探索图形变化规律二

探索图形规律的方法总结一、规律探索型问题的分类1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。

猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律。

它是发现和认识规律的重要手段。

平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律。

2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。

解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。

图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。

二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。

所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。

所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。

而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。

如：一组按规律排列的式子：，，，，…()，其中第7个式子是，第个式子是(为正整数)。

分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。

2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多。

对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。

3．探索规律第1课时探索规律（一）学习内容：教科书第75页例1，课堂活动1，练习二十一第1、2题。

学习目标：1．结合现实情境，自主探索事物的排列规律，理解掌握探索规律的方法，增强解决问题的策略意识。

2．通过观察、猜测、计算、推理等活动，发展学生的逻辑推理能力，培养创新意识和合作精神。

3．在探索规律的过程中体会挑战性，发现和欣赏规律美，获得成功的体验。

学习重难点：学习重点：经历自主探索、合作交流的过程，发现事物排列中的规律。

学习难点：理解掌握探索规律的方法，初步学会应用规律解决简单实际问题。

课前准备：课件，各种图形若干。

导学过程：一、情境引入，感知规律1．“猜一猜”游戏。

多媒体依次出示各种情境:春节街上有规律排列的彩灯，小红裙子上有规律排列的图案，地板砖上有规律排列的图形，校园升旗台旁边有规律排列的各种盆花……2．猜一猜，接下来会是什么？你是怎么知道的？3．生活中有规律排列的事物有很多，透过现象找规律，我们会感受到规律的奇妙！今天我们一起来探索事物排列中的规律。

（揭示课题）二、引导探究，认识规律活动一：1．教学例1（1）自主摆小兴在数学活动课上玩摆图形，他摆的图形有规律吗？请你像他那样摆一摆。

（2）合作学习小组合作要求：1.①认真观察，找一找小兴摆的图形的规律，你是怎样找到的？②想一想接下来会摆什么图形，第16个摆的是什么图形。

2.和你的同桌说说你的想法。

（3）汇报交流预设1：小兴摆的图形排列的规律是1个圆形，2个三角形，1个正方形。

我先看小兴摆的是什么图形，然后再数了数个数，看了看它们摆的顺序，就发现了规律。

小结：在寻找规律的过程中要学会观察，看图形的形状，数图形的个数，更要看图形的排列顺序。

（板书：观察形状数量顺序）预设2：按这个规律接着摆下去，后面应该摆1个圆形。

我发现每摆4个图形就重复一次，说明4个图形是1组，2组摆8个……4组正好摆完16个，所以第16个是正方形。

小结：1个圆形，2个三角形，1个正方形称为一组，像这样图形按一定的顺序不断重复出现的排列规律称为“重复排列规律”，寻找重复排列的规律，我们一般要先对图形分组。

探索平移旋转和翻折的变化规律平移、旋转和翻折是数学中的基本操作，它们在几何学和图形变换中起着重要的作用。

通过对图形应用这些操作，我们可以探索它们的变化规律，并且更好地理解平移、旋转和翻折的特性。

本文将介绍这三种操作，并通过具体的示例来探索它们的变化规律。

一、平移平移是指将图形在平面上保持大小和形状不变的情况下，沿着指定的方向和距离移动。

平移操作可以用矢量表示，其中矢量的大小和方向确定了平移的路径和距离。

对于平移操作来说，图形上的所有点都按照相同的距离和方向进行移动，因此图形的大小和形状不会改变。

以正方形ABC...为例，我们将这个正方形向右平移2个单位，可以得到新的正方形A'B'C'...。

这说明，经过平移操作后，图形上的每个对应点都按照相同的距离和方向进行移动，保持了原有的形状和大小。

通过对不同的图形进行平移操作，我们可以观察到它们的位置关系具有对称性，即对于任何一点P，将其平移后的位置P'与原来的位置之间的距离和方向是相同的。

二、旋转旋转是指将图形绕着一个中心点旋转一定角度，使得图形产生位置上的变化。

旋转操作可以用角度和方向表示，其中角度决定了旋转的大小，而方向则决定了旋转的方向。

对于旋转操作来说，图形上的所有点都沿着以中心点为轴进行旋转，因此图形的大小和形状不会改变。

以正三角形ABC...为例，我们以顶点A为中心点，将这个正三角形逆时针旋转60度，可以得到新的正三角形A'B'C'...。

这说明经过旋转操作后，图形上的每个对应点都绕着中心点旋转，保持了原有的形状和大小。

通过对不同的图形进行旋转操作，我们可以观察到它们的位置关系具有对称性，即对于任何一点P，将其旋转后的位置P'与原来的位置之间的角度和方向是相同的。

三、翻折翻折是指将图形沿着一条线进行折叠，使得图形的一部分覆盖在另一部分上，产生位置和形状上的变化。

翻折操作可以用折叠线表示，折叠线决定了图形的翻折路径和方式。

五、等比数列型1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．【答案】(22018－1)2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.【答案】【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．请你利用这个几何图形求的值．【答案】4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：……（1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图1 1图2 1+3图3 1+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数f n(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为f n+1，求f n+1-f n【答案】（1）40；（2）f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1；（3）∵f n+1=3n+3n-1+…+32+3+1，f n=3n-1+3n-2+…+32+3+1∴f n+1−f n=3n．点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．六、正整数平方型1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．【答案】201622．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数为（）A．1016个B．11025个C．11236个D．22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C．七、正整数求和型1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A．171 B．190 C．210 D．380【答案】B2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，∴共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x=m（m﹣1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+…+的长.【答案】（1）O=n;S n=.（2）OA10=.（3）4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值．【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A．B．C．D．【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得，即．故选D．2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A．B．C．D．【答案】C3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（）A．（0，9）B．（9，0）C．（0，8）D．（8，0）【答案】C∵当n=8时，n2+n=82+8=72，∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，∴此时质点的横坐标为8-8=0，∴此时质点的坐标为（0，8），∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．【答案】（21010﹣2，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），故答案为：（21010﹣2，21009）．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．【答案】0、-1即当时，，，，，，，，，，，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、．故答案为：；0、．九、其它型1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．【答案】n（n+2）2．观察下列方程的特征及其解的特点．①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．【答案】x＋＝－9 x1＝－4，x2＝－5 x＋＝－(2n＋1) x1＝－n，x2＝－n－1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数13、12、23，有112323<<，所以12为13和23的一个中间分数，在表中还可以找到13和23的中间分数25，37，47，35．把这个表一直写下去，可以找到13和23更多的中间分数．（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的35和23的中间分数是；（2）写出分数ab和cd（a、b、c、d均为正整数，a cb d<，c d<）的一个．．中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若sm与tn（m、n、s、t均为正整数）都是917和815的中间分数，则mn的最小值为．【答案】（1）①27；②58（2）证明见解析（3）1504（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a c b d++． ∵a 、b 、c 、d 均为正整数，a cb d <，cd <， ∴()()()201c a b a c a b d a c a bc ad d b b b d b b b d b bd d-+-++--===>++++， ()()()201a c d a c c b d a c c ad bc b d d b d d d b d bd d b-+-++--===<++++． ∴a a c c b b d d+<<+． （3）根据排列可知917和815的中间分数有1732， 3566， 2649， 2547等，由此可得mn 的最小值为1504， 故答案为：1504.。

探索图形的变化规律教学目标：1、让学生发现、探究图形和数字的排列规律，通过比较，从而理解并掌握找规律的方法，培养学生的观察、操作和推理水平。

2、培养学生的推理水平，并能合理、清楚地阐述自己的观点。

3、培养学生发现和欣赏数学美的意识。

教学重、难点：引导学生理解图形和数字的对应关系，并结合图形的变化规律，发现相对应的数字变化规律，很好地实现从图形变化规律的理解过渡到数字变化规律的理解上来。

教具、学具以及课件准备：收集的学生自己设计的有规律的图案作品、正方形卡片教学方法：教法采用问题引导法；学法采用观察讨论，互动合作法以及积极活动法。

教学过程设计：一、创设情境，生成问题1、展示学生自己设计的作品你们看哪些图案作品是有规律的？是按什么规律排列的？（我们来看一看同学们设计的有规律的图片，找一找他们是按什么规律排列的）2、同学们在图上找到了那么多的规律，看来生活中很多事物都是有规律的。

我们今天就继续学习“找规律”（板书课题：图形和数列的变化规律）（设计意图：通过展示学生自己设计的有规律的图案作品，回顾前两节课学习的相关图形的变化规律，为更好的学习本节课图形和数列的变化规律做好铺垫。

）、探索交流，解决问题1、教学例2a、出示例2的小正方形，你能看出这些图形的排列规律吗？拿出学具试一试。

b、谁来告诉大家这些图形的规律是什么？c 、横线上应填几？再往后你会摆吗？应摆几个？为什么？（1）横线上应填16，再摆16个正方形（2）我们根据正方形的个数的特点：1+1=2，2+2=4，4+3=7，7+4=11 ，11+（）=（），肯定是11+5=16小结：通过例2我们不但找出了图形的变化规律，还找出了数字的变化规律。

每组图形的个数是怎么变化的，就有了相对应的数字变化规律。

（板书）2、你能够仿照例2的规律自己创造出一些拥有这些规律的图形吗？3、展示你创造出来的规律，并汇报你的规律是什么？（设计意图：通过学生的说一说，摆一摆等活动发现新的规律，并找出和原来的规律的不同点，然后放手让学生在此基础上探究，进一步了解这些规律的特点，最后再设计活动，创造性地利用规律，巩固新知。