口一=/(—y)的图像关于直线X+’’=a成轴对称.(3)函数:,()与x—a:,(Y+a)的图像关于直线～Y=a成轴对称.结论4与结论5中的(1)(2)证明留给读者,现证结论5中的(3).设点P(X0,Y o)是=,()图像上任一点,则yo:,(勒).记点P(X,Y)关于直线—Y=a的轴对称点为P’(期,Y1),则Xl=a+肋,yl=xo一日,.’.Xo=口+Yl,yo=l—a代人Y o=厂(劢)之中得均一a=,(a+yJ).?.点P’(1,Y1)在函数—a=,(+a)的图像上.同理可证:函数—a=.厂(Y+a)的图像上任一点关于直线x—Y=a的轴对称点也在函数y=,(x)的图像上.故定理5中的(3)成立.推论3:函数Y:,(X)的图像与x=,(Y)的图像关于直线=Y成轴对称.三三角函数图像的对称性函数’对称中心坐标对称轴方程V=SIn(h.o)=+y:COSx(.b【-I-,0)X=JbcYtan(2,o)无注:上表中kEZ.四函数对称性应用举例例1,定义在R上的非常数函数满足:.厂(1O+)为偶函数,且f(5一)=.厂(5+),则f()一定是()o(第十二届希望杯高二第二试题)A.是偶函数,也是周期函数.B.是偶函数,但不是周期函数.c.是奇函数,也是周期函数.D.是奇函数,但不是周期函数.解:’.厂(10+)为偶函数,.’厂(1O+j)=.厂(10一)..‘厂(x)有两条对称轴X:5与=10,因此,f(x)是以l0为其一个周期的周期函数,.?.:0,即Y轴也是f(x)的对称轴, 因此厂(X)还是一个偶函数,故选(A).例2,设定义域为R的函数=/(),Y=g()都有反函数,并且,(一1)和g(x一2)函数的图像关于直线Y=对称,若g(5)=1999,那么,厂(4):().A.1999B.2000C.2001D.2002解:’.’y=f(—1)和y=g一1(一2)函数的图像关于直线学园IACADEMY略谈生物教学过程中如何开展学习方法指导侯仁珠湖南省安仁县第三中学学有法而无定法;教也有法而无定法.方法是学习入门的向导.达尔文曾说过:”最有价值的知识是关于方法的知识”.生物学科作为--t’l理科学科,注定不能死记硬背,理解才是最重要的. 在生物学教学中,根据生物学科实验性和实践性很强的特点,结合学生的学习实际,心理发展规律和教学内容,有意识地对学生进行学法指导,从而提高学习效率,实现知识传授和智力开发的结合,实现教师主导和学生主体的辩证统一.本文简单介绍在生物教学中常用的三种教学指导方法以作抛砖引玉之用.一阅读法指导阅读是自学的基础,是学生获得知识的重要手段,它还有助于突破教学中的重点和难点.阅读从时间上分课前,课中,课后阅读.课前阅读可以发现问题,便于带着问题听课;课中阅读帮助形成正确的概念,原理和规律;课后阅读可以温故而知新,梳理知识形成网络.只有当学生明确了阅读的意义,才能积极参与阅读并乐于阅读.在阅读时让学生做到眼,口,脑,手并用,养成良好的阅读习惯.例如:阅读中对于概念,规律等结论性内容用笔勾划;对于说明概念的内涵和外延的修饰语或限制词可加上着重号;对于文中晦涩的文字可反复吟读,理解其意.如”体液调节”一节中,甲状腺激素,促甲状腺激素,促甲状腺激素释放激素,这些名词对初学者来说, 容易混淆,单从字面看来比较相近,但是它们的产生部位和作用却各不相同.又如《孟德尔豌豆杂交实验(一)》一节中,有好几对相似的概念和名词术语:性状与相对性状,等位基因与显(隐)性基因,基因分离与性状分离,表现型与基因型,杂合子与纯合子等,这么多的概念和名词同时出现,更容易混淆,这就要求我们不但要从它们的内涵和外延上去理解,而且要多举实例加以掌握.对于不能理解的内容要加上问号,如在预习”排泄”Y=对称,.?.y=g(X一2)反函数是Y=,(—1),而Y=g(一2)的反函数是:Y=2+g(X),.?.f(X—1):2+g(X),..,(5一1)=2+g(5)=2001,故f(4)=2001,应选(c).例3,设f(x)是定义在R上的偶函数,且/(1+);/(11一),当一1≤≤o时,f()=一÷,贝0厂(8.6)=()c(第二八届希望杯高二第一试题)解:’.’f(X)是定义在R上的偶函数,.?.X:0是Y=,(X)的对称轴;又’.(1+)=,(1一),.?.X----l也是y=f()的对称轴.故Y=,()是以2为周期的周期函数,.?.,(8.6)=,(8+0.6)=厂(0.6)=厂(一0.6)=0.3.例4,函数Y=sin(2x+)图像的一条对称轴的方程是()o(92全国高考理)A.=一B.=一C.=一/t”D.=一5x248,4C一解:函数Y:sin(2x+)图像的所有对称轴的方程是2010年第5期一章时,肾小球的滤过作用和肾小管的重吸收作用难以理解,应在书上作一记号,上课时注意老师的演示,解释和分析,从而深刻的理解肾脏的功能.又如,在预习《减数分裂与受精作用》一节时,对较难理解的染色体行为和数目变化,DNA数目变化,要在课堂上注意课件的演示,老师的图示与讲解.随着学生阅读水平的提高,教师要求学生阅读后能提出问题并能提纲挈领地归纳大意,形成知识结构.例:预习《基因对性状的控制》时,可归纳出这样的问题:(1)细胞核中DNA所携带的遗传信息是怎样传递到细胞质中的?(2)信使RNA是如何决定蛋白质的氨基酸顺序的等等.再如,在预习《光合作用》时可归纳出这样的问题:(1)参与光合作用的各种色素的含量,吸收光谱与其本身和叶绿体以及叶片的颜色有何关系?(2)光合作用两个阶段的部位,条件,能量变化和物质变化有哪些不同?又是如何联系的? (3)影响光合作用的因素在农业生产上有何意义?此外还要指导学生重视图表的阅读,明确其意,领会其质.二观察法指导生物是一门以实验为基础的自然学科,观察是获得生物知识的重要环节.如观察生物的形态结构,生活习性,生长发育等等, 有效地发挥观察在生物学学习中的作用.而我们生物学的原理, 规律都是在观察实验的基础上得来的,它不仅能激发学生的学习兴趣,有利于学生理解和掌握基础知识,而且能为学生接受基本技能训练提供机会,有利于全面提高学生的生物科学素养.学生的学习从感性认识开始,以感知为基础,而观察是一种有目的,有计划的感知活动,不仅可以获得新知,也能验证已知. 生物学科的直观性很强,教师除了提供挂图,模型,标本,实物,录像,课件,演示实验等丰富的感性材料外,还应指导学生多接触动,植物和大自然,留心生活中的生物学知识.如指导学生多2x+5x=七+～/t”.2Z..=一,显然取七=1时的对称轴方程是=一,故二二选(A).例5,设,()是定义在R上的奇函数,Nf(x+2)=一f(x),当O≤≤1时,f(X)=,则_厂(7.5)=().A.0.5B.一O.5C.1.5D.一1.5解:..’Y=(x)是定义在R上的奇函数,.’.点(0,0)是其对称中心;又’.(+2)=一f(x)=厂(一X),即f(1+)=/(1一x),o~o直线X=l是=,(x)的对称轴,故=,()是周期为2的周期函数..‘.,(7.5):,(8一O.5)=,(一O.5)=-f(0.5)=一O.5,故选(B).函数对称性的这几个重要结论在数学学习中应用非常广泛, 本文希望能够起到抛砖引玉的作用.一127—。

浅谈数学之美美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。

通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。

数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。

简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。

一、数学美的性质1、数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。

2、数学美的社会性：数学美是一种社会现象，因为数学美是对人而言的。

数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使自己的本质力量“对象化”了，或者说“自然人化”了。

所谓的“人化”就是人格化，即自然物具有人的本质的印记，实质上就是社会化。

这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产生的本原。

3、数学美的物质性：数学美的内容人的本质力量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。

二、数学美的表现形式1、简单性，是数学美的基本表现形式之一。

作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给人以美的享受。

简单性又是数学发现与创造中的美学因素之一。

最简单的例子便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算。

2、统一性，是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、一致。

数学美中的统一性在数学中有很多体现。

数学推理的严谨性和矛盾性体现了和谐；表现在一定意义上的不变性，反映了不同对象的协调一致。

例如，数的概念的一次次扩张和数系的统一，运算法则的不变性；几何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统一形式。

3、对称性，是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性。

数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。

运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。

2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。

3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。

4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。

典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。

定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。

定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。

谈数学中的美作者：向虹来源：《信息教研周刊》2013年第02期数学是我们从小就接触到的一门自然科学，她在我们的学习、生活和工作中占有十分重要的位置。

现实生活中不少人把数学看成很枯燥很乏味的学科，但是事实并非如此。

数学本身是丰富多彩的，她包含着无穷无尽的“美”。

只要我们善于发现，细心体会，数学的“美”无处不在。

下面，我们从以下几个方面去认识数学的“美”。

一、简洁之美著名科学家爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。

”他认为，只有借助数学，才能达到“简单性”的美学境界。

爱因期坦的这种美学观，在数学界得到很多人的认同。

简单、朴素，既直观有效，又底蕴深厚，这就是数学的美，堪称“至美”。

比如正（长）方体，她既给人以简洁大方的立体感，又给人正气凛然、刚正不阿的“正面形象”。

2008年北京奥运会开幕式上，以正（长）方体组合出寓意深远的汉字，向全世界传达了中华民族崇尚和平、和睦、和谐的民族个性。

除此之外，数学之美还体现在思维方式和表达形式上。

数学的公式与公理就是数学简洁美的最佳证据。

公理、定理、概念、命题让庞杂的数学科学井然有序，完美地体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。

工程应用上，通过数学建模，使用0、1、2……9和特定的数学符号就可以科学地、本质地描述深奥的物理现象和复杂的化学反应等自然规律。

信息时代，“二进制”在计算机领域的应用就是数学简洁美的另一典型例子。

仅用0和1就能够描绘五彩缤纷的世界——一幅美丽的图画，一首动听的歌谣，一段催人奋进的文字，在计算机里不过是若干0和1的不同组合罢了。

毫不夸张地说，是数字0和1将你我拉近，将世界变成了一个“村”，将人类的文明推向到了一个新的高度。

化繁为简，化难为易，简洁、直观，这就是数学的简洁之美。

二、和谐之美和谐，是时代所趋，是社会所需。

我们党提出建设社会主义和谐社会，无疑证明了“和谐”的极端重要性。

数学中就包含着神奇而科学的和谐之美，著名的“黄金分割”就是一例。

黄金分割就是将整体分成两部分，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其分割点为整体的约0.618处。