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2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{20}A x x x =-≥，{12}B x x =<≤，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{12}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{01}x x <≤ 2.设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知等比数列{}n a 中，23a ，32a ，4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（ ） A ．139 B ．3或139 C ．3 D ．794.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（ ） A ．736 B ．12 C. 1936D ．5185.函数2()log (45)a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞- C. (2,)+∞ D ．(5,)+∞ 6.一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）A ．28B ．245+ 2045+．205+7.已知,x y R ∈，且0x y >>，若1a b >>，则一定有（ ）A ．a bx y> B ．sin sin ax by > C. log log a b x y > D ．x y a b > 8.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）A ．1800元B ．2100元 C. 2400元 D ．2700元9.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．(2,0) B ．(3,0) C. (0,2) D ．(0,3)10.执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出,x y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x = C. 4y x = D ．5y x =11.已知,A B 分别为椭圆22219x y b +=（03b <<）的左、右顶点，,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A 到直线1y mnx =-的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．24 C. 13D ．2212.设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ） A 25 B ．22 C. 1 D 6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量(,1)a m =r ，(1,)b m =r ，且3a b b +=-r r r，则实数m = ．14. 12展开式中2x 的系数为 ．（用数学填写答案）15.设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为 ．16.已知函数()sin()f x x πωϕ=+（0a ≠，0ω>，2πϕ≤），直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[]a ； ②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83； ④()f x 的图象可能过原点.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，223a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求n S .18. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=.（1）求角A 的值；（2）若b =b a ≤，求a 的取值范围.19. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .20. 如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .（1）设F 为1CD 的中点，试在AB 上找一点M ，使得//MF 平面1D AE ； （2）求直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.21. 已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点(0,1)M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N . （1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.22.已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈）（ 2.71828e =…是自然对数的底数）. （1）求()f x 单调区间；（2）讨论1()()()2g x f x x =•-在区间[]0,1内零点的个数.试卷答案一、选择题1-5:CDBCD 6-10: BDCAD 11、12：BA二、填空题13.2± 14. 552-15. -12 16.③ 三、解答题17.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由223a b +=，得4d q += ① 由227a b +=，得228d q += ②联立①和②解得0q =（舍去），或2q =，因此{}n b 的通项公式12n n b -=.（2）∵231(1)T b q q =++，∴2113q q ++=，3q =或4q =-，∴41d q =-=或8.∴21113(1)222n S na n n d n n =+-=-或245n n -. 18.（1）由已知cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=得2222312sin 2sin 2(cos sin )044B A B B -+-=化简得sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=. （2）∵b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=sin 2B=，即32sin a B =由13sin (,]2B ∈知[3,3)a ∈. 19.（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，分布列为X 0 1 2 3P827 49 29 1271()313E X =•=，122()3333D X =••=20.（1）14AM AB =取1D E 中点L ，连接AL ，∵//FL EC ，//EC AB ，∴//FL AB 且14FL AB =，所以,,,M F L A 共面，若//MF 平面1AD E ，则//MF AL ， ∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==（2）设点B 到1CD E 的距离为d ，由11B BCD D BCE V V --=可得122CED d S ∆•=. 设AE 中点为H ，作HG 垂直直线CE 于G ，连接DG ，∵1D E ⊥平面AECB ∴1D G EC ⊥，则13DG =，123D B =，∴11132CED S EC D G ∆=••=d =，所以直线1BD 与平面1CD E. 21.解：（1）可设:1AB y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --= 则122x x pk +=，122x x p =- ①又22x py =得'x y p=，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p =-=-则有2p =（2）由①可得122N x x x pk +==21AB x =-=点N 到直线AB的距离d ==12ABN S AB d ∆=••=≥∴4=，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y = 22.解：（1）'()xf x e a =-当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调增间为(,)-∞+∞，无减区间； 当0a >时，()f x 单调减间为(,ln )a -∞，增区间为(ln ,)a +∞（2）由()0g x =得()0f x =或12x =先考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调增且(0)0f =，()f x 有一个零点； 当a e ≥时，()f x 在(,1)-∞单调递减，()f x 有一个零点； 当1a e <<时，()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增.而(1)1f e a =--，所以1a ≤或1a e >-时，()f x 有一个零点，当11a e <≤-时，()f x 有两个零点而12x =时，由1()02f =得1)a =所以1a ≤或1a e >-或1)a =时，()g x 有两个零点；当11a e <≤-且1)a ≠时，()g x 有三个零点。
2017—2018学年度高三第三次调研测试理科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin 2α=A ．B ．C ．D ． 4. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A. (1)2n n +B. 2(1)2n +C. 212n + D. (3)4n n +5． 若1()n x x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.12018B. 12019C. 20172018D. 201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2,绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为 A.B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f x m xm R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===-点M 在边CD 上，则MA MB 的 最大值为A. 2B. 1C. 5D.111． 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最 大值与最小值的比值为A. 125-B. 107- C. 109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =），若存在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为 A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
2018年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理 科 数 学包括：十堰市 孝感市 恩施州等七市州本试卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知N 是自然数集，设集合N}16{∈+=x x|A ，{}43210,,,,B =，则=B A I A ．{}2,0 B ．{}2,1,0C ．{}3,2D ．{}4,2,02.已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则22z z+=A ．13-B ． 13- C. 13 D ．13 4.已知椭圆C :1222=+y x 的离心率与双曲线E ：()0012222>>=-,b a by a x 的一条渐近 线的斜率相等，则双曲线E 的离心率为A.2B. 3C.25 D. 26 5.将函数()x x x f cos sin 3-=的图像向左平移65π个 单位得到函数()x g y =的图像，则）（127πg 的值为 A.2- B. 2C. 3-D.3 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中， 面积小于6的面的个数是 A.1 B.2 C ．3 D.4 侧视图俯视图7.函数()x f y =是定义在R 上的奇函数.0≥x 时()()m x x a x x f +++++-=2log )1(2，其中m a 、是常数，且0>a ，若()1=a f ，则=-m aA.5-B. 5C. 1-D. 18.函数2()sinf x x x x =-在区间[-,]ππ上的图象大致为9.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为 ()m n m od N ≡，例如()6m od 583≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 2019B. 2023C. 2031D. 204710.如图,在矩形ABCD 中, 2,1AB AD ==,以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为A.12 B. 32 C. 53 D. 3411.已知圆E :2222r y x =++）（与抛物线)0(2:2>=p px y C 相交于A ，B 两点，分别以 点A ，B 为切点作圆E 的切线.若切线恰好都经过抛物线C 的焦点F ，则=∠AEF sin A.215- B. 213- C. 212- D. 21 12.已知函数)()(2R a ax e x f x ∈+=在点())1()(,>m m f m P处的切线为l ，若直线l在y 轴上的截距恒小于1，则实数a 的取值范围是 A. 1(,)2-+∞ B. [)1,-+∞ C.1[,)2-+∞ D. 1(1,)2--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文 科 数 学包括：十堰市 孝感市 恩施州等七市州一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知N 是自然数集，设集合N}16{∈+=x x|A ，{}43210,,,,B =，则=⋂B A A ．{}2,0 B ．{}2,1,0 C ．{}3,2 D ．{}4,2,02.已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则22z z+= A. 1i -+ B. 1i - C. 1i -- D. 1i +A ．13B ． 13- C. 13- D ．13 4.在区间[]4,2-上任取一个实数x ，则使2≤|x|成立的概率为A. 73B. 21C. 32D. 545.已知椭圆C :1222=+y x 的离心率与双曲线E ：()0012222>>=-,b a by a x 的一条渐近 线的斜率相等，则双曲线E 的离心率为A.2B. 3C. 25D. 26 6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，435=-a S ，054=+a a ，则=12aA. 5-B. 5C. 7-D. 77.若函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图象关于直线3x π=对称，则为了得到()2sin g x x ω=的图象，则只需将()f x 的图象A.向右平移6π个长度单位 B ．向左平移12π个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移π12个长度单位 8.函数2()sin f x x x x =-在区间[-,]ππ上的图象大致为9.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定理，西方又称之为“中国剩余定理”.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()6m od 583≡.若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 2019B. 2023C. 2031D. 204710.函数()x f y =是定义在R 上的奇函数.0≥x 时，()()m x x a x x f +++++-=2log )1(2， 其中a 、m 是常数，且0>a .若()()10=+a f f ，则()=-3m fA. 1B. 1-C. 6D. 6-11.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球表面积为414π，则该几何体的体积为 A. 43 B. 83 C ．223 D. 42312.已知圆E :222()2px y r ++=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，分别以点A ，B 为切点作圆E 的切线.若切线恰好都经过抛物线C 的焦点F ，则=∠AEF sinA.215-B. 213-C. 212-D. 21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
机密 启用前２０１８年３月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学㊀㊀㊀㊀㊀命题单位：十堰市教科院㊀㊀孝感市教科院审题单位：十堰市教科院㊀㊀孝感市教科院㊀㊀恩施州教科院本试卷共６页，２３题（含选考题），全卷满分１５０分㊂考试用时１２０分钟㊂祝考试顺利注意事项：１．答题前，考生务必将自己的姓名㊁准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置㊂２．选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑㊂写在试题卷㊁草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效㊂３．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内㊂写在试题卷㊁草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效㊂４．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用２Ｂ铅笔涂黑㊂答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷㊁草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效㊂５．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交㊂一㊁选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共６０分㊂在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的㊂１．已知Ｎ是自然数集，设集合Ａ＝｛ｘ｜６ｘ＋１ɪＮ｝，Ｂ＝０，１，２，３，４{}，则ＡɘＢ＝㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ａ．｛０，２｝Ｂ．｛０，１，２｝Ｃ．｛２，３｝Ｄ．｛０，２，４｝２．已知复数ｚ＝１＋ｉ（ｉ为虚数单位），则ｚ２＋２ｚ＝Ａ．－１＋ｉＢ．１－ｉＣ．－１－ｉＤ．１＋ｉ３．已知αɪ（０，π），且ｃｏｓα＝－５１３，则ｓｉｎ（π２－α）㊃ｔａｎα＝Ａ．－１２１３Ｂ．－５１３Ｃ．１２１３Ｄ．５１３４．已知椭圆Ｃ：ｘ２２＋ｙ２＝１的离心率与双曲线Ｅ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一条渐近线的斜率相等，则双曲线Ｅ的离心率为Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５２Ｄ．６２５．将函数ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ的图象向左平移５π６个单位得到函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（７π１２）的值为Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－３Ｄ．３６．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于６的面的个数是Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４７．函数ｙ＝ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数．ｘȡ０时，ｆ（ｘ）＝（－ｘ＋ａ＋１）ｌｏｇ２（ｘ＋２）＋ｘ＋ｍ，其中ａ㊁ｍ是常数，且ａ＞０，若ｆ（ａ）＝１，则ａ－ｍ＝Ａ．－５Ｂ．５Ｃ．－１Ｄ．１８．函数ｆ（ｘ）＝ｘ２ｓｉｎｘ－ｘ在区间［－π，π］上的图象大致为第８题图㊀㊀㊀㊀第９题图９．若正整数Ｎ除以正整数ｍ后的余数为ｎ，则记为Ｎʉｎ（ｍｏｄｍ），例如８３ʉ５（ｍｏｄ６）．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为Ａ．２０１９Ｂ．２０２３Ｃ．２０３１Ｄ．２０４７１０．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝１，以Ａ为顶点且过点Ｃ的抛物线的一部分在矩形内．若在矩形ＡＢＣＤ内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．３５Ｄ．３４１１．已知圆Ｅ：（ｘ＋ｐ２）２＋ｙ２＝ｒ２与抛物线Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）相交于Ａ，Ｂ两点，分别以点Ａ，Ｂ为切点作圆Ｅ的切线．若切线恰好都经过抛物线Ｃ的焦点Ｆ，则ｓｉｎøＡＥＦ＝Ａ．５－１２Ｂ．３－１２Ｃ．２－１２Ｄ．１２１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ａｘ２（ａɪＲ）在点Ｐ（ｍ，ｆ（ｍ））（ｍ＞１）处的切线为ｌ，若直线ｌ在ｙ轴上的截距恒小于１，则实数ａ的取值范围是Ａ．（－１２，＋¥）Ｂ．［－１，＋¥）Ｃ．［－１２，＋¥）Ｄ．（－１，－１２）二㊁填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分㊂１３．已知向量ａ＝（１，３），｜ｂ｜＝３，向量ａ与向量ｂ的夹角为１２０ʎ，则ａ㊃（ａ－ｂ）＝㊀һ㊀．１４．（２－１ｘ）（１＋ｘ）６的展开式中ｘ２的系数为㊀һ㊀．１５．已知ｘ，ｙ满足约束条件ｘ－２ｙ－２ɤ０，ｘ＋ｙ－２ɤ０，２ｘ－ｙ＋２ȡ０．ìîíïïï若ｚ＝ａｘ＋ｙ取得最大值的最优解不唯一，则实数ａ的值为㊀һ㊀．１６．‘数书九章“三斜求积术： 以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积 ．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜㊁中斜和大斜， 术 即方法．以Ｓ，ａ，ｂ，ｃ分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；ｈａ，ｈｂ，ｈｃ分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则Ｓ＝１４ａ２ˑｃ２－ａ２＋ｃ２－ｂ２２æèçöø÷２[]＝１２ａｈａ＝１２ｂｈｂ＝１２ｃｈｃ．若在ΔＡＢＣ中，ｈａ＝３，ｈｂ＝２，ｈｃ＝３，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为㊀һ㊀．三㊁解答题：共７０分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂第１７ ２１题为必考题，每个试题考生都必须作答㊂第２２㊁２３题为选考题，考生根据要求作答㊂（一）必考题：共６０分１７．（１２分）在等差数列｛ａｎ｝中，已知公差ｄ＜０，ａ１＝１０，且ａ１，２ａ２＋２，５ａ３成等比数列．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ；（２）求｜ａ１｜＋｜ａ２｜＋ ＋｜ａ２０｜．１８．（１２分）甲㊁乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪８０元，每销售一件产品提成１元；乙公司规定底薪１２０元，日销售量不超过４５件没有提成，超过４５件的部分每件提成８元．（１）请将两家公司各一名推销员的日工资ｙ（单位：元）分别表示为日销售件数ｎ的函数关系式；（２）从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去１００天的销售情况进行统计，得到如下条形图：若将该频率视为概率，请回答下列问题：①记乙公司一名员工的日工资为Ｘ（单位：元），求Ｘ的分布列和数学期望；②某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．１９．（１２分）如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ为菱形，ＰＡʅ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ＝２，øＡＢＣ＝６０ʎ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＰＣ的中点．（１）证明：ＡＥʅＰＤ；（２）设Ｈ为线段ＰＤ上的动点，若线段ＥＨ长的最小值为５，求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值．２０．（１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左顶点为Ｍ，上顶点为Ｎ，直线２ｘ＋ｙ－６３＝０与直线ＭＮ垂直，垂足为Ｂ点，且点Ｎ是线段ＭＢ的中点．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）如图，若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ与椭圆Ｃ交于Ｅ，Ｆ两点，点Ｇ在椭圆Ｃ上，且四边形ＯＥＧＦ为平行四边形，求证：四边形ＯＥＧＦ的面积Ｓ为定值．２１．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘｅ２－ｘ－２（ｘ－１）２，ａɪＲ．（１）当ａ＝－４时，讨论函数ｆ（ｘ）的单调性；（２）当０＜ａ＜１时，求证：函数ｆ（ｘ）有两个不相等的零点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＋ｘ２＞２．（二）选考题：共１０分㊂请考生在２２㊁２３两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分㊂２２．［选修４－４：坐标系与参数方程］（１０分）已知曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝２ｃｏｓθｙ＝２ｓｉｎθ{（θ为参数）．以平面直角坐标系ｘＯｙ的原点Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，设直线ｌ的极坐标方程为ρ（ｃｏｓθ－２ｓｉｎθ）＝６．（１）求曲线Ｃ和直线ｌ的普通方程；（２）设Ｐ为曲线Ｃ上任意一点，求点Ｐ到直线ｌ的距离的最值．２３．［选修４－５：不等式选讲］（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ－２，ｇ（ｘ）＝－ｘ＋３＋ｍ（ｍɪＲ）．（１）解关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＋ａ－２＞０（ａɪＲ）；（２）若函数ｆ（ｘ）的图象恒在函数ｇ（ｘ）图象的上方，求ｍ的取值范围．2018年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学参考答案及评分说明命题单位：十堰市教科院孝感市教科院审题单位：恩施州教科院孝感市教科院十堰市教科院一、选择题(共12小题，每小题5分)1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 11.A 12.B二、填空题（共4小题，每小题5分）3122a a 5)2a 2(=+，即)d 210(50)d 11(42+=+…………………2分化简得0432=--d d ，解得1-=d 或4=d （舍去）…………………4分∴n 11)1n (10a n -=--=.…………………………………………6分∴1220|a |+|a |++|a |=100 .…………………12分18(12分）解：（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式为：+y=80+n,n N∈,乙公司一位推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的函数关系式为：++120,n 45,n N y=8n-240,n>45,n N ⎧≤∈⎨∈⎩（）（）.…………………4分（2）①记乙公司一名员工的日工资为X （单位：元），由条形图得X 的可能取值为120,128,144,160，()()()10+103040P X=120==0.2,P X=128==0.3,P X=144==0.4,100100100()10P X=160==0.1100，…………………7分所以X 的分布列为：X 120128144160P0.20.30.40.1…………………8分X 数学期望1361.01604.01443.01282.0120)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （元）…………………9分②由条形图知，甲公司一名员工的日均销售量为451.0501.0482.0464.0442.042=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯件∴甲公司一名员工的日均工资为125元.…………………11分由①知乙公司一名员工的日均工资为136元.故应该应聘乙公司.…………12分19(12分）解：（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，ABC 60∠=︒，∴ΔABC 为正三角形．又E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥．又BC//AD ，因此AE AD ⊥．……………2分∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA AE ⊥．A BDPEF而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA AD=A ，∴AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，∴AE PD ⊥．……………4分（2）如图，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．当线段EH 长的最小时，PD EH ⊥,由（Ⅰ）知AE ⊥PD ，∴AEH PD 平面⊥,AEH AH 平面⊂,故PDAH ⊥在EAH Rt ∆中，AHEA ,5EH ,3AE ⊥==∴2AH =,在PAD Rt ∆中，045PDA ,2AD =∠=,∴2PA =.……………6分由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，可得()()A 000B 00D 020，，，，，)，，，，()1002001)22P E F ，，，，)，，，，所以1AE =00AF=1)2，，．……………8分设平面AEF 的一法向量为()111=x y z n，，，则AE=0AF=0n n ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩ ，，因此1111=031x +y +z =022⎧⎪⎩，，取1z =-1，则()n=02-1，，，……………10分因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD为平面AFC的一法向量．又0) ，，所以>m BD15cos<BD =5m BDn ⋅⋅ ，．易得二面角E-AF-C 为锐角，故所求二面角的余弦值为155．……………12分A BD PEFHA BCD PE FHxyz20(12分）解:（1）由题意知，椭圆C 的左顶点()0,a M -，上顶点()b N ,0，直线MN 的斜率21==a b k ，得ba 2=因为点N 是线段MB 的中点，∴点B 的坐标是()b a B 2,，………2分由点B 在直线0362=-+y x 上，∴2322=+b a ，且b a 2=解得32,3==a b ，∴椭圆C 的方程为131222=+y x .……………………………4分(2)设()002211,),,(),,(y x G y x F y x E 将m kx y +=代入22x y +=1123消去y 并整理得01248)41(222=-+++m kmx x k ,则222122141124,41m8k m x x k k x x +-=⋅+-=+22121412m 2)(k m x x k y y +=++=+……………………………7分∵四边形OEGF 为平行四边形，∴),(2121y y x x OF OE OG ++=+=得)412,41m 8(22km k k G ++-,将G 点坐标代入椭圆C 方程得)41(43m 22k +=………………………9分点O 到直线EF 的距离为21|m |k d +=,||1212x x k EF -+=∴平行四边形OEGF 的面积为222212212141123||44)(||||||||k k m m x x x x m x x m EF d S ++-=-+=-=⋅=xyOEGF334134413|m |42222=+=+=k m k m ………………………11分故平行四边形OEGF 的面积S 为定值33.…………………………12分21(12分）解：（1）当4-=a 时，()222),4(1xf x xex ---=-得)1)(1(4)(2--='-x e x x f 令210)(==='x x x f 或，得.……………………2分当1<x 时，01<-x ,012>--xe,所以0)(<'x f ，故()上单调递减，在1-)(∞x f ；当21<<x 时，01>-x ,012>--xe ,所以0)(>'xf ，故）上单调递增，在（21)(x f ；当2>x 时，01<-x ,012<--xe,所以0)(<'x f ，故()上单调递减，在∞+2)(x f ；所以()上单调递增上单调递减，在，，在)2,1(),2(1-)(+∞∞x f .……………4分（2）证明：由题意得)4)(1()(2+-='-xaex x f ，其中10<<a 由0)(>'x f 得x<1,由0)(<'x f 得x>1,所以()()上单调递减上单调递增，在，在+∞∞,11-)(x f .0)1(222)2(,02)0(,0)1(<-=-=<-=>=a a f f ae f ,∴函数f(x)有两个不同的零点，且一个在），（10内，另一个在），（21内.………6分不妨设())2,1(,1,021∈∈x x 要证,221>+x x 即证212x x ->，因为12012<<-<x x ，且)(x f 在），（10上是增函数，所以)2()(21x f x f ->，且0)(1=x f ，即证0)2(2<-x f .………8分由2222222220)1(2)()1(2)2()2(22⎪⎩⎪⎨⎧=--=---=--x eax x f x e x a x f x x，得])2[()2(222222x x e x e x a x f ---=-令())2,1(,)2(g 2∈--=-x xee x x xx，……………………………9分则()xxe e e x x 22)1(g --='.0,01,2122<->-∴<<x e e x x ,0)()2,1(<'∈∴x g x 时，即)(x g 在），（21上单调递减，0)1()(=<∴g x g ,且10),2()(<<-=∴a x af x g 0)2(<-∴x f ，即0)2(2<-∴x f ，故122x x +>得证.…………………12分选做题（10分）22(10分）解:(1)根据题意，由x=2cosθ⎧⎪⎨⎪⎩，得2y sinθ,2x cosθ==，由1θsin θcos 22=+，得12y 4x 22=+故C 的普通方程为12y 4x 22=+；………………………3分由6)sinθ2ρ(cosθ=-及ρsinθy ρcosθ,x ==得06y 2x =--故直线l 的普通方程为06y 2x =--.………………………5分(2)由于P 为曲线C 上任意一点，设P(2cos )θθ,由点到直线的距离公式得，点P 到直线l 的距离为3|3)4πcos(θ2|23|3sinθcosθ|23|6sinθ222cosθ|d -+=--=-⨯-=………………………7分∵233)4πcos(θ223+-≤-+≤--∴3)23(23)23(2+≤≤-d ，即3623636236+≤≤-d 故点P 到直线l 的距离的最大值为36236+,最小值为36236-.……10分∴5m <.故5m <时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方.……………10分。
2017-2018学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{20}A x x x =-≥，{12}B x x =<≤，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{12}x x <<C ．{12}x x <≤D ．{01}x x <≤ 2.设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知等比数列{}n a 中，23a ，32a ，4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（ ） A ．139 B ．3或139 C ．3 D ．794.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（ ） A ．736 B ．12 C. 1936D ．5185.函数2()log (45)a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞- C. (2,)+∞ D ．(5,)+∞ 6.一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）A ．28B ．245+ 2045+．205+7.已知,x y R ∈，且0x y >>，若1a b >>，则一定有（ ）A ．a bx y> B ．sin sin ax by > C. log log a b x y > D ．x y a b > 8.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）A ．1800元B ．2100元 C. 2400元 D ．2700元9.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．(2,0) B ．(3,0) C. (0,2) D ．(0,3)10.执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出,x y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x = C. 4y x = D ．5y x =11.已知,A B 分别为椭圆22219x y b +=（03b <<）的左、右顶点，,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A 到直线1y mnx =-的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12 B ．24 C. 13D ．2212.设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ） A 25 B ．22 C. 1 D 6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量(,1)a m =r ，(1,)b m =r ，且3a b b +=-r r r，则实数m = ．14. 12展开式中2x 的系数为 ．（用数学填写答案）15.设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为 ．16.已知函数()sin()f x x πωϕ=+（0a ≠，0ω>，2πϕ≤），直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2,4]上的值域是[]a ； ②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83； ④()f x 的图象可能过原点.其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，223a b +=.（1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求n S .18. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=.（1）求角A 的值；（2）若b =b a ≤，求a 的取值范围.19. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90（1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .20. 如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .（1）设F 为1CD 的中点，试在AB 上找一点M ，使得//MF 平面1D AE ； （2）求直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.21. 已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点(0,1)M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N . （1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.22.已知函数()1xf x e ax =--（a R ∈）（ 2.71828e =…是自然对数的底数）. （1）求()f x 单调区间；（2）讨论1()()()2g x f x x =•-在区间[]0,1内零点的个数.试卷答案一、选择题1-5:CDBCD 6-10: BDCAD 11、12：BA二、填空题13.2± 14. 552-15. -12 16.③ 三、解答题17.（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由223a b +=，得4d q += ① 由227a b +=，得228d q += ②联立①和②解得0q =（舍去），或2q =，因此{}n b 的通项公式12n n b -=.（2）∵231(1)T b q q =++，∴2113q q ++=，3q =或4q =-，∴41d q =-=或8.∴21113(1)222n S na n n d n n =+-=-或245n n -. 18.（1）由已知cos 2cos 22cos()cos()066A B B B ππ-+-+=得2222312sin 2sin 2(cos sin )044B A B B -+-=化简得sin 2A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=. （2）∵b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=sin 2B=，即32sin a B =由13sin (,]2B ∈知[3,3)a ∈. 19.（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，分布列为X 0 1 2 3P827 49 29 1271()313E X =•=，122()3333D X =••=20.（1）14AM AB =取1D E 中点L ，连接AL ，∵//FL EC ，//EC AB ，∴//FL AB 且14FL AB =，所以,,,M F L A 共面，若//MF 平面1AD E ，则//MF AL ， ∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==（2）设点B 到1CD E 的距离为d ，由11B BCD D BCE V V --=可得122CED d S ∆•=. 设AE 中点为H ，作HG 垂直直线CE 于G ，连接DG ，∵1D E ⊥平面AECB ∴1D G EC ⊥，则13DG =，123D B =，∴11132CED S EC D G ∆=••=d =，所以直线1BD 与平面1CD E. 21.解：（1）可设:1AB y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --= 则122x x pk +=，122x x p =- ①又22x py =得'x y p=，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p =-=-则有2p =（2）由①可得122N x x x pk +==21AB x =-=点N 到直线AB的距离d ==12ABN S AB d ∆=••=≥∴4=，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y = 22.解：（1）'()xf x e a =-当0a ≤时，'()0f x >，()f x 单调增间为(,)-∞+∞，无减区间； 当0a >时，()f x 单调减间为(,ln )a -∞，增区间为(ln ,)a +∞（2）由()0g x =得()0f x =或12x =先考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调增且(0)0f =，()f x 有一个零点； 当a e ≥时，()f x 在(,1)-∞单调递减，()f x 有一个零点； 当1a e <<时，()f x 在(0,ln )a 单调递减，(ln ,1)a 单调递增.而(1)1f e a =--，所以1a ≤或1a e >-时，()f x 有一个零点，当11a e <≤-时，()f x 有两个零点而12x =时，由1()02f =得1)a =所以1a ≤或1a e >-或1)a =时，()g x 有两个零点；当11a e <≤-且1)a ≠时，()g x 有三个零点。
荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理工农医类） 第Ⅰ卷 选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =<<，{|230}B x x =-≥，则()U A C B =（ ）A ．3(,)2-∞ B ．(1,)+∞ C ．3(1,)2 D ．3[,3)22.若复数21(1)z m m i =-++是纯虚数，其中m 是实数，则2z=（ ） A ．i B ．i -C ．2i D ．2i - 3.下列命题正确的是（ ）A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；C ．“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D ．命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”.4.已知随机变量(1,1)N ξ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）注：()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=.A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539 5.已知数列{}n a 满足15255n n a a +=⋅，且2469a a a ++=，则()1579log a a a ++=（ ）A ．-3B ．3C ．13-D ．136.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，且1AB AC ==，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ） A ．16B ．13 C ．12D ．1 7.偶函数()f x 和奇函数()g x 的图象如图所示，若关于x 的方程()()1f g x =，()()2g f x =的实根个数分别为m 、n ，则m n +=（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10 8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．179.已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a =（ ） A ．-5 B ．-20 C ．15 D ．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．842+B ．124223+C ．64223+D ．1211.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若2POF QOB ∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．35+B ．352+C ．15+D ．15212.已知函数()2ln xf x e x x =++与函数()22xg x ex ax -=+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．1,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(],1-∞- D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.平面向量(2,)a λ=，(3,1)b =-，若向量a 与b 共线，则a b ⋅=．14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x =的焦点相同，离心率为6，则此椭圆的方程为．15.已知x ，y 满足不等式组2030230y x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，若不等式7ax y +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．16.设数列{}n a 满足012a =，()210,1,22018n n n a a a n +=+=⋅⋅⋅，若使得11k k a a +<<，则正整数k =．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.已知向量()2sin 2,2cos 2a x x =，()cos ,sin ()2b πθθθ=<，若()f x a b =⋅，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC∆外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1APQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为10？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 19.手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(12,8)P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点. 21.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心为4π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为.以极点为原点，极轴方向为x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为131x tay t⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t为参数，a R∈且0a≠）.（Ⅰ）写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A、B两点，求AB的最小值.23.[选修4-5设不等式1x+（Ⅰ）求集合A（Ⅱ）若m∀∈荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC 二、填空题13. 203- 14. 221248x y += 15. [4,3]- 16. 2018 三、解答题17.解：（Ⅰ）()2sin 2cos f xa b x θ=⋅=2sin )x x θθ=+，∵函数()f x∴6k πθπ=+∴()f x =∵函数sin y x =令226x k π⎡+∈⎢⎣∴()f x （Ⅱ）∵()f A ∵(0,)A π∈在ABC ∆∴a =由正弦定理得2sin 2a R A==，∴R =7S π=.18.（Ⅰ）证明：法1：连接1AB 、1AC ，显然A 、Q 、1B 三点共线. ∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ；在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥， 又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥，∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ，∴1AC ⊥平面1A BC ， 而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC . 法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 连接1A P 、1B Q ，设(,,)Q x y z ，∵1BQ BA λ=，∴(,2,)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(2,22,2)Q λλλ-. 当点Q 在线段设平面1A PB 令2y =得1n =设平面1B PQ 212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得令1z =得2n λ=，取2(1n λ=-∵12cos ,n n<2λλ-+∴2992λλ-+19.解：X ∴(0)P X ==22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，则()01125125E X =⨯+⨯231251255+⨯+⨯=. （Ⅱ）完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)15151317k ⨯-⨯=⨯⨯⨯7503.394 3.841221=≈<.据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20.解：（Ⅰ）由题意可设直线AB 的方程为py x =-，令11(,)A x y ，22(,)B x y . 联立222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩（Ⅱ）设直线1l 由于直线1l 与2l 则直线2l 于是直线CD 联立2(4y k x y x=-⎧⎨=⎩则24C D x x +=同理将k 换成1k得：， ∴2212()112()8()MN k kk k k k k-=---114k k=+-.则直线MN 的方程为212[(1228)]14y k x k k k k-=-+-+-，即1410k y x k ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，显然当10x =，0y =. 所以直线MN 经过定点(10,0). 21.解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-=， ∵0a ≤，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当0a >时，由'()0f x >，得1x a >；由'()0f x <，得10x a<<； 综上：当0a ≤时，f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，f （Ⅱ）令()g x 则1'()ax g x e -=由于11ax ex --由'()0r x >⇒由'()0r x <⇒∴max ()r x r ⎛= ⎝则()g x 在0,⎛ ⎝设(10,t a =-∈211'()0h t e t=-≤，()h t 在0,e ⎤⎦上递减，∴()()0h t h e ≥=； ∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe -≥-.说明：判断11ax e x--的符号时，还可以用以下方法判断： 由110ax e x --=得到1ln x a x -=，设1ln ()x p x x -=，2ln 2'()x p x x-=， 当2x e >时，'()0p x >；当20x e <<时，'()0p x <.从而()p x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增. ∴2min 21()()p x p e e ==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令BOX θ∠=，4AOX π∠=，在ABC ∆中，AC为直径，)4OB πρθ==-，∵131x t a y⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为：310ax y a +--=. 即22x y +即ρ=∴AB =法二：点∴AB =当1a =23.解：由()f x （Ⅱ）将不等式2210mx x m -+-<整理成2(1)210x m x --+<，令2()(1)21g m x m x =--+，要使()0g m <，则22(1)(1)(1)210(1)(1)1210g x x g x x ⎧-=-⨯--+≤⎪⎨=-⨯-+≤⎪⎩， ∴2222020x x x x ⎧+-≥⎪⎨-≤⎪⎩，∴1102x x x ⎧≤--≥⎪⎨≤≤⎪⎩12x ≤≤.。
2018届湖北省襄阳高三三模试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={y|y=}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B． C．，y∈内随机取出两个数，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率为（）A．B．C．D．5．若圆x2+y2﹣12x+16=0与直线y=kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）6．70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏．这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成．不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入．为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1．准确地说，是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环，永远也逃不出这样的宿命．这就是著名的“冰雹猜想”．按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为（）A．142 B．71 C．214 D．1077．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a2=3b2+3c2﹣2bcsinA，则C的值为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）A．3 B．1 C．2 D．9．运行如下程序框图，如果输入的t∈，则输出S属于（）A． C． D．10．已知向量||=3，||=2， =m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．411．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90°，DA=DC=．现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是（）A．B．C．D．12π12．已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx存在极值，若这些极值的和大于5+ln2，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，其中a=（sinx﹣cosx）dx，则a0+a1+a2+…+a6的值为．14．已知函数f（x）=，若f=a，实数x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．15．过点P（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为．16．以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，满足a1=5，且a2，a9，a30成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），且b1=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．19．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占．（Ⅰ）请完成下面2×2列联表：并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，n=a+b+c+d．参考数据：20．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若•=0，||•||=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1，PA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．21．已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）．（1）如果对于任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，求实数k的取值范围；（2）若x∈，过点M（，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x n}，求数列{x n}的所有项之和．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在直角坐标系xOy中，点P（0，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+的值．23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．2018届湖北省襄阳高三数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合A={x|log2（x+1）＜2}，B={y|y=}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3）B． C．，y∈内随机取出两个数，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件满足的可行域为：，设事件A表示“这两个数满足x﹣y﹣3＞0”作出可行域，利用几何概型能求出这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率．【解答】解：在x∈，y∈内随机取出两个数，∴基本事件满足的可行域为：，设事件A表示“这两个数满足x﹣y﹣3＞0”作出可行域如右图，则这两个数满足x﹣y﹣3＞0的概率：P（A）==．故选：B．5．若圆x2+y2﹣12x+16=0与直线y=kx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（）A ．（﹣，）B ．（﹣，）C ．（﹣，）D ．（﹣，）【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式列出不等式求解即可．【解答】解：圆x 2+y 2﹣12x+16=0的圆心（6，0），半径为2，圆x 2+y 2﹣12x+16=0与直线y=kx 交于不同的两点，可得＜2，解得k ∈（﹣，）．故选：C ．6．70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏．这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成．不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入．为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1．准确地说，是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环，永远也逃不出这样的宿命．这就是著名的“冰雹猜想”．按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为（ ） A ．142 B ．71 C ．214 D ．107 【考点】F1：归纳推理．【分析】根据要求一步一步的推即可得到答案【解答】解：27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214， 故选：C7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，则C 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a ，b ，c 的关系．即可求解C 的值．【解答】解：根据a 2=3b 2+3c 2﹣2bcsinA ，…①余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，…②由①﹣②可得：2b2+2c2=2bcsinA﹣2bccosA化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA⇔b2+c2=2bcsin（A﹣），∵b2+c2≥2bc，∴sin（A﹣）=1，∴A=，此时b2+c2=2bc，故得b=c，即B=C，∴C==．故选：B．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中x的值为（）A．3 B．1 C．2 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC=4．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱柱ABC﹣A1B1C1，去掉一个三棱锥A﹣CDC1后剩下的几何体．其中AB⊥BC，侧面ABB1A1是正方形，D为BC的中点，BC=4．∴该几何体的体积为=﹣•x，解得x=2．故选：C．9．运行如下程序框图，如果输入的t∈，则输出S属于（）A． C． D．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为S=，则当输入的t∈，则当t∈时，s=t2﹣4t=（t﹣2）2﹣4∈，综上s∈=a，实数x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为8 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据分段函数的表达式，求出a的值，作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质结合直线斜率的公式进行求解即可．【解答】解：f（﹣2）==4，则a=f=f（4）=4﹣2=2，则约束条件为，作出不等式组对应的平面区域如图：z===3+4•，设k=，则k的几何意义是区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，则z=3+4k，由图象知AD的斜率最大，由得，即A（2，4），此时k==，则z=3+4×=3+4=8，即目标函数z=的最大值为8，故答案为：815．过点P（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】方法一：分类讨论，当直线l的斜率不存在时，求得A和B点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△ABF面积，当直线斜率存在时，设直线l的方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得△ABF面积的取值范围，综上即可求得△ABF面积的最小值；方法二：设直线AB：x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得三角形的面积的最小值．【解答】解：方法一：抛物线y2=4x焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，此时将x=2代入抛物线C：y2=4x中，得y2=8，解得y=±2，则点A，B的坐标为（2，2），（2，﹣2），∴△ABF面积S=×1×丨AB丨=2，当直线的存在，且不为0，设直线AB：y=k（x﹣2）．A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），联立，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，则由韦达定理，x1+x2=，x1x2=4，y1+y2=，y1y2=﹣8，∴△ABF面积S=×丨PF丨×丨y1﹣y2丨=×1×=×＞2，综上可知：则△ABF面积的最小值2，故答案为：2．方法二：抛物线y2=4x焦点F（1，0），设直线AB：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），，整理得：y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，∴△ABF面积S=×丨PF丨×丨y1﹣y2丨=×1×≥×4=2，当m=0时，取最小值，最小值为2，∴△ABF面积的最小值2，故答案为：2．16．以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为②③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由曲线关于y轴对称，由概率分布特点，即可判断①；运用对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断②；画出y=和y=（）x的图象，即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．【解答】解：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）=（1﹣P（|X|＜2））=，故①错；②设a、b∈R，log2a＞log2b⇔a＞b＞0⇒a﹣b＞0⇒2a﹣b＞1，由于a﹣b＞0，a，b不一定大于0，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件，故②对；③由y=和y=（）x的图象，可得它们只有一个交点，即函数f（x）=﹣（）x的零点个数为1，故③对；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∃n∈N，3n＜n2+1．故④错．故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为公差不为0的等差数列，满足a1=5，且a2，a9，a30成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），且b1=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a9，a30成等比数列可知，又a1=5，解得d即可得出．（2）由数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），可得： =a n﹣1（n≥2）．且b1=，当n≥2时， =++…+=3+a1+a2+…+a n﹣1，利用等差数列的求和公式即可得出=n（n+2）．可得b n==，再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由a2，a9，a30成等比数列可知，又a1=5，解得d=2，∴a n=2n+3．（2）由数列{b n}满足﹣=a n（n∈N*），可得： =a n﹣1（n≥2）．且b1=，当n≥2时， =++…+=3+a1+a2+…+a n﹣1=3+=n（n+2）．对b1=上式也成立，∴ =n（n+2）．∴b n==，∴T n=++…++==．18．已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．（1）求证：CM⊥EM；（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出CM⊥AB，DB⊥CM，从而CM⊥平面ABDE，由此能证明CM⊥EM．（2）以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB．又∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，∵EM⊂平面ABDE，∴CM⊥EM．解：（2）如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角．由题意得tan，即BD=2，故B（0，1，0），C（），D（0，1，2），E（0，﹣1，1），∴=（），=（0，0，2），=（﹣），=（﹣），设平面BCD与平面CDE的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，令x=1，得=（1，，0）．同理求得=（1，﹣，），∴cos＜＞==0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°．19．近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具．而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷．某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占，采用微信支付的占，40岁以上采用微信支付的占．（Ⅰ）请完成下面2×2列联表：并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式：，n=a+b+c+d．参考数据：【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）由40岁以下的有100×=60人，使用微信支付的有60×=40人，40岁以上使用微信支付有40×=10人．即可完成2×2列联表，根据2×2列联表求得观测值K2与参考值对比即可求得答案；（Ⅱ）分别求得“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付的概率，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付的概率，根据独立事件的概率公式，即可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，40岁以下的有100×=60人，使用微信支付的有60×=40人，40岁以上使用微信支付有40×=10人．∴2×2列联表为：由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==，由于＞10.828，∴有99.9%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”；…（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为A，B，则P（A）=P（B）=，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C，则P（C）=，显然A，B，C相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为P=1﹣P（）=1﹣××=．故至少有一人使用微信支付的概率为．…20．已知椭圆的两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），M是椭圆上一点，若•=0，||•||=8．（1）求椭圆的方程；（2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1，PA2与直线x=分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；9R：平面向量数量积的运算；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由•=0，可得⊥，设||=m，||=n．又||•||=8．可得m2+n2=，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解出即可得出．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0，y0），则直线PA1的方程为y=（x+3），它与直线x=的交点的坐标为E，直线PA2的方程为：y=（x﹣3），它与直线x=的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，可得k QE•k QF=﹣1，又=9．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由•=0，∴⊥，设||=m，||=n．又||•||=8．∴m2+n2=，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解得：a=3，b=2．∴椭圆的方程为=1．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0，y0），则直线PA1的方程为y=（x+3），它与直线x=的交点的坐标为E，直线PA2的方程为：y=（x﹣3），它与直线x=的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，从而k QE•k QF=﹣1，即××=﹣，即=﹣，又=9．∴=1，解得m=±1．故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为．21．已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）．（1）如果对于任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，求实数k的取值范围；（2）若x∈，过点M（，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x n}，求数列{x n}的所有项之和．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意可得任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，只需当x∈时，g（x）min≥0，求出g′（x），令h（x）=e x（sinx+cosx），求出导数，可得h（x）的单调性，及值域，讨论k≤1时，1＜k＜e时，当k≥e时，由单调性确定最小值，即可得到所求k的范围；（2）求出f（x）的导数，设切点坐标为（x0，e x0（sinx0+cosx0）），可得切线的斜率和方程，代入M（，0），可得tanx0=2（x0﹣），令y1=tanx，y2=2（x﹣），这两个函数的图象关于点（，0）对称，即可得到所求数列{x n}的所有项之和．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（sinx+cosx），可得g（x）=f（x）﹣kx﹣e x cosx=e x sinx﹣kx，要使任意的x∈，f（x）≥kx+e x cosx恒成立，只需当x∈时，g（x）min≥0，g′（x）=e x（sinx+cosx）﹣k，令h（x）=e x（sinx+cosx），则h′（x）=2e x cosx≥0对x∈时恒成立，∴h（x）在x∈上是增函数，则h（x）∈，①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈上为增函数，∴g（x）min≥g（0）=0，∴k≤1满足题意；②当1＜k＜e时，g′（x）=0在x∈上有实根x0，h（x）在x∈上是增函数，则当x∈上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0不符合题意，∴k≤1，即k∈（﹣∞，1]；（2）函数f（x）=e x（sinx+cosx），∴f′（x）=2e x cosx，设切点坐标为（x0，e x0（sinx0+cosx0）），则切线斜率为f′（x0）=2e x0cosx0，从而切线方程为y﹣e x0（sinx0+cosx0）=2e x0cosx0（x﹣x0），∴﹣e x0（sinx0+cosx0）=2e x0cosx0（﹣x0），即tanx0=2（x0﹣），令y1=tanx，y2=2（x﹣），这两个函数的图象关于点（，0）对称，则它们交点的横坐标关于x=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{x n}的项也关于x=成对出现，又在内共有1008对，每对和为π，∴数列{x n}的所有项之和为1008π．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在直角坐标系xOy中，点P（0，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求+的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程；直线l的参数方程消去t，能求出直线l的普通方程．（Ⅱ）点P（0，）在直线l：上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得5t2+12t﹣4=0，设两根为t1，t2，则，，由此能求出+．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的直角坐标方程为，∵直线l的参数方程为为参数），∴消去t得直线l的普通方程为．…（Ⅱ）点P（0，）在直线l：上，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2（﹣）2+（）2=4，∴5t2+12t﹣4=0，设两根为t1，t2，则，，故t1与t2异号，∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==，|PA|•|PB|=|t1•t2|=﹣t1t2=，∴+==．…23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+x＞0可化为|x﹣2|+x＞|x+1|，当x＜﹣1时，﹣（x﹣2）+x＞﹣（x+1），解得x＞﹣3，即﹣3＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤2时，﹣（x﹣2）+x＞x+1，解得x＜1，即﹣1≤x＜1；当x＞2时，x﹣2+x＞x+1，解得：x＞3，即x＞3，综上所述，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．…（Ⅱ）由不等式f（x）≤a2﹣2a，可得|x﹣2|﹣|x+1|≤a2﹣2a，∵|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3，∴a2﹣2a≥3，即a2﹣2a﹣3≥0，解得a≤﹣1或a≥3，故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥3．…。
