2019-2020年榆林市定边县高二上册期末数学试题(理)(有答案)-名师推荐

2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。

陕西省榆林市定边县高二（上）期末数学试卷（理科）一、（选择题）1．（3分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）A．B．2C．D．22．（3分）命题“∃0∈R，2++2＜0”的否定是（）A．∃0∈R，2++2≥0 B．∀∈R，2++2≥0C．∀∈R，2++2＜0 D．∀∈R，2++2＞03．（3分）已知数列{an }中，an﹣an﹣1=2（n≥2），且a1=1，则此数列的第10项是（）A．18 B．19 C．20 D．214．（3分）已知函数f（）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣165．（3分）设a，b∈R，则“a＞b是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．7．（3分）曲线y=﹣3+32在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3﹣1 B．y=﹣3+5 C．y=3+5 D．y=28．（3分）设函数f（）在=1处存在导数，则=（）A．B．3f'（1）C．f'（1）D．f'（3）9．（3分）下列命题中真命题的个数是（）①∀∈R，4＞2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀∈R，3﹣2+1≤0”的否定是“∃∈R，3﹣2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）若双曲线以y=±2为渐近线，且过A（1，2），则双曲线的方程为（）A．﹣2=1 B．2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．812．（3分）已知集合A={∈R|2﹣5≥0}，集合B={∈R|2﹣4+3＜0}，则A∩B=（）A．B．{|1＜＜3} C．D．二、填空题13．（3分）若f（）=sincos，f'（0）= ．14．（3分）若＞0，则的最小值为．15．（3分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8的焦点重合，则a= ．16．（3分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=2+y的最大值为．三、解答题17．求下列椭圆的标准方程：（1）．（2）已知椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），且椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10．18．求下列函数的导数：（1）y=2（ln+sin）；（2）（3）（4）y=2 5+3 4﹣4 3+7．19．求下列函数在给定点处的切线方程（1）已知曲线y=3+32+6﹣10，（﹣1，﹣14）（2）已知曲线，（1，0）（3）已知曲线，（1，1）20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4，焦点在轴上（2）焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16（3）焦点为（0，﹣5），（0，5），经过点（，2）21．等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式{an}．（2）求前n项和Sn ，并求S3．陕西省榆林市定边县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、（选择题）1．（3分）在△ABC中，A=45°，B=60°，a=，则b=（）A．B．2C．D．2【解答】解：∵，A=45°，B=60°，a=，∴由正弦定理可得：b===．故选：C．2．（3分）命题“∃0∈R，2++2＜0”的否定是（）A．∃0∈R，2++2≥0 B．∀∈R，2++2≥0C．∀∈R，2++2＜0 D．∀∈R，2++2＞0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃0∈R，2++2＜0”的否定是∀∈R，2++2≥0．故选：B．3．（3分）已知数列{an }中，an﹣an﹣1=2（n≥2），且a1=1，则此数列的第10项是（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵an ﹣an﹣1=2，且a1=1，∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为an=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴a10=19故选B4．（3分）已知函数f（）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16【解答】解：函数的导数f′（）=﹣2﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D5．（3分）设a，b∈R，则“a＞b是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但不成立，反之若b＞0，a＜0时，满足，但a＞b不成立，即“a＞b是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．（3分）下列方程表示焦点在y轴上且短轴长为2的椭圆是（）A．B．C．D．【解答】解：的焦点坐标在y轴上，短半轴长为1，短轴才为2；所以A正确；选项B、D，焦点坐标在轴上，不正确；选项C，短轴长为4，不正确；故选：A．7．（3分）曲线y=﹣3+32在点（1，2）处的切线方程为（）A．y=3﹣1 B．y=﹣3+5 C．y=3+5 D．y=2【解答】解：∵y=﹣3+32∴y'=﹣32+6，∴y'|=1=（﹣32+6）|=1=3，∴曲线y=﹣3+32在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（﹣1），即y=3﹣1，故选A．8．（3分）设函数f（）在=1处存在导数，则=（）A．B．3f'（1）C．f'（1）D．f'（3）【解答】解：∵函数f（）在=1处存在导数，∴==f′（1）．故选：A．9．（3分）下列命题中真命题的个数是（）①∀∈R，4＞2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀∈R，3﹣2+1≤0”的否定是“∃∈R，3﹣2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：易知①当=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选B．10．（3分）若双曲线以y=±2为渐近线，且过A（1，2），则双曲线的方程为（）A．﹣2=1 B．2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，双曲线以y=±2为渐近线，设双曲线的方程为﹣2=t，又由双曲线经过点A（1，2），则有﹣1=t，解可得t=4，则双曲线的方程为﹣=1；故选：D．11．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D12．（3分）已知集合A={∈R|2﹣5≥0}，集合B={∈R|2﹣4+3＜0}，则A∩B=（）A．B．{|1＜＜3} C．D．【解答】解：∵集合A={∈R|2﹣5≥0}={|}，集合B={∈R|2﹣4+3＜0}={|1＜＜3}，∴A∩B={|}．故选：C．二、填空题13．（3分）若f（）=sincos，f'（0）= 1 ．【解答】解：函数导数f′（）=coscos﹣sinsin=cos2﹣sin2=cos2，则f′（0）=cos0=1，故答案为：114．（3分）若＞0，则的最小值为10 ．【解答】解：∵＞0，则=10，当且仅当=5时取等号．故答案为：10．15．（3分）已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8的焦点重合，则a= ±．【解答】解：由抛物线y2=8，得2p=8，=2，其焦点坐标为F（2，0）．因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8的焦点重合，所以椭圆的右焦点为F（2，0）．则椭圆是焦点在轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得a=±．故答案为：±．16．（3分）设变量，y满足约束条件，则目标函数=2+y的最大值为12 ．【解答】12解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由=2+y，得y=﹣2+，平移直线y=﹣2+，由图象可知当直线y=﹣2+经过点C时，直线y=﹣2+的截距最大，此时最大．由，解得，即C（4，4）．此时的最大值为=2×4+4=4+8=12，故答案为：12．三、解答题17．求下列椭圆的标准方程：（1）．（2）已知椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），且椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆中a=6，e==，则有c=4，则b2=a2﹣c2=36﹣16=20，当椭圆的焦点在轴上时，其标准方程为+=1，当椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1，（2）椭圆的焦点F1，F2分别为（﹣4，0），（4，0），则c=4，椭圆上的动点P到两焦点F1，F2的距离之和等于10，则2a=10，即a=5，则b2=a2﹣c2=9，又由椭圆的焦点在轴上，则其标准方程为+=1．18．求下列函数的导数：（1）y=2（ln+sin）；（2）（3）（4）y=2 5+3 4﹣4 3+7．【解答】解：（1）函数的导数y′=2（ln+sin）+2（+cos）=2ln+2sin）++2cos；（2）y′==，（3）y′=（）ln+=，（4）y′=10 4+12 3﹣12 2．19．求下列函数在给定点处的切线方程（1）已知曲线y=3+32+6﹣10，（﹣1，﹣14）（2）已知曲线，（1，0）（3）已知曲线，（1，1）【解答】解：（1）y′=32+6+6，故y′|=﹣1=3﹣6+6=3，故切线方程是：y+14=3（+1），即3﹣y﹣11=0；（2）y′（）=1+，故y′|=1=2，故切线方程是：y﹣0=2（﹣1），即2﹣y﹣2=0；（3）y′==，故y′|=1，=1故切线方程是：y﹣1=（﹣1），即﹣y=0．20．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4，焦点在轴上（2）焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16（3）焦点为（0，﹣5），（0，5），经过点（，2）【解答】解：（1）∵a=3，b=4，焦点在轴上，∴双曲线的标准方程﹣=1，（2）∵焦点坐标为（0，10），（0，﹣10），∴焦点在y轴上，且c=10，∵双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16，∴2a=16，∴a=8，∴b2=c2﹣a2=100﹣64=36，∴双曲线的标准方程﹣=1，（3）根据题意，双曲线的焦点为（0，﹣5），（0，5），则其焦点在y轴上，且c=5，又由双曲线经过点（，2），∴﹣=1，又b2+a2=25，解得a2=9，b2=16，则双曲线的标准方程为﹣=121．等差数列{an }的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．（1）求通项公式{an}．（2）求前n项和Sn ，并求S3．【解答】解：（1）设等差数列{an }的公差为d．∵a10=30，a20=50．∴a1+9d=30，a1+19d=50，解得a1=12，d=2．∴an=12+2（n﹣1）=2n+10．（2）由（1）可得{an }前n项和Sn==11n+n2．S3=11×3+32=42．。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。

2019-2020 年高二上学期期末考试理科数学含答案注意事项：1.答题前，请先将自己的姓名、考场、考号在卷首的相应位置填写清楚；2.选择题答案涂在答题卡上，非选择题用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） .1．在ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a,b, c ，且 a 3b sin A ，则 sin BA.3B. 6C.3D.63332．抛物线 yx 2 焦点坐标是A ． ( 1，0)B ． ( 1 ， 0)C ． (0,1 ) D ． (0, 1 )44443．“ x 1”是“ x 2x ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2y 21与双曲线x 2y 2 1有相同的焦点，则 a 的值是4 aa21B ．1 或－ 2C ．1 或1 D ． 1A ．225．若 A (x,5x,2 x1) ， B (1,x 2, x) ，当 AB 取最小值时，x 的值为A ．6B ．3C ．2D ． 16．下列命题中为真命题的是①“若 x 2y 2 0 ，则 x, y 不全为零” 的否命题； ②“等腰三角形都相似” 的逆命题； ③“若m1，则不等式x 2 2x m 0 的解集为”的逆否命题。

RA ．①B ．①③C ．②③D ．①②③7. 设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1 a 2 的值为2a 3 a 4A ． 1B ．1112C ．D ．488．设 A 是△ ABC 中的最小角，且cos Aa 1 ，则实数 a 的取值范围是a 1A ． a ≥ 3B ． a ＞－ 1C ．－ 1＜ a ≤ 3D ． a ＞ 09．已知方程 ax 2by 2 ab 和ax by c 0(其中 ab0, a b, c 0) ，它们所表示的曲线可能是A ．B ．C ．D ．10. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 中， M 和 N 分别为 A 1B 1 和 BB 1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是2 3 10 2 A ．B ．C ．D ．5510511. 正方体 ABCD - A 1 B 1C 1D 1 中， BB 1 与平面 ACD 1 所成角的余弦值为A ．23 2 63B ．C ．D ．33312. 椭圆 x2y 21上有两点 P 、Q ，O 为原点，若 OP 、 OQ 斜率之积为1 ，16 4422则 OPOQ为A . 4B. 20C. 64D. 不确定2011—2012 学年度上学期期末模块质量调研试题高二（理）数学2012. 1第II 卷综合题（共90 分）题号二17 18 19 202122总分得分二、填空题 ：（本大题共 4 小题，每小题13．已知命题 p : xR ， sin x 1 ，则4 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上）p ： ____________.x2y21的离心率为 3 ，则两条渐近线的方程为________________. 14．若双曲线2b2a15．等差数列{a n}的前 n 项和为 S n,且a4a2 8 ， a3 a526.记T n S n，如果存在正整2n，T n M 都成立.则M的最小值是n数 M，使得对一切正整数.x y 5 016．若不等式组y a表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是_______.0x2三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）在△ ABC 中，a,b, c分别为角 A，B， C所对的三边，a2(b c)2bc,（I）求角 A；（II）若b c 2，求 b 的值. sin B18．（本小题满分 12 分）设 { a} 是等差数列， {b } 是各项都为正数的等比数列，且a b 1 ， b1 b2a2，n n11b3是 a1与 a4的等差中项。

2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。

2019-2020年高二上学期期末考试数学（理）试卷含答案一、选择题（每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 给出以下的输入语句，正确的是A. INPUT a;b;cB. INPUT x=3C. INPUT 20D. INPUT “a=”;a2. 若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是A. （3，－4）B. （－3，－4）C. （3，4）D. （－3，4）3. 命题甲“a>2”；命题乙：“方程x2+2x+a＝0无实数解”，则命题甲是命题乙成立的A. 充分不必要条件B. 充分且必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 两次都不中靶D. 只有一次中靶5. 下边的程序框图表示的算法的功能是A. 计算小于100的奇数的连乘积B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积C. 在从1开始的连续奇数的连乘积运算中，当乘积大于100时，计算奇数的个数D. 计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值6. 椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. B. C. D.7. 设平面上四个互异的点A、B、C、D，若·（）＝0，则△ABC的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形8. 已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆+＝1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

9. 命题“对任意x∈R，|x| ≥0”的否定是_________.10. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____，气温波动较大的城市是____.11. 某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样方法，应该选取大学____所，中学____所，小学____所．12. 如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为____.13. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为______.14. 已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x=______.三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分8分）用三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：（Ⅰ）3个矩形颜色都相同的概率；（Ⅱ）3个矩形颜色都不同的概率．16. （本小题满分8分）将一颗骰子分别投掷两次，观察出现的点数 .（Ⅰ）求出现点数之和为7的概率；（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝（m，n），q=（2，6），求向量p与q共线的概率.17. （本小题满分9分）已知，如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为.（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；（Ⅱ）若点F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.18. （本小题满分9分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据得到频数分布表和频率分布直方图.组号分组频数频率1 [0，2） 6 0.062 [2，4）8 0.083 [4，6）x 0.174 [6，8）22 0.225 [8，10）y z6 [10，12）12 0.127 [12，14） 6 0.068 [14，16） 2 0.029 [16，18） 2 0.02合计100（Ⅰ）求出频率分布表及频率分布直方图中的x，y，z，a，b的值；（Ⅱ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学中随机选取2名同学，求所抽取同学来自同一组的频率.19. （本小题满分10分）已知椭圆+＝1（a>b>0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）若直线l：y=k（x－1）与椭圆相交于A、B两点，以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，求直线l的方程.参考答案一、选择题（每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，若有2－3空题错一空扣1分，共24分.9. 存在x0∈R，使得|x0|<0 10. 乙，乙11. 1，20，2912. 13. 或14. 11三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019-2020学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．635．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z 的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【分析】进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选D．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．3．（5分）“x＞1”是“log（x+2）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由log（x+2）＜0得x+2＞1，即x＞﹣1，则“x＞1”是“log（x+2）＜0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【分析】由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=，代入即可得答案．【解答】解：由题意可得a3+a5=14，由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14，故S7====49，故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④【分析】利用四种命题关系写出四个命题，然后判断真假即可．【解答】解：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题：“若x，y互为相反数，则x+y=0”逆命题正确；②“全等三角形的面积相等”的否命题：“不全等三角形的面积不相等”，三角形的命题公式可知只有三角形的底边与高的乘积相等命题相等，所以否命题不正确；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题：“x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”，因为x2+2x+q=0没有实根，所以4﹣4q＜0可得q＞1，所以逆否命题正确；④“直角三角形有两个角是锐角”的逆命题：两个角是锐角的三角形是直角三角形，显然不正确．正确命题有①③．故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系，命题的真假的判断，基本知识的考查．6．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．7．（5分）设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．【解答】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（﹣12，6），目标函数z=x+y在x=﹣12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=﹣12+6=﹣6，故选B．【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2=，则△ABC的形状一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2=，转化为cosA=，整理即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，即cosA=，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角．故选：B．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】由题意可知直线过圆心，可得3m+n=2，从而+=（+），展开后利用基本不等式可求答案．【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选A．【点评】该题考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，变形+=（+）是解决本题的关键所在．10．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB=PD=a，E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面EFD所成角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，D为坐标原点．P（0，0，a），B（a，a，0），=（a，a，﹣a），又=（0，，），=0+=0，∴PB⊥DE．由已知DF⊥PB，又DF∩DE=D，∴PB⊥平面EFD，∴PB与平面EFD所成角为90°．故选：A．【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．（5分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0） B．=1（x≠0）C．=1（x≠0） D．=1（y≠0）【分析】根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于20，因此G 的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D【点评】本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r ＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知，则向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．【分析】⊥（﹣λ）⇔•（﹣λ）=0，解出即可得出．【解答】解：﹣λ=（﹣3+λ，2，1﹣4λ），∵⊥（﹣λ），∴•（﹣λ）=﹣3（﹣3+λ）+4+1﹣4λ=0，解得λ=2．∴向量与﹣λ垂直的充要条件是λ=2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）△ABC中，A、B、C对应边分别为a、b、c．若a=x，b=2，B=45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为．【分析】利用余弦定理，构建方程，根据解此三角形有两解，可得方程有两个不等的正根，从而可求x的取值范围【解答】解：由余弦定理可得：4=c2+x2﹣2cx×cos45°∴c2﹣xc+x2﹣4=0∵解此三角形有两解，∴方程有两个不等的正根∴△=2x2﹣4（x2﹣4）＞0，且x2﹣4＞0，x＞0∴x2﹣8＜0，且x2﹣4＞0，x＞0∴2＜x＜2故答案为：．【点评】本题重点考查余弦定理的运用，考查解三角形解的个数，解题的关键是利用余弦定理，构建方程，将解此三角形有两解，转化为方程有两个不等的正根．15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C 的离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，∵M是线段AB的中点，∴=1，=1，∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即，∴a=b，∴=b，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．16．（5分）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点（4，﹣）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在此双曲线上，求•．【分析】（1）设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，由双曲线过点（4，﹣），能求出双曲线方程．（2）由点M（3，m）在此双曲线上，得m=．由此能求出•的值．【解答】解：（1）∵双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，∴设双曲线方程为x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6，∴双曲线方程为=1．（2）∵点M（3，m）在此双曲线上，∴=1，解得m=．∴M（3，），或M（3，﹣），∵F 1（﹣2，0），，∴当M（3，）时，=（﹣2﹣3，﹣），=（，﹣），•=﹣12﹣6=0；当M（3，﹣）时，=（﹣2﹣3，），=（，），•=﹣12﹣6+6+9+3=0．故•=0．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查向量的数量积的求法，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．19．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，=3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2019-2020学年度高二上学期期末考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.经过点，倾斜角为的直线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：倾斜角为的直线的斜率为，再根据经过点，用点斜式求得直线的方程为，即，故选：D．根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，再用点斜式求得直线的方程．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求得直线的方程，属于基础题．2.为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A. 简单的随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为15，则输出N的值为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得满足条件N能被3整除，不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除，不满足条件，执行循环体，不满足条件N能被3整除，满足条件，退出循环，输出N的值为3．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量N的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，大圆的直径为的周期，且，面积为，一个小圆的面积为，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：．故选：B．根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．5.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有A.，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，故选：A．从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．6.由数字1，2，3，组成的三位数中，各位数字按严格递增如“156”或严格递减如“421”顺序排列的数的个数是A. 120B. 168C. 204D. 216【答案】B【解析】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，首先要从9个数字中选出3个数字，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有故选：B．本题是一个分步计数问题，解题时先要从9个数字中选出3个数字，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情，根据分步计数乘法原理，得到结果．本题考查分步计数原理，分步要做到完成了所有步骤，恰好完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．7.若直线过点，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】解：直线过点，，即，，当且仅当时上式等号成立．直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4．故选：C．把点代入直线，得到，然后利用，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是基础题．8.登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为处气温的度数为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意，，，代入到线性回归方程，可得，，由，可得．故选：D．求出，，代入回归方程，求出a，代入，将代入可求得x的估计值．本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．9.若直线：与：平行，则与间的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由得：，解得：，与间的距离，故选：B．先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．本题主要考查了两直线平行，的条件的应用，及两平行线间的距离公式的应用．10.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】解：甲、乙两组数据如茎叶图所示，它们的中位数相同，，解得，平均数也相同，，解得，．故选：C．由中位数相同，得到，由平均数也相同，得到，由此能求出．本题考查两数和的求法，考查平均数、中位数、茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则等于A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，取得红球的概率为，说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且底12次取得红球，故，故选：D．由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，即可求得的值．本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于基础题．12.已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为A. 4B.C. 5D.【答案】C【解析】解：设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则．四边形ABCD的面积为：，当且仅当时取等号，故选：C．设圆心到AC、BD的距离分别为、，则，代入面积公式，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．本题考查圆中弦长公式得应用以及基本不等式的应用，四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．【答案】【解析】解：中，通项公式为，令，得，．故答案为：．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x项的系数即可．本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．14.在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图如图，但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为______．【答案】160【解析】解：根据频率分布直方图中频率和等于1，得；年龄组为的数据频率为，估计这800名志愿者年龄在的人数为．故答案为：160．根据频率分布直方图中频率和等于1，计算年龄组为的数据频率，求出对应的频数即可．的应用问题，是基础题本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率频数样本容量目．15.在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是______．【答案】【解析】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点，，，的距离之和为：，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．，，，，，BD的方程分别为：，，即，．解方程组得．故答案为：．如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．16.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛每科一人，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为______．【答案】96【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：，从5名学生中选出的4名学生没有甲，需要将选出的4名学生全排列，参加四科竞赛，有种情况，，从5名学生中选出的4名学生有甲，则甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛，有3种情况，在剩余的4名学生中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种情况，此时有种情况，故有种不同的参赛方案种数，故答案为：96．根据题意，分2种情况讨论：，从5名学生中选出的4名学生没有甲，需要将选出的4名学生全排列，参加四科竞赛，，从5名学生中选出的4名学生有甲，则甲可以参加数学、物理、化学这三科的竞赛，在剩余的4名学生中任选3人，参加剩下的三科竞赛，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求过点且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．【答案】解：当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，故直线的方程为，故满足条件的直线方程为或．【解析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得a的值，从而得到直线方程．本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想．18.已知向量，Ⅰ若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为1，2，3，4，5，先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足的概率；Ⅱ若x，y在连续区间上取值，求满足的概率【答案】解：Ⅰ将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为，分满足即的基本事件为，，，共3个，分故概率为分Ⅱ若x，y在上取值，则全部基本事件的结果为，，分满足的基本事件的结果为，且分画出图形如图，矩形的面积为矩形，阴影部分的面积为阴影，分故满足的概率为分【解析】Ⅰ利用列举法确定基本事件，即可求满足的概率；Ⅱ以面积为测度，满足的基本事件的结果为，且即可求出．本题考查概率的计算，考查古典概型，几何概型，属于中档题．19.如图，四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，．求SC与平面ASD所成的角余弦；求平面SAB和平面SCD所成角的余弦．【答案】解：作交AD的延长线于E，，．又面ABCD，，，面SAD，SE是SC在面SAD内的射影，是SC与平面ASD所成的角，易得，，在中，由面ABCD，知面面SAB，在面SAB的射影是，而的面积，设SC的中点是M，，，的面积设平面SAB和平面SCD所成角为，则由面积射影定理得【解析】作交AD的延长线于E，由，平面ABCD，可证得面ABCD，进而面SAD，则是SC与平面ASD所成的角，解即可得到答案．由面ABCD，知面面SAB，在面SAB的射影是，分别求出而的面积和的面积，代入，即可得到答案．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的角，其中的关键是证得是SC与平面ASD所成的角，的关键是证得，在面SAB的射影是，进而．20.如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统、，当元件A、B、C都正常工作时，系统正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统正常工作系统，正常工作的概率分别为，，Ⅰ若元件A、B、C正常工作的概率依次为，，，求，；Ⅱ若元件A、B、C正常工作的概率的概率都是，求，，并比较，的大小关系．【答案】解：设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，，，故，分分，，分，分分又，故，即分【解析】设元件A、B、C正常工作为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，则，，，，，由此能求出结果．，，，由此能比较，的大小关系．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.2018年9月，台风“山竹”在沿海地区登陆，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集到的数据分成五组：，，，，单位：千元，并作出如下频率分布直方图Ⅰ台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如表格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4千元有关？Ⅱ将上述调查得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取一户居民，连抽3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4千元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望．附：临界值表：随机变量：，其中．【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4千元的有70人，经济损失超过4千元的有30人，分则表格数据如下：，分故有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4千元有关；分Ⅱ由频率分布直方图可知，抽到自身经济损失超过4千元的居民的频率为，由题意可知：所有可能的取值为0，1，2，3，且～；分故，，，；从而的分布列为：分数学期望为分【解析】Ⅰ由频率分布直方图，结合题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；Ⅱ由频率估计概率，结合题意知的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题．22.已知直线：，半径为2的圆C与l相切，圆心在x轴上且在直线l的右上方．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ过点的直线与圆C交于A，B两点在x轴上方，问在x轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：设圆C的方程为：，由得或分又圆心在在直线l的右上方故故所求圆C的方程为：分设过点的直线方程为：由分故分设，，由即分故对任意恒成立，即恒成立故即分【解析】Ⅰ根据圆心到直线的距离等于半径列等式解得或，再根据圆心在l的右上方可得，从而可得圆的方程；Ⅱ联立直线与圆的方程消去y的一元二次方程，根据韦达定理和斜率公式列式化简可得．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．。

秘密★启用前2019-2020年高二上学期期末考试试卷数学（理）含答案数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1.椭圆22143xy的焦距为（）A.1B.2C.3D.4 2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A.2B.3 C.4 D.3.已知圆22:440C xy ax y 的圆心C 在直线20xy上，则实数a 的值为（）A.1B.1C.2 D.24.已知实数,x y 满足2000xy x y，则2zx y 的最大值为（）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（）A.x R ，都有210xB.平面直角坐标系中任意直线都有斜率C.aR ，使得21aD.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（）A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面的距离都相等”是“平面//ABC 平面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC 所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂直，1OA OC ，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥OABC 的体积为1412，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（）A.66B.33C.12D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（）A.55B.255C.52D.5410.（原创）已知点M 是双曲线22:1C xy上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（）A.34B.23C.13D.1211.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（）种A.2880B.2156C.3040D.354412.（原创）已知抛物线2:4(0)ypx p ，AB 为过抛物线焦点的弦，AB 的中垂线交OACBE抛物线于点,C D 。