【理数】-衡水中学高三第七次调研

河北省衡水中学2021届高三数学上学期七调考试试题 理本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前,先将自己的姓名,考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频．第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2izi=+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 的虚部为（ )A ．35- B ．35 C ．45-D ．452．已知集合2{},|1xA y y x R ==+∈，()ln 6*{}B x y x x N ==-∈,，集合C A B =⋂．则集合C 的子集的个数为（ ) A ．4B ．8C ．16D ．323．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，随机变量Y 服从正态分布()1,1N ，且()10.1587P X >=，则()12P Y <<=（ )A ．0。

1587B ．0.3413C ．0。

8413D ．0.6587 4．已知正项等比数列{}na 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1S ，2S ,32S-成等差数列，则4a =（ )A ．8B ．18C ．16D ．1165．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图,正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是( ）A ．36B ．32C ．28D ．246．函数1()sin ||f x x x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[),0,]0(ππ-⋃的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的10N =．那么输出的S =( )A ．11112310++++B 111.12!3!10!++++C ．11112311++++D ．11112!3!11!++++ 8．已知点()3,2M --,抛物线24x y =,F 为抛物线的焦点,l 为抛物线的准线．P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）A ．113+B 13C 10D ．329．设实数x ，y满足不等式组40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y =+的最大值为1，则a =（ ）A ．14-B ．14C ．2D ．2-10．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ．这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ．其计算式子为212121111U kcqR R x x R x R x =+-⎛⎫⎪⎝-+-+⎭-，其中，kc 为静电常量,1x ，2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知12121x x R x xR R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，1111x R xR R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -11．已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b -=>>0）的左，右焦点分别为1F ,2F ，过1F 的直线MN 与C 的左支交于M ,N 两点，若()21210F F F M MF +⋅=，22||2F N F M=,则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =12．若{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，()sin cos f x x x =+,()sin cos g x x x =-，()()min{,()}h x f g x x =,关于函数()h x 的以下结论： ①T π=；②对称轴方程为212k x π+=,k Z ∈; ③值域为⎡⎤⎣⎦；①在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．其中所有正确结论的序号是( ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，若向量c 与a 共线，且c 在b 方向上c =__________．14．国际高峰论坛组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为__________． 15．设数列{}na 的前n 项和为nS ．若11a=,535S =．且11(2*11n n n S S S n n N n n n -+=+≥∈-+且），则12231011111a a a a a a +++值为__________．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1．以顶点A 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ,B ，C所对的边分别是a ,b ，c ，且cos sin b c a B B+=．（1）求角A ；(2）若a =求ABC △的面积的最大值．18．(本小题满分12分〉）如图①,平行四边形PBCD 中，A 为PD 的中点,2PD =,PB =45P ∠=︒，连接AB ，将PAB △沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②，点E 在线段PA 上,若//PC 平面BDE ．（1）求证:2PE AE =；（2）若二面角P AB C --的平面角为60︒，求平面PBC 与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为27其中一条渐近线的倾斜角为θ,且tan θ=32．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ．(1）求椭圆E 的方程；(2）设点A 是椭圆E 的左顶点,P ,Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点,若直线AP 、AQ 的斜率之积为14-，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点,求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．20．（本小题满分12分)已知函数()2ln f x xmx m x =--，其中0m >．（1）若1m =．求函数()f x 的极值;（2）设()()g x f x mx =+．若1()g x x>在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分）中国女排，曾经十度成为世界冠军．铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧；顽强拼搏,同甘共苦，团结我斗,刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励，感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞．（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄"的年度主题活动，一段时间后,学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2,3，4，5…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员，B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时,传给B 队员的概率为12,传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时,传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13;每当球由C 队员控制时,传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13，记na ，nb ，nc 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员，B 队员,C 队员控制的概率．（i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求()E X ； （ⅱ）若112233nn n ab c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+,2n ≥，*n N ∈． 证明：数列25,na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小．附1:回归方程y bx a =+中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()(())nni iiii i nniii i x y nx y x x y b xn y x x x ====-⋅-==---∑∑∑∑，a y bx =-．附2：参考数据：515180i ii x y==∑，522222211234555ii x==++++=∑．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程cos ,3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(为φ为参数)．圆2C 的方程为()2211x y -+=，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥．（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）当002πθ<<时,若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且2ON OM =,求2MC N △的面积．23．（本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a x b c =++-+，其中0a >，0b >，0c > (1）当1a b c ===时，求不等式()4f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为3．求证：2223b c a a b c ++≥．参考答案及解析一、选择题1．C 【解析】∵12z i=+,且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,∴22zi=-＋．则122(2)(2)342(2)(2)55zi i i i zi i i ++--===---+-+--．∴12z z 的虚部为45-．故选C ．2．C 【解析】∵集合{}21,{}1xA y y x R y y ==+∈=>，()ln 6*,}{B x y x x N ==-∈{}60,*1,2,3,4|5{},x x x N =->∈=,∴集合{}2,3,4,5C A B =⋂=，则集合C 的子集的个数为4216=．故选C ．3．B 【解析】由已知得()()10.15872P X P Y >==>，∴()()2120.8413P Y P y <=->=． 又()()110.5P Y P Y ≥=≤=∴()()()12210.3413P Y P Y P Y <<=<-≤=． 故选B ．4．A 【解析】由题意设()10n naq q -=>．由已知得21322S S S =+-,所以()221112q q q +=+++-,即220q q --=．解得2q =或1q =-（舍),所以12n na-=故3428a==．故选A ．5．D 【解析】几何体是一个正四棱柱挖去14个圆柱的几何体．正四棱柱的底面边长为2．高为3，圆柱的底面半径为2．如图：几何体的表面积为()2112332221222222444ππ⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎫⎪⎭⨯ =⎛⎝．故选D ．6．A 【解析】根据题意，1()sin ||f x x x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-⋃,有1()sin f x x x x ⎛⎫-=--- ⎪-⎝⎭1sin ||()x x f x x⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,即函数()f x 为奇函数，排除D ，在区间()0,1上，10x x -<，sin 0x >．则有()0f x <,在区间()1,π上，10x x ->，sin ||0x >，则有()0f x >，排除B ，C ．故选A ．7．B 【解析】框图首先给累加变量S 和循环变量k 赋值，011S =+=,112k =+=；判断10k >不成立，执行112S =+，213k =+=；判断10k >不成立,执行111223S =++⨯，314k =+=； 判断10k >不成立，执行1111223234S =+++⨯⨯⨯,415k =+=；…， 判断10k >不成立，执11112!3!10!S =++++,10111k =+=． 判断10k >成立,输出11112!3!10!S =++++． 故选B ．8．D 【解析】因为PQ l ⊥，所以PF PQ =,又1FQ l ⊥，所以QR QF =,所以QR MR FR MR FM +=+≥，当M 、R 、F 三点共线时取等号．由抛物线的方程可得()0,1F ，()3,2M --, 所以[]22(3)1(2)32MF=-+--=．故选D ．9．C 【解析】作出实数x ，y 满足不等式组，40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图:可知()1,3A -，()4,0B -，()0,0O ，当03a <≤或10a -≤<时，目标函数z ax y =+经过()1,3-时，取得最大值为1， 解得2a =；当3a >时，目标函数z ax y =+经过()0,0，取得最大值为1，无解;当1a <-时，目标函数z ax y =+经过()4,0-，取得最大值为1， 解得14a =-（舍去），当0a =时，目标函数z ax y =+取得最大值为3，不符合题意． 故2a =．故选C ．10．D 【解析】根据题意，212121111U kcqR R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111kcq x x x x R R R R ⎛⎫ ⎪=+-- ⎪- ⎪+++⎝⎭222212121122222(1111 )x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+--+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22221212112222222132 () x x x x x x x x kcq RR R R R kcq x x R R R ⎡⎤--=-++---=-⎢⎥⎣⎦．故选D ．11．B 【解析】如图所示,设线段1MF 的中点为P ．则21222F F F M F P +=,∵2121()0F F F M MF +⋅=∴2120F P FM ⋅=．∴21F P FM ⊥，∴221||||2F M F F c ==，双曲线的定义可知：12||222MFMF a c a =-=-．又22||2||4F N F M c ==，由双曲线的定义可知1224||2F N F N a c a =-=-．在等腰12MF F △中，12cos 2c aF MFc-∠=；又在2MNF △中，64MN c a =-,2222(64)4(4)cos 2(64)2c a c c NMF c a c-+-∠=-⋅，∵122cos cos F MFNMF ∠=∠，∴222(64)4(4)22(64)2c a c a c c c c a c--+-=-⋅，整理得:()()22372032cac a c a c a -+==--∵在双曲线中c a >，∴2c a =．∴224ca =，又∵222c a b =+，∴223b a =，b a =∴C的渐近线方程为b y x a=±=，故选B ．12．D 【解析】当()()f x g x ≤时，sin cos sin cos x x x x +≤-，即cos 0x ≤，所以32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈; 当()()f x g x >时,sin cos sin cos x x x x +>-,即cos 0x >．所以2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++⎪⎝⎭，k Z ∈． 所以()()(){,}min h x f x g x ==3()sin cos ,2,222()sin cos ,2,222f x x x x k k g x x x x k k ππππππππ⎧⎡⎤=+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪=-∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩k Z ∈．①当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时,()sin cos h x x x =+, 此时352,222x k k πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()()()sin cos sin cos h x x x x x πππ+=+-+=-+, ()()h x h x π≠+，故①错误；②当032,222xk k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭时,x 关于212k x π+=的对称点0(21)2,222k xk k πππππ⎛⎫+-∈-++ ⎪⎝⎭，000sin c ()os h x x x =+,()[]()00021sin 2121()k x k x cox k h x πππ+-=+--+-⎡⎤⎣⎦0000()sin cos sin cos x x x x =--=+，所以()()021()h x h k x π=+-． 同理当02,222xk k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭时，()()0021()h k x x h π+-=也成立，故②正确； ③当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时,()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，372,2444x k k πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，2sin 1,42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,()2sin 2,14h x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭．当2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，32,4244k k x πππππ⎛⎫-++ ⎪⎝-⎭∈，2sin 1,42x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()2sin 2,14h x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭．所以()f x 的值域为2,1⎡⎤-⎣⎦，故③正确；④当35,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，353,2,24422k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊆++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 此时()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,42x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，易知sin y x =在3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减,所以()h x 在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．故④正确, 故正确的是②③④．故选D ．二、填空题13．5 【解析】向量()1,2a =-，向量c 与a 共线,设(),2c λλ=-,由()3,4b =，所以c 在b方向上的投影为｜38cos 5||c bc b λλθ⋅-+===解得λ=(5,2c =-所以||(5)5c =-=．14．198 【解析】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类:①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有231633108C C A =种不同的提问方式;②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有21263290C C A =种不同的提问方式．综上,共有10890198+=种不同的提问方式．15．1031【解析】数列{}na 的前n 项和为nS ，且112(211nn n S S Sn n n n -+=+≥-+且*n N ∈）． 则数列nS n⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．设公差为d ．51(51)651S Sd -=-=，解得32d =，所以3311(1)222nS n n n =+-=-，故23122n S n n=-，故2213131(1)(1)322222nn n aS S n n n n n -=-=---+-=-， 11a =也适合此式．所以32nan =-，()131231n an n +=+-=+，所以111111(32)(31)33231n n a an n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭；则1223101111111111342831a aa a a a ⎛⎫+++=-++- ⎪⎝⎭1110133131⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．16．536π【解析】如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类： 一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上， 因为23AE =11AA =，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 2336π=,而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ,32FBG π∠=，所以弧FG 332π=,这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=三、解答题17．解：（1）由题意及正弦定理得sin sin sin cos sin A C A B A B +=,∵A B C π++=，∴sin si ()n C A B =＋，sin cos si n s n sin()in A B A BB A B +=++，化简得sin cos 1)0B A A --=∵sin 0B >cos 10A A --=，∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0A π<<，3A π=．(2)∵a =∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得2211222b c bc +-=，2212bc b c =+-，∴2212212bc bc bc =+-≥-（当且仅当b c =时，取等号），∴12bc ≤，∴1sin 2ABCSbc A ∆==≤∴ABC △的面积的最大值为．18．解：（1)连接AC 交BD 于F ．连接EF ,因为//PC 平面BDE ，PC ⊂平面PAC ．平面BDE ⋂平面PAC EF =，所以//EF PC ,所以AE AFPE FC=， 又因为//AD BC ，且12AD BC =．所以12AF AD FC BC ==,所以12AE PE =,故2PE AE =．（2)取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作//OG AB 交BC 于G ，由图（1)得：AB AD ⊥，AB AP ⊥，所以PAD ∠就是二面角P AB C --的平面角, 所以60PAD ∠=︒ 又因为1AD AP ==，所以PAD △为等边三角形,所以OP AD ⊥ 又AD AP A ⋂=,所以AB ⊥平面PAD ， 因为//OG AB ，所以OG ⊥平面PAD 所以OP ,OD ，OG 两两互相垂直，以OG 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭,3P ⎛ ⎝⎭．131,,2PB ⎛=- ⎝⎭，(0,2,0)BC =，130,,2PD ⎛= ⎝⎭，(1,1,0)DC =．设平面PBC 的一个法向量为111,(),m x y z =,则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11111302220x y z y ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1x=(3,0,2)m =．设平面PCD 的一个法向量为222,(),n x y z =则00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22221020y z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 令21x=，得1,1,3n ⎛=-- ⎝⎭，设平面PBC 与平面PCD 所成的锐二面角为θ．1cos 7||||m n m n θ⋅==．19．解：(1）双曲线22221x y a b -=的焦距2c =则c =227ab +=，①渐近线方程b y x a=±，由题知tan 2ba θ==，②由①②解得24a =，23b=，∴椭圆E的方程为22143x y +=．（2）在（1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+,由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：222()3484120kx kmx m ++-=+，设11(),P x y ,22(),Q x y ，则122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+,又()2,0A -，由题知12121224AP BQ y y k k x x ⋅=⋅=-++，则1212224()(0)x xy y +++=，且1x ，22x≠-，则12121224()()()4x xx x kx m kx m ⋅++++++()2212121424(4()4)k x x km x x m =++++++22222(14)(412)8(24)443434k m km km m k k+--=++++++0=, 则2220mkm k --=，∴()()20m k m k -+=，∴2m k =或m k =-．当2m k =时，直线PQ 的方程为()22y kx k k x =+=+， 此时直线PQ 过定点()2,0-，显然不适合题意， 当m k =-时，直线PQ 的方程为()1y kx k k x =-=-． 此时直线PQ 过定点()1,0．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点()1,0，P ，Q 点的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．满足14AP AQ kk ⋅=-． 综上，直线PQ 过定点()1,0．20．解：（1）当1m =时,()2ln f x xx x =--,,()0x ∈+∞，∴2121()21x x f x x x x--'=--=(1)(21)x x x-+=∴当()0,1x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．函数()f x 单调递增， ∴函数()f x 的极小值为()10f =．无极大值．(2）()2ln g x xm x =-，若1()g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0xm x x-->在()1,+∞上恒成立， 构造函数21()ln G x x m x x=--，1x >则322121()2m x mx G x x x x x -+'=-+=，令()321H x xmx =-+,1x >， ∴()26H x xm '=-，（i ）若6m ≤，可知()0H x '>恒成立，∴()H x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()13H x H m >=-，①当30m -≥．即03m <≤时，()0H x >在()1,+∞上恒成立， 即()0G x '>在()1,+∞上恒成立,∴()()10G x G >=在()1,+∞上恒成立， ∴03m ≤≤满足条件．②当30m -≤，即36m ≤≤时， ∵()130H m =-<，()21720H m =->,∴存在唯一的()01,2x ∈．使得0()0H x =，当0()1,x x ∈时，()0H x <．即()0G x '<，∴()G x 在()01,x 上单调递减，∴()()10G x G <=,这与()0G x >矛盾，（ⅱ）若6m >．由()0H x '=，可得1x=,2x =易知()H x 在⎛ ⎝上单调递减，∴()()130H x H m <=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()0G x '<在⎛ ⎝恒成立，∴()G x 在⎛ ⎝上单调递减,∴()()10G x G <=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾．综上所求,实数m 的取值范围为(]0,3．21．解:（1）设线性回归方程为：ˆy bxa =+ 由已知可得:1234535x ++++==，6405404203002004205y ++++==，∴5152221551805342011255535i ii ii x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆ4201123756a y bx=-=+⨯=, ∴线性回归方程为：112756y x =-+,令11275610x -+<,可得7466.7112x >≈， 又x N ∈．故7x ≥．故可以预测从第7月份开始该大学体重超标人数降至10人以下．（2）（i ）X 的可能取值为0，1，2，1211(0)2326P X ==⨯⨯=，121112111211(1)2322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，1211112(2)2322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=,∴111219.()012618918E X =⨯+⨯+⨯=．（ii ）∵111123n n n b a c --=+，11123n n n c a b -=+，∴1111133n n n n n b c a b c ---+=++，∴112233n n n a b c --=+，∴1132n n n b c a --+=，∴132n n n bc a ++=， ∴113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+，∴11122122223333n n n n n n a a a a a a a a +---+=+=+==+，∵10a =，21212223233a =⨯+⨯=，∴12233n n aa ++=，即1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴25na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以25-为首项，以23-为公比的等比数列．故199200222553a ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1991992002222221553535a⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22．解：(1)由曲线1C 的参数方程为cos sin 3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数), 消去参数φ，可得曲线1C 的普通方程为：22113y x +=,又cos x ρθ=，sin yρθ=． 代入可得2222cos 3sin 1ρθρθ+=，∴曲线1C 的极坐标方程为：ρ=由圆2C 的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=，∴22cos 0ρρθ-=，得曲线C 2的极坐标方程:2cos ρθ=．（2)∵2ON OM =﹐∴224NMρρ=，即22214cos 4cos 3sin θθθ=+，整理得422cos 3cos 10θθ-+=,且002πθ<<，解得21cos2θ=，cos θ=，sin θ=点2C ：到l 的距离2||sin 122h OC θ=⋅=⨯=．∴2MC N △的面积为：211||()22NC MN M SNM h h ρρ=⨯⨯=⨯-⨯△112cos 24h θ⎛⎫=⨯= ⎝．23．解：（1）当1a b c ===时,不等式()4f x >化为1114x x ++-+>, 即113x x ++->．当1x ≥时，化为113x x ++->．解得32x >；当11x -<<时，化为()113x x +-->，此时无解; 当1x ≤-时，化为()()113x x -+-->．解得32x <-．综上可得，不等式()4f x >的解集为:33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵0a >,0b >，0c >，∴由绝对值不等式得()()()3f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=．由基本不等式得：22b a b a +≥=，22c b c b +≥=,22a c a c +≥=， 当且仅当1a b c ===时，上面三式等号成立．三式相加得：222222b c a a b c a b c a b c +++++≥++, 整理即得2223b c a a b c a b c ++≥++=．故2223b c a a b c ++≥．。

2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r 36x y+=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．4D 【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。

2020届河北省衡水密卷高三第七次调研考试理科综合能力测试★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 S 32 K39 Cr 52 Mn 55 Fe 56第I卷（选择题1264分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于真核细胞中转录的叙述，错误的是A．tRNA、rRNA和mRNA都从DNA转录而来B．同一细胞中两种RNA和合成有可能同时发生C．细胞中的RNA合成过程不会在细胞核外发生D．转录出的RNA链与模板链的相应区域碱基互补2．下列与细胞相关的叙述，错误的是A．动物体内的激素可以参与细胞间的信息传递B．叶肉细胞中光合作用的暗反应发生在叶绿体基质中C．癌细胞是动物体内具有自养能力并快速增殖的细胞D．细胞凋亡是由基因决定的细胞自动结束生命的过程3．植物光合作用的作用光谱是通过测量光合作用对不同波长光的反应（如O2的释放）来绘制的。

一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1答案：C 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．点评：本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-答案：A 【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 解：由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.点评：本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱答案：A 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.点评：该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8答案：C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.解：不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C点评：本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>答案：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 解：1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.点评：离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52答案：C 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．解：由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题. 8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513答案：C 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.解：由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos sin ααααππππααβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 解：f （x ）=2sin （ωx﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ，∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭答案：C 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.解：设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 点评：本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23,233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 解：连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===, 所以1A DM的最小面积为111122A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C点评：本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 答案：A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.解：由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.点评：本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 答案：240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.解：二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.点评：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 答案：乙 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.解：如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾， 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.点评：本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.答案：45【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．解：因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 点评：本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题． 16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 答案：()2,4由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B B B B B B ===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B +=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.答案：（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．解：（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=， 由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，z =m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.点评：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.答案：（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出．解：（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c +=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =- 故存在满足条件的直线．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.答案：（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.点评：本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()()ln ,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.答案：(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.解：（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下 当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增 （2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点； 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x << ()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x a f x ax x=-+ 23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增 由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x 点评：本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案：（1）（2）(0,.【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 点评：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=答案：证明过程详见解析【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果解：证明：(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=1a b c===时，取等号．点评：本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。

河北省衡水中学2017届高三数学下学期七调试题理（扫描版）2016—2017学年度高三下学期七调考试高三年级数学试卷（理科）一．选择题（共7小题） 1．A 【解析】原式212ii==-- 2．A 【解析】333||a b a b b >⇒>≥ ,所以充分性成立; ()()3312,12->--<- ,所以必要性不成立,因此选A.3．A 【解析】从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，小于33且不重复，依次为17,23,20,24.故选A 。

4 B 【解答】解：∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB|=|AF 2|=|BF 2|，．由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，∴|BF 1|=2a ．又|BF 2|﹣|BF 1|=2a ，∴|BF 2|=4a ．∴|AF 2|=4a ，|AF 1|=6a ．在△AF 1F 2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c 2=7a 2，∴=．故选B ．5. D 【解答】解：画出函数f （x ）的图象，如图示： 若方程f （x ）=4有且仅有一个解， 则，解得：，即1≤a ≤4，故选：D ．6.B 【解答】解：根据题意，本程序框图意义为计算生产总值．由题意，a=3151，b=1.105，n=2008本程序为“当型“循环结构当满足a ＞8000时，跳出循环，输出年份n当不满足a ＞8000时，执行语句n=n+1根据已知，a 为2008年生产总值，b“1+增长率“ 故执行的语句应为a=a ×b 故答案为B ．7． C 【解答】解：根据三棱锥的正视图如图所示，第一个图是选项A 的模型；第二个图是选项B 的模型；第三个图是选项D 的模型．故选；C8．A 【解析】试题分析：P 是d 的减函数，所以去掉C; 由(1)(2)(9)1P P P +++=得，选A:对于1lg 1P d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2310(1)(2)(9)lg lg101129P P P +++=⨯⨯⨯==； 对于12P d =+，111(1)(2)(9)13411P P P +++=+++>； 对于3152d P =⨯，911(1)322(1)(2)(9)11512P P P -+++=<- 9.B 【解答】解：方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y 1=﹣x ，y 2=tanx 的图象，如下图所示：则a 1，a 2，…，a n ，…，为y=﹣x 与y=tanx 图象在y 轴右侧的交点横坐标，则在每一个周期π内，y 1，y 2都有一个交点，在x ＞0为正根，交点都位于使tanx 为负数的半周期内，因此有：，故A 错；交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近x=k π+，k ∈Z ，的垂直渐近线，即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π， 这样有：a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n ，即2a n+1＜a n+2+a n ，故选B ．10.D 【解答】解：对于①，根据三角函数的定义可知x 0=rcosx ，y 0=rsinx ， 所以sicos θ===sinx+cosx=sin （x+），因为﹣1≤sin （x+）≤1，所以﹣≤sin （x+）≤，即该函数的最大值为＜，其图象与直线y=无公共点，①错误；对于②，因为y=sicos θ=f （）=sin （+）=0，所以该函数的图象关于点（，0）对称，②正确；对于③，函数y=sicos θ=f （x ）=sin （x+）的图象不关于y 轴对称，不是偶函数，③错误；对于④，因为y=f（x）=sicosθ=sin（x+），所以由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z即该函数的单调递增区间为，k∈Z，④正确．综上可得，正确的命题有2个，是②④．故选：D．11.A【解答】解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，在直角△SMO中，tan∠SMN==，圆C：x2+y2﹣my=0的圆心为（0，），半径r=，设切线为y=kx+3，k＞0，由相切的条件可得=，①MN=2=，即有k=，②将②代入①可得m=2，k=，则MN=，由y=x+3和抛物线x2=﹣2py，可得x2+2px+6p=0，由判别式12p2﹣24p=0，解得p=2，求得切点A（﹣2，﹣3），由于=λ，即MN∥AB，则AB=4，即有λ==4．故选：A．12.A【解答】解：当x∈时，y=1，当x∈上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，……7分∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，故，……8分从而，∴．由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．①当x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即在（x0，+∞）上恒成立，记，则，从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴．故在（x0，+∞）上恒成立，只需，∴．……11分②当0＜x＜x0时，，当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，综上所述，实数c的取值范围为：． (12)分22、.1.由消去得:,所以直线的普通方程为,由,得,把,代入上式,得,所以曲线的直线坐标方程为. ……5分2.将直线的参数方程代入,得,设两点对应的参数分别为,则,,所以, 当时,的最小值为. ……10分（24）（本小题满分10分）解：（I ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+--≤+-=1,1311,31,13)(x x x x x x x f . …………………………1分当1-≤x 时，由413<+-x 得1->x ，此时无解；当11≤<-x 时，由43<+-x 得1->x ，∴11≤<-x ；当1>x 时，由413<-x 得35<x ，∴351<<x . …………………………4分 综上，所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-351x x . …………………………5分 （II ）由（I ）的函数解析式可以看出函数)(x f 在)1,(-∞单调递减，在),1(+∞单调递增，故)(x f 在1=x 处取得最小值，最小值为2)1(=f ， ………………………7分 不等式1)(+≥a x f 对任意的R x ∈恒成立等价于12a +≤，即212≤+≤-a ，解得13≤≤-a ，故a 的取值范围为{}13≤≤-a a . …………10分。

河北省衡水中学2017届高三数学下学期七调试题理（扫描版）2016—2017学年度高三下学期七调考试高三年级数学试卷（理科）一．选择题（共7小题） 1．A 【解析】原式212ii==-- 2．A 【解析】333||a b a b b >⇒>≥ ,所以充分性成立; ()()3312,12->--<- ,所以必要性不成立,因此选A.3．A 【解析】从随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，小于33且不重复，依次为17,23,20,24.故选A 。

4 B 【解答】解：∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB|=|AF 2|=|BF 2|，．由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，∴|BF 1|=2a ．又|BF 2|﹣|BF 1|=2a ，∴|BF 2|=4a ．∴|AF 2|=4a ，|AF 1|=6a ．在△AF 1F 2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c 2=7a 2，∴=．故选B ．5. D 【解答】解：画出函数f （x ）的图象，如图示： 若方程f （x ）=4有且仅有一个解， 则，解得：，即1≤a ≤4，故选：D ．6.B 【解答】解：根据题意，本程序框图意义为计算生产总值．由题意，a=3151，b=1.105，n=2008本程序为“当型“循环结构当满足a ＞8000时，跳出循环，输出年份n当不满足a ＞8000时，执行语句n=n+1根据已知，a 为2008年生产总值，b“1+增长率“ 故执行的语句应为a=a ×b 故答案为B ．7． C 【解答】解：根据三棱锥的正视图如图所示，第一个图是选项A 的模型；第二个图是选项B 的模型；第三个图是选项D 的模型．故选；C8．A 【解析】试题分析：P 是d 的减函数，所以去掉C; 由(1)(2)(9)1P P P +++=得，选A:对于1lg 1P d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2310(1)(2)(9)lg lg101129P P P +++=⨯⨯⨯==； 对于12P d =+，111(1)(2)(9)13411P P P +++=+++>； 对于3152d P =⨯，911(1)322(1)(2)(9)11512P P P -+++=<- 9.B 【解答】解：方程sinx+xcosx=0可变为tanx+x=0，分别作出函数y 1=﹣x ，y 2=tanx 的图象，如下图所示：则a 1，a 2，…，a n ，…，为y=﹣x 与y=tanx 图象在y 轴右侧的交点横坐标，则在每一个周期π内，y 1，y 2都有一个交点，在x ＞0为正根，交点都位于使tanx 为负数的半周期内，因此有：，故A 错；交点的值越来越趋于负无穷大，越来越接近x=k π+，k ∈Z ，的垂直渐近线，即相邻交点的距离越来越大，最终接近于极限π， 这样有：a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n ，即2a n+1＜a n+2+a n ，故选B ．10.D 【解答】解：对于①，根据三角函数的定义可知x 0=rcosx ，y 0=rsinx ， 所以sicos θ===sinx+cosx=sin （x+）， 因为﹣1≤sin （x+）≤1，所以﹣≤sin （x+）≤，即该函数的最大值为＜，其图象与直线y=无公共点，①错误；对于②，因为y=sicos θ=f （）=sin （+）=0，所以该函数的图象关于点（，0）对称，②正确；对于③，函数y=sicos θ=f （x ）=sin （x+）的图象不关于y 轴对称，不是偶函数，③错误；对于④，因为y=f（x）=sicosθ=sin（x+），所以由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z即该函数的单调递增区间为，k∈Z，④正确．综上可得，正确的命题有2个，是②④．故选：D．11.A【解答】解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，在直角△SMO中，tan∠SMN==，圆C：x2+y2﹣my=0的圆心为（0，），半径r=，设切线为y=kx+3，k＞0，由相切的条件可得=，①MN=2=，即有k=，②将②代入①可得m=2，k=，则MN=，由y=x+3和抛物线x2=﹣2py，可得x2+2px+6p=0，由判别式12p2﹣24p=0，解得p=2，求得切点A（﹣2，﹣3），由于=λ，即MN∥AB，则AB=4，即有λ==4．故选：A．12.A【解答】解：当x∈时，y=1，当x∈上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，……7分∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，故，……8分从而，∴．由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．①当x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即在（x0，+∞）上恒成立，记，则，从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴．故在（x0，+∞）上恒成立，只需，∴．……11分②当0＜x＜x0时，，当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，综上所述，实数c的取值范围为：． (12)分22、.1.由消去得:,所以直线的普通方程为,由,得,把,代入上式,得,所以曲线的直线坐标方程为. ……5分2.将直线的参数方程代入,得,设两点对应的参数分别为,- 11 - 则,,所以, 当时,的最小值为. ……10分（24）（本小题满分10分）解：（I ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+--≤+-=1,1311,31,13)(x x x x x x x f . …………………………1分当1-≤x 时，由413<+-x 得1->x ，此时无解；当11≤<-x 时，由43<+-x 得1->x ，∴11≤<-x ；当1>x 时，由413<-x 得35<x ，∴351<<x . …………………………4分 综上，所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-351x x . …………………………5分 （II ）由（I ）的函数解析式可以看出函数)(x f 在)1,(-∞单调递减，在),1(+∞单调递增，故)(x f 在1=x 处取得最小值，最小值为2)1(=f ， ………………………7分 不等式1)(+≥a x f 对任意的R x ∈恒成立等价于12a +≤，即212≤+≤-a ，解得13≤≤-a ，故a 的取值范围为{}13≤≤-a a . …………10分。

河北省衡水中学2020届高三数学上学期七调考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =，则M N ⋃的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】{2}MN =，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2MN =，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2.已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】 转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3.设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2-B.12C. 4-D.14【答案】A 【解析】 【分析】 先计算1416f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4.设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A. 20 B. 30C. 44D. 88【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】{}n a 为等比数列，∴2621016aa a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5.设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n β⊥B. 若αβ⊥，//n α，则n β⊥C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6.如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）63633ππ-+63633ππ++2323π+D.63633π+【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=+3=22228S ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总，63+363==2S S Sπππ---=阴影总半圆，∴6363863+3633SPSππππ--===+阴影总.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x xωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x=的解析式可以为（）A.72sin56y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.72sin106y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.752sin106y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.752sin56y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】分析】由图可得()()0100ff⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解.【详解】由图像可知()()0100ff⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin12cos0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=.又图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Zππωπ+=∈，∴()615k k Zω=-+∈，当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题. 8.已知向量()1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =6=-，()4x λ+=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =，a 在b 方向上的投影为6-，∴36a b x b⋅+==-即12x =-.又 ()a b b λ+⊥，∴()0a b b λ+⋅=即130x y λ++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A.3C. 2D.3或2 【答案】C 【解析】 【分析】转化条件得3b a =，再利用222a be a+=即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 603ba==， ∴双曲线离心率2222a b e a+==. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可． 【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE 是三角形1BDD 中位线，题目计算距离最短，即求OE 与1BD 两平行线的距离，111,3,2DD BD BD ===，所以距离d ，结合三角形面积计算公式可得1111222S BD DD BD d =⋅⋅=⋅⋅，解得6d =，故选B ． 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大．11.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||23AB =，则||PA PB +的最大值为（ ）A. 32B. 82C. 52D. 822+【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，将||PA PB +转化为点P 到弦AB 的中点D 的距离的两倍，利用图形即可得解.【详解】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r，易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥，∴点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，半径为2，若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：∴2PA PB PD +=.连接CD，由||AB =易知2431CD.∴maxmax11PDPC CD =+==，∴max max||22PA PB PD+==.故选：D.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合的思想，属于难题. 12.已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ）A. 2ln2-B. ln 2-C. ln21-D. ln 22-【答案】B 【解析】 【分析】转化条件得()3ln 1x m x n -+-，求出()()3ln f x x m x =-+的最小值后即可得()()()33ln 31m m m n +-++≥-，可得()321ln 333n m m m -≤-+-++，最后求出()()21ln 0g x x x x=-->的最大值即可得解. 【详解】由题意得()3ln 1x m x n -+-恒成立， 令()()3ln f x x m x =-+，则()()()30x m f x x x-+'=>， 若30m +<，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x +→时()f x →-∞，不合题意； 若30m +>，当()0,3x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()3,x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 最小值为()3f m +.∴()()()()333ln 31f m m m m n +=+-++≥-，∴()()()()()33ln 32321ln 33333m m m n m m m m m +-++--≤=-+->-+++， 令()()21ln 0g x x x x =-->，则()()221220x g x x x x x-+'=-+=>， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()()2ln 2g x g ≤=-， ∴()21ln 3ln 23m m -+-≤-+即33n m -+的最大值为ln 2-.故选：B.【点睛】本题考查了导数的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化化归的思想，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. 【答案】85【解析】 【分析】转化条件得2sin cos αα=，22cos sin 22cos ααα+=，求出2cos α后即可得解. 【详解】1tan 2α=，∴sin 1cos 2αα=即2sin cos αα=， ∴22221sin cos cos cos 14αααα+=+=即24cos 5α=，∴2228cos sin 2cos 2sin cos 2cos 5αααααα+=+⋅==.故答案为：85. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.14.设样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，则122019,,,y y y 的方差为_______【答案】20. 【解析】 【分析】利用方差的性质直接求解即可. 【详解】因为样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，所以122019,,,y y y 的方差为25220⨯=.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.15.某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种. 【答案】36 【解析】 【分析】先用捆绑法把歌曲A 和舞蹈A 看成一个整体，再和其他两个节目全排列，最后把歌曲B 和舞蹈B 插空即可得解.【详解】把歌曲A 排在舞蹈A 前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有33A 种排法，再用歌曲B 和舞蹈B 插空且均不排在最后，有23A 种排法.所以共有323336A A ⋅=种排法. 故答案为：36.【点睛】本题考查了排列组合应用，属于基础题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π 【解析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解.【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=. 在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ， 易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅= ∴227OC GC GO =+∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π 【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17.已知向量3cos,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2sin ,cos 22x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函1()2f x m n =+⋅.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1()2f A =. （1）求A 的大小；（2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.【答案】（1）3A π=（2）3c =【分析】（1）转化条件得()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1()2f A =即可得解；（2）转化条件得sin 2sin B C =，利用正弦定理可得2b c =，利用余弦定理即可得解. 【详解】根据题意得21131cos 1()3sin cos cos sin 2222222x x x x f x m n x +=+⋅=-+=-+ 31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （1）因为1()sin 62f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0A π<<，所以3A π= （2）因为2cos()cos 4sin B C A C -+=.所以()2cos()cos 4sin B C B C C --+=，所以22sin sin 4sin B CC ⋅=.因为sin 0C ≠，所以sin 2sin B C =. 根据正弦定理得2b c =.又由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即22219442c c c =+-⨯，解得3c =. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算、三角恒等变换和解三角形的应用，属于中档题. 18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）26- 【解析】 【分析】（1）先证明BC ⊥平面ACD ，再证明//BC DE 后即可得DE ⊥平面ACD ，即可得证； （2）建立空间坐标系后分别求出平面DAE 的一个法向量1n 和平面ABE 的一个法向量2n ，求出12cos ,n n 后即可得解.【详解】（1）证明：因为AB 是半圆O 的直径，所BC AC ⊥. 因为DC 垂直于O 所在的平面，BC O ⊂，所以DC BC ⊥，所以BC ⊥平面ACD . 因为//DC EB ，且1DC EB ==， 所以四边形BCDE 为平行四边形. 所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD .（2）由题意，22AC BC ==，CA 、CB 、CD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,1)D ，(0,2,1)E ，(22,0,0)A ，(0,2,0)B ，所以(22,22,0)AB =-，(0,0,1)BE =，2,0)DE =，(22,0,1)DA =-.设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111220,220,x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令11x =，则1(1,0,22)n =.设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,n BE nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,22220,z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩则2(1,1,0)n =， 则1212122cos ,92n n n n n n ⋅===⋅. 因为二面角D AE B --是钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为26-. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定与空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.【答案】（1）分布列见解析；34；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在[)[)[)20,3030,4040,50，，内的人数，可得X 的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望；（2）设年龄在[)30,50内的人数为Y ，则()20,0.35Y B ~，设()()1P Y k t P Y k ===-,可得若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=；若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=，从而可得结果. 【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)30,40内的人数为0.010820.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++人. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===， ()21623815128C C P X C ===， ()1262383228C C P X C ===， 所以X 的分布列为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=. （2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50内的人数为Y ，Y 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=， 所以()20,0.35Y B ~，所以()()()20200.3510.35k kkP Y k C -==- ()0,1,2,,20k =.设()()1P Y k t P Y k ====-()()()()20201211200.3510.350.3510.35kk kk kk C C-----=-()()7211,2,,2013k k k-=，若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，7k =.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF的最大值.【答案】（1）见解析； （2【解析】 【分析】(Ⅰ) 联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=.设P 点的坐标为(),ppx y ，Q 点的坐标为(),qqx y ,再计算出ON 的斜率为13ONkk=-，MF 的斜率为1MF k k=-，即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直. (Ⅱ)先求出()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+()()()4222222222221442112424313131p q k k k kx x k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=-=⎢⎥+++⎣⎦，再求I max ，即得PQ MF的最大值.【详解】(Ⅰ)联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=. 设P 点的坐标为(),p p x y ，Q 点的坐标为(),q q x y ，则221231p q k x x k +=+，2212631p q k x x k -=+. 于是有()24431p q p q ky y k x x k k -+=+-=+.因为PQ 的中点为N ，所以22262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因此ON 的斜率为13ON k k =-. 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以13,M k ⎛⎫-⎪⎝⎭.故MF 的斜率为1MFk k=-， 即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直，2MFQ π∠=.(Ⅱ)设()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+ ()()22224p q p q p q k x x k x x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦ ()()42222222221442112424313131k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=⎢⎥+++⎣⎦. 令231u k =+，则()()222121611116119833223416u u I u u u u ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 由于2311u k ＞=+，故101u≤＜. 因此I 3max =(当4u =时取到最大值，也即1k =±). 综上所述，PQMF. 【点睛】（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出()2222212431PQ k I k MF k +⎛⎫== ⎪⎝⎭+，其二是求函数的最大值. 21.已知函数()2()4x f x x x e -=+-.（1）若不等式()f x m 在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R ∈，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围. 【答案】（1）2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）转化条件得min ()f x m ，利用导数求出()f x 在区间[1,3]上的最小值即可； （2）求导得()2()5x Fx x x e a '-=-++-，由极大值可得可知014x -<<且()02005x a x x e -=-++，则()(0300044)x F x x x e -=--，利用导数求出()3()44x h x x x e -=--在014x -<<的值域即可得解.【详解】（1）若不等式()f x m 在[1,3]x ∈上有解，则min ()f x m .因为()2()4x f x x x e -=+-， 所以()2()5x f x x x e '-=-++.令22121()524g x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,3]x ∈，则易知()g x 在[1,3]x ∈上单调递减，且(1)50g =>，(3)10g =-<.故存在1(1,3)x ∈，使得()f x 在区间)1[1,x 上单调递增，在区间1(,3]x 上单调递减.所以，当[1,3]x ∈时，min 2()min{(1),(3)}f x f f e==-， 故实数m 的取值范围为2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由题意知()2()()4x F x f x ax x x e ax -=-=+--，所以，()2()5x Fx x x e a '-=-++-.记()2()5x G x xx e -=-++，则()(1)(4)xG x x x e'-=+-，所以，()G x 仅在在区间(1,4)-上单调递减. 若0x 是()F x 的极大值点，则014x -<<， 且()02005x a xx e -=-++，所以，()()()023000000444x x F x x x eax x x e -----=+-=记()3()44x h x xx e -=--，则()(1)(4)xh x xe x x '-=-+⋅-.所以，()h x 在区间(1,0)-上单调递减，在区间(0,4)上单调递增，易知(0)4h =-，(1)h e -=-，444(4)h e =， 所以，当(1,4)x ∈-时，4444()h x e -<， 所以，()04444F x e -≤<， 即()0F x 的取值范围为4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的应用和存在问题的解决方法，考查了转化划归思想和计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12,13⎛ ⎝⎭；（2【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{2x ty =+=代入曲线C 的普通方程2214xy +=，得21356480++=t t ，由韦达定理和中点坐标公式求得12028213t t t +==-，代入直线的参数方程可得点M 的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数t 的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得22127cos 4sin αα=+，求得tan α的值即得斜率. 试题解析：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程2214x y +=．（1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{x ty =+=（t 为参数）．代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480++=t t ，则12028213t t t +==-， 所以，点M的坐标为12,13⎛ ⎝⎭．（2）将2cos {sin x t y t αα=+=代入2214x y +=，得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=，因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+． 得25tan 16α=．由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=所以直线l考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数()|2||1|()f x x m x m R =+--∈.（1）若2m =-，解不等式()5f x ；（2）若()|5|f x m x +，求m 的最小值.【答案】（1）5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）12 【解析】【分析】（1）转化条件得3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，分类讨论即可得解；（2）转化条件得|2||5||1|x mx x +++-恒成立，令|2|()|5||1|x g x x x +=++-，分类讨论求出()g x 最大值即可得解 【详解】（1）当2m =-时，3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，()5f x 可转化为135x x ≥⎧⎨≥⎩或2145x x -<<⎧⎨-≥⎩或235x x ≤-⎧⎨-≥⎩， 所以不等式的解集为5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）根据题意，x R ∀∈，|2||1||5|x m x m x +--+， 即x R ∀∈，|2||5||1|x m x x +++-. 记不等式右边函数为()g x ，根据题意()()[)1,(,5][1,)21()2,(5,2)612,2,16x g x x x x x ⎧∈-∞-⋃+∞⎪⎪⎪=-+∈--⎨⎪⎪+∈-⎪⎩于是()g x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因此实数m 的最小值为12. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题的解决，考查了转化划归思想和分类讨论思想，属于中档题.。

河北省衡水中学2021届高三数学上学期七调考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =，则M N ⋃的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】{2}MN =，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2MN =，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2.已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】 转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3.设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2-B.12C. 4-D.14【答案】A 【解析】 【分析】 先计算1416f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4.设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A. 20 B. 30C. 44D. 88【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】{}n a 为等比数列，∴2621016aa a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5.设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n β⊥B. 若αβ⊥，//n α，则n β⊥C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6.如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）63633ππ-+63633ππ++2323π+D.63633π+【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=+3=22228S ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总，63+363==2S S S πππ---=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A. 72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. 72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. 752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈，∴()615k k Z ω=-+∈，当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题. 8.已知向量()1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =6=-，()4x λ+=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =，a 在b 方向上的投影为6-，∴36a b x b⋅+==-即12x =-.又 ()a b b λ+⊥，∴()0a b b λ+⋅=即130x y λ++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A.3C. 2D.3或2 【答案】C 【解析】 【分析】转化条件得3b a =，再利用222a be a+=即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 603ba==， ∴双曲线离心率2222a b e a+==. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可． 【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE 是三角形1BDD 中位线，题目计算距离最短，即求OE 与1BD 两平行线的距离，111,3,2DD BD BD ===，所以距离d ，结合三角形面积计算公式可得1111222S BD DD BD d =⋅⋅=⋅⋅，解得6d =，故选B ． 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大．11.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||23AB =，则||PA PB +的最大值为（ ）A. 32B. 82C. 52D. 822+【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，将||PA PB +转化为点P 到弦AB 的中点D 的距离的两倍，利用图形即可得解.【详解】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r，易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥，∴点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，半径为2，若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：∴2PA PB PD +=.连接CD，由||AB =易知2431CD.∴maxmax11PDPC CD =+==，∴max max||22PA PB PD+==.故选：D.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合的思想，属于难题. 12.已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ）A. 2ln2-B. ln 2-C. ln21-D. ln 22-【答案】B 【解析】 【分析】转化条件得()3ln 1x m x n -+-，求出()()3ln f x x m x =-+的最小值后即可得()()()33ln 31m m m n +-++≥-，可得()321ln 333n m m m -≤-+-++，最后求出()()21ln 0g x x x x=-->的最大值即可得解. 【详解】由题意得()3ln 1x m x n -+-恒成立， 令()()3ln f x x m x =-+，则()()()30x m f x x x-+'=>， 若30m +<，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x +→时()f x →-∞，不合题意； 若30m +>，当()0,3x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()3,x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 最小值为()3f m +.∴()()()()333ln 31f m m m m n +=+-++≥-，∴()()()()()33ln 32321ln 33333m m m n m m m m m +-++--≤=-+->-+++， 令()()21ln 0g x x x x =-->，则()()221220x g x x x x x-+'=-+=>， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()()2ln 2g x g ≤=-， ∴()21ln 3ln 23m m -+-≤-+即33n m -+的最大值为ln 2-.故选：B.【点睛】本题考查了导数的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化化归的思想，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. 【答案】85【解析】 【分析】转化条件得2sin cos αα=，22cos sin 22cos ααα+=，求出2cos α后即可得解. 【详解】1tan 2α=，∴sin 1cos 2αα=即2sin cos αα=， ∴22221sin cos cos cos 14αααα+=+=即24cos 5α=，∴2228cos sin 2cos 2sin cos 2cos 5αααααα+=+⋅==.故答案为：85. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.14.设样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，则122019,,,y y y 的方差为_______【答案】20. 【解析】 【分析】利用方差的性质直接求解即可. 【详解】因为样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，所以122019,,,y y y 的方差为25220⨯=.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.15.某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种. 【答案】36 【解析】 【分析】先用捆绑法把歌曲A 和舞蹈A 看成一个整体，再和其他两个节目全排列，最后把歌曲B 和舞蹈B 插空即可得解.【详解】把歌曲A 排在舞蹈A 前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有33A 种排法，再用歌曲B 和舞蹈B 插空且均不排在最后，有23A 种排法.所以共有323336A A ⋅=种排法. 故答案为：36.【点睛】本题考查了排列组合应用，属于基础题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π 【解析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解.【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=. 在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ， 易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅= ∴227OC GC GO =+∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π 【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17.已知向量3cos,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2sin ,cos 22x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函1()2f x m n =+⋅.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1()2f A =. （1）求A 的大小；（2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.【答案】（1）3A π=（2）3c =【分析】（1）转化条件得()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1()2f A =即可得解；（2）转化条件得sin 2sin B C =，利用正弦定理可得2b c =，利用余弦定理即可得解. 【详解】根据题意得21131cos 1()3sin cos cos sin 2222222x x x x f x m n x +=+⋅=-+=-+ 31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （1）因为1()sin 62f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0A π<<，所以3A π= （2）因为2cos()cos 4sin B C A C -+=.所以()2cos()cos 4sin B C B C C --+=，所以22sin sin 4sin B CC ⋅=.因为sin 0C ≠，所以sin 2sin B C =. 根据正弦定理得2b c =.又由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即22219442c c c =+-⨯，解得3c =. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算、三角恒等变换和解三角形的应用，属于中档题. 18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）26 -【解析】【分析】（1）先证明BC⊥平面ACD，再证明//BC DE后即可得DE⊥平面ACD，即可得证；（2）建立空间坐标系后分别求出平面DAE的一个法向量1n和平面ABE的一个法向量2n，求出12cos,n n 后即可得解.【详解】（1）证明：因为AB是半圆O的直径，所BC AC⊥.因为DC 垂直于O所在的平面，BC O⊂，所以DC BC⊥，所以BC⊥平面ACD.因为//DC EB，且1DC EB==，所以四边形BCDE为平行四边形.所以//BC DE，所以DE⊥平面ACD，因为DE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD.（2）由题意，22AC BC==，CA、CB、CD两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,1)D，(0,2,1)E，(22,0,0)A，(0,2,0)B，所以(22,22,0)AB=-，(0,0,1)BE=，2,0)DE=，(22,0,1)DA=-.设平面DAE的一个法向量为()1111,,n x y z=，则110,0,n DEn DA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111220,220,x z⎧=⎪⎨-=⎪⎩令11x=，则1(1,0,22)n=.设平面ABE的一个法向量为()2222,,n x y z=，则220,0,n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,22220,z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩则2(1,1,0)n =， 则1212122cos ,92n n n n n n ⋅===⋅. 因为二面角D AE B --是钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为26-. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定与空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题. 19.2021年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.【答案】（1）分布列见解析；34；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在[)[)[)20,3030,4040,50，，内的人数，可得X 的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望；（2）设年龄在[)30,50内的人数为Y ，则()20,0.35Y B ~，设()()1P Y k t P Y k ===-,可得若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=；若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=，从而可得结果. 【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)30,40内的人数为0.010820.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++人. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===， ()21623815128C C P X C ===， ()1262383228C C P X C ===， 所以X 的分布列为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=. （2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50内的人数为Y ，Y 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=， 所以()20,0.35Y B ~，所以()()()20200.3510.35k kkP Y k C -==- ()0,1,2,,20k =.设()()1P Y k t P Y k ====-()()()()20201211200.3510.350.3510.35kk kk kk C C-----=-()()7211,2,,2013k k k-=，若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，7k =.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF的最大值.【答案】（1）见解析； （2【解析】 【分析】(Ⅰ) 联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=.设P 点的坐标为(),ppx y ，Q 点的坐标为(),qqx y ,再计算出ON 的斜率为13ONkk=-，MF 的斜率为1MF k k=-，即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直. (Ⅱ)先求出()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+()()()4222222222221442112424313131p q k k k kx x k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=-=⎢⎥+++⎣⎦，再求I max ，即得PQ MF的最大值.【详解】(Ⅰ)联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=. 设P 点的坐标为(),p p x y ，Q 点的坐标为(),q q x y ，则221231p q k x x k +=+，2212631p q k x x k -=+. 于是有()24431p q p q ky y k x x k k -+=+-=+.因为PQ 的中点为N ，所以22262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因此ON 的斜率为13ON k k =-. 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以13,M k ⎛⎫-⎪⎝⎭.故MF 的斜率为1MFk k=-， 即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直，2MFQ π∠=.(Ⅱ)设()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+ ()()22224p q p q p q k x x k x x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦ ()()42222222221442112424313131k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=⎢⎥+++⎣⎦. 令231u k =+，则()()222121611116119833223416u u I u u u u ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 由于2311u k ＞=+，故101u≤＜. 因此I 3max =(当4u =时取到最大值，也即1k =±). 综上所述，PQMF. 【点睛】（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出()2222212431PQ k I k MF k +⎛⎫== ⎪⎝⎭+，其二是求函数的最大值. 21.已知函数()2()4x f x x x e -=+-.（1）若不等式()f x m 在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R ∈，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围. 【答案】（1）2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）转化条件得min ()f x m ，利用导数求出()f x 在区间[1,3]上的最小值即可； （2）求导得()2()5x Fx x x e a '-=-++-，由极大值可得可知014x -<<且()02005x a x x e -=-++，则()(0300044)x F x x x e -=--，利用导数求出()3()44x h x x x e -=--在014x -<<的值域即可得解.【详解】（1）若不等式()f x m 在[1,3]x ∈上有解，则min ()f x m .因为()2()4x f x x x e -=+-， 所以()2()5x f x x x e '-=-++.令22121()524g x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,3]x ∈，则易知()g x 在[1,3]x ∈上单调递减，且(1)50g =>，(3)10g =-<.故存在1(1,3)x ∈，使得()f x 在区间)1[1,x 上单调递增，在区间1(,3]x 上单调递减.所以，当[1,3]x ∈时，min 2()min{(1),(3)}f x f f e==-， 故实数m 的取值范围为2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由题意知()2()()4x F x f x ax x x e ax -=-=+--，所以，()2()5x Fx x x e a '-=-++-.记()2()5x G x xx e -=-++，则()(1)(4)xG x x x e'-=+-，所以，()G x 仅在在区间(1,4)-上单调递减. 若0x 是()F x 的极大值点，则014x -<<， 且()02005x a xx e -=-++，所以，()()()023000000444x x F x x x eax x x e -----=+-=记()3()44x h x xx e -=--，则()(1)(4)xh x xe x x '-=-+⋅-.所以，()h x 在区间(1,0)-上单调递减，在区间(0,4)上单调递增，易知(0)4h =-，(1)h e -=-，444(4)h e =， 所以，当(1,4)x ∈-时，4444()h x e -<， 所以，()04444F x e -≤<， 即()0F x 的取值范围为4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的应用和存在问题的解决方法，考查了转化划归思想和计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12,13⎛ ⎝⎭；（2【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{2x ty =+=代入曲线C 的普通方程2214xy +=，得21356480++=t t ，由韦达定理和中点坐标公式求得12028213t t t +==-，代入直线的参数方程可得点M 的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数t 的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得22127cos 4sin αα=+，求得tan α的值即得斜率. 试题解析：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程2214x y +=．（1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{x ty =+=（t 为参数）．代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480++=t t ，则12028213t t t +==-， 所以，点M的坐标为12,13⎛ ⎝⎭．（2）将2cos {sin x t y t αα=+=代入2214x y +=，得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=，因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+． 得25tan 16α=．由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=所以直线l考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数()|2||1|()f x x m x m R =+--∈.（1）若2m =-，解不等式()5f x ；（2）若()|5|f x m x +，求m 的最小值.【答案】（1）5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）12 【解析】【分析】（1）转化条件得3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，分类讨论即可得解；（2）转化条件得|2||5||1|x mx x +++-恒成立，令|2|()|5||1|x g x x x +=++-，分类讨论求出()g x 最大值即可得解 【详解】（1）当2m =-时，3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，()5f x 可转化为135x x ≥⎧⎨≥⎩或2145x x -<<⎧⎨-≥⎩或235x x ≤-⎧⎨-≥⎩， 所以不等式的解集为5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）根据题意，x R ∀∈，|2||1||5|x m x m x +--+， 即x R ∀∈，|2||5||1|x m x x +++-. 记不等式右边函数为()g x ，根据题意()()[)1,(,5][1,)21()2,(5,2)612,2,16x g x x x x x ⎧∈-∞-⋃+∞⎪⎪⎪=-+∈--⎨⎪⎪+∈-⎪⎩于是()g x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因此实数m 的最小值为12. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题的解决，考查了转化划归思想和分类讨论思想，属于中档题.。