2025高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系

9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、填空题

1．已知集合 A＝ {( x，y)| x，y 为实数，且 x2＋ y2＝ 1} ，B＝{( x，y)| x ，y 为实数，

且 x＋y＝1} ，则 A∩B 的元素个数为 ________．

解析 集合 A 表示圆，集合 B 表示一条直线，又圆心 (0,0) 到直线 x＋y＝1 的距

离 d＝ 1 2 A∩B 的元素个数有 2 个． ＝ ＜1＝r ，所以直线与圆相交，故

2 2

答案 2

．圆 C1 ：x2＋y2＋ x ＝ ，圆 C2：x2＋y2＋ y＝ ，则两圆的位置关系是

________． 2 2 0 4 0

解析 圆 C1：

( x＋

1) 2＋ y2 ＝ ，圆 C2 ：x2＋

( y＋

2) 2＝ 2，

1 2

所以 C1C2＝ 5，且 2－1＜ 5＜2＋1，所以两圆相交．

答案 相交

3．若直线 x－ y＋ a＝

0 与圆

( x－

1) 2＋y2＝

1 有公共点，则实数 a 的取值范围是

2

________．

解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 | a＋2|

5 ≤1，

解得－ 2－ 5≤ a≤－ ＋

5.

2

答案 [ －2－ 5，－ 2＋ 5]

4．与圆 x2＋ y2＝

25 外切于点 P ，且半径为

2020年高考文科数学一轮总复习 第 1 页 共 13 页 2020年高考文科数学一轮总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，

圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法

位置关系 几何法 代数法

相交 d0

相切 d＝r Δ＝0

相离 d>r Δ<0

2.圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．

方法

位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况

外离 d>r1＋r2 无解

外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交

|r1－r2|

内切 d＝|r1－r2|

(r1≠r2) 一组实数解

内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解

常用知识拓展

1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2020年高考文科数学一轮总复习 第 2 页 共 13 页 3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )

(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( )

(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )

第1页，共15页 高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系练习题

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）

1. 从点𝑃(𝑚,3)向圆C：(𝑥+2)2+(𝑦+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )

A. 2√6 B. √26 C. 4+√2 D. 5

2. 过点𝑃(−3,4)向圆𝑥2+𝑦2=1引圆的两条切线PA，PB，则弦AB的长为( )

A. 2√65 B. 4√65 C. 2√55 D. 4√55

3. 已知斜率为−1的直线l被圆𝐶:𝑥2+𝑦2+2𝑥−4𝑦+3=0截得的弦长为√6，则直线l的方程为( )

A. 2𝑥+2𝑦+1=0或2𝑥+2𝑦−3=0

B. 𝑥+𝑦=0或𝑥+𝑦−2=0

C. 2𝑥+2𝑦−√2=0或2𝑥+2𝑦+3√2=0

D. 𝑥+𝑦−√2=0或𝑥+𝑦+2√2=0

4. 若圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+6𝑦+14=0关于直线l：𝑎𝑥+4𝑦−6=0对称，则直线l的斜率是( )

A. 6 B. 23 C. −32 D. −23

5. 已知点P是直线𝑙:2𝑥+𝑦−6=0上的动点，过点P作圆𝐶:(𝑥+2)2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点．若∠𝑀𝑃𝑁的最大值为60∘，则r的值为( )

A. 2 B. 1 C. 2√5 D. √5

6. 已知点𝑂(0,0),𝐴(0,2)，点M是圆(𝑥−3)2+(𝑦+1)2=4上的动点，则△𝑂𝐴𝑀面积的最小值为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）

7. 以下四个命题表述正确的是( )

A. 直线(3+𝑚)𝑥+4𝑦−3+3𝑚=0(𝑚∈𝑅)恒过定点(−3,−3)

B. 圆𝑥2+𝑦2=4上有且仅有3个点到直线𝑙:𝑥−𝑦+√2=0的距离都等于1

1 高中数学-直线与圆、圆与圆的位置关系练习

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．

解析 法一 由 y＝x＋1，x2＋y2＝1，消去y，整理得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝1＞0，所以直线与圆相交．

又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．

法二 圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1距离d＝12＝22.

又0＜22＜1所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．

答案 相交

2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．

解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.∵3－2

答案 相交

3．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________．

解析 显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么|4－2k|k2＋1＝2，解得k＝34，即3x－4y＋10＝0.

答案 x＝2或3x－4y＋10＝0

4．(·安徽卷改编)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________． 2 解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋5＝0的距离d＝|1＋4－5＋5|5＝1，

∴直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为252－12＝4.

答案 4

5．(·威海期末考试)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为________．

解析 因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝12，b＝－4.