第 1 页 共 2 页 2022年新高考数学总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程．
两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦；两圆相切时，两圆连心线必过切点．
2．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．
3．过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半12l满足关系式r2＝d2＋12l2．
5．过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这点与圆心连线的弦．
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( × )
(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2．( √ )
(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝__10__．
[解析] 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝(5)2，
又圆心(1,2)到直线l的距离为102，
∴|AB|＝25－1022＝10．
题组三 走向高考
3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r．若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__－2__，r＝__5__．
专题36 直线与圆、圆与圆的位置关系
【考点预测】
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则22||AaBbCdAB：
dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；
dr直线与圆相切；
dr直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由2220()()AxByCxaybr，
消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，则：
0直线与圆相交；
0直线与圆相切；
0直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆12,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：
dRr两圆相交；
dRr两圆外切；
RrdRr两圆相离
dRr两圆内切；
0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为Rr，，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 dRr dRr RrdRr dRr dRr
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0 【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆222xyr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为200xxyyr．
（2）过圆222()()xaybr上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为
200()()()()xaxaybybr
（3）过圆220xyDxEyF上一点00(,)Pxy的圆的切线方程为
2013高考一轮复习 智 慧 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹
1 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是
( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相切或相交
2． 圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，3）处的切线方程为（ ）
A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0
C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0
3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有 ( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等
于________．
5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．
考 什 么
1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3.初步了解用代数方法处理几何问题.
怎 么 考
1.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．
2.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合较强的解答题中. 2013高考一轮复习 智 慧 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹
2
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、填空题
1．已知集合 A＝ {( x，y)| x，y 为实数，且 x2＋ y2＝ 1} ，B＝{( x，y)| x ，y 为实数，
且 x＋y＝1} ，则 A∩B 的元素个数为 ________．
解析 集合 A 表示圆，集合 B 表示一条直线，又圆心 (0,0) 到直线 x＋y＝1 的距
离 d＝ 1 2 A∩B 的元素个数有 2 个． ＝ ＜1＝r ，所以直线与圆相交，故
2 2
答案 2
．圆 C1 ：x2＋y2＋ x ＝ ，圆 C2：x2＋y2＋ y＝ ，则两圆的位置关系是
________． 2 2 0 4 0
解析 圆 C1：
( x＋
1) 2＋ y2 ＝ ，圆 C2 ：x2＋
( y＋
2) 2＝ 2，
1 2
所以 C1C2＝ 5，且 2－1＜ 5＜2＋1，所以两圆相交．
答案 相交
3．若直线 x－ y＋ a＝
0 与圆
( x－
1) 2＋y2＝
1 有公共点，则实数 a 的取值范围是
2
________．
解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 | a＋2|
5 ≤1，
解得－ 2－ 5≤ a≤－ ＋
5.
2
答案 [ －2－ 5，－ 2＋ 5]
4．与圆 x2＋ y2＝
25 外切于点 P ，且半径为
