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3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质学习目标：1.理解指数函数的概念．(重点)2.掌握指数函数的图象和性质．(重点)3.能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)4.掌握函数图象的平移变换和对称变换．[自主预习·探新知]1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是R.2．指数函数的图象和性质1．思考辨析(1)函数y＝3·2x是指数函数．()(2)指数函数的图象与x轴永不相交．()(3)函数y＝2－x在R上为增函数．()(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有a x＞1.()[解析] (1)y ＝3·2x 的系数为3，故y ＝3·2x 不是指数函数． (2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x 轴不相交．(3)y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．(4)a >1时，若x <0，则a x <1. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．下列函数中，是指数函数的为________．(填序号) (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a >1，且a ≠2)．[解析] 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b >0且b ≠1，所以是．[答案] (4)(6)3．若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(2,9)，则f (x )＝________.【导学号：48612156】[解析] 由于a 2＝9，∴a ＝±3.∵a ＞0，∴a ＝3， ∴f (x )＝3x . [答案] 3x[合 作 探 究·攻 重 难]函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值．[思路探究] 利用指数函数的定义求解． [解] ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a >0，a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a >0，a ≠1，∴a ＝6，即a 的值为6.1．已知y ＝(2a －1)x 是指数函数，则a 的取值范围是________． [解析] 要使y ＝(2a －1)x 是指数函数，则2a －1>0且2a －1≠1， ∴a >12且a ≠1. [答案]⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >12且a ≠1[思路探究] 观察底是否相同(或能化成底相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数．又∵－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58－23>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.2．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3； (2)0.60.4与0.40.6； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.【导学号：48612157】[解] (1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π<－3， ∴1.9－π<1.9－3.(2)∵y ＝0.6x 在R 上递减， ∴0.60.4>0.60.6.又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 图象的上方， ∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313>1,223>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<1， 又在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象在y ＝4x 的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<413＝223， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.(1)已知4≥2x ＋1>223，求x 的取值范围； (2)已知0.3x >⎝ ⎛⎭⎪⎫103y，求x ＋y 的符号．[思路探究] 化为同底，利用指数函数的单调性求解． [解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x ＋1>223. ∵y ＝2x 是单调递增的，∴2≥x ＋1>23， ∴－13<x ≤1，∴x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x ≤1. (2)(0.3)x >⎝ ⎛⎭⎪⎫103y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫310－y＝0.3－y .∵y ＝0.3x 是减函数，∴x <－y ，∴x ＋y <0.3．(1)若例3题(1)改为4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1>223，则x 的取值范围为________.【导学号：48612158】(2)解关于x 的不等式a 3x －2≤a x ＋2，(a ＞0且a ≠1)． [解析] (1)∵223<2－(x ＋1)≤22，又y ＝2x 是增函数， ∴23<－(x ＋1)≤2， 解得－3≤x <－53. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－53 (2)讨论：①当a >1时，3x －2≤x ＋2，∴x ≤2. ②当0<a <1时，3x －2≥x ＋2，∴x ≥2. 综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤2} 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥2}．[探究共研型][1．在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝2x ＋1，y ＝2x ＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y ＝2x ，y ＝2x －1，y ＝2x －1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．[提示]结论：y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到； y ＝2x ＋1＋2的图象是由y ＝2x ＋1的图象再向上平移2个单位得到； y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到； y ＝2x －1－2的图象是由y ＝2x －1的图象再向下平移2个单位得到． 2．在同一坐标系中，做出y ＝2x －1，y ＝3x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y ＝a x －1均过该点．在另一坐标系中，做出y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么，能得出y ＝a x ＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y ＝a x ＋m ＋n (m ，n >0)的图象经过的定点是什么？[提示]结论：y ＝2x －1，y ＝3x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1都过定点(0,0)，且y ＝a x －1也总过定点(0,0)．y ＝2x ＋1－1，y ＝3x ＋1－1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1－1都过定点(－1,0)，且y ＝a x ＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y ＝a x ＋m ＋n 的图象经过定点(－m,1＋n )．3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y ＝4a 2x －4＋3是否过定点．[提示] 还可以整体代换．将y ＝4a2x －4＋3变形为y －34＝a 2x －4.令⎩⎪⎨⎪⎧y －34＝1，2x －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝7，即y ＝4a 2x －4＋3过定点(2,7)．(1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)图3-1-1(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路探究] 题(1)中可将y ＝3－x 转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )， 因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上． 题(3)应该根据指数函数经过定点求解．[解] (1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．[答案] (1)② (2)一 (3)(－1，－1)4．函数y ＝f (x )＝a x ＋2－12(a >1)的图象必过定点________，其图象必不过第________象限．[解析] y ＝a x (a >1)在R 上单调递增，必过(0,1)点，故求f (x )所过的定点时可以令⎩⎨⎧x ＋2＝0，y ＋12＝1⇒⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝12，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.结合图象(略)可知，f (x )的图象必在第一、二、三象限，不在第四象限． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 四 [当 堂 达 标·固 双 基]1．下列所给函数中为指数函数的是________．(填序号)①y ＝4x ；②y ＝x 4；③y ＝－4x ；④y ＝(－4)x ；⑤y ＝4x 2；⑥y ＝x 2；⑦y ＝(2a －1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，a ≠1.[解析] 形如y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数． [答案] ①⑦2．已知指数函数f (x )的图象过点(4,81)，则f (6)的值为________.【导学号：48612159】[解析] 设f (x )＝a x ，则a 4＝81，∴a ＝3，∴f (6)＝36＝729. [答案] 7293．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． [解析] 由题意可知，0<2－a <1， 即1<a <2. [答案] (1,2)4．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．[解析] 指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．[答案] (5,2)5．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．11/11 [解] 当x ≥0时y ＝2|x |＝2x ；当x ＜0时y ＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x. ∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．。
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3.1 指数函数课后训练【感受理解】1．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ） ()A 0,1a a >≠ ()B 1a = ()C 12a =()D 1a =或12a = 2．函数211327x y -=-的定义域为（ ） ()A (2,)-+∞ ()B [1,)+∞ ()C (,1]-∞- ()D (,2)-∞- 3． 若221(2)(2)x x a a a a -++>++，则x 的范围为 ． 【思考应用】4． 已知函数()f x 满足：对任意的12x x <，都有12()()f x f x <，且有1212()()()f x x f x f x +=⋅，则满足上述条件的一个函数是 ．5．将三个数10.20.7321.5,1.3,()3-按从小到大的顺序排列是 ． 6．（1）函数15x y -=的定义域是 ；值域是 ；（2）函数15x y =-的定义域是 ；值域是 ． 7．已知2223422(),()(0,1)xx x x f x a g x a a a +-+-==>≠，确定x 的范围，使得()()f x g x >．【拓展提高】8．实数,a b 满足11111212a b ++=--，则a b += ．9．求函数4225x xy =-⋅+，[0,2]x ∈的最大值和最小值．10．若函数2121x x a a y ⋅--=-为奇函数，（1）确定a 的值；（2）讨论函数的单调性．§2.1.1指数函数（2）课后训练【感受理解】１．如图指数函数①x y a =②x y b =③x y c =④x y d =的图象，则 （ ） （A ）01a b c d <<<<<（B ）01b a d c <<<<<（C ）1a b c d <<<<（D ）01a b d c <<<<<2．在同一坐标系中，函数x y a =与函数1y ax =+的图象只能是 （ ）（A ） （B ） (C ) (D )3．要得到函数122x y -=的图象，只要将函数1()4xy =的图象 （ ） （A ）向左移1个单位 （B ）向右移1个单位（C ）向左移0.5个单位 （D ）向右移0.5个单位【思考应用】4．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-->≠图象不经过第二象限，则,a b 的满足的条件是______． 5． 将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；6．函数21x y a +=-(0,1)a a >≠的图象过定点 ．7．已知函数311()()212x f x x =+-， (1)求()f x 的定义域； (2)讨论()f x 的奇偶性； (3)证明：()0f x >．【拓展提高】 8．已知()|21|x f x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是( )()A 22a c > ()B 22a b > ()C 22a c -< ()D 222a c +<9．函数22363x x y -+=的单调递减区间是 ．10．已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠，根据它的图象判断121[()()]2f x f x +和12()2x x f +的大小（不必证明）．指数函数（3）课后训练【感受理解】1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 （ ）A . 511个B . 512个C . 1023个D . 1024个2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）()A 不赚不亏 ()B 赚了80元 ()C 亏了80元 ()D 赚了2000元3. 某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）()A 25% ()B 20% ()C 30% ()D 15%【思考应用】4．某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本 .5. 据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是 .6.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率是 .7. 某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,61,68。
3.1.2指数函数(二)
一、基础过关
1．函数 y＝ 16－4x的值域是 ________．
2．设 0< a<1，则关于 x 的不等式a2 x
23 x 2 >a2 x2 2x 3 的解集为 ________．
3．函数 y＝ a x在 [0,1] 上的最大值与最小值的和为3，则函数 y＝ 2ax－ 1 在 [0,1] 上的最大值是________．
4．已知函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)(其中 a>b) 的图象如图所示，则函数g( x)＝ a x＋ b 的图象是________． (填图象编号 )
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的
2 倍，若荷叶20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生
长了 ________天．
6．函数 y＝1－ 3x(x∈ [－ 1,2]) 的值域是 ________．
7．解不等式： (1)9x>3x－2； (2)3× 4x－ 2×6x>0.
8．函数 f(x)＝a x(a>0，且 a≠ 1)在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大a
，求 a 的值．2
二、能力提升
9．已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 f(x)＋ g(x)＝ a x－a－x＋ 2(a>0，且 a≠1) ．若g(2) ＝a，则 f(2) ＝________.
10．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率为________．
11．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当
x>0 时， f(x)＝ 1－ 2 －
x
，则不等式 集是 ________．
a
x
－ x )(a>0 且 a ≠ 1)，讨论 f(x)的单调性．
12．已知 f(x)＝ 2
(a － a
a － 1
三、探究与拓展
b － 2x
13．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ 2x ＋ a 是奇函数．
(1)求 a ， b 的值．
(2)用定义证明 f(x)在 (－∞，＋∞ )上为减函数．
(3)若对于任意 t ∈R ，不等式 f(t 2－ 2t)＋ f(2t 2－ k)<0 恒成立，求 k 的范围．
1
f(x)<－ 的解
答案1． [0,4)
2． (1，＋∞ )
3． 3
4．①
5． 19
2
6．[－8，3]
7．解(1)
∵ 9x>3x－2，∴ 32x>3x－2，
又∵ y＝3x在定义域上是增函数，
∴原不等式等价于2x>x－ 2，
解之得 x>－ 2.
∴原不等式的解集为{ x|x>－ 2} ．
(2)3 ×4x－ 2×6x>0 可以整理为3× 4x>2 × 6x，
∵4x>0,6x>0，
x
∴4
6x>
2
3即
2
3x>
2
31，
又∵ y＝ 2 x 在定义域上是减函数，
3
∴ x<1，故原不等式的解集为 { x|x<1} ．8．解①若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴ a2－ a＝a ，
2
即 a＝3
2或 a＝ 0(舍去 )．
②若 0<a<1，则 f(x)在 [1,2] 上递减，
∴a－ a2＝a
2，即 a＝
1
2或 a＝ 0(舍去 )．
1 3
综上所述，所求 a 的值为或 .
2 2 15
9. 4
10． 32%
11． (－∞，－ 1)
12．解∵ f(x)＝
a
(a x－
1
x)，a2－ 1 a
13． (1) 解∵ f(x)为 R 上的奇函数，
∴f(0) ＝ 0， b＝ 1.
又 f(－ 1)＝－ f(1) ，得 a＝ 1.
(2)证明任取x1，x2∈R，且x1<x2，
则 f(x1 )－ f(x2)＝1－2x1
－
1－2x2 2x1＋ 1 2x2＋ 1
＝1－ 2x1 2x2＋1 － 1－ 2x2 2x1＋ 1
2x1＋1 2x2＋ 1
2 2x2－ 2x1
＝
2x1＋ 1 2x2＋1
∵x1<x2，∴ 2x2－ 2x1>0，
又 (2x1＋ 1)(2x2＋ 1)>0 ，
f(x1)－ f(x2)>0
∴ f(x)为 R 上的减函数．
(3)解∵ t∈ R，不等式f(t2－ 2t)＋f(2t2－ k)<0 恒成立，∴f(t 2－ 2t)<－ f(2t2－ k)
∵ f(x)是奇函数，
∴f(t 2－ 2t)<f(k－ 2t2)，
由 f(x) 为减函数，∴ t 2－ 2t>k－ 2t2.
即 k<3t2－ 2t 恒成立，
而 3t2－ 2t＝ 3 t－1
32－
1
3≥－
1
3.
1 ∴ k<－3.。
