初中数学分形课件

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第讲西安电子科技大学2009年3月17日非线性科学与孤子(II)梁昌洪教授第讲现在，我们再转移一个课题，即来讨论Soliton和它的产生背景。

如果说，对大多数人来说，孤子还是一个陌生而新鲜的概念，那么可以形象地比喻这个陌生人已叩开了很多新领域的大门，甚至径自闯入，大胆地与众多不同学科结合。

现在研究非线性物理世界，将无法回避孤子的概念和方法。

1987年12月28日《光明日报》以显著标题《孤波将成为美国超导机理研究的焦点》报道了美国科学家对高温超导体的研究，正在逐步把注意力集中在孤子，不可毁灭的独特电波中。

在长距离光纤通讯中采用孤波传输业已成为事实。

1990年底Bell实验室报道，孤波传输可以作6000公里的信号光纤通讯。

这一突破更使人们对孤子刮目相看。

四、孤立子的产生背景第讲现在大家都在议论神经系统之间的讯号有孤子或类孤子特性。

采用孤子信号作成的Radar或许会带来本质的变化。

总之，孤子的研究又成了当前世界前沿科学的一股热潮。

对于孤子的产生背景大多数文献都是从1834年John Scott Russell在英国河边观察开始的：“我认为，介绍孤立波的最合适的方法是描述我第一次认识这一现象时的情景。

我正在观察由两匹马拉着的一只航船在狭窄河道中疾速行驶时的运动。

船突然停止前进，但被船所推动的河水并不停止。

它积聚在船头，汹涌翻腾，然后呈圆滑的、轮廊分明的孤立突起波形，突然以巨大的速度滚滚向前，离船而去。

这个波沿着河道继续前进，显然，并不改变其形状也不减少其速度。

我骑马跟踪并且追上了它，它仍然以每小时大约8至9英里的速度滚滚向前，并保持它原来1—1.5英尺高、30英尺长的外形。

第讲Fig.-5 Union运河边的Russell观察者水波高度渐渐减小。

追逐了1—2英里之后，它消失在河道的拐角处。

这就是在1834年8月间我第一次偶然见到的奇妙而又美丽的景象。

第讲分数维（Ⅰ）—分数维否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的。

高安秀树第讲一、分数阶的发展史在分形几何的发展中，分数维有着关键的作用。

正如我们学习平面几何（二维几何），立体几何（三维几何）。

那么任何一种分形几何亦有着这特定的维数。

这一概念在提炼的过程中十分艰难，同时也很不容易获得一般人的承认。

第讲在分数维出现之前，对于分数维的研究，远远早得多。

它反映人们由整数转向分数或一般实数的概念发展。

分数阶研究的一个突出例子是Newton 的一般二项式定理。

第讲图2-1Newton第讲早在中国宋朝杨辉，伺后的欧洲巴斯卡都发现了整数型二项式展开系数——即所谓的“杨辉三角”。

图2-2杨辉三角它表示中各项对应的分数。

(1)nx +(1)nx +第讲Newton 的学术生涯，首先是从分数阶一般二项式定理着手的。

他作了两个大胆的推广：•广义组合，其中是分数。

n p C p 1(1)(1)!n p p p p n n C =−⋅⋅⋅−+（2-1）第讲•把二项式定理，实际上即级数推广到无限项：2331(1)1(1)2!1(1)(2)(2)3!p x px p p x p p p x p x ……+=++−+−−+−+（2-2）也即0(1)n p n n p x C x ∞==∑+（2-3）第讲这一分数阶的推广有着重要的历史意义。

尽管Newton 并没有严格的证明，但是他却巧妙地证明了1122(1)(1)x x =++2311111111()(2)(22)122481628x x x x +++−⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=+（2-4）第讲123421115(1)12816128x x x x x +=+−+−+⋅⋅⋅（2-5）式中且。

这是跨越分数维的伟大一步。

1x <第讲伺后是分数维积分与微分的出现。

Newton发明微积分是数学史上最重要的事件之一。

法国数学家J.Liouville刘维尔试图把微积分的维数推广到分数情况。

第6讲分形几何学主要内容：一、概述二、分维的测定方法（重点内容）三、分维应用实例（重点内容）四、问题讨论一、概述分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。

自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。

分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。

近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。

1、基本概念（1）整数维与分数维“维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。

在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。

如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。

如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。

在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。

可见时空空间的维数也是整数。

然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。

正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。

为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。

混沌与分形（Ⅲ）混沌和分数维的发现，使我们能从一个似乎是杂乱无章的时间序列中计算出它的分数维，表征其结构。

同时，我们还可以从一个时间序列中得到有关可预测值的信息。

—《分形和分维理论》刘式达，刘式适第讲一.再从Cantor 集合谈起大家知道，一个典型的例子往往包含着丰富的内涵，使人们百谈不厌。

Cantor 集合就是这样一个例子。

Cantor 集合的重要背景是海岸线的测量。

作为最简单的例子，如果海岸线如图8-1为L =1的一条直线。

那么我们用r 尺寸去量它，所得长度总为1。

第讲Fig8.1海岸线为L =1的直线段第讲1=L可以得到（8-1）已经知道，线段的维数D =1，即1维情况。

我们大胆猜测（8-2）即D =1（注记：猜测还有一个方案是，但后边实际情况要求，即可排除）。

现在再画出Koch 曲线如图8-2所示第讲0r L =D r L −=11D r −0≥DFig8-2Koch 海岸线第讲31)(=r a 91)31()(2==r b第讲91)31(2==r 916)34(L 2==0≥D 对于这种海岸线，若尺寸r=1/3，那么量出来的长度为L=4/3。

若，则，……我们可以理解为图形本身是无限复杂的，而用粗糙尺子去丈量，对小的细节量不出来。

一般地，若尺寸，则对应长度。

n r )31(=n L )34(=第讲r r N r L D •==−)(1n D D n n ])31[(])31[()34(11−−==换句话说，尺寸r 越小，对应的海岸线长度L 就越长。

我们假设L 和r 的一般关系与（8-2）相同（8-3）在（8-3）式中N （r ）表示用尺寸r 去丈量所获得的段数。

代入Koch 曲线的一般情况（8-4）很易导出最后得到（8-5）由于海岸线的曲折，使维数大于1维。

再一次考虑（8-3）式第讲)34ln()1()31ln(D −=2618.13ln 4ln ==D rr N r D )(1=−于是有（8-6）又得到（8-7）第讲D rr N −=)()1ln()(ln r r N D =在计算分维问题中（8-7）是一个非常重要的公式，它表示当尺度r 的变化造成N(r)的变化，典型地则由（8-6）和（8-7）式可知我们以图8-3 考察公式（8-8）第讲111222 N(r )=N N(r )=N r r r r =⎧⎨=⎩时对应 时对应 2112ln () (8-8)ln ()N N D r r =第讲（a）线（b）面（c）体Fig 8-3 典型的线面体对于线的情况对于面的情况12212,2r Nr N==ln21 (8-9)ln2D==12212,4r Nr N==ln42 (8-10)ln2D==第讲对于体的情况公式(8-8)把整数维与分数维统一了起来。

第讲混沌与分形To see a world in a Grain of SandAnd a Heaven in A World FlowerHold infinity in the palm of your handAnd Eternity in an hour—(W.Blake,1757-1827)第讲布雷克的不朽名句至今传诵于世界各地。

存在着各种翻译，我认为下述译句较真实反映作者原意：一粒砂里有一个世界，一朵花里有一个天堂，把无穷无尽握于手掌，永恒宁非是刹那时光。

第讲它从哲学上阐述了从小见大、从短见长；有空间的问题，又有时间的问题。

它还从根本上论及了自相似的原理，甚至砂粒与世界是自相似的；花朵与天堂也自相似；我们短暂的时光与浩瀚的历史长河本质也自相似。

而我们所研究的分形几何—自相似正是它的本质特征。

在前面我们讨论了代数与几何的对应：数列与图列。

第讲Fig.1 数列与图列并且给出了差比系数，即定义数列(6-1),......,,2421n a a a a第讲中(6-2)规定常数数列，等差数列(6-3)等比数列(6-4)n n n n n a a a a K −−=22/0≡n K 1=n K q K n 1=第讲式中，是公比。

由此可见，差比系数反映一大类数列的本质特征。

广义地，有一类数列差比系数存在极限，即(6-5)式中，是一确定常数。

我们把为常数，或者存在极限为常数的数列称之为—广义自相似数列，这是本讲所研究的重点。

nnKK∞→=limnKnKqk第讲一、斐波那契数列—广义自相似数列我们已经深入讨论过斐波那契数列：(1) (6-6)(2) (6-7)且具体是1，1，2，3，5，8，13，21…(6-8)121==u u 11−++=n n n u u u第讲其通项公式是(6-9)很易写出（6-10）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=nn n u 25125151⎩⎨⎧=−=−−+−−1121n n n n n n u u u u u u第讲于是差比系数(6-11)十分特殊的是：斐波那契数列的差比系数即为通项之比，且有：（6-12）1211−−+−=−−=n n n n n n n u u u u u u K n K 510.6180339882lim n n K K →∞−===第讲也即著名的黄金分割。