2021届湖北省孝感高级中学高三上学期12月联考数学试题

2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。

山东省、湖北省部分重点中学2021届第二次（12月）联考高三数学（文）试卷本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创，容易）已知命题q p ,，则“q p ∧为假命题”是“q p ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】“q p ∧为假命题”包括“p 假q 假”，“p 真q 假”，“p 假q 真”，“q p ∨为真命题”包括“p 真q 真”，“p 真q 假”，“p 假q 真” 【考点】命题交并的真假，充分必要条件 2.（原创，容易）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x x A ，{}51≤≤-∈=x N x B ，则集合B A 的子集个数为（ ）A. 5B. 4C.32D.16 【答案】D【解析】{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B ，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.（原创，容易）设i 为虚数单位，若复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，则23)1()(-+-=x x x f a 定义域为（ ） A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C. ()∞+，1 D. ()2,1 【答案】A 【解析】易知41-=a ，所以只需满足21≠>x x 且 【考点】复数，具体函数的定义域.4.（原创，容易）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，则角C =( )A ．43π B. 4π C. 4π或43π D.3π或32π【答案】B【解析】C c A a sin sin =，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π 【考点】正弦定理解三角形.5.（原创，容易）执行下列程序框图，若输入a ，b 分别为98，63，则输出的a =（ ）A ．12 B. 14 C. 7 D. 9 【答案】C【解析】“更相减损术”求最大公约数 【考点】程序框图6.（原创，适中)已知31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，则NM=（ ） A. 2 B.1 C.4 D.3 【答案】A【解析】)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(max 2=x f ，所以M =22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .NM =2 【考点】函数的最值7.（原创，适中）曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是（ ） A.012=--y x 或054=-+y x B. 012=--y x C. 02=-+y x 或054=-+y x D. 02=-+y x【答案】B 【解析】因为切点为()11，，斜率为1320-=x k =2，则该切点处的切线为012=--y x 【考点】曲线上某点处的切线方程8.（原创，适中）已知函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，则对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，则ba b f a f ++)()(的值（ ）A ．恒负 B. 恒正 C. 恒为0 D. 不确定 【答案】A【解析】x x x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上为奇函数且单调递减.所以)()(b f a f +与b a +同号 【考点】函数的性质.9. （改编，适中） 若函数()2df x ax bx c=++ （a ， b ， c ， d R ∈）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．0,0,0,0>>>>d c b a B. 0,0,0,0<>>>d c b a C. 0,0,0,0>><>d c b aD. 0,0,0,0<><>d c b a 【答案】D【解析】02=++c bx ax 的两根为1，5.所以b a ,异号，c a ,同号.又因为0)0(<f ，所以d c ,异号 【考点】函数图像10. （改编，较难）某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为 45的直角梯形，则该多面体的体积为（ ）A.1B.21C. 32 D. 2【答案】C【解析】，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V 【考点】三视图11. （改编，较难）若正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，则xy x y 22+的取值范围为（ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A【解析】因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，则约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥xkx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ek k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目标函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e 【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数ax x x f -=2)(，xe x x g -=ln )(.在其共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(xf 的上方，则求a 的取值范围（ ） A ． 110+<<e a B. 0>a C. 1+≤e a D. 0≤a 【答案】C【解析】由题意得x x x x e a x ln -+≤，令x x x x e x x ln )(-+=ϕ， 22ln 11)1()(x xx x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(x xx x e x +-+-=；令xx x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ单调递增.所以1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确. 【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. （原创，容易）命题()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否定是【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃【解析】()”“02ln ,,000xe x x >++∞∈∃【考点】全称命题和特称命题14. （原创，容易）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221，【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. （改编，容易）如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2， 点E ， F 分别为棱AB ， AD 的中点，则EF AC +=_____； BC EF -= ； 【答案】5；3【解析】()501422222=++=⋅++=+=+EF AC EFAC EFAC EF AC ,所以EF AC +=5设BD 的中点为G ，则GC BG BC EF BC =-=-,所以BC EF -=3=GC【考点】向量16. （改编，较难）对于集合{}12,,,n a a a 和常数0a ，定义：)(cos ....)(cos )(cos )(sin ....)(sin )(sin 0202201202022012a a a a a a a a a a a a t n n -++-+--++-+-= 为集合{}12,,,n a a a 相对于0a 的“类正切平方”.则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于0a 的“类正切平方”t =【答案】1【解析】)67(cos )65(cos )2(cos )67(sin )65(sin )2(sin 020*********a a a a a a t -+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos )6(cos sin )6(sin )6(sin cos 020*********a a a a a a -+++-+++ππππ=2002000220020002sin 21cos 23sin 21cos 23sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos ）（）（）（）（a a a a a a a a a a ++-+-+++=020*********sin 21cos 23sin sin 23cos 21cos a a a a a a ++++ =0202202sin 23cos 23sin 23cos 23a a a a ++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. （原创，容易）（本小题12分）在数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈） （1）求证：{}1+n a 是等比数列 （2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S解析：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=nn a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴n S =n b b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和.18. （原创，容易）（本小题12分）已知函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f （0>ω）的最小正周期为π. （1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图象.求函数)(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分（2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.（改编，适中）（本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1， 120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ， ''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值． 【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PAC RT ∆,PC PA PA ⋅='2,又 2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅,又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.（改编，适中）（本小题12分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有())()12('x f x e x f x ++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f(1)求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 的单调区间.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()xe x x xf 1)(2++=………………………………………7分 （2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分【考点】函数的性质21.（原创，较难）（本小题12分）已知函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. （1）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处取得极大值还是极小值.（2）若)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1x x x +-=02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分 （2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立 即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）： 令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32a x x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解”1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解 令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11xx x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈； 令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(xx x x x x x x m --=⋅+-⋅=， 所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <. 因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <； 所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分【考点】导函数22. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数），直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=t y t x 2（t 为参数）． （1）分别求曲线C 、直线l 的普通方程；（2）直线l 与C 交于B A ,两点，则求AB 的值.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分 （2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程.23. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1（1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分 （2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分 【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（文）参考答案及评分标准1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9. 【答案】D10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃ 14.【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221， 15.【答案】5；316.【答案】1 17. 解析：（1）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈） ∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴n S =n b b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n………………………………12分.18.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 (2) =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x 单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分19.【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PAC RT ∆,PC PA PA ⋅='2,又 2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分20.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x ++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()x e c x x x f ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分21. （1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1xx x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分 （2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立 即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32a x x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解 令3ln 1-)(xx x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈； 令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(xx x x x x x x m --=⋅+-⋅=， 所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <； 所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分22.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分 （2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分 （2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}21A x x =≤，{}20B x x =-<<，则A B =（ ）A.[)1,0-B.(]2,1-C.(]1,0- D.[]2,1-2.已知i 是虚数单位，则2ii-=（ ） A.12i + B.12i - C.12i --D.12i -+3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为（ ） A.60% B.50% C.40% D.30%4.92x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A.84-B.672-C.84 D .6725.国防部新闻发言人在9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强p （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hkp -=（e 是自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则我战机在1000m 高空处的大气压强约是（结果保留整数）（ ）A.645mmHgB.646mmHgC.647mmHgD.648mmHg6.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，已知AE =，AF =，则AC BD ⋅=（ ）A.6-B.4-C. D.7.在公差为1的等差数列{}n a 中，已知1a t =，1nn n a b a =+，若对任意的正整数n ，9n b b ≤恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A.19,92⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.()9,8--C.1910,2⎛⎫--⎪⎝⎭D.()10,9--8.已知()f x x x =，对任意的x ∈R ，()()2430f ax f x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是（ ） A.12B.13 C .16 D .18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年湖北省部分重点学校高三上学期联考数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|lg(2x)>1}，B={x|2<x<10}，则A∩B=()A. {x|2<x<10}B. {x|x>2}C. {x|5<x<10}D. {x|x>5}2.若复数z=|1−3i|1−2i，则iz的实部为()A. −2√105B. −√105C. √105D. 2√1053.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=|x|cosxB. f(x)=x+sinxC. f(x)=x2sinxD. f(x)=x2+cosx4.刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论．甲：该圆经过点(2,2)．乙：该圆的半径为√5．丙：该圆的圆心为(1,0)．丁：该圆经过点(3,0)．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.按照小李的阅读速度，他看完《红楼梦》需要40个小时.2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《红楼梦》的日期为()A. 2021年11月8日B. 2021年11月9日C. 2021年11月10日D. 2021年11月11日7.如图，矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +2DF ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗C. −2BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗D. −2BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.已知1.584<log 23<1.585，1.5843≈3.97，1.5853≈3.98.设a =log 2(log 34)，b =log 3(log 42)，c =log 4(log 23)，则( )A. b <a <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0(a ∈R)，则( )A. 曲线C 可能是直线B. 当a =1时，直线3x +y =0与曲线C 相切C. 曲线C 经过定点D. 当a =1时，直线x +2y =0与曲线C 相交10. 在正项等比数列{a n }中，a 4=4，则( )A. a 3+a 5≥8B. 1a 3+4a 5的最小值为1 C. (14)a 2⋅(12)a 6≥2−8√2D. √a 2+√a 6的最大值为411. 已知函数f(x)={x 2−4x +2,x ≥02x +1,x <0，则( )A. ∀x ∈R ，f(x)≥−2B. ∃x ∈R ，f(x)=f(−x)C. 直线y =910与f(x)的图象有3个交点 D. 函数g(x)=f(x)−sinx 只有2个零点12. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且(x 2+x)f′(x)<(3x +2)f(x)恒成立，则必有( )A. f(3)>20f(1)B. f(2)<6f(1)C. 3f(1)>16f(12) D. f(3)<3f(2)三、填空题（本大题共4小题，共18.0分）13. 已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：______.(用一般式方程表示)①倾斜角为30°；②不经过坐标原点．14.若函数f(x)=a√−x2+4x的定义域与值域相同，则a=______．15.如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体(由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等)，若该正八面体的表面积为32√3cm2，则该正八面体外接球的体积为______cm3；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为______cm．16.若函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的图象在[π12,π4]上与直线y=1只有两个公共点，则ω的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知锐角α满足tanα=4sinα．(1)求tanα；(2)若tan(α+β)=−329tanα，求tanβtanα．18.设[x]表示不大于x的最大整数，数列{a n}的通项公式为a n=[4n+13](n∈N∗)．(1)求a1，a2，a3，a4；(2)设b n=a3n+4⋅a3n+7，求数列{1b n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，PA=PD=1，BC=CD=1，AB=2，E为PB的中点．(1)证明：CE//平面PAD；(2)求二面角P −AB −D 的余弦值．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b =3c ，tanA =2tanC ． (1)求A ；(2)若D 为BC 的中点，AD =√19，求△ABC 内切圆的半径．21. 已知圆M 经过函数y =x 2−6x +5的图象与坐标轴的3个交点． (1)求圆M 的标准方程；(2)若点P 为圆N ：x 2+(y −2)2=1上一动点，点Q 为圆M 上一动点，点A 在直线y =−2上运动，求|AP|+|AQ|的最小值，并求此时点A 的横坐标．22. 已知函数f(x)=(2x −a)e x ． (1)求f(x)的单调区间．(2)若f(x)的极值点为−12，且f(m)=f(n)(m ≠n)，证明：−3e <f(m +n)<0．参考答案及解析1.答案：C解析：∵A={x|lg(2x)>1}={x|x>5}，B={x|2<x<10}，∴A∩B={x|5<x<10}，故选：C．先化简集合A，再求交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．解：∵z=|1−3i|1−2i =√12+(−3)21−2i=√10(1+2i)(1−2i)(1+2i)=√105(1+2i)，∴iz=√105(1+2i)⋅i=−2√105+√105i，∴iz的实部为−2√105．故选：A．3.答案：A解析：由图像知函数为偶函数，排除B，C，B，C为奇函数，D中，当0≤x≤π2时，f(x)>0，当x≥1时，f(x)>0，即当x>0时，f(x)没有零点，排除D，故选：A．根据图像得到函数为偶函数，利用奇偶性以及函数零点利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数奇偶性和零点个数，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．4.答案：D解析：若丙，乙两个同学的结论是正确的，则该圆的方程为(x−1)2+y2=5，此时当x=2，y=2时，(2−1)2+22=5成立，此时甲结论正确，当x=3，y=0时，(3−1)2+02=5不成立，此时丁的结论不正确，故错误的同学是丁，故选：D．根据圆的标准方程先假设丙，乙两个同学的结论是正确，求出圆的标准方程，然后进行判断甲丁是否正确即可．本题主要考查合情推理的应用，根据条件先假设丙，乙两个同学的结论正确，求出圆的标准方程再进行验证是解决本题的关键，是基础题．5.答案：D解析：解：如图正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，平面ABC 1D 1为α，平面BB 1D 1D 为β，平面ABB 1A 1为γ，则α∩γ=m =AB ，β∩γ=n =BB 1，显然AB ⊥BB 1，平面ABC 1D 1与平面BB 1D 1D 不垂直，即充分性不成立；又平面ABCD 为α，平面ABB 1A 1为β，平面A 1B 1CD 为γ， 则α∩γ=m =CD ，β∩γ=n =A 1B 1，显然平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，但A 1B 1与CD 不垂直，即必要性不成立； 所以“m ⊥n ”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．结合题意，利用正方体中的各个面之间的关系，判断是否为充分必要条件即可．本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了空间想象能力与推理判断能力，是基础题．6.答案：B解析：由题意可得，小李每天阅读此书的时间构成等差数列{a n }， 首项a 1=2060=13(小时)，公差d =1060=16(小时)， 设该数列的前n 项和为S n =na 1+n(n−1)2d =n 3+n(n−1)12=n 2+3n 12，∵S 20=1153<40，S 21=42>40，且随着n 的增大，S n 增大，∴共需21天，小李才能读完《红楼梦》， ∵2021年10月20日，他开始阅读《红楼梦》， ∴他恰好读完《红楼梦》的日期为2021年11月9日． 故选：B ．根据已知条件，结合等差数列的前n 项和公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前n 项和公式是解本题的关键，属于中档题．7.答案：B解析：∵矩形ABCD 与矩形DEFG 全等，且CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =GD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴DF⃗⃗⃗⃗⃗ −BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．利用平面向量线性运算法则求解即可． 本题考查平面向量线性运算法则，属于中档题．8.答案：B解析：∵b =log 3(log 42)=log 312<0， c −a =log 4(log 23)−log 2(log 34) =12log 2(log 23)−log 2(log 34) =log 2√log 23log 34=log 2(√log 23⋅log 43) =log 2(12⋅√(log 23)3)，∵1.5843<(log 23)3<1.5853<4， ∴log 2(12⋅√(log 23)3)<0，即c <a ，又∵a =log 2(log 34)>0，c =log 4(log 23)>0， ∴b <c <a ， 故选：B ．由题意可判断b =log 3(log 42)=log 312<0，a =log 2(log 34)>0，c =log 4(log 23)>0，再作差判断c 与a 的大小即可．本题考查了对数运算性质的应用及作差法的应用，属于基础题．9.答案：ACD解析：当a =0时，曲线为：−2x −2y =0，是直线方程，所以A 正确；当a =1时，曲线C 的方程为x 2+y 2−2x −2y =0，即(x −1)2+(y −1)2=2，表示圆，圆的圆心(1,1)，半径为√2，圆心到直线3x +y =0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B 不正确；圆心到直线x +2y =0的距离：√5=3√55<√2，直线x +2y =0与曲线C 相交，所以D 正确；曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0恒过(0,0)点，所以C 正确； 故选：ACD ．利用a 的值，判断选项是正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，曲线与方程的应用，是中档题．10.答案：AB解析：在正项等比数列{a n }中，a 4=4，对于A ，a 3+a 5≥2√a 3a 5=2√a 42=2a 4=8，当且仅当a 3=a 5时，取等号，故A 正确； 对于B ，1a 3+4a 5≥2√1a 3⋅4a 5=2√4a 42=1，当且仅当1a 3=4a 5时取等号，故B 正确；对于C ，∵y =(12)x 单调递减，∴(14)a 2⋅(12)a 6≤(12)2√2a 2⋅a 6≤(12)2√2a 4=2−8√2，当且仅当2a 2=a 6，即a 2=2√2，a 6=4√2时，等式成立，故C 错误； 对于D ，∵a 2>0，a 6>0，∴(√a 2+√a 6)2=a 2+a 6+2√a 2√a 6≥4√a 2√a 6， 当且仅当a 2=a 6时等号成立， ∴a 4q 2=a 4q 2，且q >0，解得q =1，∴√a 2+√a 6≥4，∴√a 2+√a 6的最小值为4，故D 错误． 故选：AB ．根据等比数列的性质，利用基本不等式判断AB 正确，CD 错误．本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质、基本不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：ABD。

五中八校2021届高三第一次联考数学试题〔理〕考试时间：12月21日下午15:00——17:00 试卷总分值：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的. 1.集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，那么=⋂BC A R ( ) A.[]32， B.(]21， C.[]83， D.(]83，2.假设命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，那么对命题p 的否认是〔 〕A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()012,,33-,-0200>+++∞∞∈∀x x x C. ()()012,,33-,-0200≤+++∞∞∈∃x x x D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x3.某实心机器零件的三视图如以下列图，该机器零件的体积为〔 〕A.π236+B.π436+C.π836+D.π1036+4.等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，那么36S S =〔 〕 A.2 B.87 C.89 D.45 5.如图MN 是半圆O 的直径，MN=2，等边三角形OAB 的顶点A 、B 在半圆弧上，且AB//MN ，点P 半圆弧上的动点，那么PB PA ⋅的取值范围是〔 〕A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32323，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡233-23，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+3233-23， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-3， 第一次八校联考数学〔理〕试题 第1页 〔共5页〕6.假设双曲线1222=+m y x 的一条渐近线的倾斜角⎪⎭⎫⎝⎛∈30πα，，那么m 的取值范围是〔 〕A.()0,3-B.()0,3- C.()3,0 D.）（0,33-7.在ABC ∆中，,3,23sin )(sin AC BC C B A ==+-那么=∠B 〔 〕 A.3π B.6π C.36ππ或 D.2π8.R c b a ∈,,，那么1632222=++c b a 是[]1,1-∈++c b a 的〔 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 9.假设实数y x ,满足：⎩⎨⎧-≤≥-2502xy x y ，那么y x 2+的最大值是〔 〕A.3B.52C.5 D 5510.函数⎩⎨⎧<≥=)0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，以下判断不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 A.假设)(,41x g t =有一个零点 B.假设)(,412-x g t <<有两个零点 C.假设)(,2-x g t =有三个零点 D.假设)(,2-x g t <有四个零点 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.〔一〕必做题〔11-14题〕i i i z ),43()21(-÷+=为虚数单位，那么z 的共轭复数是 .x x x f ln )(=，)41(),31(),2(f c f b f a ===，那么c b a ,,从小到大的排列是 .13.阅读如以下列图程序框图，运行相应程序，输出结果n = .14.如图把函数,6)(,)(321x x x f x x f -==,50401206)(,1206)(7534533x x x x x f x x x x f -+-=+-=36288050401206)(97535x x x x x x f +-+-=，依次称为x x f sin )(=在[]π，0上的第1项、2项、3项、4项、5项多项式逼近函数.以此类推，请将x x f sin )(=的n 项多项式逼近函数)(x f n 在横线上补充完整：∑-==121)(n k n x f ( ) ）（+∈N k n ,. 〔二〕选做题〔请考生在15、16两题中任选一题作答.如果全选，那么按第15题作答结果计分〕15.〔选修4-1：几何证明选讲〕如图过点A 作圆O 的一条切线AB ，切点为B ，OA 交圆O 于点C .假设1,==BC CA OC ,那么=AB .16.(选修4-4：坐标系与参数方程〕曲线C 的极坐标方程为：θθρsin cos -=，化成普通方程为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕函数1)sin()(-+=ϕwx A x f ,00>>w A ，（ϕ)2π<的最大值为2，其图像相邻两个对称中心之间的距离为2π，且经过点)121,12-π（. (1)求函数)(x f 的单调递增区间； (2)假设57)(=αf ，且∈α⎥⎦⎤⎢⎣⎡412ππ，，求)62(πα+f 的值. 18.〔本小题总分值12分〕数列}{n a 满足：，32-1=a 4332-1+-=+n n n a a a ）（+∈N n . （1）证明数列}11{+n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；第一次八校联考数学〔理〕试题 第3页 〔共5页〕（2）数列}{n b 满足：13+=n nn a b ）（+∈N n ，求}{n b 的前n 项和n S . 19.〔本小题总分值12分〕如图I ，平面四边形ABCD 中，，，，42150600====∠=∠BC AD AB ABC A 把ABD ∆沿直线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面BCD ，连接AC 得到如图II 所示四面体BCD A -.设点F E O ,,分别是,,AB BDAC BF CE ,交于点G ,连接OG .（1）证明：AC OG ⊥；（2）求二面角C AD B --的大小.20.〔本小题总分值12分〕在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验说明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y 〔单位：千克〕与销售价格x 〔单位：元/千克，51≤<x 〕满足：当31≤<x 时，1)3(2-+-=x b x a y ，为常数）（b a ,；当53≤<x 时，49070-+=x y .当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.（1）求b a ,的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）假设该特产的销售本钱为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大〔x 精确但0.01元/千克〕. 21.〔本小题总分值13分〕如以下列图，过点)1,(m M 作直线AB 交抛物线y x =2于B A ,两点，且MB AM =,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点C .连接,,BC AC 记三角形ABC 的面积为∆S ,记直线AB 与抛物线所围成的阴影区域的面积为弓S .（1）求m 的取值范围； （2）当∆S 最大时，求m 的值； （3）是否存在常数λ，使得λ=∆弓S S ？假设存在，求出λ的值； 假设不存在，请说明理由.22.〔本小题总分值14分〕函数1)1()(-+=tx x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.（1）求l 的方程：)(x g y =；（2）假设)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围； （3）假设()1,0,21∈a a ，求证：12212121aaaaa a a a +≥+.注：当α为实数时，有求导公式1-='αααx x ）（.湖北省八校2021届高三第一次联考数学〔理科〕参考答案命题：黄石二中 命题人：张晓华 审题人：黄金龙 王付繁一 选择题： 1．D 2．A3．A 4．C 5．B 6．A 7．B 8． A 9．C 10．D二 填空题11． 1255i -- 12. b c a <<13. 314． sin()2!k k x k π[供参考：(1)cos()2!k k x k π-，11(())2!k k ki i x k --+-〔i 为虚数单位〕]16. 220x x y y -++=三 解答题： 17．解：〔１〕由：3,2,,()3sin(2)133A f x x ππωϕ====+- ……….3’令222232k x k πππππ-≤+≤+ 得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 单调递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈； ……….6’〔2〕由7()5f α=，得4sin(2)35πα+=，[,]124ππα∈ 所以3cos(2)35πα+=-2()3sin()13cos()12636f απππαα+=+-=+-=1=1． ………12’18． 解： 〔1〕因为134111323111134n n n n n n a a a a a a ++===+--+++++所以111311n n a a +-=++所以{11n a +}是首项为3，公差为3的等差数列。

湖北省优质重点高中高三联考数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

可答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，直线与圆。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}221,2A x x x B x x x =>-=<，则AB =（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1(,0),12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．若复数z 满足方程2460z z -+=，则z =（ ）A ．2±B ．2±C ．2-±D ．2-±3．在公比为负数的等比数列{}n a 中，12731,256a a a a +=-=，则3452a a a ++=（ ） A ．48 B ．48- C ．80 D ．80-4．已知函数22,2,()2,2,x x x f x x a x ⎧+<=⎨+≥⎩则“2a ≤-”是“()f x 有2个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为sin()y A x ωϕ=+时，通过降噪系统产生声波曲线sin()y A x ωϕ=-+将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的一部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．已知某圆台的体积为(9π+，其上底面和下底面的面积分别为3,6ππ，且该圆台两个底面的圆周都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．25π B ．26π C ．27π D ．28π7．若直线0x y m ++=是曲线352y x nx =+-与曲线23ln y x x =-的公切线，则m n -=（ ）A ．30-B ．25-C ．26D ．288．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PAB △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是棱,PD PC 上的动点，则AE EF BF ++的最小值是（ ）A 2+B 3C 2+D 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()f x =p ：对任意(0,),()m f x ∈+∞的定义域与值域都相同．下列判断正确的是（ ）A ．p 是真命题B ．p 的否定是“对任意(0,),()m f x ∈+∞的定义域与值域都不相同”C ．p 是假命题D ．p 的否定是“存在(0,)m ∈+∞，使得()f x 的定义域与值域不相同” 10．某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费．抽奖结果共分5个等级，等级工与购物卡的面值y （元）的关系式为ax by ek +=+，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（ ） A ．ln5a =- B ．15k =C ．1等奖的面值为3130元D ．3等奖的面值为130元11．已知点(2,0),(,0)A u B u +-，若圆22:(4)(4)9C x y -+-=上存在唯一的点P ，使得PA PB ⊥，则u 的值可能为（ ）A ．9-B ．5-C ．1D ．712．已知1019ln02121+>，设 2.1 1.9 2.11.9,4, 2.1,2a b c d ====，则（ ）A ．a b >B ．c b >C ．c a >D ．d c >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且|2||3|6a b ==，则|2|a b +=___________． 14．sin12345︒的值为___________． 15．若1a b >>，且35a b +=，则141a b b +--的最小值为___________，2ab b a b --+的最大值为___________．（本题第一空2分，第二空3分）16．颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过DIY 手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O ，半径为10cm ，该纸片上的正六边形ABCDEF 的中心为111111,,,,,,O A B C D E F 为圆O 上的点，如图（2）所示．111111,,,,,A AB B BC C CD D DE E EF F FA△△△△△△分别是以,,,,,AB BC CD DE EF FA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以,,,,,AB BC CD DE EF FA为折痕折起111111,,,,,A AB B BC C CD D DE E EF F FA △△△△△△，使111111,,,,,A B C D E F 重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为___________3cm ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）a ，b ，c 分别为ABC △的内角A ，B ，C 的对边．已知5cos()cos()cos a A b C c B ππ-=--． （1）求cos A ；（2）若221,4b c a b c -==+，求ABC △的面积．18．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 在1CC 上，且122CE EC ==．（1）若平面1A BE 与11D C 相交于点F ，求1D F ； （2）求二面角1A BE A --的余弦值． 19．（12分）将函数2sin 3cos3y x x x =+的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()f x 的图象．（1）若()f x 为奇函数，求ϕ的值； （2）若()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，求ϕ的取值范围． 20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,n n na a S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列． （1）求{}n a 的通项公式以及100S ； （2）证明：12111322n a a na +++<．21．（12分）已知圆W 经过(3,3),(2,A B C -三点． （1）求圆W 的方程．（2）若经过点(1,0)P -的直线1l 与圆W 相切，求直线1l 的方程．（3）已知直线2l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线2l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 22．（12分）已知函数2e ()2ln xf x kx k x x=-+．（1）若1k =，求()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥，求k 的取值范围．湖北省优质重点高中高三联考数学考试参考答案1．D 因为{}11,02x x B x x x ⎧⎫<=<>⎨⎬⎩⎭或，所以1(,0),12A B ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭．2．B 由2460z z -+=，得2(2)2z -=-，则2z -=，故2z =±． 3．A 设公比为q ，由73256a a =，得4256q =，因为0q <，所以4q =-．故()()2334534451212248a a a a a a a q a a q a a ++=+++=+++=．4．C 当2x <时，()f x 只有1个零点，且该零点为负数；当2x ≥时，若()f x 有零点，2≥，即2a ≤-，此时()f x 只有1个零点，且该零点为正数．故“2a ≤-”是“()f x 有2个零点”的充要条件．5．C 由图可知，2A =，噪音的声波曲线的最小正周期2T ππω==，则2ω=．因为噪音的声波曲线过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，所以22,32k k ππϕπ+=+∈Z ，则2,6k k πϕπ=-+∈Z ．又||2πϕ<，所以6πϕ=-，即噪音的声波曲线为2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则可以用来智能降噪的声波曲线为2sin 22cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．D 设该圆台的高为h ，则1(9(36)3h πππ+=+，解得3h =．设球心O 到下底面的距离为t ，则226(3)3t t +=-+，解得1t =，则球O 的半径R ==，故球O 的表面积为2428R ππ=．7．C 设直线0x y m ++=与曲线352y x nx =+-切于点(,)a a m --，与曲线23ln y x x =-切于点(,)b b m --．对于函数233ln ,2y x x y x x =-=-'，则321b b-=-，解得1b =或32-（舍去）．所以13ln11m -=--，即2m =-．对于函数3252,3y x nx y x n '=+-=+，则()23231,31522a n a a a a +=--+-=-+，整理得327,3a a =-=-，所以23128n a =--=-，故26m n -=． 8．D 如图，将平面,,PAD PCD PBC展开到一个平面内，由题意可知2,PA AD PB BC CD PC PD =======345,cos 4APD BPC CPD ∠=∠=︒∠==，从而sin CPD ∠=，故()cos cos 90sin APB CPD CPD ∠=∠+=-∠=︒．在PAB △中，由余弦定理可得22222cos 44881)4AB PA PB PA PB APB =+-⋅⋅∠=++⨯=+=，则1AB =+．9．AD 当(0,)m ∈+∞时，()04m f x x ⎫=≤≤⎪⎭，则()f x 的定义域与值域均为0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以p 是真命题，且p 的否定是“存在(0,)m ∈+∞，使得()f x 的定义域与值域不相同”．10．ACD 由题意可知，4等奖比5等奖的面值多20元，所以()()()()34455a b a b a a ba bek e k e e k ek ++-+++-+==+-+，则ln5a =-，由()()()3431100a ba b a b a ek e k e e ++++-+=-=，可知3125a b e +=．由()453a b a b e k e k +++=+，解得5k =，则3等奖的面值为130元，321252553130a ba ba e ek k e+++=+=⨯+=，故1等奖的面值为3130元．11．ACD 因为AB 的中点为定点(1,0),||2|1|N AB u =+，且PA PB ⊥，所以P 在以N 为圆心，|1|u +为半径的圆N 上，依题意可得圆N 与圆C 只有一个公共点，则两圆外切或内切，则|||1|3NC u ==++或|||1|3NC u ==+-，解得9,3,1,7u =--．12．BCD令24()(2)ln(2),()ln(2)ln(2)122x f x x x f x x x x x -=-+=-++=-+-+'++， 则()f x '在12,10⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以11019()ln0102121f x f ⎛⎫>=+> ⎪⎝⎭''， 则()f x 在12,10⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，所以(0.1)(0)(0.1)f f f >>-， 即1.9ln2.12ln2 2.1ln1.9>>，即 1.92 2.1ln2.1ln2ln1.9>>，即c b a >>．令()(2)ln(2)(2)ln2g x x x x =-+-+，24()ln(2)ln 2ln(2)1ln 222x g x x x x x -=-++-=-++--'++， 所以()g x '在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)12ln20g x g <=-'<'， 得()g x 在[0,)+∞上单调递减， 则 1.92.1(0.1)ln 2.1ln 2(0)0g g =-<=，即d c >．13．42 由题意可知222||3,||2,2,|2|(2)4436a b a b a b a b a a b b ==⋅=-+=+=+⋅+=-=．14．4 ()()sin12345sin 34360105sin 60454︒=⨯︒+︒=︒+︒=． 15．25；116由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()4(1)34541a b b a b -+-=+-=-=，14()4(1)4[()4(1)]4(1)4()17111a b b a b b b a b a b b a b b a b b -+--+---+=+=++------1725≥+=，当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，故141a b b +--的最小值为25．又1()4(1)a b b =-+-≥=，当且仅当14(1)2a b b -=-=时，等号成立，所以21()(1)16ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．16．3连接1OE ，交EF 于点H ，由题意得1OE EF ⊥，设2cm EF x =，则1cm,(10)cm OH E H ==，因为0210,10,x <<⎧⎪⎨->⎪⎩所以x ⎛∈ ⎝⎭，六棱锥的高h ===．正六边形ABCDEF的面积2226(2)cm S x =⨯=，则六棱锥的体积31133V Sh ==⨯=．令函数45()100,f x x x ⎛=-∈ ⎝⎭，则343()400100(4)f x x x '=-=，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当x ∈⎝⎭时，()0f x '<所以()f x在0,3⎛ ⎝⎭上单调递增，在33⎛ ⎝⎭上单调递减，所以23maxV ==⎝⎭． 17．解：（1）因为5cos()cos()cos a A b C c B ππ-=--，所以5cos cos cos a A b C c B -=--，即5cos cos cos a A b C c B =+， 所以5sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+， 即5sin cos sin()sin A A B C A =+=， 又sin 0A >，所以1cos 5A =． （2）因为22222cos 4a b c bc A b c =+-=+，所以245b c =-， 又1b c -=，解得6,5b c ==，所以ABC △的面积11sin 3022S bc A ==⨯=18．解：（1）如图，连接1,A F EF ，因为1A B ∥平面11CDD C ，平面1A BE平面11CDD C EF =，所以1A B EF ∥．连接1CD ，因为11A B CD ∥，所以1EF CD ∥，所以11112C F C ED F CE ==， 又112C D =，所以1112433D F C D ==． （2）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则11(2,0,0),(2,0,3),(2,2,0),(0,2,2),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,3)A A B E AB BE A B ==-=-．设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，则11120,220,y x z =⎧⎨-+=⎩令11x =，得(1,0,1)m =．设平面1A BE 的法向量为()222,,n x y z =，则2222220,230,x z y z -+=⎧⎨-=⎩令23y =，得(2,3,2)n =．cos ,17||||2m n m n m n ⋅〈〉===⨯．由图可知二面角1A BE A --为锐角，故二面角1A BE A --的余弦值为17． 19．解：（1）因为2sin 3cos3sin 62sin 63y x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 663f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 因为()f x 为奇函数，所以6()3k k πϕπ+=∈Z ，即()618k k ππϕ=-∈Z ，又02πϕ<<，所以ϕ的值为54,,9189πππ． （2）因为19,18x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26666,66333x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭． 因为02πϕ<<，所以1022116,,6,333333ππππππϕϕ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在19,18ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以23662332ππππϕϕ≤+<+≤或325662332ππππϕϕ≤+<+≤或527662332ππππϕϕ≤+<+≤， 所以ϕ的取值范围是57111317,,,363636363636ππππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 20．（1）解：由题意可知12(1)21n nnan n S =+-=-，整理可得21n n nS a n =⨯-，① 则11121n n n S a n +++=⨯+，② 由②-①可得1112121n n n n na a a n n +++=⨯-⨯+-， 整理可得1121,212121n n n n n n a n a a n n a n +++⨯=-⨯=-+--， 因为11a =，所以2311123521(1)(21)1321n n n n a a a n a n a a a n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯=-⨯-⨯⨯-=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为01(1)(201)a -⨯+=，所以1(1)(21)n n a n -=--，()()()10012349910050(2)100S a a a a a a =++++++=⨯-=-．（2）证明：当1n =时，11312a =<成立． 当2n ≥时，1211111121123(21)n a a na n n +++=+++⨯⨯⨯-11111111113521222132(1)23222n n n n ⎛⎫⎪⎡⎤=++++<++++⎪⎢⎥-⨯⨯⨯-⎣⎦⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111111122231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭．综上，12111322n a a na +++<得证． 21．解：（1）设圆W 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则33180,2120,2120,D E F D F D F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩解得6,0,0,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆W 的方程为2260x y x +-=．（2）由（1）可知，圆W 的圆心坐标为(3,0)，半径为3．若直线1l 的斜率不存在，则直线1l 的方程为1x =-，圆心W 到直线1l 的距离为3(1)43--=>，不符合题意．若直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为(1)y k x =+，则圆心W 到直线1l的距离为3=，解得k =，故直线1l的方程为1)y x =+． （3）若直线2l 的斜率不存在，则设直线2l 的方程为()()00000,,,,x x M x y N x y =-， 则000033233MM AN y y k k x x ---⋅=⋅=--，整理得()2200239x y -+=． 又()220039x y -+=，解得03x =，所以直线2l 的方程为3x =，此时2l 经过点A ，不符合题意．若直线2l 的斜率存在，则设直线2l 的方程为()()1122,,,,y tx b M x y N x y =+， 联立方程组22,60,y tx b x y x =+⎧⎨+-=⎩整理得()2221(26)0t x tb x b ++-+=， 则2212122262424360,,11tb b b tb x x x x t t -∆=--+>+==++． ()()()()()()22121212121212121233(3)6933333339AM AN tx b tx b t x x tb t x x b b y y k k x x x x x x x x +-+-+-++-+--⋅=⋅==-----++22229618692969t b tb t b t b tb ++--+==++-，则2296186270t b tb t b ++++-=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0t b t b t b t b +++-=+++-=，得39b t =--或33b t =-+（舍去）．故直线2l 的方程为39y tx t =--，经过定点(3,9)-．综上所述，直线2l 经过定点，且该定点的坐标为(3,9)-．22．解：（1）当0k =时，2(),0x e f x x x =>，则3(2)()xx e f x x -'=． 当(0,2)x ∈时，()0,()f x f x <'单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0,()f x f x >'单调递增， 则22()(2)12e f x f ≥=>，即210(0)xe x x ->>． 当1k =时，22(2)1()2ln ,()x x e x x ef x x x f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+'=． 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为(2,)+∞，单调递减区间为(0,2)．（2）2ln 2()2ln (2ln )xx x e f x kx k x e k x x x-=-+=--． 令()2ln h x x x =-，则2()x h x x-='，当(0,2)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增，故()(2)22ln2h x h ≥=-．令2ln t x x =-，则()0f x ≥等价于0t e kt -≥．因为22ln2(0,1)-∈，所以0te kt -≥等价于te k t≤． 令(),22ln 2t e t t t ϕ=≥-，则2(1)()tt e t tϕ-'=，当[22ln 2,1)t ∈-时，()0,()t t ϕϕ<'单调递减，当(1,)t ∈+∞时，()0,()t t ϕϕ>'单调递增，则()(1)t e ϕϕ=． 故k 的取值范围为(,]e -∞．。

侧视图正视图1121R 绝密★启用前2021年高三上学期联考（12月）数学（理）试题 Word 版含答案由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合，集合，则（ C ）A ．B ．（1，2]C ．D ． 2．已知复数满足，则（ D ）A ．B ．C ．D ． 3．设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为（ B ）A ．B ．C ．D ．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C )A. B. C. D.5．已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( C )A ．B ．C ．D ．6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D )A． B． C． D．8．若，命题直线与圆相交；命题，则是的 ( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ C ）A． B． C． D．10．已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ B ）A． B． C． D．11．如上右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ C ）A．2 B． C． D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 ( D )A．1－ln 2 B. (1－ln 2) C． D.(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 21 ．AMBGNC14．函数() 的单调递增区间是 .15．对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法： 解：由 的解集为，得的解集为， 即关于的不等式 的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________． 16．已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程） （一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，，等七组,其频率分布直方图如下图所示。

2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档 （3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答： 解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即 （2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分） 点评： 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。

2021-2022学年湖北省十一校（孝感高中、黄冈高中、龙泉中学等）高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.连接正四面体每条棱的中点，形成如图所示的多面体，则该多面体的体积是原正四面体体积的()A. 13B. 38C. 23D. 122.若关于x的方程x(|x|+a)=1有三个不同的实数解，则实数a的可能取值()A. −5B. −2C. 2D. 33.函数f(x)=cos2x+2sinx，x∈[0,π]的最大值为()A. 12B. 1 C. 32D. 24.设m∈R，向量a⃗=(m,1)，b⃗ =(4,m)，c⃗=(1,−2)，则a⃗//b⃗ 是a⃗⊥c⃗的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.已知方程x22+m −y21−m=1表示双曲线，则m的取值范围是()A. m<1B. m>−2C. m<−2或m>1D. −2<m<16.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0，S9=27，则数列{a n}的公差是()A. 1B. 2C. 3D. 47.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与y轴交于点M(0,−1)，图象上离y轴最近的最高点为N(π4,2)，若对∀x1，x2∈(−a,a)，x1≠x2，恒有f(x1)≠f(x2)，则实数a的最大值为()A. π4B. π6C. π8D. π128.若集合A={x|x2−3x≤0}，集合B={x|1≤x<5}，则A∪B=()A. {x|x<5}B. {x|1≤x≤3}C. {x|0≤x<5}D. {x|3≤x<5}二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如图，已知矩形ABCD，AB=√3，AD=1，AF⊥平面ABCD，且AF=3，点E为线段DC(除端点外)上的一点．沿直线AE将△DAE向上翻折成△D′AE，M为BD′的中点，则下列说法正确的有()A. 三棱锥A−BCF的体积为3√32B. 当点E固定在线段DC某位置时，则D′在某圆上运动C. 当点E在线段DC上运动时，则D′在某球面上运动D. 当点E在线段DC上运动时，三棱锥M−BCF的体积的最小值为√31210.2021年3月30日，我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo.据了解，新Logo将原本方正的橙色边框换成了圆角边框，这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线C：|x|n+|y|n=1，则下列说法正确的有()A. 对任意的n∈R，曲线C总关于原点成中心对称B. 当n>0时，曲线C总过四个整点(横、纵坐标都为整数的点)C. 当n=−1时，曲线C上点到原点距离的最小值为2√2D. 当0<n<1时，曲线C围成图形的面积可以为211.下列说法正确的的有()A. 已知一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本点的中心为(m,2.8)，则实数m的值是4C. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，若P(X>−1)+P(X≥5)=1，则μ=2)，若E(3X+1)=6，则n=6D. 已知随机变量X服从二项分布B(n,1312.三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有()A. a =6，b =5，c =4B. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a C. a−b c+b =sinCsinA+sinBD. b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bccosBcosC三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=e x −x ，则f(x)的单调递增区间为______；若对任意的x ∈(0,+∞)，不等式e x −1≥lnx+2a x恒成立，则实数a 的取值范围为______．14. 线段AB 是圆O ：x 2+y 2=4的一条动弦，且|AB|=2√3，直线l ：mx −y +3−4m =0恒过定点P ，则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______． 15. 在一次社团活动中，甲乙两人进行象棋比赛，规定每局比赛获胜的一方得3分，负的一方得1分(假设没有平局).已知甲胜乙的概率为0.6，若甲乙两人比赛两局，且两局比赛结果互不影响．设两局比赛结束后甲的得分为ξ，则E(ξ)=______． 16. 若复数z 满足1+3i z=1−i ，则|z|=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)．步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为2， 按上述方法折纸．(1)以点F 、E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；(2)直线l 过椭圆C 的右焦点F 2，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ(O 为坐标原点)交椭圆于P ，若QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程．,S n=1−2a n+1,n∈N∗．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{(2n−1)a n}的前n项和为T n.若〈m〉表示不大于m的正整数的个数，求<T1>+<T2>+⋯+<T10>.19.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a−2ccosB=c．(1)求证：B=2C．(2)若c=1，求b的取值范围．ax2−2x(a>0)．20.已知函数f(x)=2lnx,g(x)=12(1)若直线y=2ex+m(e为自然对数的底数)与函数y=f(x)，y=g(x)的图象均相切，求实数a的值；(2)设函数ℎ(x)=f(x)+g(x)−(a+2)x+3．(ⅰ)证明：函数ℎ(x)有两个极值点x1，x2；(ⅱ)对(ⅰ)中的两个极值点x1，x2，若ℎ(x1)+ℎ(x2)≤−a−3恒成立，求实数a的取值范围．EB=1，CB⊥21.如图在四棱锥A−BCDE中，CD//EB，CD=12BE，AE=AB=BC=√2，AD=√3.O是AE的中点．(Ⅰ)求证：DO//平面ABC；(Ⅱ)求DA与平面ABC所成角的正弦值．22.自2021年9月以来，某中学实行封闭式管理，学生均在学校食堂就餐．为了解学生对食堂服务的满意度，食堂作了一次随机调查，已知被调查的男女生人数相同均为m(m∈N∗).调查显示男生满意的人数占男生人数的3，女生满意的人数占女生人数5的4，且经以下2×2列联表计算可得K2的观测值k≈4.762．5(1)求m的值，完成上述表格，并判断有多大的把握认为学生对食堂服务的评价与性别有关？(2)为进一步征集学生对食堂的意见，食堂又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求事件“至少抽到一名女生”的概率．附表：．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可知，该多面体可以看作正四面体截去四个棱长为原棱长12的小正四面体所得的正八面体，所以V 多面体=V 正四面体−4V 小正四面体=V 正四面体−4×(12)3V 正四面体=12V 正四面体， 则该多面体的体积是原正四面体体积的12． 故选：D ．该多面体可以看作正四面体截去四个棱长为原棱长12的小正四面体所得的正八面体，利用体积之差求解即可．本题考查了空间几何体体积的求解，主要考查了多面体结构特征的理解与应用，正四面体的理解与应用，考查了空间想象能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：因为x =0不是方程的解，原方程可化为|x|+a =1x ， 则条件转化为函数y =|x|+a 和y =1x 的图像共有三个公共点， 作出函数图像如下：当a ≥0时，仅有1个公共点，不符合；当a <0时，结合图像，由方程−x +a =1x (x <0)有一解，可得a =−2，所以a <−2符合要求． 故选：A ．圆方程可化为|x|+a =1x ，作出函数y =|x|+a 和y =1x 的图像，数形结合即可求解． 本题考查函数零点与方程根的关系，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：f(x)=cos2x +2sinx =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32， ∵x ∈[0,π]， ∴sinx ∈[0,1]，∴当sinx =12即x =π6或5π6时，f(x)取得最大值32， 故选：C ．利用二倍角的余弦及三角函数的有界性，借助配方法可求解函数f(x)的最大值． 本题考查三角函数的最值的求法，考查二倍角的三角函数及配方法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：由a ⃗ //b ⃗ 可得m 2−4=0，所以m =±2； 由a⃗ ⊥c ⃗ 可得m −2=0，所以m =2， 则a ⃗ //b ⃗ 是a ⃗ ⊥c ⃗ 的必要不充分条件． 故选：B ．根据平面向量共线和垂直的坐标表示求出m 的值，再判断充分性和必要性．本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线标准方程的形式，属于基础题．根据题意，由双曲线标准方程的形式可得(2+m)(1−m)>0，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若方程x22+m −y21−m=1表示双曲线，则有(2+m)(1−m)>0，变形可得(m+2)(m−1)<0，解可得：−2<m<1，故选：D．6.【答案】B【解析】解：由S9=27=9a5，得a5=3，则a2a5+a8=(a5−3d)a5+(a5+3d)=0，即3(3−3d)+3+3d=0，解得d=2．故选：B．根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题易得A=2,φ=−π6，结合图象可知，π4ω−π6=π2+2kπ，则ω=83+8k(k∈Z)，又T4<π4<T2，所以2<ω<4，则ω=83，则f(x)=2sin(83x−π6)．∀x1，x2∈(−a,a)，x1≠x2，恒有f(x1)≠f(x2)，则f(x)在(−a,a)单调．令f(x)=−2，得到y轴左侧最近的最低点为(−π8,−2)，右侧最近的最高点为(π4,2)，则a的最大值为π8．故选：C．直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−3x≤0}={x|0≤x≤3}，集合B={x|1≤x<5}，∴A∪B={x|0≤x<5}．故选：C．求出集合A，利用并集定义能求出A∪B．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A，由等体积法可得，V A−BCF=V F−ABC=13×12×√3×3=√32，所以三棱锥A−BCF的体积为√32，故选项A错误；对于B，当固定点E时，可知点D′在球面被平面截得的圆弧上，即在某圆上运动，故选项B正确；对于C，当点E在线段DC上运动时，AD′=1保持不变，所以点D′的轨迹为以点A为球心，半径为1的球面的一部分，故选项C正确；对于D，因为S△BCF=12×BC×BF=12×1×√9+3=√3，所以求三棱锥M−BCF的体积的最小值即求点M到平面BCF的距离d1的最小值，即求点D′到平面距离d的最小值，且d1=12d，过点A作BF的垂线，垂足为H，因为AF ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ， 故AF ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且AB ∩AF =A ，AF ，AB ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥平面ABF ， 又AH ⊂平面ABF ， 则BC ⊥AH ，又BC ∩BF =F ，BC ，BF ⊂平面BCF ， 故AH ⊥平面BCF ，因为点D′在以点A 为球心，半径为1的球面上运动， 则点D′到平面BCF 距离的最小值为d =AH −1=32−1=12， 所以d 1=12d =14，故三棱锥M −BCF 的体积的最小值为V min =13S △BCF ⋅d 1=√312，故选项D 正确． 故选：BCD ．利用等体积法求出体积，即可判断选项A ，利用D′A ⊥D′E ，即可判断选项B ，根据AD′=1保持不变，即可判断选项C ，求出点M 到平面BCF 的距离的最小值，过点A 作出BF 的垂线，求出最小值，即可判断选项D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间动点的轨迹问题，空间距离的最值问题以及空间中线线、线面、面面位置关系的理解与应用，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．10.【答案】ABC【解析】解：对于A ，在曲线C ：|x|n +|y|n =1中，以−x 替换x ，以−y 替换y ，方程不变，则曲线C 关于原点成中心对称， 故A 正确；对于B ，当n >0时，令x =0，得y =±1，令y =0，得x =±1， ∴曲线C 总过四个整点(−1,0)，(1,0)，(0,−1)，(0,1)，故B 正确；对于C ，当n =−1时，曲线C 的方程为：|x|−1+|y|−1=1，不妨令x ，y 均大于0， 曲线化为1x +1y =1，即y =xx−1，则d 2=x 2+y 2=x 2+(xx−1)2，令x−1=t(t>−1)，则d2=(t+1)2+t2+2t+1t2=t2+1t2+2t+2t+2≥2√t2⋅1t2+2√2t⋅2t+2=8，当且仅当t2=1t2，且2t=2t，即t=1时等号成立，结合对称性可知，曲线C上点到原点距离的最小值为2√2，故C正确；对于D，当0<n<1时，|x|n+|y|n<|x|+|y=1，又|x|+|y|=1与坐标轴围成的面积为2×22=2，且|x|n+|y|n=1在|x|+|y|=1内部，则曲线C围成图形的面积小于2，故D错误．故选：ABC．以−x替换x，以−y替换y，方程不变判断A；求出曲线C经过的四个整点判定B；利用基本不等式求出曲线C上的点到原点距离的最小值判断C；由0<n<1时，|x|n+|y|n< |x|+|y=1，再求出|x|+|y|=1与坐标轴围成的面积判定D．本题考查曲线与方程，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．11.【答案】AC【解析】解：对于A，因为一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，由方差的运算性质可知，所以x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3，故选项A正确；对于B，线性回归方程为ŷ=0.3x−m，因为样本点的中心为(m,2.8)在回归方程上，所以2.8=0.3m−m，解得m=14，故选项B错误；对于C，因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则其密度曲线关于X=μ对称，所以1−P(X>−1)=P(X≤−1)，又P(X>−1)+P(X≥5)=1，所以P(X≥5)=P(X≤−1)，则μ=−1+52=2，故选项C正确；对于D，因为随机变量X服从二项分布B(n,13)，所以E(X)=13n，则E(3X +1)=3E(X)+1=n +1， 因为E(3X +1)=6， 则n +1=6， 所以n =5， 故选：AC ．利用方差的性质即可判断选项A ，利用线性回归方程必过样本中心，即可判断选项B ，利用正态分布曲线的对称性以及μ的意义，即可判断选项C ，利用二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质，即可判断选项D ．本题考查了方差运算性质的应用，线性回归方程必过样本中心的应用，正态分布曲线的对称性以及μ的意义的运用，二项分布的数学期望计算公式以及期望的运算性质的应用，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：对于A ，∵a >b >c ，∴A >B >C ，且b 2+c 2=41>36=a 2，故A 为锐角，故A 错误， 对于B ，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−ac ⋅cosB =2a ， ∴cosB <0，则B 为钝角，故B 正确， 对于C ，∵a−b c+b=sinCsinA+sinB ，∴由正弦定理可得，a−bc+b =ca+b ，即b 2+c 2−a 2=−bc ，解得cosA =−12，A =2π3，故C正确，对于D ，∵b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bccosBcosC ，∴由正弦定理可得，sin 2B ⋅sin 2C +sin 2C ⋅sin 2B =2sinB ⋅sinC ⋅cosB ⋅cosC ， 则sinB ⋅sinC =cosB ⋅cosC ，即cos(B +C)=0， 故B +C =π2，则A =π2，故D 错误． 故选：BC ．根据已知条件，结合正余弦定理，依次求解．本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．13.【答案】(0,+∞) (−∞,12]【解析】解：因为函数f(x)=e x −x ， 所以f′(x)=e x −1，令f′(x)>0，可得f(x)的单调递增区间为(0,+∞)； e x −1≥lnx+2a x可化为2a ≤e x ⋅x −x −lnx ，令g(x)=e x x −x −lnx =e x ⋅e lnx −x −lnx =e x+lnx −(x +lnx)， 设t =x +lnx ， 则ℎ(t)=e t −t ，t ∈R ，由f(x)=e x −x 在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)单调递减可知， ℎ(t)≥ℎ(0)=e 0−0=1， 所以2a ≤1， 故a ≤12，故答案为：(0,+∞)；(−∞,12]求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数g(x)=e x x −x −lnx 的最小值，令t =x +lnx 换元后可根据单调性求最值． 本题考查了导数在研究函数性质中的应用，属于中档题．14.【答案】8【解析】解：直线l ：mx −y +3−4m =0整理可得m(x −4)−y +3=0恒过定点P(4,3)， 过圆心O 作OE ⊥AB ，则E 为AB 的中点， 则|OE|=√r 2−(|AB|2)2=(2√32)=1，可得点E 的轨迹方程为x 2+y 2=1， 所以|PE⃗⃗⃗⃗⃗ |min =|OP|−|OE|=|OP|−1， 则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =2|PE ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =2|OP|−2=2√42+32−2×1=8， 故答案为：8．将直线l 的方程整理可得恒过定点(4,3)，过圆心O 作OE ⊥AB ，则E 为AB 的中点，可得|OE|的值，进而可得E 的轨迹方程，求出|PE|的最小值，再由E 为AB 的中点，可得|PE|=|OP|−|OE|，可得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PE⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得其最小值． 本题考查圆的性质的应用及点到圆上的点的距离的最值的求法，和向量的运算的性质的应用，属于基础题．15.【答案】4.4【解析】解：由题意可得，ξ的可能取值为2，4，6， 则P(ξ=2)=0.4×0.4=0.16，P(ξ)=4=C 21×0.6×0.4=0.48，P(ξ=6)=0.6×0.6=0.36，所以E(ξ)=2×0.16+4×0.48+6×0.36=4.4． 故答案为：4.4．先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了离散型随机变量的概率和离散型随机变量期望的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．16.【答案】√5【解析】解：∵1+3i z=1−i ， ∴z =1+3i 1−i=(1+3i)(1+i)(1+i)(1−i)=−1+2i ，∴|z|=√(−1)2+22=√5． 故答案为：√5．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．17.【答案】解：(1)如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知|MF|+|ME|=|AE|=4，|FE|=2<4，所以M 点轨迹是以F ，E 为左右焦点，长轴长2a =4的椭圆，(2分) 因为2c =2，2a =4，所以c =1，a =2，则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1； (5分)(2)法一：因为QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 当AB 斜率为0时，Q ，O 两点重合，不合题意； (6分) 故设直线AB 的方程为x =ty +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)， 联立{x =ty +1x 24+y 23=1，得(3t 2+4)y 2+6ty −9=0，所以y 1+y 2=−6t 3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4，(7分) 所以y 3=y 1+y 22=−3t 3t 2+4，x 3=ty 3+1=43t 2+4，(8分) 所以P(4x 3,4y 3)，即P(163t 2+4,−12t3t 2+4)，(9分) 将P 代入x 24+y 23=1得3t 4−8t 2−16=0，即(t 2−4)(3t 2+4)=0，解得：t =±2，(11分)所以直线AB 的方程为x =±2y +1，即x ±2y −1=0. (12分) 法二：因为QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 当AB 斜率不存在时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，不合题意； (6分) 当AB 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −1)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 124+y 123=1x 224+y 223=1，两式作差得：y 1−y 2x1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=−34，即k AB ⋅k OP =−34，(7分)故直线OP 的方程为：y =−34k x ，联立{y =−34k x x 24+y 23=1，解得x P 2=16k 23+4k 2， 联立{y =−34k x y =k(x −1)，解得x Q =4k 23+4k 2，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x P =4x Q ，(9分) 即√3+4k2=4×4k 23+4k2，则k 2=14，解得：k =±12，(11分) 所以直线AB 的方程为y =±12(x −1).即x ±2y −1=0. (12分)【解析】(1)以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设M(x,y)为椭圆上一点，说明所以M 点轨迹是以F ，E 为左右焦点，求解a ，b ，得到椭圆方程． (2)法一：当AB 斜率为0时，Q ，O 两点重合，不合题意；设直线AB 的方程为x =ty +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，Q(x 3,y 3)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求出P 的坐标，代入椭圆方程，求解即可．法二：当AB 斜率不存在时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，不合题意；当AB 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −1)，设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用平方差法，通过斜率关系，联立直线与椭圆方程，求解Q 的坐标然后转化求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．18.【答案】解：(1)由S n =1−2s n+1，得S n−1=1−2a n (n ≥2)，两式相减并整理得a n+1a n=12(n ≥2),又a 2=14=12a 1，故a n+1a n=12(n ∈N ∗)，所以数列{a n }是等比数列，其公比为12，即a n =12(n ∈N ∗)； (2)由(1)可得(2n −1)a n =2n−12n，则T n =12+32+52+⋯+2n−12，所以12T n =122+323+524+⋯+2n−12n+1，两式相减得12T n =12+2(122+123+124+⋯+12n )−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以T n =3−2n+32n，显然T n <3，且T n+1−T n =2n+12>0，所以{T n }是递增数列，又T 1=12<1,1<T 2=54<2,1<T 3=158<2,T 4=3716>2，所以〈T 1〉=0，〈T 2〉=〈T 3〉=1，n ≥4时，〈T n 〉=2， 所以〈T 1〉+〈T 2〉+⋯+〈T 10〉=16．【解析】(1)由S n =1−2s n+1可得S n−1=1−2a n (n ≥2)，两式相减并整理得a n+1a n=12(n ≥2),又a 2=14=12a 1，从而数列{a n }是等比数列，其公比为12，进一步即可得到{a n }的通项公式；(2)由(1)可得(2n −1)a n =2n−12n，从而利用错位相减求和法即可求得T n =3−2n+32n，进一步结合{T n }的单调性即可求出〈T 1〉+〈T 2〉+⋯+〈T 10〉的值．本题考查数列的递推公式、错位相减求和法及数列与函数在综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)因为a −2ccosB =c ，由正弦定理得sinA −2sinCcosB =sinC ，因为sinA −2sinCcosB =sin(B +C)−2sinCcosB =sin(B −C)=sinC ， 所以sin(B −C)=sinC ，则B −C =C 或B −C +C =π，即B =2C 或B =π(舍去)， 故B =2C ．(2)因为△ABC 是锐角三角形， 所以{0<C <π2,0<2C <π2,0<π−3C <π2,得π6<C <π4，所以√22<cosC <√32， 由正弦定理可得：bc =sinBsinC ， 则b =sinBsinC ⋅c =sin2C sinC =2cosC ，所以b ∈(√2,√3)．【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，以及三角形内角和的性质，即可求解． (2)因为△ABC 是锐角三角形，所以{0<C <π2,0<2C <π2,0<π−3C <π2,得π6<C <π4，则√22<cosC <√32，再结合正弦定理，即可求解．本题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．20.【答案】(1)解：f′(x)=2x ，令f′(x)=2e ，得x =1e ，所以直线y =2ex +m 与函数y =f(x)的图象相切于点(1e ,−2)， 代入y =2ex +m ，解得m =−4，所以切线方程为y =2ex −4，将切线方程y =2ex −4代入y =g(x)中，可得12ax 2−(2e +2)x +4=0， 令判别式Δ=(2e +2)2−4×12a ×4=0，解得a =(e+1)22；(2)(i)证明：ℎ(x)=2lnx +12ax 2−(a +4)x +3，则ℎ′(x)=2x +ax−(a+4)=ax2−(a+4)x+2x，考虑到ax2−(a+4)x+2=0的判别式Δ=(a+4)2−8a=a2+16>0，以及a>0，所以ℎ′(x)=0有两个不等实根x1，x2(设x1<x2)，且x1+x2=a+4a >0，x1x2=2a>0，所以当x∈(0,x1)，ℎ′(x)>0，函数单调递增；当x∈(x1,x2)，ℎ′(x)<0，函数单调递减；当x∈(x2,+∞)，ℎ′(x)>0，函数单调递增，故函数ℎ(x)有两个极值点x1，x2．(ii)解：ℎ(x1)+ℎ(x2)=2(lnx1+lnx2)+12a(x12+x22)−(a+4)(x1+x2)+6=2ln2a +a2[(a+4a)2−4a]−(a+4)2a+6=2ln2a−a2−8a≤−a−3，即2ln2a +a2−8a+3≤0恒成立，记φ(a)=2ln2a +a2−8a+3，则φ′(a)=−2a +12+8a2=(a−2)2+122a2>0，所以φ(a)在(0,+∞)上递增，又φ(2)=0，所以实数a的取值范围为(0,2]．【解析】(1)利用导数的几何意义求出切点的坐标，从而求出切线方程，代入y=g(x)，令判别式为0，求解即可；(2)(i)利用极值的定义分析证明即可；(ii)利用韦达定理表示ℎ(x1)+ℎ(x2)，得到2ln2a +a2−8a+3≤0恒成立，构造函数φ(a)=2ln2a +a2−8a+3，利用导数研究函数的性质，即可得到答案．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究曲线的切线问题，利用导数研究函数的问题，不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)取AB中点F，连结CF、OF，∵OF//EB，CD//EB，∴CD//OF.又∵CD=OF，∴四边形OFCD为平行四边形，∴DO//CF，而CF⊂平面ABC，∴DO//平面ABC．(Ⅱ)取EB 中点G ，连结AG 、DG ，∵AE =AB =√2，BE =2， ∴△ABE 为等腰直角三角形，∴AG =1，又∵AD =√3，DG =BC =√2，∴AG 2+DG 2=DA 2，∴DG ⊥AG ， 又DG ⊥BE ，AG ∩BE =G ，所以DG ⊥平面ABE ，以G 为原点，以GB ，GA ，GD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．G(0,0,0)，A(0,1,0)，D(0,0,√2)，E(−1,0,0)．AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√2)， 而AE ⊥平面ABC ，故平面ABC 的一个法向量n ⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)sinθ=|cos〈AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗|AD |⋅|AE ||=√6=√66． 所以DA 与平面ABC 所成角的正弦值为√66．【解析】(I)取AB 中点F ，连结CF 、OF ，证明DO//CF ，再由线面平行的判定定理得DO//平面ABC ．(II)证明DG ⊥平面ABE ，以G 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC 的方向向量和DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向向量，再求DA 与平面ABC 所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理，利用空间直角坐标系求线面角，属于基础题．22.【答案】解：(1)设m =5n(n ∈N ∗)，据题意列出列联表如下所示：则K 2=10n×(4n×2n−3n×n)25n×5n×7n×3n=10n 21，则10n 21≈4.762，n ∈N ∗，得n =10，则m =50， 故被调查的男生的人数为50， 故2×2列联表如下：第21页，共21页因为3.841<4.672<6.635，所以有95%的把握认为对食堂服务的评价与性别有关．(2)由分层抽样得抽出的9人中，男生有20×930=6(人)，女生有10×930=3 (人)，再任取3人共C 93种取法，则至少有一名女生的概率为P =1−C 63C 93=1621．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式，以及分层抽样的定义，属于基础题．。

2021年高三上学期12月联考试题 数学（文） 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是 （ ）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（ ）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（ ）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（ ）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！ 他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。