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窗函数及频谱分析实验目的：1. 掌握各类窗函数的时域和频率特性；2. 掌握合理运用窗函数分析信号频谱的方法；3. 掌握利用DFT 分析连续信号频谱的方法；4. 掌握谱分析中参数的选取方法。
实验原理：一、窗函数分析在确定信号谱分析中，截短无穷长的序列会造成频率泄漏，合理选取窗函数的类型，可以改善泄露现象。
1. 常用窗函数矩形窗w=boxcar(N)汉明窗w=hamming(N)汉宁窗w=hanning(N)布莱克曼窗w=blackman(N)凯泽窗w=Kaiser(N,beta)例:N=50;w=boxcar(N);W=fft(w,256);subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w);subplot(2,1,2); plot([-128:127],abs(fftshift(W)))MATLAB中提供了fft函数，FFT是DFT的快速算法。
X=fft(x,n) ：补零或截短的n 点傅立叶变换；fftshift(x)将fft计算输出的零频移到输出的中心。
例：N=50;w=hamming(N);W=fft(w,256);subplot(2,1,1);stem([0:N-1],w);subplot(2,1,2); plot([-128:127],abs(fftshift(W)))例：已知一连续信号为x(t) cos(2 f1t) cos(2 f2t)其中f i=100Hz, f2=120Hz,若以抽样频率fsam=600Hz对该信号进行抽样，试用DFT近似分析其频谱：利用不同宽度N的矩形窗截短该序列，N分别取15, 40, 80观察不同长度的窗对谱分析结果的影响；利用汉明窗重做( 1)。
用矩形窗分析：N=input('请输入N的值：’)；L=512;f1=100;f2=120;fs=600;ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*(1/fs);x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);subplot(211);stem(t,x);W=fft(x,L);f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi);% f=((-L/2:L/2-1)*(1/L)*fs);subplot(212);plot(f,abs(fftshift(W))) 用汉明窗重做上述谱分析：N=input('请输入N的值：’)；L=512;f1=100；f2=120；fs=600；ws=2*pi*fs；t=(0:N-1)*(1/fs)；x=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t)；wh=hamming(N)'；x=x.*wh；subplot(211)；stem(t,x)；W=fft(x,L)；f=((-L/2:L/2-1)*(2*pi/L)*fs)/(2*pi)；subplot(212)；plot(f,abs(fftshift(W)))例：已知连续信号为x(t) cos(2 f1t) 0.15cos(2 f2t),其中f i=100Hz, f2=150Hz,若以抽样频率fsam=600Hz对该信号进行抽样，利用不同宽度N的矩形窗截短该序列，N 分别取15，40，80 观察不同长度的窗对谱分析结果的影响；用汉明窗重做上述谱分析。
实验报告课程名称： 数字信号处理 指导老师： 成绩：__________________实验名称：DFT 的应用之一 − 确定性信号谱分析一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。
本实验采用DFT 技术对周期性信号进行谱分析。
通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(e j ω)带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T 、抽样点数N ）。
二、实验内容和步骤2-1 选用最简单的周期信号：单频正弦信号、频率f=50赫兹，进行谱分析。
2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。
对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3 对以上几个正弦序列，依次进行以下过程。
2-3-1观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U ，V ）。
2-3-2 分析抽样间隔T 、截断长度N （抽样个数）对谱分析结果的影响； 2-3-3 思考X(k)与X(e j ω)的关系；2-3-4 讨论用X(k)近似表示X(e j ω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
专业：________________ 姓名： 陈斌斌学号： 3120104034 日期：________________ 地点：________________实验名称：_______________________________姓名：______________学号：__________________ P.三、主要仪器设备MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理程序清单：t =linspace(0,0.04,16);xn = sin(100*pi*t);N=length(xn);WNnk=dftmtx(N);Xk=xn*WNnk;subplot(2,2,1),stem(1:N,xn),title('时域离散序列x(n)');subplot(2,2,2),stem(1:N,abs(Xk)),title('幅度谱');subplot(2,2,3),stem(1:N,real(Xk)),title('频谱实部');subplot(2,2,4),stem(1:N,imag(Xk)),title('频谱虚部');六、实验结果与分析本实验以第五组参数为基准：采样频率：400 Hz6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。
第二章 确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。
②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。
所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。
实验报告课程名称：数字信号处理指导老师：刘英成绩：__________________ 实验名称：DFT/FFT的应用之一——确定性信号谱分析一、实验目的和要求谱分析即求信号的频谱。
本实验采用DFT/FFT技术对周期性信号进行谱分析。
通过实验，了解用X(k)近似地表示频谱X(e j )带来的栅栏效应、混叠现象和频谱泄漏，了解如何正确地选择参数（抽样间隔T、抽样点数N）。
二、实验内容和步骤2-1 考虑下列序列()cos(0.48)cos(0.52)x n n n求出它基于有限个样本的频谱。
a）当0≤n≤10 时，分别确定并画出x(n)的基于N=10点DFT和N=100点的DFT b）当0≤n≤100 时，确定并画出x(n) 的基于N=100点的DFT比较（a）、（b）基于N=100的DFT的异同，说明补零（高密度频谱）和采集更多数据（高分辨率频谱）之间的区别。
2-2 谱分析参数可以从下表中任选一组（也可自定）。
对各组参数时的序列，计算：一个正弦周期是否对应整数个抽样间隔？观察区间是否对应整数个正弦周期？2-3-1观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。
2-3-2分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；2-3-3思考X(k)与X(ejω)的关系；2-3-4讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
三、主要仪器设备MATLAB编程。
四、操作方法和实验步骤（参见“二、实验内容和步骤”）五、实验数据记录和处理2-1%0<=n<=9,N=10n=0:1:9;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);X=fft(x,10);figure(1);subplot(2,1,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x');title('signal x(n),0<=n<=9');axis([0 10 -2.5 2.5]);subplot(2,1,2);stem(n/5,abs(X));axis([0 1 0 10]);xlabel('n');ylabel('|X|');title('Magnitude of X');%0<=n<=9,N=100,²¹Áãn=0:1:9;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);x=[x,zeros(1,90)];X=fft(x,100);N=0:1:99;figure(2);subplot(2,1,1);stem(N,x);xlabel('n');ylabel('x');title('signal x(n),0<=n<=9');axis([0 100 -2.5 2.5]);subplot(2,1,2);stem(N/50,abs(X));axis([0 1 0 10]);xlabel('n');ylabel('|X|');title('Magnitude of X');%0<=n<=99,N=100n=0:1:99;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);X=fft(x,100);figure(3);subplot(2,1,1);stem(N,x);xlabel('n');ylabel('x');title('signal x(n),0<=n<=9');axis([0 100 -2.5 2.5]);subplot(2,1,2);stem(N/50,abs(X));axis([0 1 0 60]);xlabel('n');ylabel('|X|');title('Magnitude of X'); 2-2%program 2-2-1clear;clf;clc;%清除缓存length=32;T=0.000625;t=0:0.001:31;%设置区间以及步长n=0:length-1;xt=sin(2*pi*50*t);xn=sin(2*pi*50*T*n);figure(1);subplot(2,1,1);plot(t,xt);xlabel('t');ylabel('x(t)');axis([0 0.1 -1 1]);title('原序列');subplot(2,1,2);stem(n,xn);xlabel('n');ylabel('xn)');title('抽样后序列');axis([0 length -1 1]);figure(2); %画出序列的实部、虚部、模、相角subplot(2,2,1);stem(n,real(xn));xlabel('n');ylabel('real(xn)');title('序列的实部');axis([0 length -1 1]);subplot(2,2,2);stem(n,imag(xn));xlabel('n');ylabel('imag(xn)');title('序列的虚部');axis([0 length -1 1]);subplot(2,2,3);stem(n,abs(xn));xlabel('n');ylabel('abs(xn)');title('序列的模');axis([0 length -1 1]);subplot(2,2,4);stem(n,angle(xn));xlabel('n');ylabel('angle(xn)');title('序列的相角');axis([0 length -1 pi]);F=fft(xn,length); %计算DFTfigure(3); %画出DFT的幅度，实部和虚部subplot(3,1,1);stem(n,abs(F));xlabel('k');ylabel('abs(F)');title('DFT幅度谱');axis([0 length 0 20]);subplot(3,1,2);stem(n,real(F));xlabel('k');ylabel('real(F)');title('DFT实部');axis([0 length -2*10^-15 2*10^-15]);subplot(3,1,3);stem(n,imag(F));xlabel('k');ylabel('imag(F)');title('DFT虚部');axis([0 length -20 20]);六、实验结果与分析2-1为了得到一个较密的频谱，显然，我们的采样频率应更小一些，也就是说，应增加N的长度。
有两种方法，一种是取样时就采集更多的样本；另一种是在序列后面添加一定长度的零，叫做填零运算填零是给原始序列填零的运算。
这导致较长的DFT，它会给原始序列的离散时间傅氏变换提供间隔更密的样本。
填零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，还是原始连续谱的N点取样，只是补零观察到了更多的频点，但这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。
采集更多的数据，可以获得更多的信息，可以真正提高频谱分辨率。
2-2第二组参数第三组参数第四组参数第五组参数2-3-1观察并记录一个正弦序列的图形（时域）、频谱（幅度谱、频谱实部、频谱虚部）形状、幅度谱的第一个峰的坐标（U，V）。
如图所示可知结果。
2-3-2分析抽样间隔T、截断长度N（抽样个数）对谱分析结果的影响；抽样间隔决定是否发生混叠，抽样的时间长短决定是否发生频谱泄漏，抽样间隔决定栅栏效应。
2-3-3思考X(k)与X(ejω)的关系；X(k)是对X(ejω)的抽样。
2-3-4讨论用X(k)近似表示X(ejω)时的栅栏效应、混叠现象、频谱泄漏。
用X(k)近似表示X(ejω)时，一定会产生栅栏效应，但取样间隔决定了栅栏效应强弱。
取样时间决定了混叠，抽样多少决定了频谱泄漏。
6-1 实验前预习有关概念，并根据上列参数来推测相应频谱的形状、谱峰所在频率（U）和谱峰的数值（V）、混叠现象和频谱泄漏的有无。
候，即满足奈奎斯特定律的时候不会出现频率的混叠现象。
由于采样后，信号的频谱在频域上周期上延拓，而且截断后，相当于频谱在频域上与sinc函数进行卷积，因此采样后的信号总是存在高频分量，因此总是存在频域混叠的现象，也会存在频域泄露的现象。
6-2 观察实验结果（数据及图形）的特征，做必要的记录。
1、抽样间隔不同会影响谱峰所在位置以及峰值2、泄露现象可能出现了泄漏6-3 用基本理论、基本概念来解释各种现象。
（1）混叠序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解。
在一般情况下，为了保证不出现频谱混叠，在采样前，先进行抗混叠滤波。
（2）泄漏用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。
为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。
