初一数学绝对值
绝对值
知识要点】
一、绝对值的概念
1.定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值。
2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数的绝对值还是它本身。
3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
4.绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a，总有|a|≥0.
5.互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
6.绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。
二、绝对值的求法
绝对值是一种运算，这个运算符号是“|”，对于任意有理数a，有
a|=
a(a>0)
0(a=0)
a(a<0)
典型例题】
例1 求下列各数的绝对值。
1) |3111|；(2) |-4/3|；(3) |-4|=4；(4) |3|=3.
例2 (1) 一个数的绝对值是3，则这个数是3或-3.
2) 一个数的绝对值是0，则这个数是0.
3) 没有一个数的绝对值是-4.
思考：a与-a的大小关系。
例3 (1) 若- m=2，求m的值；m=-2.
2) 若a=b，则a与b相等。
例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。3，-2，-1，0，1，2，3，和为0.
例5 如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a与b的和是-1.
经典练】
一、填空题
1.|-3|=3，|3|=3，|0|=0.
2.一个正数的绝对值为8，这个数是8；一个负数的绝对值为8，这个数是-8.
3.0的绝对值是它本身，-7的绝对值是7.
4.若a>0，则a=a；若a<0，则a=-a；若a=0，则a=0.
5.若a=a，则a=a；若a=-a，则a=0.
6.-2的绝对值比它的本身大。
7.一个数的绝对值等于3，则这个数可能是3或-3.
二、选择题
1.下列等式中，成立的是|3|=3，|-3|=3，|-3|=3，|-1/2|=1/2，故选项C正确。
2.计算结果正确的是A、B、D三项，C项计算结果错误。
3.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必须相等或互
为相反数。
4.不正确的式子是C，因为它等价于-2/3.-1，但实际上-2/3 < -1.
5.正确的判断有A和C。
解答题：
1.(1) 绝对值小于5的所有负整数为-1，-2，-3，-4.
2) 绝对值小于5.2而又大于2.1的所有整数为3，4，-3，-4.
2.(1) 绝对值最大的数为5.1，绝对值最小的数为0.
2) 相反数最大的数为5.1，相反数最小的数为0.
3.取值不为0的式子是a+1和1-a。
4.化简后的式子为3/5和1/
5.
5.绝对值最小的数是0，绝对值等于它本身的数是0，绝对值是它的相反数的数是0.
6.这个数可以是4或-4.
7.互为相反数的是A和D。
8.当1 9.正确的个数是B，即2个。 10.正确的说法是B和C。 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值的十一种常见题型 一、绝对值的意义 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 题型一：已知一个数，求该数的绝对值 例1、（1）－3.5的绝对值是__；7 5-的绝对值是_________. （2）=-3 －4 37-= （3）若4 （2）若2=a ，则a = . （3）若b a =，且a =-0.5，则b= . （4）绝对值不大于5的的所有整数为 . （5）若)10(--=-m ，则m = . （6）若06=-x ，则x= . （7）若21=-y ，则y= . 【解】（1）4±（2）2±（3）5.0±（4）0，5 ,4,3,2,1±±±±±（5）10± （6）6=x （7）3或-1 题型三：已知绝对值的式子，求字母的取值范围 例4、（1）若a ＝a ，则a 是 . （2）若a ＝－a ，则a 是 . （3）若0≥a ，则a 是 . （4）若0≤a ，则a 是 . （5）若x x -=-44，则x 的取值范围是 . （6）若44-=-y y ，则y 的取值范围是 . 【解】（1）非负数（2）非正数（3）全体有理数（4） 0 （5）4 七年级知识点绝对值 绝对值是数学中的重要概念，也是中学数学的一个基本知识点。在七年级的数学课上，学生首先需要学习到绝对值的定义和性质，然后学会用绝对值求解各种实际问题。本文将对七年级知识点绝 对值进行详细的介绍。 一、绝对值的定义和性质 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值为非负数，记为|x|，它的定义如下： 当x > 0时，|x| = x ； 当x = 0时，|x| = 0 ； 当x < 0时，|x| = -x 。 绝对值的性质： 1. |x|≥0，即绝对值是非负数。 2. |x|= | -x |，即绝对值的值与它的相反数的值相等。 3. |x·y|= |x|·|y|，即绝对值的乘积等于各自的绝对值再相乘。 4. 对于任意实数x和y，|x+y|≤|x|+|y|，即两数的绝对值之和不大于它们的和的绝对值。 二、绝对值的运算法则 1. 求相反数时，先取绝对值再取反。 2. 求倒数时，先取绝对值再取倒数。 3. 求和差积时，要先算绝对值。 三、绝对值的应用 1. 在求距离问题中，绝对值可用于求两点之间的距离。 2. 在解方程时，有时需要用到绝对值，例如|x|=a可表示x=a或x=-a。 3. 在计算误差时，常用绝对值，如当真实值为a，测量值为b 时，误差为|b-a|。 四、练习题 1. 请计算 |-8|÷2+|5-9|×|-1|的结果。 答案：3 2. 请将不等式 2|x-3|+1 < 5|x-1| 简化。 答案： 0 < 3|x-1|，即|x-1| > 0. 3. 请解方程 3|x+1|-5=4x+11。 答案： x=-3或8/3。 4. 请计算直线A(-3,-1)和直线B(6,5)之间的距离。 答案：√74/2。 五、小结 绝对值是七年级数学中比较重要的知识点，理解和掌握它的定义、性质和运算法则，以及应用于解决实际问题的方法，是学好数学的关键之一。在学习过程中，要多加练习，不断提高自己的数学能力。 绝对值 中考要求 重难点 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 课前预习 例题精讲 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2 B、2 C、-2 D、4 【难度】1星 【解析】此题要全面考虑，原点两侧各有一个点到原点的距离为2，即表示2和-2的点． 【答案】根据题意，知到数轴原点的距离是2的点表示的数，即绝对值是2的数，应是±2．故选A． 点评：利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题，体现了数形结合的数学思想．【例2】下列说法正确的有（） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相 反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A、②④⑤⑥ B、③⑤ C、③④⑤ D、③⑤⑥ 【难度】2星 【解析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断． 【答案】①0是有理数，|0|=0，故本小题错误； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题错误； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题正确； ④有绝对值最小的有理数，故本小题错误； ⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的，所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小 题正确； ⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本小题错误． 初一数学绝对值公式 初一数学中，绝对值公式是一个基础且重要的数学概念。绝对值表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是非负数。 绝对值公式的表达方式如下： |a| = a (当a ≥ 0) |a| = -a (当a < 0) 其中，a代表任意实数。 绝对值公式有很多实际应用，下面让我来详细介绍一下。 第一，绝对值在数轴上的表示。数轴是一个直线上标有数值的线段，我们可以将实数表示在数轴上。对于一个实数a，它的绝对值代表了它在数轴上的距离。如果a是正数，那么它的绝对值就是它本身；如果a是负数，那么它的绝对值就是它的相反数。通过绝对值公式，我们可以清楚地看到这个数在数轴上的位置。 第二，绝对值在解决实际问题中的应用。绝对值公式可以帮助我们解决很多实际问题，比如温度计的读数。温度有正负之分，但是 温度计上的刻度往往只表示非负数。通过绝对值公式，我们可以将 实际的温度值转换成温度计上的读数。 举个例子，假设室内温度是-5摄氏度。我们可以通过绝对值公式计算出它在温度计上的读数。根据绝对值公式，|-5| = -(-5) = 5。所以，室内温度-5摄氏度对应温度计上的读数是5。 第三，绝对值在解决不等式的应用。不等式是数学中常见的问题，而绝对值公式在解决不等式时起到了重要的作用。 对于形如|a| < c的不等式，通过绝对值公式可以转化为两个简单的不等式：-c < a < c。这样，我们就可以方便地求解不等式的解集。 举个例子，考虑不等式|2x - 3| < 5。我们可以通过绝对值公式将其转化为两个不等式：-5 < 2x - 3 < 5。然后，我们可以解得-2 < x < 4，即解集为(-2, 4)。 绝对值公式在初一数学中是一个基础且重要的概念。它在数轴上的表示、解决实际问题和解决不等式中都有广泛的应用。通过学习 初一数学绝对值 绝对值 知识要点】 一、绝对值的概念 1.定义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值。 2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数的绝对值还是它本身。 3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。 4.绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a，总有|a|≥0. 5.互为相反数的两个数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 6.绝对值等于它本身的数一定是非负数，绝对值等于它的相反数的数一定是非正数。 二、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“|”，对于任意有理数a，有 a|= a(a>0) 0(a=0) a(a<0) 典型例题】 例1 求下列各数的绝对值。 1) |3111|；(2) |-4/3|；(3) |-4|=4；(4) |3|=3. 例2 (1) 一个数的绝对值是3，则这个数是3或-3. 2) 一个数的绝对值是0，则这个数是0. 3) 没有一个数的绝对值是-4. 思考：a与-a的大小关系。 例3 (1) 若- m=2，求m的值；m=-2. 2) 若a=b，则a与b相等。 例4 写出绝对值不大于3的所有整数，并求出它们的和。3，-2，-1，0，1，2，3，和为0. 例5 如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a与b的和是-1. 经典练】 一、填空题 1.|-3|=3，|3|=3，|0|=0. 2.一个正数的绝对值为8，这个数是8；一个负数的绝对值为8，这个数是-8. 3.0的绝对值是它本身，-7的绝对值是7. 4.若a>0，则a=a；若a<0，则a=-a；若a=0，则a=0. 5.若a=a，则a=a；若a=-a，则a=0. 6.-2的绝对值比它的本身大。 3.绝对值 绝对值的定义： 绝对值的表示方法： 如图，说出数轴上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点所表示的数的绝对值： 注意：表示0的点（原点）与原点的距离是0，所以0的绝对值是0。 如何求一个数的绝对值： 绝对值的非负性： 两个负数之间如何比较大小： 比较有理数大小的两种方法： 例题： 例1： 求下列各数的绝对值：21 7 -，101，―4.75，10.5 例2： 化简：(1)??? ? ??+-21； (2)31 1 -- 例3： 计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|； （3）|–12|–（–10） 例4：（1）求绝对值不大于2的整数__________。 （2）绝对值等于本身的数是________，绝对值大于本身的数是_______。 （3）绝对值不大于２.５的非负整数是_________。 例5:判断题 (1)任何一个有理数的绝对值都是正数. （ ） (2)如果一个数的绝对值是5，则这个数是5 ( ) (3)绝对值小于3的整数有2，1，0. ( ) 例6: (1) +6的符号是_______,绝对值是_______,-20的符号是_______,绝对值是_______ (2) 在数轴上离原点距离是3的数是________________ (3) 绝对值等于本身的数是___________ (4) 绝对值小于2的整数是________________________ (5) 用”>”、”<”、”=”连接下列两数: ∣0∣____∣-0.58∣ ∣-5.9∣___∣-6.2∣ (6) 数轴上与表示1的点的距离是2的点所表示的数有___________________. (7) 计算|4|+|0|－|－3|=______________. （8）有理数a 、b 在数轴上如图，用 > 、= 或 < 填空 （1）a____b , (2) |a|___|b| , (3) –a___-b, (4)|a|___a , (5) |b|____b (9)如果|x|=|-2.5|,则x=______ (10)绝对值小于3的整数有____个，其中最小的一个是____ (11)|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则x= . (12) 的相反数等于它本身， 的绝对值等于它本身. (13)绝对值小于3的非负整数是 ． (14)-3.5的绝对值的相反数是 ．-0.5的相反数的绝对值是 ． (15)|-3|-|-4|= - = . (16)在- 37，-0.42，-0.43，-194 中，最大的一个数是 ． (17) 已知m m -=，化简21---m m 所得的结果是________． 例7： 选择题 (1) 下列说法中，错误的是( ) A +5的绝对值等于5 B 绝对值等于5的数是5 七年级数学知识点绝对值 数学中，绝对值是一个非常基础且重要的知识点。在七年级数 学学习中，同学们应该比较系统的学习这一知识点，并且能够熟 练地进行计算。本文将介绍七年级数学中的绝对值知识点，以帮 助同学们更好地掌握这一部分内容。 一、绝对值的概念 绝对值是一个数到0的距离，通常用两条竖线|| 来表示。例如，|3|表示数字3到0的距离，也就是3。同理，|-3|也是3。 二、绝对值的性质 1. |a| ≥ 0，即绝对值是非负数。 2. |-a| = |a|，即绝对值是对称的。 3. |a · b| = |a| · |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数的绝 对值的乘积。 4. |a ± b| ≤ |a| + |b|，即两个数的和或差的绝对值小于等于这两个 数的绝对值的和。 三、绝对值的运算 1. 大于等于0的数的绝对值是它本身。例如，|5| = 5；|0| = 0。 2. 小于0的数的绝对值是它自己的相反数。例如，|-2| = 2；|-7| = 7。 3. 绝对值的运算法则：如果a≥0，则|a|=a；如果a＜0，则|a|=−a。 4. 如果两个数的绝对值相等，则它们本身也相等，即|a|=|b|， a=±b。 5. 绝对值可以用来表示一组数的距离。例如，a和b是两个数，则它们的距离是|a-b|。 四、绝对值的应用 绝对值在数学中的应用非常广泛，它不仅可以用于计算，还可以用于判断等式、不等式的真假，或者用于表示距离等。在学习数学的过程中，同学们应该总结绝对值的应用，以便更好地将其应用于实际问题中。 综上所述，七年级数学中的绝对值知识点是数学学习中非常基础和重要的部分，同学们应该认真学习并熟练掌握，以便在以后的学习中更好地应用。 ∴原式＝ 变式训练 1、已知x ＜﹣1，（1）化简22x －－；（2）化简222x －－－ 2、已知﹣2≤x ＜3，化简1 312 x x －－＋ 题型二、利用数形结合的方法化简绝对值 根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值的意义去掉绝对值的符号。 例题：（1）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ﹣﹣ （2）已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a b a b a ﹣﹣＋＋﹣＋ 要点提示：1．零点的左边都是负数，右边都是正数； 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数； 3．离原点远的点表示的数的绝对值较大； 4．在一个数的前面添加一个负号就可以得到这个数的相反数。 变式训练： 1．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：b a ＋＋a b ﹣ 2．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：b c b a ﹣﹣＋ 题型三、零点分段讨论法 例题：化简224x x －－＋ 分析：本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x －2、x ＋4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论。 解：令x －2＝0得零点：x ＝2 ；令x ＋4＝0得零点：x ＝﹣4 ，把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当x ≥2时， ②当﹣4≤x ＜2时， ③当x ＜﹣4时， 综上所述， 归纳总结：虽然x －2、x ＋4的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的 几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5， 代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 互为相反数的两个数的绝对值相等 绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”． 如：|－2|读作－2的绝对值。 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。 特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0 |3|=3 |-3|=3 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。（|是绝对值） 答案: 2(X-1)-3=0 X=5/2 2Y-4=0 Y=2 一对相反数的绝对值相等： 例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义： 几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数） 代数定义：|a|={a>0 a=a {a<0 a=-a {a=o a=0 关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x 解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。y=-1/2 或=1/2。设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。 答：y-x等于3又1/2或2又1/2。 |x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4 公式|m-n|-|n-m|=0 m/n可以是任何数 2. 绝对值的有关性质 无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。 （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数。 （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。 七年级绝对值知识点总结 在初中数学中，绝对值是一个重要的概念，也是许多数学题目 必不可少的一部分。本文将对七年级绝对值的基础知识进行总结。 一、什么是绝对值 绝对值是一个数与0之间的距离，因此它的值永远是正数。用 符号表示则为|a|，a为任意一个实数，则 当a≥0时，|a|=a 当a<0时，|a|=-a 二、绝对值的运算法则 1.绝对值与加减运算 对于任意实数a，b，则 ①|a+b|≤|a|+|b| ②|a-b|≥|a|-|b| 特别地，当a，b同号时①式改为|a+b|=|a|+|b|；当a，b异号时，②式改为|a-b|=|b|-|a| 2.绝对值与乘法运算 对于任意实数a，b，则|ab|=|a|·|b| 特别地，若a，b的符号相同，则|a|·|b|=ab，反之，|a|·|b|=-ab 3.绝对值与除法运算 对于任意a≠0，b≠0，则|a/b|=|a|/|b| 三、绝对值的应用 1. 解绝对值方程 对于任意实数a，则|a|=b的解为a=b或a=-b，即把|a|看作一个 未知数，转换为一元一次方程求解，得到方程的解即为绝对值方 程的解。 例如，|2x-3|=7，可转化为2x-3=7和2x-3=-7两个方程，解得x=5和x=-2. 2. 求绝对值大小 根据绝对值的定义及运算法则，可以求出有关绝对值的大小。 例如，|3-8|=|-5|=5，|5·(-6)|=|-30|=30。 3. 比较大小 根据绝对值的定义，对于任意实数a，b，有|a|>|b|，当且仅当a>b或a<-b。 例如，比较|-5|和|3|，由于|-5|>-3，因此|-5|>|3|。 四、绝对值相关的常用不等式 1.柯西-施瓦茨不等式 对于任意n个实数a1，a2，…… ，an和b1，b2，……，bn，有 初一数学绝对值的知识点总结 初一数学绝对值的知识点总结 [—初中数学知识点总结]大家都知道，绝对值问题是很简单的知识，今天的店铺为大家分享的是初一数学知识点总结之绝对值，想要巩固的同学可以过来看看。 绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 ⑵两个负数，绝对值大的反而小。 以上就是的店铺为大家带来的初一数学知识点总结之绝对值，这一节内容虽然简单，但同样也希望同学们加强注意了，接下来还有更详细的初中数学知识点尽在哦，希望同学们关注了。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际 有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的.讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 初中数学知识点：因式分解的一般步骤 关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 初一数学绝对值求解题技巧 绝对值是数学中的一种表示数与零或另一个数之间距离的概念。在初中数学中，学生会遇到很多关于绝对值的求解题。下面是一些关于绝对值求解题的技巧和方法，希望对你有所帮助。 1. 确定绝对值的定义： 绝对值表示一个数与零之间的距离，可以用如下的方式表示： 若x为一个数，则|x|代表x与0之间的距离，即|x| = x (x ≥ 0)，或者|x| = -x (x < 0)。 2. 理解绝对值的含义： 绝对值可以理解为一个数的非负值。无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是非负数。 3. 解绝对值方程： 绝对值方程是指带有绝对值符号的方程。要解一个绝对值方程，可以根据绝对值的定义，考虑绝对值内部是正数还是负数，然后分两种情况读写方程来解题。 4. 解不等式： 绝对值也可以用来解不等式。要解一个绝对值不等式，可以考虑绝对值的取值范围，将不等式分为两个简单的不等式来求解。 5. 利用绝对值的性质： 绝对值有一些基本的性质，可以帮助我们求解绝对值方程和不等式。例如： a) |a| = |-a| b) |a · b| = |a| · |b| c) |a + b| ≤ |a| + |b| 6. 利用绝对值和代数式结合的性质： 在解题过程中，可以将绝对值和代数式结合使用，例如： a) |x - a| = |a - x| b) |x - a| = -|x - a| 当且仅当 x = a 7. 画数轴法： 对于一些复杂的绝对值题，可以利用画数轴的方法来帮助解答。首先在数轴上标出绝对值内部的数，并找出与之相对应的范围（根据绝对值的性质判断），然后根据区间的划分，进一步确定绝对值的取值范围。 8. 确定解集的类型： 绝对值方程和不等式的解集可能有不同的类型，例如： a) 无解 b) 有唯一解 c) 有无穷多解 9. 灵活运用消去负号的方法： 在解绝对值方程时，可以利用消去负号的方法来简化求解步骤。例如： 初一数学绝对值知识点 初一数学中，绝对值是一个重要的知识点。它是用来表示一个数与0之间的距离的，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。在初一数学中，我们需要掌握绝对值的概念、性质以及在实际问题中的应用。 我们来了解一下绝对值的概念。绝对值用两个竖线“| |”表示，例如|a|表示数a的绝对值。如果a大于等于0，那么|a|等于a本身；如果a小于0，那么|a|等于-a。举个例子，|3|=3，|-5|=5。可以看出，无论正数还是负数，其绝对值都是非负数。 绝对值有一些常用的性质。首先是非负性，即任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。其次是零的绝对值为零，即|0|=0。再次是绝对值的平方等于原数的平方，即|a|^2=a^2。最后是绝对值的乘法等于原数的乘法的绝对值，即|a·b|=|a|·|b|。 绝对值在实际问题中有着广泛的应用。比如在距离问题中，我们需要计算两个点之间的距离。如果这两个点的坐标分别是(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，那么它们之间的距离d可以用以下公式表示：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。在这个公式中，我们需要计算两个坐标差的平方，而这个差值可能是正数也可能是负数，为了确保计算结果的准确性，我们需要对这个差值取绝对值。 在不等式问题中，绝对值也有着重要的作用。比如对于一个不等式 |a| 初一数学绝对值难题解析 绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对根本概念的理解程度和根本性质的灵活运用能力。 绝对值有两个意义： 〔1〕代数意义：非负数〔包括零〕的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。 即|a|＝a〔当a≥0〕, |a|＝－a 〔当a＜0〕 〔2〕几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。 灵活应用绝对值的根本性质： 〔1〕|a|≥0；〔2〕|ab|＝|a|·|b|；〔3〕|a/b|＝|a|/|b|(b≠0) 〔4〕|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；〔5〕|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|； 思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？ |a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？ 常用解题方法： 〔1〕化简绝对值：分类讨论思想〔即取绝对值的数为非负数和负数两种情况〕 〔2〕运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。 〔3〕零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。 例题解析： 第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用 1、在数轴上表示a、b两个数的点如下图，并且表示c的点在原点左侧，请化简以下式子： 〔1〕|a－b|－|c－b| 解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0 c＜0，b＞0 ∴c－b＜0 故，原式＝〔b－a〕－(b－c) ＝c－a 〔2〕|a－c|－|a＋c| 解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0 当a－c≥0时，a≥c，原式＝〔a－c〕＋(a＋c)＝2a 当a－c＜0时，a＜c，原式＝〔c－a〕＋(a＋c)＝2c 2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。 解：∵x＜－1 ∴x－2＜0 原式＝2－|2－〔2－x〕|＝2－|x|＝2＋x 3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。 解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0 原式＝〔a－3〕－(a－6) ＝3 4、|a－b|＝a＋b，那么以下说法：〔1〕a一定不是负数；〔2〕b可能是负数；哪个是正确的？ 答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b， 解得b＝0，这时a≥0； 当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b， 绝对值（基础） 要点一、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较 1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点诠释： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立． 4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反． 5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小. 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1．求下列各数的绝对值． ，-0.3，0， 1a b >a b >1a b =a b =1a b 绝对值的性质及化简 【绝对值必考题型】 例 1:已知|x —2| + |y —3|=0,求 x+y 的值。 【例超青讲】 （-）绝对值的非负性问题 1 .非负性：若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0. 2 .绝对值的非负性；若同+问+上| = 0，则必有〃 =0,2 = 0 , c = 0 【例题】S|x+3|+|y+l|+|z+5| = 0 .则x-y-z=• 总结：若干非负数之和为0 , O 7 【巩固】若+ 3| + 〃一一 + 2|2/?-1| = 0，贝!J 〃+2〃 + 3m = _____ 2 3 【巩固】先化简，再求值：3a 2b- lab 2 -2（ab-^a 2b ） +2ab . 其中/?满足|a + 3〃+l| + （2a — 4）2=0. （二）绝对值的性质 【例1】若a<0,则4a+71al 等于（ ） A . Ila B .-Ila C . -3a D . 3a 【例2] 一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A. 1,0 B ,正数 C. 3E 正数 D . 3 E 负数 【例3】已知冈=5"y|=2,且xy>0,则x-y 的值等于（ ） A.7或-7 B,7或3 C,3或-3 D,-7或-3 1x1 【例4】若LL = -1 ,则乂是（ ） x A ,正数 B ,负数 C.非负数 D.非正数 【例5】已知：a > 0 , b < 0 "a| < |b| < 1,那么以下判断正确的是（ ） 【例6】已知a.b 互为相反数,且|a-b|=6 ,则|b-l|的值为（ ） A . 2 B.2或3 C.4 D.2或4 【例 7】a <0 , ab <0 ,计算|b-a+l|-|a-b-5|,结果为( 【例 9】已知:x 七年级数学绝对值知识点 在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。对于七年级的学生来说，掌握绝对值的知识是十分必要的。下面将详细介绍七年级数学的绝对值知识点。 一、什么是绝对值？ 在数学中，绝对值是一个数字的大小，表示这个数字与0的距离。例如，-5的绝对值是5，5的绝对值也是5。 二、绝对值的符号 当数字为正数时，它的绝对值与本身相等；当数字为负数时，它的绝对值等于它的相反数。例如，|-3|=3，|3|=3。 三、绝对值的性质 1. 非负性：绝对值始终为非负数。 2. 对称性：对于任意实数a，有|a|=|-a|。 3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。 四、绝对值的计算 1. 当a≥0时，|a|=a。 2. 当a<0时，|a|=-a。 例如，|-6|=6，|4|=4，|-3.8|=3.8。 五、绝对值的运算 1. 加减法：|a+b|≤|a|+|b|。 例如，|4+(-2)|=|2|=2，|4|+|-2|=4+2=6，6≥2，符合三角不等式。 2. 乘法：|ab|=|a|×|b|。 例如，|-3×2|=|-6|=6，|-3|×|2|=3×2=6，6=6。 3. 除法：|a/b|=|a|/|b|，其中b≠0。 例如，|(-12)/3|=|12|/3=4，|-12|/|3|=4。 六、绝对值的应用 1. 确定方向：绝对值可以用来确定距离和方向。例如，在坐标轴上，以原点为起点，终点为a的有向线段的长度就是|a|。 2. 解绝对值不等式：当绝对值中有未知数时，可以通过绝对值的性质和计算方法，解出绝对值不等式的解集。 例如，|x-3|<7的解集为-4初一数学绝对值知识点与例题
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