第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析

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板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能解决与切线有关的问题

切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

1、设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：

位置关系 图形 定义 性质及判定

相离

直线与圆没有公共点． dr直线l与O⊙相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． dr直线l与O⊙相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． dr直线l与O⊙相交

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 _ l _ O _ d_ r _ l _ O _ d_ r _ l _ O

_ d_ r

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二、切线的性质及判定

1． 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2． 切线的判定：

定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

3． 切线长和切线长定理：

⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

①切线的判定定理

设OA为⊙O的半径，过半径外端A作l⊥OA，则O到l的距离d=r，∴l与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2025年高考数学复习讲义及练习解析

1第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

课标解读考向预测

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简

单的数学问题与实际问题.近三年主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范

围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、

填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识

考查最值．预计2025年本部分内容仍会考查，以选择

题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中等.

必备知识——强基础

1．直线与圆的位置关系

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由

（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

Ax＋By＋C＝0，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

位置关系相离相切相交

图形

量化方程观

点Δ01

<0Δ02

＝0Δ03

>0

几何观

点d04

>rd05

＝rd06

2．圆与圆的位置关系(⊙O

1，⊙O

2的半径分别为r

1，r

2，d＝|O

1O

2|)

位置关系图形几何法公切线条数

外离d>r

1＋r

2四条2025年高考数学复习讲义及练习解析

2

外切d＝r

1＋r

2三条

相交|r

1－r

2|

1＋r

2两条

内切d＝|r

1－r

2|一条

内含0≤d

1－r

2无

1．圆的切线方程常用的结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x

0，y

0)的圆的切线方程为x

0x＋y

0y＝r2.

(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x

0，y

0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x

0x＋y

0y＝r2.

2．直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2r2－d2.

(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入

圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝1＋k2·（x

M＋x

N）2－4x

Mx

N.

3．圆与圆的位置关系的常用结论

生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

最新考纲 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理

1.直线与圆的位置关系

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

方法

位置关系 几何法 代数法

相交 d0

相切 d＝r Δ＝0

相离 d>r Δ<0

2.圆与圆的位置关系

设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系 相离 外切 相交 内切 内含

几何特征 d＞R＋r d＝R＋r R－r＜d＜R＋r d＝R－r d＜R－r

代数特征 无实数解 一组实

数解 两组实

数解 一组实

数解 无实

数解

公切线条数 4 3 2 1 0

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( )

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )

(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )

(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( ) 生活的色彩就是学习

K12的学习需要努力专业专心坚持 解析 (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件.

(2)除外切外，还有可能内切.

第十一讲 直线与圆的位置关系

【学习目标】

1、理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2、掌握切线的判定定理，性质定理和切线长定理，并会利用它们解决有关问题。

3、会画圆的切线和三角形的内切圆，掌握三角形内心的概念。

4、掌握弦切角的概念和弦切角定理。

5、掌握相交弦定理、切割线定理及推论，并会利用它们解决有关问题。

【知识框图】

相离 d＞r 相交弦定理

直线与圆的 相交 d＜r 切割线定理的推论

位置关系

弦切角定理

相切 d＝r 切线长定理

切割线定理

【典型例题】

例1：如图，已知AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，求∠A的度数。

分析：本题条件中，没有给出角的度数条件，因此需要挖掘隐含度数的条件，由AB是⊙O的直径可想到连接BC，则∠ACB=900给解本题创造了条件，又注意到DC是⊙O的切线，于是得解。

解：连接OC、BC则OC⊥CD

C

在RtΔOCD中，∵OC=OB=BD A O B D

∴OD=2OC

∴SinD= = ∴∠D=300

又∵BO=BD ∴CB=BD ∴∠BCD=∠D=300

∵DC是⊙O的切线 ∴∠A=∠BCD=300

或者，在求得∠D=30后，可得∠COB=60，由三角形外角的性质可知∠A= ∠COB=300