河北省衡水中学2016届高三(下)同步月考数学试卷(理科)(解析版)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意）1．复数122ii +-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞D ．()1,+∞3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24B ．30C ．36D ．404．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >5．已知把函数()sin f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2B ．3C ．72D ．527．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）A ．2218x x -= B ．22163x x -= C ．22172x x -= D ．22154x x -= 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞-11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，ABC ∆的顶点都在抛物线上，且满足FA FB FC +=- ，则111AB BC CAk k k ++=______．14．设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则201512015220153201l o g l o g l o g l o g x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______． 15．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 22cos 2A B C +=，则cos C 的最小值为______．16．若函数()f x 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”．已知()ln 1x g x e x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的“完美函数”，则整数m 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项()*113,3n n n a a S n N +≠=+∈． （1）求证：{}3nn S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围． 18．（本小题满分12分）有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频率分布如下表：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数20402020通过公路2的频数 10 40 40 10假设汽车A 只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B 只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．（l ）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A 和汽车B 应如何选择各自的路径；（2）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车,A B 按（1）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大． 19．（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC ∆为等边三角形，PE BC ，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点N 、M ． （1）求证：MN PE ； （2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．20．（本小题满分12分）如图，已知圆(22:16E x y ++=，点)F，P 是圆E 上任意一点线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ． （1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交下,A B 两点，直线,,OA l OB 的斜率分别为12,,k k k （其中0k >）．OAB ∆的面积为S ，以,OA OB 为直径的圆的面积分别为12,S S ．若12,,k k k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．21．（本小题满分12分） 已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （l ）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知直线AC 与圆O 相切于点B ，AD 交圆O 于F 、D 两点，CF 交圆于,E F ，BD CE ，AB BC =，2AD =，1BD =．（1）求证：BDF FBC ∆∆∽； （2）求CE 的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）（1）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．河北省衡水中学2016届高三下学期六调考试数学（理）试题（A 卷）参考答案一、选择题DCCCD DADDB AA 二、填空题13．0 14．1- 15．2116．3 三、解答题17．解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123n n n S S +=+．…………………………………………1分 ∴11132332232333n n n nn n n n n nn n n S S S S S S +++-+--⨯===---．…………………………………………………4分 且130a -≠， 所以{}3n nS-是以13a -为首项，以2为公比的等比数列．…………………………………………6分 （2）由（1）得，()11332nn n S a --=-⨯，所以()11323n n n S a -=-⨯+．当2n ≥时，()()1211113233223n n n n n n n a S S a a ----=-=-⨯+--⨯+- ()2113223n n a --=-⨯+⨯．…………8分若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立．当2n ≥时，()()1211132233223n n n n a a --+-⨯+⨯>-⨯+⨯，则2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对*2,n n N ≥∈恒成立，则19a >-；…………………………………………………………………………………………………10分 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围为()()+∞-,33,9 18．解：（Ⅰ）频率分布表，如下：所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 0.2 0.4 0.2 0.2 通过公路2的频数0.10.40.40.1设12,A A 分别表示汽车A 在约定日期前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；1B 、2B 分别表示汽车B 在约定日期前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；()0.20.40.6P A =+=， ()20.10.40.5P A =+=， ()10.20.40.20.8P B =++=， ()20.10.40.40.9P B =++=，所以汽车A 选择公路，汽车B 选择公路2．（Ⅱ）设X 表示汽车A 选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则42,40,38,36X =．X 的分布列如下：X 42 40 38 36 P0.20.40.20.2()420.2400.4380.2360.239.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．∴表示汽车A 选择公路1时的毛利润为39.2 3.236.0-=（万元）． 设Y 表示汽车B 选择公路2时的毛利润，42.4,40.4,38.4,36.4Y =． 则Y 的分布列如下：X 42.4 40.4 38.4 36.4 P0.10.40.40.1()42.40.140.40.438.40.436.40.139.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．∵36.039.4<，∴汽车B 为生产商获得毛利润更大．19．（1）如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ= ，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，12P ⎛ ⎝⎭，1,2E t μ⎛ ⎝⎭， 由AM AN AE AP λ==，得()111,,1,0,,022M t N MN t λλμλλμ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，且00MN ⋅= n ，故0MN ⊥n ，又∵MN ⊄平面ABC ，即知MN 平面ABC ，又∵,,,B C M N 四点共面，∴MNBC PE ；（2）()10,,0,1,,22MN t CM t λμλλμ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面CMN 的法向量()1111,,x y z =n ，则110,0MN CM ⋅=⋅=n n ，可取1⎛= ⎝n ，又∵()00,0,1=n 是平面ABC 的一个法向量，由0101cos θ⋅=⋅n n n n ，以及45θ=︒2=， 即22440λλ+-=，解得1λ=（负值舍去），故1λ=．20．解：（Ⅰ）连结QF ，根据题意，=QP QF ，则|4|QE QF QE QP EF +=+=>=故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为()222210x x a b a b +=>>，可知2,a c ===1b =，3分所以点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=， 由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+->………………………………………………………6分∵12,,k k k 构成等比数列，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++==，即：()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =．∵k >，∴12k =………………………………………………8分 此时()21620m ∆=->，即(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠从而()(m ∈ ．故1212S AB d x =⋅=-m m ==10分又22221212144x x y y +=+= 则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．12分∴125544S S S ππ+=≥当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．14分 21．（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞， ∵()1ln x f x x ax-=-， ∴()()()22211111x ax a x ax a f x x ax xax -⨯---'=-==-， 若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减． 综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为()0,+∞； 若0a >，()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--， 由（Ⅰ）可知，()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,2上单调递减，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()111ln101f =--=；而1112ln 1ln 222f ⎛⎫=--=-+⎪⎝⎭；()1121ln 2ln 222f =--=-， ()()1132ln 21ln 22ln 2 1.520.70.10222f f ⎛⎫-=---+=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()11ln f x x x=--在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 故函数()f x 在()0,+∞上的最大值为()111ln10f =--=，即()0f x ≤．22．（Ⅰ）因为BD CE ，所以DBF BFC ∠=∠，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以CBF BDF ∠=∠，所以BDF FBC ∆∆∽．（Ⅱ）因为B D C E ，且A B B C =，所以22,2F C B D D F A D ====，因为BDF FBC ∆∆∽，所以BD DF BF BF CB CF ==，即有BD BF BF CF =，即12BFBF =，则BF =，又BD DF BF BC =，即2BC =，所以CB =，因为AC 与圆O 相切于点B ，所以2CB CF CE =⋅，即82CE =，所以4CE =．23.解：（1）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得11333344x t x y y t-⎧=⎪--⎪⇒=⎨-⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为：4350x y -+=，……………………………………………………………2分由22cos 2cos a a ρθρρθ=⇒= 又222,cos x y x ρρθ=+= 所以，圆C的标准方程为()222x a y a -+=，…………………………………………………………5分（2）因为直线l 与圆C恒有公共点，所以a ≤，………………………………………7分两边平方得2940250a a --≥，∴()()9550a a +-≥ 所以a的取值范围是59a ≤-或5a ≥……………………………………………………………………10分24．（1）由绝对值的性质得()()55522f x x x a x x a a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭，………………3分 所以()f x 的最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a的最大值为54．…………………………………………………………………………………5分（2）由于,,0x y z >，所以()32132123x y z x y z x y z ⎛⎫++=++⋅++ ⎪⎝⎭22216≥=+=+当且仅当23321x y zx y z==，即:::3:1x y =时，等号成立．……………………………………8分 ∴321x y z++的最小值为。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A∩（∁U B）等于（）A． B．C． D．3．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数5．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．36．（5分）在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．47．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）8．（5分）某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或11．（5分）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C． D．12．（5分）已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在的展开式中，含x3项的系数为．14．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．15．（5分）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A 的大小为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n 对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．2．（5分）已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A∩（∁U B）等于（）A． B．C． D．【解答】解：∵集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}={x|}，={x|x≤0或x}，全集U=R，∴C U B={x|0＜x＜}，A∩（∁U B）={x|}=（）．故选：B．3．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．4．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．5．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．6．（5分）在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，∴函数f（x）=Asin（x﹣）．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），故选：D．8．（5分）某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115的天数．由统计表可知：参与统计的十天中，第2、7、8这3天门票大于115．故最终输出的值为：3故选：A．9．（5分）来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英【解答】解：此题可直接用观察选项法得出正确答案，根据第二条规则，日语和法语不能同时由一个人说，所以B、C、D都错误，只有A正确，再将A代入题干验证，可知符合条件．故选A10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图则剩余几何体的表面积为S=3×12++=．故选：A．11．（5分）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C． D．【解答】解：设直线PQ的方程为：y=kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由得x2﹣2pkx+2p=0，△＞0，则x1+x2=2pk，x1x2=2p，，，====0，即k BP+k BQ=0①又k BP•k BQ=﹣3②，联立①②解得，，所以，，故∠MBN=π﹣∠BNM﹣∠BMN=，故选D．12．（5分）已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3【解答】解：令f（x）=e x﹣a（x﹣1）﹣b，则f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b≥﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时f（x）→﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，由f′（x）=e x﹣a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna+a﹣b≥0，得b≤a（2﹣lna），ab≤a2（2﹣lna）．令g（a）=a2（2﹣lna）．则g′（a）=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna）=0，得极大值点a=．而g（）=．∴ab的最大值是．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在的展开式中，含x3项的系数为﹣84．【解答】解：展开式中，=•（1﹣x）9﹣k•，通项公式为T k+1令k=0，得•（1﹣x）9=（1﹣x）9，又（1﹣x）9=1﹣9x+x2﹣x3+…，所以其展开式中含x3项的系数为﹣=﹣84．故答案为：﹣84．14．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=：：1．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：15．（5分）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：．故答案为：．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=A B•AC，则A的大小为．【解答】解：cosA=，连接AO并且延长与BC相交于点D．设AD=m，∠ADB=α．则AB2=﹣2××mcosα，AC2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），相加可得：AB2+AC2=2m2+．m2=（3OD）2==．∴AB2+AC2=5BC2．又4BC2=AB•AC，∴cosA=，A∈（0，π）∴A=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n 对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【解答】解：（1）令n=1，得，因为a1≠0，所以，当n≥2时，，，两式相减得2a n﹣2a n﹣=a n（n≥2），1所以a n=2a n﹣1（n≥2），从而数列{a n}为等比数列，所以．（2）当a1＞0，λ=100时，由（1）知，a n=，b n=lg==2﹣nlg2．所以数列{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2，所以，当n≥7时，，所以数列的前6项和最大．18．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为所以Eξ==．19．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2，所以a=2，c=，所以b=1，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4=0．设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，又M（﹣，0），N（0，m），由|CM|=|DN|得x1+x2=x M+x N，所以﹣=﹣，所以k=（k＞0）．所以x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2．因为直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，所以（）2=[]2====，所以==﹣1﹣∈[﹣2﹣3，2﹣3]．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得a=b=1．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．∴f′（x）+a==﹣+，∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f （x）max+a=，①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）=，解得a≥．min②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x ∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．∴a≥，与矛盾．（或构造函数即可）．综上可得：a的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）若，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得，即；若，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即；若，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得，即；综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m+5≤3，m2﹣3m+2≤0，所以1≤m≤2，即实数m的最大值为2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数131ii-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 2.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，AB A =，则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3 3.已知函数()sin()cos()()66f x x x x R ππ=--∈，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5[0,]12π上是增函数 4.若3*1()()ny x n N xy+∈的展开式中存在常数项，则常数项为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．1205.已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在x R ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,2]-C ．(,2]-∞D ．(0,2] 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（ ） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-37.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．4008.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45616a a a ++=，则9S =（ ） A ．48 B ．128 C ．144 D ．1469.点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6π的直线与直线2x a=交于点P ，若APF ∆为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A ．28B ．2462+C ．20213+D ．1662213++11.设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1912.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得点P ，则点P 的坐标为 .14.抛物线2y x =与直线0x =、1x =及该抛物线在(01)x t t =<<处的切线所围成的图形面积的最小值为 .15.已知菱形ABCD 的边长为3，且60BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使,A C 两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .16.如图，在正方形ABCD 中作如下操作，先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ，记11CDE α∠=， 第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于2E ，记22ADE α∠=， 第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于3E ，记33CDE α∠=， 第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于4E ，记44ADE α∠=， 以此类推，得数列123,,,,,n αααα，若112πα=，那么数列{}n α的通项公式为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知233b c =，3A C π+=.（1）求cos C 的值； （2）求sin B 的值；（3）若33b =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面EFBD ⊥平面ABCD . （1）证明：//DE 平面ACF ；（2）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线12l l ⊥于P ，连接PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ，设点H 的轨迹为曲线r . （1）求曲线r 的方程；（2）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为,C D . （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线L 交曲线r 于点,A B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究||||||||PQ PQ PA PB +是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数2()21xf x e ax ax =+--. （1）当12a =时，讨论()f x 的单调性； （2）设函数'()()g x f x =，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于,C D 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点. （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n 都是实数，0m ≠，()|1||2|f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由xxex f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x2))((='设c x x f e x+=2)(，由1)0(=f 得1=c ，所以x e x x f 1)(2+=，则xex x f 2)1()(--=' 所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈ 二、填空题： 13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα三、解答题：17.【解析】（1）因为A B C π++=，3A C π+=， 所以2B C =. 由正弦定理得：sin sin b cB C=， 所以sin sin b Bc C=，即232sin cos 3sin C C C =. 又sin 0C ≠. 故化简得3cos 3C =. （2）因为(0,)C π∈，所以216sin 1cos 133C C =-=-=， 所以6322sin sin 22sin cos 2333B C C C ===⨯⨯=. （3）因为2B C =，所以211cos cos 22cos 12133B C C ==-=⨯-=-， 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+223166()33339=⨯+-⨯=. 因为233b c =，33b =. 所以92c =. 所以ABC ∆的面积119692sin 3322294S bc A ==⨯⨯⨯=. 18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯=(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯=(3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为X 01 2 3P2125191255612548125中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AMAO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP .由1222PF OB ==，得22102BF OF OP PF ==+=因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以2105OB OP OM BF ⋅==，故223105AM OA OM =+= …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD，交线为BD，故OP⊥平面ABCD，如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz-.因为1()2EFBDS EF BD OP=⨯+⨯梯形1(222)32OP=⨯+⨯=所以2=OP, )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，FCBA-因此2(2,20),(0,2)2AB BF=-=-，，设平面ABF的法向量为(,,)n x y z=由n ABn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2202202x yy z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z=，则(2,2,1)n=因为AO BD⊥，所以AO⊥平面EFBD，故平面BFD的法向量为(2,0,0)OA=于是22222cos,32212OA nOA nOA n⋅<>===⋅++⋅由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D--的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线∴点H的轨迹方程为x2=4y．………2分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由214y x =，得'12y x =．∴直线PC ：111()2C y x x x +=-， 又PC 过点C ，214C C y x =，∴2111111()242c c c c y x x x x x x +=-=-，∴11122c c c y y x x +=-，即11102c c x x y -+=．同理11102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为11102xx y -+=∴直线CD 过定点（0，1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1，﹣1）在直线CD 的方程为11102xx y -+=，得x1=1，直线CD 的方程为1102x y -+=．设l ：y+1=k （x ﹣1）， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ． 联立y+1=k （x ﹣1）与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4A B x x k +=．44A B x x k =+ ∵1,1,1Q A B x x x ---同号，∴||||11||()||||||||PQ PQ PQ PA PB PA PB +=+ 221111|1|()|1||1|1Q A B k x x x k =+-•+--+11|1|()|1||1|Q A B x x x =-+--242(1)21(1)(1)A B A B x x kk x x +-+=-•--- 5422215k k -=•=- ∴||||||||PQ PQ PA PB +为定值，定值为2. ……… 12分 21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1xf x e x '+-易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=， 因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22xg x e ax a =+-，()2xg x e a '=+ （i ）当0a =时，()0x g x e =>，()g x 无零点 （ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<，即12a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=，即12a =时，(0)0g =，()g x 有一个零点0 ③若120a ->，即102a <<时，21221()102a aa g ea --=-<，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分 （iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<，即202e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点②若ln(2)20a --=，即22e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->，即22e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分 设2()(1)xh x e x x =-≥，则()2xh x e x '=-，设()2xu x e x =-，则()2xu x e '=-，当1x ≥时，()220xu x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1x >时，2x e x >，故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10x k x x x-'=-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减， ()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x <因为22e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点综上，当22e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当102a <<时，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点；当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点. ………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 证明:(Ⅰ)AB 为圆O 的一条直径； ,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆…………………4分解：(Ⅱ) AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅，解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFB ADH ∆∆，则DH ADBF AF=，得2DH =， 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6. ……10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f 由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ，解得21<x 或25>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （Ⅱ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得)(x f mnm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m mnm n m ∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[， ∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。

河北省衡水中学2016 届高三放学期一模考试理数试题一、选择题（本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.）1.设命题甲：ax22ax 1 0 的解集是实数集R ；命题乙： 0 a1，则命题甲是命题乙建立的（）A．充足不用要条件B．充要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件2.设a,b R 且b0，若复数 a bi3（ i 为虚数单位）是实数，则（）A．b23a2B．a23b2C．b29a2D．a29b23.等差数列a n中，an是一个与 n 没关的常数，则该常数的可能值的会合为（）a2nA．1B．1,1C．1D．0,1,12224. ABC中三边上的高挨次为1,1,1，则ABC为（） [根源 : ] 13511A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不存在这样的三角形5.函数f x是定义在区间 0,上可导函数，其导函数为 f 'x ，且知足xf ' x 2 f x0 ，则不等[根源:学§科§网Z§X§X§K]式x2016f x2016 5 f5的解集为（）5x 2016A．x | x2011B．x | x2011 [根源:ZXXK] C．x |2016x2011D．x |2011 x0x2y22,1 ，当 APF 周长最小6.已知F是椭圆C :1的右焦点，P是 C 上一点，A204时，其面积为（）A．4B． 8C．3D．2 27.已知等式x4a1x3a2 x2 a3x a44x 13x2，定义映照x 1 b1b2 1 b3 x 1 b4f : a1, a2 , a3 , a4b1 ,b2 ,b3 , b4，则 f 4,3,2,1（）A．1,2,3,4B．0,3,4,0C．0,3,4,1D．1,0,2,28.以下图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为 2，侧视图是向来角三角形，俯视图为向来角梯形，且AB BC 1 ，则异面直线PB 与 CD 所成角的正切值是（）A．1B．2C．2D．1229.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩（百分制）以下表所示：若数学成绩 90 分（含 90 分）以上为优异，物理成绩 85（含 85 分）以上为优异.有多少掌握以为学生的学生成绩与物理成绩相关系（）A ． 99.9%B ． 99.5%C ． 97.5%D ． 95%参照数据公式：①独立性查验临界值表2②独立性查验随机变量 K 2 的值的计算公式： K 2n ad bca bc d a c b d10.在一个棱长为 4 的正方体内，你以为最多放入的直径为1 的球的个数为（）A ．64B ．65C ．66D ．6711.定义：分子为 1 且分母为正整数的分数成为单位分数， 我们能够把 1 分拆为若干个不一样的单位分数之和 .[根源 :学.科.网 Z.X.X.K]如： 1 1 1 1 ,1 1 1 11 ,1 1 1 1 1 1 ，挨次类推可得：23 62 4 6 12 2 5 6 122011 1 1 1 1 1 1+1+1+1+ 1 + 1+ 1，此中 mn, m, n N .设26 12 mn3042 56 72 90 110 132 1561 xm,1yn ，则xy 1 2的最小值为（）xA ．23B ．5C ．8D ．34227312.已知 a, b R ，直线 yaxb与函数 f xtan x 的图像在 x处相切，设24g xe x bx 2 a ，若在区间 1,2 上，不等式 mg x m 22 恒建立，则实数 m（）A ．有最小值 eB ．有最小值 eC ．有最大值 eD ．有最大值 e 1第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）13.已知函数 f xx 2 ax 的图像在点 A 1, f 1 处的切线与直线 x 3y 2 0 垂直，执行以下图的程序框图，输出的k 值是.14.在直角坐标系xOy中，已知点A 0,1和点B3,4 ，若点C在AOB 的均分线上，uuur且 OC 2，则uuurOC.15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30后，组成一个斜坐标平面 xOy .在此斜坐标平面 xOy 中，点P x, y的坐标定义以下：过点P 作两坐标轴的均分线，分别交两轴于 M,N两点，则M在 Ox 轴上表示的数为 x ，N 在Oy轴上表示的数为 y .那么以原点 O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为.16.已知ABC 的面积为S，内角A, B,C所对的边分别为a,b, c ，且 2sin C,sin B ,cos A 成等比数列，18 ，则4 c2b2a,21c23ac1的最小值为.32292S16a三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17（.本小题满分 12 分）设等比数列a n的前 n 项和为S n，已知，a12，且 4S1 ,3 S2 , 2S3成等差数列 .（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n2n 5 a n，求数列b n的前 n 项和T n.18.（本小题满分 12 分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，PCB 90 , PM PBC,PM 1,BC 2 ，又 AC 1, ACB 120 , AB PC ，直线AM与直线PC所成的角为60.（1）求证：PC AC；（2）求二面角M AC B的余弦值；（3）求点B到平面MAC的距离 .19.（本小题满分 12 分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为好多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10 元钱三瓶，有 8 种口胃供你选择（此中有一种为草莓口胃）.小王点击进入网页一看， 只见有好多包装完整同样的瓶装口香糖排在一同，看不见详细口胃，由购置者随机点击进行选择（各样口胃的高级口香糖均超出 3 瓶，且各样口胃的瓶数同样，每点击选择一瓶后，网页自动增补相应的口香糖）.（ 1）小王花 10 元钱买三瓶，请问小王共有多少种不一样组合选择方式？（ 2）小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜爱的草莓味口香糖瓶数 的散布列，并计算其数学希望和方差 .20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C 1 :x 2y 22，其短轴22 1 a b 0 的离心率为ab2的下端点在抛物线x 2 4y 的准线上 .[ 根源 : ZXXK]（ 1）求椭圆 C 1 的方程；（ 2）设 O 为坐标原点， M 是直线 l : x 2 上的动点， F 为椭圆的右焦点， 过点 F 作OM 的垂线与以 OM为直径的圆 C 2 订交于 P,Q 两点，与椭圆 C 1 订交于 A, B 两点，以下图 . ①若 PQ 6 ，求圆 C 2 的方程；②设 C 2 与四边形 OAMB 的面积分别为 S 1, S 2 ，若 S 1S 2 ，求 的取值范围 .21.（本小题满分12 分）设a为实数，函数f x x2e1 x a x 1 .（1）当a 1 时，求 f x 在3, 2上的最大值；4（2）设函数g x f x a x 1e1 x, 当 g x有两个极值点 x1, x2 x1x2时，总有x2 g x1 f ' x1，务实数的值（ f ' x 为 f x 的导函数）.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，ABC 内接于直径为BC 的圆 O ，过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延伸线于点P, BAC 的均分线分别交 BC 和圆 O于点D, E，若 PA 2PB 10.（1）求证：AC 2AB；（2）求AD DE的值 .23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C1 :x4cost（ t 为参数）， C2 :x8cosy3sin t y3sin（为参数）.（1）化C1,C2的方程为一般方程，并说明他们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t, Q 为 C2上的动点，求 PQ 的中点M到直线2C3 :x32t（ t 为y2t参数）距离的最小值 .24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f x x a 2 x 1 a R .（1）当a 3时，求函数 f x的最大值；（2）解对于x的不等式f x 0 .。

2015-2016 学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．已知会合 A={ ﹣1，i} ，i 为虚数单位，则以下选项正确的选项是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集 U=R，A={x|2 x（x﹣2）＜ 1} ，B={x|y=ln （1﹣x）} ，则图中阴影部分表示的会合为（）A．{x|x ≥1} B．{x|x ≤1} C．{x|0 ＜x≤ 1} D．{x|1 ≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2 C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间能否拥有线性有关关系，统计两科成绩获得以下图的散点图（两坐标轴单位长度同样），用回归直线 =bx+a 近似的刻画其有关关系，依据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性有关关系较强， b 的值为 1.25B．线性有关关系较强， b 的值为 0.83C．线性有关关系较强， b 的值为﹣ 0.87D．线性有关关系太弱，无研究价值5．以下结论中，正确的选项是（）①命题“若 p2+q2=2，则 p+q≤2”的逆否命题是“若 p+q＞2，则 p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必需条件，但不是充足条件；③命题 p：y=a x（a＞0 且 a≠1）是周期函数， q：y=sinx 是周期函数，则 p∧q 是真命题；④命题的否认是?p：? x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④D．①③④6．已知三棱锥 O﹣ABC 的极点 A，B，C 都在半径为 2 的球面上， O 是球心，∠ AOB=120°，当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时，三棱锥 O﹣ABC 的体积为（）A．B．C．D．7．阅读以下图的程序框图，输出S 的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在 x 轴上， A 为该椭圆右极点， P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率 e 的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ ABC 中， N 为线段 AC 上靠近 A 点的四均分点，若，则实数 m 的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列 {a n} 知足 a1=1，a2+a4=6，且对随意 n∈N*，函数 f （x）=（a n a n+1+a n+2）x+a n+1﹣ n+2sinx知足若，﹣?cosx a则数列 {c n n）} 的前 n 项和 S 为（A．B．C．D．12．已知定义在 R 上的函数 y=f （x）对随意的 x 都知足 f（x+2）=f （x），当﹣ 1≤x＜1 时，f（x）=sin x，若函数 g（x）=f（x）﹣log a|x|起码 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13．二项式的睁开式的系数和为256，则 a 的值为．14．设等差数列 {a n} 知足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为．15．已知实数 x，y 知足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒建立，则实数m 的最大值是．16．设函数 f （x）=，对随意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒建立，则正数k 的取值范围是．三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤 .17．已知△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时投掷两枚骰子，将获得的点数分别记为a，b．（1）求 a+b=7 的概率；（2）求点（ a， b）在函数 y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4 的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子投掷三次，ξ表示这三次投掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的散布列和数学希望．19．已知△ ABC 是边长为 3 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB ，AC 上的点，且知足= = ．将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，并使得平面A1DE⊥平面 BCED．（1）求证： A1D⊥EC；（2）设 P 为线段 BC 上的一点，试求直线 PA1与平面 A1BD 所成角的正切的最大值．20．已知 F 是抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 P（1，t）在抛物线 C 上，且 |PF|= ．（1）求 p，t 的值；（2）设 O 为坐标原点，抛物线 C 上能否存在点 A（A 与 O 不重合），使得过点 O 作线段 OA 的垂线与抛物线 C 交于点 B，直线 AB 分别交△OAB=△OAB表示△OAB的x 轴、 y 轴于点 D，E，且知足 S（S面积， S△ODE表示△ ODE 的面积）？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明原因．21．已知函数 f （x）= x2﹣（ 3a+1）x+2a（a+1）lnx （a＞0）（Ⅰ）若函数 f（x）在 x=1 处的切线与直线 3x﹣y+2=0 平行，求 a 的值：（Ⅱ）求函数 f（x）的单一区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职 ? x∈ [1，e]，f（x）≥k2+6k 恒建立，务实数 k 的取值范围．请考生在 22～24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .[选修 4-1，几何证明选讲 ]22．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，BD 是⊙ O 的直径， AE⊥CD 于点 E，DA 均分∠ BDE．（1）证明： AE 是⊙ O 的切线；（2）假如 AB=2，AE=，求CD．[ 选修 4-4，坐标系与参数方程 ]23．已知在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线 C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线 C 上恰巧存在三个不一样的点到直线l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[ 选修 4-5，不等式选讲 ]24．已知函数 f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若 f（x）≥ 3 恒建立，求后的取值范围；（Ⅱ）当 k=1 时，解不等式： f （x）＜ 3x．2015-2016 学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．已知会合 A={ ﹣1，i} ，i 为虚数单位，则以下选项正确的选项是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i 4?i=i，|﹣i|=1．又 A={ ﹣1，i} ，∴i5∈A．应选： C．2．设全集 U=R，A={x|2 x（x﹣2）＜ 1} ，B={x|y=ln （1﹣x）} ，则图中阴影部分表示的会合为（）A．{x|x ≥1} B．{x|x ≤1} C．{x|0 ＜x≤ 1} D．{x|1 ≤x＜2}【考点】 Venn 图表达会合的关系及运算．【剖析】由题意， 2x（x﹣2）＜1， 1﹣x＞ 0，从而解出会合A、 B，再解图中暗影部分表示的会合．【解答】解：∵ 2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜ 0，∴0＜x＜2；∴A={x|2 x（x﹣2）＜1}= （0，2）；又∵ B={x|y=ln （1﹣x）}= （﹣∞，1），∴图中暗影部分表示的会合为[1，2）；应选 D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2 C．2e D．2【考点】函数的值．【剖析】先求出 f （2）==﹣1，由 f[f （2）]=f （﹣ 1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f （2）]=f （﹣ 1）=2e﹣1+1=2．应选： D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间能否拥有线性有关关系，统计两科成绩获得以下图的散点图（两坐标轴单位长度同样），用回归直线=bx+a 近似的刻画其有关关系，依据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性有关关系较强， b 的值为 1.25B．线性有关关系较强， b 的值为 0.83C．线性有关关系较强， b 的值为﹣ 0.87D．线性有关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【剖析】依据散点图中点的散布特色即可获得结论．【解答】解：由散点图可得，点的散布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间拥有线性有关关系，且线性有关关系较强，因为全部的点都在直线y=x 的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能建立的是B，应选： B．5．以下结论中，正确的选项是（）①命题“若 p2+q2=2，则 p+q≤2”的逆否命题是“若 p+q＞2，则 p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必需条件，但不是充足条件；③命题 p：y=a x（a＞0 且 a≠1）是周期函数， q：y=sinx 是周期函数，则 p∧q 是真命题；④命题的否认是?p：? x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③ 错误；直接写出特称命题的否认判断④．【解答】解：①命题“若 p22，则≤”的逆否命题是“若+q =2p+q 2p+q＞2，则 p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必需条件，但不是充足条件，故②正确；③命题 p：y=a x（a＞0 且 a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx 是周期函数为真命题，则p∧q 是假命题，故③错误；④命题的否认是?p：? x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④ ．应选： C．6．已知三棱锥 O﹣ABC 的极点 A，B，C 都在半径为 2 的球面上， O 是球心，∠ AOB=120°，当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时，三棱锥 O﹣ABC 的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【剖析】由题意当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时， CO⊥平面OAB ，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC 的体积．【解答】解：由题意当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时， CO⊥平面 OAB，∴当△ AOC 与△ BOC 的面积之和最大时，三棱锥 O﹣ABC 的体积为=．应选： B．7．阅读以下图的程序框图，输出S 的值是（）A．0 B．C．D．【考点】程序框．【剖析】模行程序框，可得程序框的功能是算并出S=sin +sin+⋯+sin的，依据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模行程序框，可得程序框的功能是算并出S=sin +sin+⋯+sin的，因为 sin+sin+⋯+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以 S=sin +sin+⋯+sin=sin +sin+⋯+sin=0，故： A．8．焦点在 x 上， A 右点， P 在上一点，∠OPA=90°，的离心率 e 的范是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】的性．【剖析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），因为∠ OPA=90°，可得点 P 在以 OA 为直径的圆上．该圆为：，化为 x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，获得，解得，因为0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设 P（x，y），∵∠ OPA=90°，∴点 P 在以 OA 为直径的圆上．该圆为：，化为 x2﹣ax+y2=0．联立化为（ b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为 c2＞b2=a2﹣c2，∴，又 1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率 e 的范围是．应选： C．9．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图以以下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选： A10．如图，在△ ABC 中， N 为线段 AC 上靠近 A 点的四均分点，若，则实数 m 的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【剖析】由题意可知：=，设=λ，= + =（1﹣λ）+，由=m +，依据向量相等可知：，即可求得 m 的值．【解答】解： N 为线段 AC 上靠近 A 点的四均分点，∴=，设=λ，则= + = +λ（﹣）=（1﹣λ）+λ =（1﹣λ）+，∵=m +，∴，即λ=，m=，故答案选： A．11．设数列 {a n} 知足 a1=1，a2+a4=6，且对随意 n∈N*，函数 f （x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1?cosx﹣a n+2sinx 知足若，则数列 {c n的前n 项和n 为（）}S A．B．C．D．【考点】数列的乞降．【剖析】依意，可求得a n2a n+1+a n+2=0，于是知数列 {a n} 是等差数列，其公差 d，由 a1=1，a2+a4=6，可求得 a n=n，于是知 c n=a n+=n+，利用分乞降的方法即可求得答案．【解答】解：∵ f （x）=（a n a n+1+a n+2）x+a n+1?cosx a n+2sinx，∴f ′（x）=a n a n+1+a n+2a n+1?sinx a n+2cosx，=a n2a n+1 +a n+2，∵f ′（）=0，∴a n 2a n+1 +a n+2=0，即 2a n+1 =a n+a n+2，∴数列 {a n} 是等差数列，其公差d，∵a2+a4=6，∴2a1+4d=6，a1=1，∴d=1，∴a n=1+（n 1）× 1=n，∴c n=a n+ =n+ ，∴S n=c1+c2+⋯+c n=（1+2+⋯+n） +（+ +⋯+）=+=．故： C．12．已知定义在 R 上的函数 y=f （x）对随意的 x 都知足 f（x+2）=f （x），当﹣ 1≤x＜1 时，f（x）=sin x，若函数 g（x）=f（x）﹣log a|x|起码 6 个零点，则 a 的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判断定理．【剖析】分 a＞1 与 0＜a＜1 议论，联合题意作两个函数的图象，利用数形联合求解即可．【解答】解：当 a＞1 时，作函数 f（x）与函数 y=log a|x|的图象以下，，联合图象可知，，故 a＞5；当 0＜a＜1 时，作函数 f（x）与函数 y=log a|x|的图象以下，，联合图象可知，，故 0＜a≤ ．应选A．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.13．二项式的睁开式的系数和为256，则 a 的值为﹣1或﹣5．【考点】二项式定理的应用．【剖析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令 x=1，则（ a+3）n的睁开式的系数和为 256，据二项睁开式的二项式系数和的性质：睁开式的二项式系数和为2n ∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得 a=﹣1 或﹣ 5．故答案是：﹣ 1 或﹣ 5．14．设等差数列 {a n} 知足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为121．【考点】等差数列的前n 项和．【剖析】设等差数列 {a n} 的公差为 d，则=+，可得=1+，解得 d，再利用等差数列的通项公式、乞降公式可得a n，S n+10，从而得出．【解答】解：设等差数列 {a n} 的公差为 d，则=+，∴=1+，解得 d=2，∴S n+10=（n+10）×1+×2=（n+10）2，=[1+2（n﹣1）]2=（2n﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为 121．故答案为： 121．15．已知实数 x，y 知足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒建立，则实数m 的最大值是．【考点】简单线性规划．【剖析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，联合线性规划以及恒建立问题．利用数形联合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵ m（x2+y2）≤（ x+y）2在可行域内恒建立．且 m≤=1+=1+=1+，故只求 z=的最大值即可．设 k=，则有图象知A（2，3），则 OA 的斜率 k= ，BC 的斜率 k=1，由图象可知即 1≤k≤，∵z=k+ 在 1≤k≤，上为增函数，∴当 k= 时， z 获得最大值 z= + =，此时 1+ =1+ =1+ =，故 m≤，故 m 的最大值为，故答案为：16．设函数 f （x）=，对随意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒建立，则正数k 的取值范围是k≥1．【考点】函数恒建立问题．【剖析】当 x＞0 时，=，利用基本不等式可求f （x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单一性，从而可求 g（x）的最大值，由恒建立且k＞0，则，可求【解答】解：∵当x＞0 时，==2e∴x1∈（ 0，+∞）时，函数 f （x1）有最小值 2e∵∴=当 x＜1 时， g′（x）＞ 0，则函数 g（x）在（ 0，1）上单一递加当 x＞1 时， g′（x）＜ 0，则函数在（ 1，+∞）上单一递减∴x=1 时，函数 g（x）有最大值 g（1）=e则有 x12∞ 1 min2max、x ∈（ 0，+），f （x ）=2e＞g（x ）=e∵恒建立且 k＞0，∴∴k≥1故答案为 k≥1三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤 .17．已知△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【剖析】（Ⅰ）由 cosB 的值和 B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，又 a，b，c 成等比数列，依据等比数列的性质及正弦定理化简获得一个关系式，而后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将获得的关系式和 sinB 的值代入即可求出值；（Ⅱ）依据平面向量的数目积得运算法例及cosB 的值化简? = ，即可获得 ac 的值，从而获得b2的值，而后由余弦定理和完整平方公式，由 b2和 ac 及 cosB 的值，即可获得a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理： b2=a2+c2﹣2ac?cosB，又 b2=ac=2，cosB= ，得 a2+c2=b2+2ac?cosB=2+4× =5，则（ a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得： a+c=3．18．同时投掷两枚骰子，将获得的点数分别记为a，b．（1）求 a+b=7 的概率；（2）求点（ a， b）在函数 y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4 的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子投掷三次，ξ表示这三次投掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的散布列和数学希望．【考点】失散型随机变量的希望与方差；列举法计算基本领件数及事件发生的概率．【剖析】（1）全部基本领件的个数为 6×6=36．此中知足 a+b=7 的基本领件（ a，b）有一下 6 个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出 P（a+b=7）．（2）设“点（ a，b）在函数 y=2x的图象上”为事件 B，包括两个基本领件（ 1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以 a，b，4 的值为边长可以构成等腰三角形”为事件 C，共包括 14 个基本领件．可得 P（C）= = ．ξ的可能值为 0，1，2，3．P（ξ=k） =，（k=0，1，2，3）．即可得出散布列与数学希望．【解答】解：（1）全部基本领件的个数为 6×6=36．此中知足 a+b=7的基本领件（ a，b）有一下 6 个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P（a+b=7）= = ．（2）设“点（ a，b）在函数 y=2x的图象上”为事件 B，包括两个基本领件（ 1，2），（2，4），∴P（B）= = ．（3）记“以 a，b，4 的值为边长可以构成等腰三角形”为事件 C，共包括 14 个基本领件．∴P（C）= = ．ξ的可能值为 0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．ξ0123 P（ξ）∴E（ξ）=3×= ．19．已知△ ABC 是边长为 3 的等边三角形，点D、E 分别是边 AB ，AC 上的点，且知足= = ．将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，并使得平面A1DE⊥平面 BCED．（ 1）求证： A 1D ⊥EC ；（ 2）设 P 为线段 BC 上的一点，试求直线 PA 1 与平面 A 1BD 所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【剖析】（1）等边△ ABC 的边长为 3，且= = ，求得 AD 和 AE的值．从而由余弦定理得 DE ，依据 AD 2+DE 2=AE 2，判断 AD ⊥DE折叠后 A 1D ⊥DE ，依据平面 A 1DE ⊥平面 BCED ，又平面利用线面垂直的判断定理推测出 A 1D ⊥平面 BCED ，从而可知 A 1D ⊥EC ．（2）作 PH ⊥BD 于点 H ，连结 A 1H 、 A 1P ，由（ 1）有 A 1D ⊥平面BCED ，而 PH? 平面 BCED ，推测出 A 1D ⊥PH ，又 A 1D ∩ BD=D ，进而依据线面垂直的判断定理知 PH ⊥平面 A 1BD ，推测出∠ PA 1H 是直线 PA 1 与平面 A 1BD 所成的角，设出 PB ，分别表示出 BH ，PH ，DH进利用勾股定理求得 A 1 1H 的表达式，既而在 Rt △PA H 中，表示出 tan ∠PA 1 ，对x 进行分类议论，利用函数的思想求得 ∠ 1 的最Htan PA H大值．【解答】证明：（1）因为等边△ ABC 的边长为 3，且= = ，所以 AD=1 ，AE=2．在△ ADE 中，∠ DAE=60° ，由余弦定理得 DE== ．因为 AD 2+DE 2=AE 2，所以 AD ⊥DE．折叠后有 A1D⊥DE，因为平面 A1DE⊥平面 BCED，又平面 A 1DE∩平面 BCED=DE ，A1D? 平面 A1DE，A1D⊥DE，所以 A1D⊥平面 BCED故 A1D⊥EC．（2）如图，作 PH⊥BD 于点 H，连结 A 1H、A1P，由（ 1）有 A 1D⊥平面 BCED，而 PH? 平面 BCED，所以 A1D⊥PH，又 A1D∩ BD=D，所以 PH⊥平面 A1BD，所以∠ PA1H 是直线 PA1与平面 A 1BD 所成的角，设 PB=x（0≤x≤3），则 BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣所以 A1H==所以在 Rt△PA11H 中， tan∠PA H==①若 x=0，则 tan∠PA1H===0，②若 x≠0 则 tan∠PA1H===令 =t（t≥），y=20t2﹣8t+1因为函数 y=20t2﹣8t+1 在 t≥上单一递加，所以y min=20×﹣+1=所以 tan∠PA1H 的最大值为=（此时点P与C重合）20．已知 F 是抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 P（1，t）在抛物线 C 上，且 |PF|= ．（1）求 p，t 的值；（2）设 O 为坐标原点，抛物线 C 上能否存在点 A（A 与 O 不重合），使得过点 O 作线段 OA 的垂线与抛物线 C 交于点 B，直线 AB 分别交△OAB=△OAB表示△OAB的x 轴、 y 轴于点 D，E，且知足 S（S面积， S△ODE表示△ ODE 的面积）？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明原因．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】（1）依据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，从而可得 t 值；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，依据抛物线的对称性，考虑 A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A，B 的坐标，从而可得 E 的坐标，利用 S△OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点P（1，t）为抛物线 y2=2px（p＞0）上一点， F 是抛物线的焦点， |PF|= ，∴1+=，解得： p=1，故抛物线的方程为： y2=2x，将 x=1 代入可得： t=±；（2）由题意，直线 OA 的斜率存在，且不为 0，依据抛物线的对称性，考虑 A 在第一象限．设直线 OA 的方程为 y=kx（k＞0），OA⊥OB，直线 OB 的方程为 y=﹣x．由，得 k2x2=2x，∴ x=0（舍去）或 x=，即A（，）．同理 B（2k2，﹣ 2k）．∵k=1 时， AB ⊥y 轴，不切合题意，∴直线 AB 的方程为 y+2k=（x﹣2k2），即 y+2k=（x﹣2k2），∴E（0，）．∵S△OAB =，∴|y A |+|y B |= |y E|，∵y A，y B异号，∴|y A |+|y B |=|y A﹣y B|= |y E|，∴||= ?||∴k2= 或 2，∴A（4，2 ）或 A（1，），由对称性，可得A（4，± 2）或A（1，±）．21．已知函数 f （x）= x2﹣（ 3a+1）x+2a（a+1）lnx （a＞0）（Ⅰ）若函数 f（x）在 x=1 处的切线与直线 3x﹣y+2=0 平行，求 a 的值：（Ⅱ）求函数 f（x）的单一区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职 ? x∈ [1，e]，f（x）≥k2+6k 恒建立，务实数 k 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单一性．【剖析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单一区间，注意对 a 进行议论；（Ⅲ）把不等式恒建立问题转变为求函数的最值问题解决，对? x∈[1，e]，f （x）≥ k2+6k 恒建立，即求 f （x）min≥k2+6k 恒建立．【解答】解：（Ⅰ）f ′（ x）=x ﹣（ 3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 1 分∵函数 f （x）在 x=1 处的切线与直线3x﹣y+2=0 平行，∴f ′（1）=1﹣（ 3a+1）+2a（a+1）=3，即 2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 2 分解得 a= 或 a=﹣1（不切合题意，舍去），∴a= ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 4 分（Ⅱ）函数 f（x）的定义域为（0，+∞），f （′x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 5 分①当 0＜a＜1 时，2a＜a+1，∴当 0＜x＜2a 或 x＞a+1 时，f （′x）＞0，当 2a＜x＜a+1 时， f ′（x）＜ 0，∴函数 f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单一递加，在（ 2a，a+1）上单一递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 分②当 a=1 时， 2a=a+1，f （′x）≥ 0，∴函数 f （x）在（ 0，+∞）上单调递加，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当 a＞1 时， 2a＞a+1，∴0＜x＜a+1 或 x＞2a 时，f ′（x）＞ 0；a+1＜x＜2a 时， f ′（x）＜ 0，∴函数 f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单一递加，在（ a+1，2a）上单一递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 10 分（Ⅲ）当 a= 时， f （x）= ﹣+ lnx ，由（Ⅱ）知函数 f （x）在（ 0，）上单一递加，在（，3）上单一递减，所以 f（x）在区间 1，e]的最小值只好在f（1）或 f（e）中获得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11 分∵f（1）=﹣5，f（ e）= ﹣ + ，∴f（e）﹣ f（1） =．设 g（x）=x2﹣11x+25，则 g（x）在（﹣∞，）上单一递减，且e ＜3＜，∴g（e）＞ g（3），故 f （e）﹣ f（1）＞ 0．∴f（x）在区间 1，e]的最小值是 f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 13 分若要知足对对 ? x∈[1 ，e]，f（x）≥ k2+6k 恒建立，只要 f （x）min≥k2+6k 恒建立，即求﹣ 5≥k2+6k 恒建立，即 k2+6k+5≤0，解得﹣ 5≤k≤﹣ 1．∴实数 k 的取值范围是 [﹣5，﹣ 1] ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14 分请考生在 22～24 三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .[选修 4-1，几何证明选讲 ]22．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，BD 是⊙ O 的直径， AE⊥CD 于点 E，DA 均分∠ BDE．（1）证明： AE 是⊙ O 的切线；（2）假如 AB=2 ，AE= ，求 CD．【考点】与圆有关的比率线段．【剖析】（1）第一经过连结半径，进一步证明∠DAE+ ∠OAD=90°，获得结论．（2）利用第一步的结论，找到△ ADE ∽△ BDA 的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结 OA ，在△ ADE 中， AE⊥CD 于点 E，∴∠ DAE+ ∠ADE=90°∵DA 均分∠ BDC．∴∠ ADE= ∠BDA∵O A=OD∴∠ BDA= ∠OAD∴∠ OAD= ∠ADE∴∠ DAE+ ∠OAD=90°即： AE 是⊙ O 的切线（2）在△ ADE 和△ BDA 中，∵BD 是⊙ O 的直径∴∠ BAD=90°由（ 1）得：∠ DAE= ∠ABD又∵∠ BAD= ∠AED∵A B=2求得： BD=4，AD=2∴∠ BDA= ∠ADE= ∠BDC=60°进一步求得： CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[ 选修 4-4，坐标系与参数方程 ]23．已知在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取同样单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线 C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线 C 上恰巧存在三个不一样的点到直线 l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成一般方程．【剖析】（1）消去参数α，即可获得曲线 C 的一般方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l 的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，而后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线 C 的一般方程： x2+y2=4．直线=，直线 l 的直角坐标方程： x+ y﹣2=0．（2）∵圆 C 的圆心（ 0，0）半径为： 2，，圆心 C 到直线的距离为 1，∴这三个点在平行直线 l1与 l 2上，如图：直线 l1与 l 2与 l的距离为 1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（ 1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[ 选修 4-5，不等式选讲 ]24．已知函数 f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若 f（x）≥ 3 恒建立，求后的取值范围；（Ⅱ）当 k=1 时，解不等式： f （x）＜ 3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【剖析】（Ⅰ）依据 f（x）≥3 恒建立，获得 |x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于 3﹣k，求出 |x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确立出k 的取值范围；（Ⅱ）把 k=1 代入不等式，分状况议论 x 的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对? x∈R 恒建立，即（ |x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（ |x﹣3|+|x﹣2|）min =1≥3﹣k，解得： k≥2；（Ⅱ）当 k=1 时，不等式可化为 f （x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当 x≤2 时，变形为 5x＞6，解得： x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当 2＜x＜3 时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为 2＜x＜3；当 x≥3 时，不等式解得： x＞﹣ 4，此时不等式解集为 x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016 年 11月 3 日。

2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷高三期末理数第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=,i 为虚数单位,则下列选项正确的是( ) A.A i ∈1 B.A ii∈+-11 C.A i ∈5 D.A i ∈- 2.设全集R U =,集合{}12)2(<=-x x x A ,{})1ln(x y x B -==,则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{}1≥x x B.{}1≤x x C.{}10≤<x x D.{}21<≤x x3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=+)2()1(1log )2(2)(231x x x e x f x ,则=)]2([f f ( )A.22eB.22e C.e 2 D.2 4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线∧∧∧+=a x b y 近似的刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是( ) A.线性相关关系较强,∧b 的值为25.1 B.线性相关关系较强,∧b 的值为83.0 C.线性相关关系较强,∧b 的值为87.0- D.线性相关关系太弱,无研究价值5.下列结论中,正确的是④命题023,:0200≥+-∈∃x x R x p 的否定是023,:2<+-∈∀⌝x x R x p .A.①②B.①④C.①②④D.①③④6.已知三棱锥ABC O -的顶点C B A ,,都在半径为2的球面上,O 是球心,120=∠AOB ,当AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时,三棱锥ABC O -的体积为( )A.23 B.332 C.32 D.317.阅读如图所示的程序框图,输出s 的值为( ) A.0 B.23 C.3 D.23-8.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上,A 为该椭圆右顶点,P 为椭圆上一点,90=∠OPA ,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.)1,21[B.)1,22[C.)36,21[D.)22,0( 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.5 B.4 C.2 D.110.如图,在ABC ∆中,N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点,若m 92)92(++=,则实数m 的值为( ) A.91 B.31C.1D.311.设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*∈N n ,函数x a x a x a a a x f n n n n n sin cos )()(2121-+---⋅++-=满足0)2(='πf ,若n a n n a c 21+=,则数列{}n c 的前n 项和n S 等于( )A.n n n 2122-+B.122124--++n n n C.n n n 21222-++ D.n n n 21242-++ 12.已知定义在R 上的函数)(x f y =对任意x 都满足)()2(x f x f =+,当11<≤-x 时,x x f 2sin )(π=,若函数)1,0(log )()(≠>-=a a x x f x g a 且至少有6个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.),5(]51,0(+∞ B.),5[)51,0(+∞C.)7,5(]51,71(D.)7,5[]51,71(第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.二项式8)3(-xa 的展开式的系数和为256,则a 的值为______. 14.设等差数列{}n a 满足)(0,11*∈>=N n a a n ,其前n 项和为n S ,若数列{}nS 也为等差数列,则21nn aS +的最大值是_____.15.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x ,若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立,则实数m 的最大值是_____.16.设函数x x e x f 1)(22+=,x exe x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k xf k xg 恒成立,则正数k 的取值范围是_______.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)ABC ∆中,内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,已知c b a 、、成等比数列,且43cos =B . (1)求BA tan 1tan 1+的值; (2)设23=⋅BC BA ,求c a +的值.18.(本小题满分12分)同时抛掷两枚骰子,将得到的点数分别记为b a ,. (1)求7=+b a 的概率;(2)求点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率;(3)将4,,b a 的值分别作为三条线段的长,将这两枚骰子抛掷三次,ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数,求ξ的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)已知ABC ∆是边长为3的等边三角形,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足21==EA CE DB AD . 将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置,并使得平面⊥DE A 1平面BCDE . (1)求证：EC D A ⊥1;(2)设P 为线段BC 上的一点,试求直线1PA 与平面BD A 1所成角的正切的最大值.20.(本小题满分12分)已知F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点,点),1(t P 在抛物线C 上,且23=PF . (1)求t p ,的值;(2)设O 为坐标原点,抛物线C 上是否存在点A A (与O 点不重合),使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ,直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D 、E ,且满足ODE OAB S S ∆∆=23(OAB S ∆表示OAB ∆的面积,ODE S ∆表示ODE ∆的面积)？若存在,求点A 的坐标;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知函数)0(ln )1(2)13(21)(2>+++-=a x a a x a x x f . (1)若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行,求a 的值; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)在(1)的条件下,若对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立,求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图,四边形ABCD 内接于圆O ,BD 是圆O 的直径,CD AE ⊥于点E ,. (1)证明：AE 是圆O 的切线;(2)如果32=AB ,3=AE ,求线段CD 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,曲线ααααα(,cos sin 3,sin cos 3:⎩⎨⎧-=+=y x C 为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,直线1)6sin(:=+πθρl .(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等,分别求这三个点的极坐标. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数k x x x f +-+-=23)(. (1)若3)(≥x f 恒成立,求实数k 的取值范围; (2)当1=k 时,解不等式x x f 3)(<.月考卷一、选择题1.C 【解析】A i i i i ∉-==21,A i ∉-=+=+)i -1)(i 1(i -1i 1i -12）（,A i i 5∈=,故选C.2.D 【解析】∵12)2(<-x x ,∴0)2(<-x x ,∴20<<x ,∴{}{}2012)2(<<=<=-x x x A x x .又∵{}{}1)1ln(<=-==x x x y x B ,∴图中阴影部分表示的集合为{}21<≤x x.5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确;由c a b a ⋅=⋅,可得c b =或向量a 与c b -垂直,所以②正确;③中命题p 是假命题,所以q p ∧是假命题,所以③错误;特称命题的否定是全称命题,所以④正确.6.B 【解析】∵)sin (sin 212BOC AOC r S S BOC AOC ∠+∠=+∆∆,∴当 90=∠=∠BOC AOC 时,BOC AOC S S ∆∆+取得最大值,此时OC OB OC OA ⊥⊥,,∴⊥OC 平面AOB , ∴332sin 2131=∠⨯⨯⨯⨯⨯==-∆AOB OB OA OC V V OAB C ABC . 7.A 【解析】由题意得,3sin sin 32sin3sinππππn s +⋅⋅⋅+++=,周期6=T ,故035sin 34sin sin 32sin 3sin 5432152015=++++=++++==πππππa a a a a s s .8.B 【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,),(y x P ,则),(y x OP =,),(y a x AP -=.又由于90=∠OPA ,所以0=⋅AP OP ,即可得222)2()2(ay a x =+-.所以点P 在以OA 为直径的圆上,即椭圆于该圆有异于点A 的公共点.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1)2()2(2222222b y a x a y a x ,消去y ,得0)(223222=-+-b a x a x a b , 220)2(0)(4022222226≠⇒>-⇒>-+⇒>∆e c a b a a b a . 由于过点A ,所以有一个根为a ,另一个根为x ,由韦达定理可得23223ca ab a a x =--=+.又因为a x <<0,解得122<<e . 9.A 【解析】如下图所示,该几何体的直观图为四棱柱1111D C B A ABCD -截取三棱锥E B A A 11-和三棱锥E D C D 11-.由已知底面A B C D 为直角梯形,,,,2,2,AD CD AD AB AD CD a AB ⊥⊥===⊥1AA 底面A B C D ,E AA ,21=为11D A 的中点,所以该几何体的体积52)2121(312)1121(31222)21(=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+=V . 10.A 【解析】因为N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点,所以41=,设λ=,则 4)1()1()(λλλλλλ+-=+-=-+=+=+=又因为m m 9292)92(+=++=,所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=mλλ1924,即91,98==m λ.`11.C 【解析】x a x a x a a a x f n n n n n cos sin )(2121-+----+-=',由0)2(='πf ,得122++=+n n n a a a ,故数列{}n a 为等差数列,由6,1421=+=a a a ,得n a n =,所以nn n c 21+=, 所以n n n n n n n S 2122211)211(212)1(2-++=--++=.12.A 【解析】当1>a 时,作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知,⎩⎨⎧<<-15log 15log a a ,故5>a ;当10<<a 时,作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知,⎩⎨⎧-≥-≥-15log 15log a a ,故510≤<a .二、填空题13.1或5 【解析】令1=x ,则有256)3(8=-a ,即23±=-a ,得1=a 或5. 14.121 【解析】设数列{}n a 的公差为d ,依题意3122S S S +=,即d a a d a 3322111++=+,化简可得221==a d ,∴121)12211(41]12221)12(21[)1210()12()10(2222221≤-+=-+-=-+=-+=+n n n n n n n a S nn . 15.1325【解析】由题意知可行域如图：∵222)()(y x y x m +≤+在可行域内恒成立,即x y xy x y x yy x xy y x y x m ++=+⋅+=++=++≤121)(12121)(222222,∴只需求x y xy z ++=121的最大值即可,设x y k =,由图象知)3,2(A ,则OA 的斜率23=k ,BC 的斜率1=k ,由图像可知231≤≤k ,∵k k z 1+=在231≤≤k 时为增函数,∴当23=k 时,z 取得最大值,此时6133223=+=z ,1325131216132121=+=+=+z ,∴1325≤m ,∴m 的最大值为1325.16.),1[+∞ 【解析】∵当0>x 时,e xx e x x e x x e x f 21211)(2222=⋅≥+=+=,当且仅当ex 1=时等号成立,∴),0(2+∞∈x 时,函数)(2x f 有最小值e 2. ∵x e x e x g 2)(=,∴xx x x e x e e xe e e x g )1()()(222-⋅=-⋅='.当1<x 时,0)(>'x g ,则函数)(x g 在区间),1[+∞上单调递减,∴1=x 时,函数)(x g 有最大值,e g =)1(,则对),0(,21+∞∈∀x x ,e x g e x f =>=max 1min 2)(2)(. ∵1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,且0>k ,∴12+≤k e k e ,解得1≥k . ∴正数k 的取值范围是),1[+∞. 三、解答题17.解：(1)因为c b a 、、成等比数列,所以ac b =2,由余弦定理可知)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B , 又43cos =B ,所以47sin =B . 且43)1(21=-+c a a c ,解得212或=a c . 于是7782778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或===+=+B a c B A C B B A A B A . (2)因为23=⋅,所以23cos =B ca ,所以2=ca . 又2=a c或21,所以⎩⎨⎧==2,1c a 或⎩⎨⎧==1,2c a 于是3=+a c .18.解：(1)所有的基本事件共有3666=⨯个,其中满足7=+b a 的基本事件),(b a 有)3,4(),4,3(),5,2(),2,5(),6,1(),1,6(共6个,故61366)7(===+b a P . (2)记“点),(b a 在函数xy 2=的图象上”为事件B ,包含)4,2(),2,1(两个基本事件, 所以181362)(==B P .故点),(b a 在函数x y 2=的图象上的概率为181. (3)记“以4,,b a 为边能围成等腰三角形”为事件C ,共包括14个基本事件. 所以1873614)(==C P . ξ的可能取值为3,2,1,0,58321331)1811()0(303===C P ξ,1944847187)1811()1(213=⨯==C P ξ, 1944539)187(1811)2(213=⨯⨯==C P ξ,5832343)187()3(333===C P ξ, 所以ξ的分布列为：658323194421944158320)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或6183)(=⨯=ξE . 19.解：(1)因为等边△ABC 的边长为3,且21==EA CE DB AD ,所以2,1==AE AD , 在△ADE 中, 60=∠DAE ,由余弦定理,得360cos 21221222=⨯⨯⨯-+=DE .因为222AE DE AD =+,所以DE AD ⊥. 折叠后有DE D A ⊥1,因为平面⊥DE A 1平面BCDE ,又平面 DE A 1平面DE BCDE =,⊂D A 1平面DE A 1,DE D A ⊥1,所以⊥D A 1平面BCDE ,又⊂EC 平面BCDE ,故EC D A ⊥1.(2)由(1)可知DE BD ⊥,⊥D A 1平面BCDE ,如图,以D 为坐标原点,以射线1,,DA DE DB 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系xyz D -,作BD PH ⊥于点H ,连接H A 1、P A 1,设)320(2≤≤=a a PB ,则a DH a PH a BH -===2,3,,所以)1,3,2(1a a --=,因为D BD D A BD ED D A ED =⊥⊥ 11,,,所以⊥ED 平面BD A 1,所以平面BD A 1的一个法向量为)0,3,0(=.设直线PA 与平面BD A 1所成的角为α,所以5443sin 2+-==αααα,①若0=α,则0sin =α.②若0≠α,则αααααα54435443sin 2+-=+-=, 令445),32(12+-=≥=t t y t t α. 因为函数324452≥+-=t t t y 在时单调递增,所以932438945min =+-⨯=y ,即3227)(sin max 2=α, 所以527)(sin 1)(sin )(tan max 2max 2max 2=-=ααα.故所求的最大值为5153.(此时点P 与C 重合) 20.解：(1)由抛物线的定义,得2321=+=p PF ,∴1=p ,∴x y 22=. 将点),1(t P 代入C ：x y 22=,得22=t ,∴2±=t .(2)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,根据抛物线的对称性,现考虑点A 在第一象限,如图所示,设直线OA 的方程为)0(>=k kx y ,OB OA ⊥,则直线OB 的方程为x ky 1-=. 由⎩⎨⎧==kxy x y 22,得x x k 222=,∴0=x (舍去)或22k x =,点)2,2(2k k A , 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x k y x y 122,得x k x 222=,∴0=x (舍去)或22k x =,点)2,2(2k k B -, ∵当1=k 时,B A x x =,y AB ⊥轴,不符合题意,∴直线AB 的方程为)2(22222222k x k kk k k y --+=+,即)2(1222k x k k k y --=+,∴)12,0(2k k E --. ∵B A OAB y OD y OD S ⋅+⋅=∆2121,ODE OAB E ODE S S y OD S ∆∆∆=⋅=23,21, ∴E B A B A y y y y y 23=-=+,即2122322kk k k --⋅=+,∴2212或=k ,∴)22,4(A 或)2,1(A . 又由抛物线的对称性,得点A 的坐标为)22,4(或)2,1(.21.解：(1)xa a a x x f )1(2)13()(+++-='. ∵函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行,∴3)1(2)13(1)1(=+++-='a a a f , 即0322=--a a ,解得23=a 或1-=a (舍去),∴23=a . (2)函数)(x f 的定义域为),0(+∞,xa x a x x a a x a x x a a a x x f )]1()[2()1(2)13()1(2)13()(2+--=+++-=+++-=', ①当10<<a 时,12+<a a ,∴当a x 20<<或1+>a x 时,0)(>'x f ;当12+<<a x a 时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在区间)2,0(a 和),1(+∞+a 上单调递增,在区间)1,2(+a a 上单调递减.②当1=a 时,12+=a a ,0)(≥'x f ,∴函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.③当1>a 时,12+>a a ,∴当10+<<a x 或a x 2>时,0)(>'x f ;当a x a 21<<+时,0)(<'x f , ∴函数)(x f 在区间)1,0(+a 和),2(+∞a 上单调递增,在区间)2,1(a a +上单调递减.(3)当23=a 时,x x x x f ln 2152112)(2+-=, 由(2)知函数)(x f 在区间)25,0(上单调递增,在区间)3,25(上单调递减,∴函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值只能在)1(f 或)(e f 中取得. ∵2152112)(,5)1(2+-=-=e e e f f ,∴22511)1()(2+-=-e e f e f .设2511)(2+-=x x x g ,则)(x g 在区间)211,(-∞上单调递减,且2113<<e , ∴01)3()(>=>g e g ,∴0)1()(>-f e f , ∴)(x f 在区间],1[e 上的最小值是5)1(-=f .若要满足对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立,只需k k x f 6)(2min +≥恒成立,即需k k 652+≥-恒成立,即0562≤++k k ,解得15-≤≤-k ,∴实数k 的取值范围是]1,5[--.22.解：(1)连接OA ,如图,在ADE ∆中,CD AE ⊥于点E ,∴ 90=∠+∠ADE DAE .∵DA 平分BDE ∠,∴BDA ADE ∠=∠.∵OD OA =,∴OAD BDA ∠=∠,∵ADE OAD ∠=∠,∴ 90=∠+∠OAD DAE ,即AE 是圆O 的切线.(2)在ADE ∆和BDA ∆中,∵BD 是圆O 的直径,∴ 30=∠BAD ,由(1)得ABD DAE ∠=∠,又∵AED BAD ∠=∠,∴AED BAD ∆∆~, ∴21323===AB AE BD AD .∴ 60=∠=∠=∠BDC ADE BDA , ∵32=AB ,∴2,4==AD BD ,进一步求得2=CD .23.解：(1)由题意得⎩⎨⎧-+=++=,sin cos 32cos sin 3,sin cos 32sin cos 3222222ααααααααy x ∴曲线C 的普通方程为422=+y x . ∵直线1cos 21sin 23)6sin(:=+=+θρθρπθρl , ∴直线l 的直角坐标方程为023=-+y x .(2)∵圆心)0,0(C ,半径为2=r ,圆心C 到直线l 的距离1=d ,∴这三个点分别在平行于直线l 的两条直线21,l l 上,设1l 与圆C 相交于点F E ,,2l 与圆C 相交于点G ,如图所示,∴直线21,l l 与直线l 的距离均为112=-=-d r ,∴03:1=+y x l ,043:2=-+y x l . 由⎩⎨⎧=+=+,03,422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧-=-=13y x ,即)1,3(),1,3(--F E . 由⎩⎨⎧=-+=+,043,422y x y x 得⎩⎨⎧==31y x ,即)3,1(G .∴G F E ,,这三个点的极坐标分别为)3,2(),65,2(),611,2(πππ. 24.解：(1)由题意得323≥+-+-k x x 对任意R x ∈恒成立, 即k x x -≥-+-3)23(min ,又12323=+--≥-+-x x x x , 所以k x x -≥=-+-31)23(min ,解得2≥k .所以实数k 的取值范围为),2[+∞.(2)当1=k 时,不等式可化为x x x x f 3123)(<+-+-=,当2≤x 时,变形为65>x ,解得56>x ,此时不等式的解集为256≤<x ; 当32<<x 时,变形为23>x ,解得32>x ,此时不等式的解集为32<<x ; 当3≥x 时,不等式解得4->x ,此时不等式的解集为3≥x ,综上,不等式的解集为),56(+∞.。

2016年河北省衡水市高三大联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1．已知i为虚数单位，复数z=（）3，则z的共轭复数是（）A．i B．﹣i C．1﹣i D．﹣1+i解：∵===i，∴z=（）3=i3=﹣i，∴z的共轭复数是i．选A2．集合A={1，2，4}，B={x|x2∈A}，将集合A、B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（）A．B．C．D．解：∵A={1，2，4}，B={x|x2∈A}，∴B={1，﹣1，，﹣，2，﹣2}，则A∩B={1，2}，A∪B={1，﹣1，，﹣，2，﹣2，4}，A．元素x∈A且x∉B，即x∈{4}，错误，B．x∈A∪B且x∉A∩B，即x∈{﹣1，，﹣，﹣2，4}，错误，C．元素x∈B且x∉A，即x∈∈{﹣1，，﹣，﹣2，}有4个元素，正确，D..x∈A∩B，即x∈{1，2}，错误3．命题p：，是，的充要条件，命题q：，是＞的充分条件，则下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨q C．p∨（￢q）D．p∧（￢q）解：命题p：⇒，是充分条件，若a=0.5，b=4，：推不出，不是必要条件，故命题p是假命题；命题q：⇒＞，是充分条件，故命题q是真命题；故p∨q是真命题。

选B4．已知菱形ABCD的边长为为4，∠ABC=，向其内部随机投放一点P，则点P与菱形各顶点距离均大于1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，则所以概率对应的面积为阴影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=π×12=π，=ABBCsin=4×4×=8，∵S菱形ABCD2=8﹣π．∴S阴影=S菱形ABCD﹣S空白=8﹣π×1因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P==选A5．按顺序输入x，y，z的值，运行如图的程序后，输出的结果为8，则输入的x，y，z的值可能是（）A．x=6，y=8，z=9 B．x=8，y=7，z=9 C．x=8，y=6，z=10 D．x=8，y=6，z=8解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，当x=8，y=6，z=8时，由：|8﹣6|＞1，且：|8﹣8|≤|6﹣8|，可得：t==8，选D6．三棱锥的四个面都是直角三角形，各棱长的最大值为4，则该三棱锥外接球的体积为（）A． B． C．D．解：如图所示，三棱锥C﹣A1B1C1，A1C=4，∴三棱锥的外接球的直径为4，故此三棱锥的外接球的半径为2，故此三棱锥的外接球的体积V==．选D7．已知函数f（x）=4sin（2x+），x∈R，则下列命题正确的是（）A．f（x）在区间[0，]内是增函数B．若∃x1≠x2，f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2必是π的整数倍C．f（x）的图象关于点（﹣+，0）（k∈Z）对称D．f（x）的图象关于直线x=对称解：对于函数f（x）=4sin（2x+），x∈R，在区间[0，]内，2x+∈[，]，故函数f（x）没有单调性，排除A．函数f（x）=4sin（2x+）的周期为=π，若∃x1≠x2，f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2必是的整数倍，B错误．由于当x=﹣+时，f（x）=0，故f（x）的图象关于点（﹣+，0）（k∈Z）对称，C正确．由于当x=时，f（x）=2，不是函数的最值，故f（x）的图象不关于直线x=对称，D错误，选C8．已知A、B为△ABC的内角，向量=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=，tanA=，则cosB的值为（）A．﹣B．C．D．﹣解：=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），则=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=，tanA=，即=，sin2A+cos2A=1，解得sinA=，cosA=，由sinA＞sinC，可得a＞c，即A＞C，C为锐角，可得cosC=，则cosB=﹣cos（A+C）=﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣（×﹣×）=﹣．选A9．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0、0、2、1、5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用﹣天，则不同的用车方案种数为（）A．5 B．24 C．32 D．64解：5日至9日，分为5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23=8种，第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其它车，由2×2=4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22=4种，共计4+4=8，根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有8×8=64，10．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于原点），以AB为直径的圆过坐标原点O，则关于直线l的判断正确的是（）A．过定点（4p，0）B．过定点（2p，0）C．过定点（p，0）D．过抛物线焦点解：设直线l：x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2pb=0，∴y1y2=﹣2pb，∴x1x2==b2，∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴有x1x2+y1y2=0，∴b2﹣2pb=0，∴b=2p∴直线l过定点（2p，0）．选B11．已知平面直角坐标系xOy中，B（0，2），C（0.4），A为x轴正半轴上的点，则∠BAC最大时，点A的横坐标为（）A．4 B．2C．2 D．1解：设过BC且与x轴相切的圆的圆心为E（x，y），则A（x，0）．∵A，B，C三点在圆上，∴EB=EA=EC，∴x2+（y﹣2）2=y2=x2+（y﹣4）2，整理可得x=2，x=﹣2舍去。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B I 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==-g g 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 考点：复数的概念．3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 考点：函数的极值．4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则()22x yz +=的最大值为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．[来源:] 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 考点：程序框图．6.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ） A ．2 B ．3 C ．4513D ．7027【答案】B 【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ． 考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ） A ．0.05 B ．0.1 C ．0.15 D ．0.2 【答案】B考点：正态分布． 8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2- 【答案】A 【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++=L ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++L L ＝(8)0f -=，故选A ．考点：1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω． 9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 【答案】C考点：二项式定理．10.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．102，⎛⎤⎥⎝⎦ C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102ce a<=≤，故选B ．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ） A ．7π B ．19π C ．776π D 19196π【答案】A考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为.【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为2所以该几何体的体积为2123V =⨯=考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14.已知向量AB u u u r与AC u u u r 的夹角为60°，且||||2AB AC ==u u u r u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为 .【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥u u u r u u u r，所以0AP BC =u u u r u u u r g ．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g －2AB AB AC λ-u u u r u u u r u u u r g ＝22(1)||||cos 60||||AB AC AC AB λλ-︒+-u u u r u u u r u u u r u u u r ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系． 【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π；（2）332． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解． 试题解析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.(3分)又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin A =. (5分) 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=. (6分)考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)[来源:学.科.网Z.X.X.K] 【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0． 【解析】试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o ，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）7；（3）不存在，理由见解析．（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-u u u r ，1(0,23,2)A D =-u u u u r ，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r ，由10A D p ⋅=u u u u r u r，10A P p ⋅=u u u r u r ，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =u r ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=u r u r ，即23303tt -+=，解得3t =-，∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用． 【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.(1)若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】（1）23k =或38k =；（2）22故21214x x k =-=+，由6ED DF =u u u r u u u r知，()02206x x x x -=-，得()0212215677714x x x x k=+==+，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=， 所以2212714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分） [来源:学科网]考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式．[来源:]21.(本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.[来源:学科网ZXXK]【答案】(1) 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增(2)3；(3) 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2)由(1)知()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；(3) 由12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=，两式相减，得(3) 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下： 因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=， 即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小． 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】(1)见解析； (2)103AB =．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形． 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标(5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】(1) 直线l 的普通方程为350x y ---=，圆C 的直角坐标方程为(2255x y +-=；（2）32【解析】试题分析：(1) 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：(1)由232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值. 【答案】(1) []3,1x ∈-；（2）3．考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．第21页/共21页。

衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题:CBCBC DBDAB BB12.解:由x xe x f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x 2))((='设c x x f e x+=2)(,由1)0(=f 得1=c ,所以x e x x f 1)(2+=,则xex x f 2)1()(--=' 所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈二、填空题:13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα 三、解答题: 17.【解析】……12分18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值;俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散。

……6分 （Ⅱ）解:X 的可能取值为0,1,2,3,设事件A B C 、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团,则2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯= (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯= (3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2……………8分……………4分…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ,则O 为BD 的中点,连接OF 由BD EF BD EF 21,//=,得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形,故OF ED // …………3分又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一:因为平面⊥EFBD 平面ABCD ,交线为BD ,AO BD ⊥所以AO ⊥平面EFBD ,作BF OM ⊥于M ,连AMAO ⊥平面BDEF ,AO BF ∴⊥,又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ,AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ,连接OP ,因为四边形EFBD 为等腰梯形,故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP .由12PF OB ==得BF OF ===因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以OB OP OM BF ⋅==,故AM = …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二:取EF 中点P ,连接OP ,因为四边形EFBD 为等腰梯形,故OP BD ⊥,又平面⊥EFBD 平面ABCD ,交线为BD ,故OP ⊥平面ABCD ,如图,以O 为坐标原点,分别以OA ,OB ,OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此(2,20),(0,2AB BF =-=-， 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得002y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,令1z =,则n 因为AO BD ⊥,所以AO ⊥平面EFBD ,故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =于是22cos ,32OA n OA n OA n⋅<>===⋅由题意可知,所求的二面角的平面角是锐角,故二面角A BF D --的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知,|HF|=|HP|,∴点H 到点F （0,1）的距离与到直线l 1:y=﹣1的距离相等, ∴点H 的轨迹是以点F （0,1）为焦点,直线l 1:y=﹣1为准线的抛物线 ∴点H 的轨迹方程为x 2=4y ．………2分CC（Ⅱ）（ⅰ）证明:设P （x 1,﹣1）,切点C （x C ,y C ）,D （x D ,y D ）． 由y=,得．∴直线PC:y+1=x C （x ﹣x 1）, 又PC 过点C,y C =,∴y C +1=x C （x ﹣x 1）=x C x 1,∴y C +1=,即．同理,∴直线CD 的方程为∴直线CD 过定点（0,1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1,﹣1）在直线CD 的方程为,得x 1=1,直线CD 的方程为．设l:y+1=k （x ﹣1）, 与方程联立,求得x Q =．设A （x A ,y A ）,B （x B ,y B ）．联立y+1=k （x ﹣1）与x 2=4y,得 x 2﹣4kx+4k+4=0,由根与系数的关系,得x A +x B =4k ．x A x B =4k+4 ∵x Q ﹣1,x A ﹣1,x B ﹣1同号, ∴+=|PQ|====,∴+为定值,定值为2．……… 12分21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时, ()=1xf x e x '+- 易知()f x '在R 上单调递增,且(0)0f '=, 因此,当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22x g x e ax a =+-,()2x g x e a '=+ （i ）当0a =时,()0xg x e =>,()g x 无零点 （ii ）当0a >时,()0g x '>,()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<,即12a >时,(0)120g a =-<,()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=,即12a =时,(0)0g =,()g x 有一个零点0 ③若120a ->,即102a <<时,21221()102a aa g ea --=-<,()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分（iii ）当0a <时,令()0g x '>,得ln(2)x a >-;令()0g x '<,得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减,在()ln(2),a -+∞单调递增,[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<,即202e a -<<时,()0g x >,()g x 无零点②若ln(2)20a --=,即22e a =-时,(2)0g =,()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->,即22e a <-时,(1)0g e =>,(ln(2))0g a -<,()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点; ………………10分 设2()(1)xh x e x x =-≥,则()2xh x e x '=-,设()2xu x e x =-,则()2xu x e '=-,当1x ≥时,()220xu x e e '=-≥->,所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增,()(1)20h x h e ''≥=->,所以()h x 在[1,)+∞单调递增,()(1)10h x h e ≥=->,即1x >时,2x e x >,故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥,则11()10xk x x x-'=-=≤,所以()k x 在[1,)+∞单调递减,()(1)10k x k ≤=-<,即1x >时,ln x x <因为22e a <-时,221a e ->>,所以ln(2)2a a -<-,又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->,()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点,故()g x 有两个零点综上,当22e a <-时,()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点,共有两个零点;当22e a =-时,()g x 有一个零点2;当202e a -<≤时,()g x 无零点;当102a <<时,()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点;当12a =时,()g x 有一个零点0;当12a >时,()g x 在(0,1)上有一个零点。

2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷高三期末理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}i A ,1-=，i 为虚数单位，则下列选项正确的是（ ） A ．A i ∈1 B ．A ii∈+-11 C ．A i ∈5 D ．A i ∈- 2.设全集R U =，集合{}12)2(<=-x x x A ，{})1ln(x y x B -==，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}1≥x x B ．{}1≤x x C ．{}10≤<x x D ．{}21<≤x x3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=+)2()1(1log )2(2)(231x x x e x f x ，则=)]2([f f （ ）A ．22eB ．22e C ．e 2 D ．2 4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线∧∧∧+=a x b y 近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）A ．线性相关关系较强，∧b 的值为25.1 B ．线性相关关系较强，∧b 的值为83.0 C ．线性相关关系较强，∧b 的值为87.0- D ．线性相关关系太弱，无研究价值5.下列结论中，正确的是④命题023,:0200≥+-∈∃x x R x p 的否定是023,:2<+-∈∀⌝x x R x p .A ．①②B ．①④C ．①②④D ．①③④6.已知三棱锥ABC O -的顶点C B A ,,都在半径为2的球面上，O 是球心，120=∠AOB ，当AOC ∆与BOC ∆的面积之和最大时，三棱锥ABC O -的体积为（ ）A ．23 B ．332 C ．32 D ．31 7.阅读如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ） A ．0 B ．23 C ．3 D ．23-8.中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点，90=∠OPA ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)1,21[B ．)1,22[C ．)36,21[D ．)22,0( 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．110.如图，在ABC ∆中，N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点，若BC AB m AP 92)92(++=，则实数m 的值为（ ） A ．91 B ．31C ．1D ．311.设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ，且对任意*∈N n ，函数x a x a x a a a x f n n n n n sin cos )()(2121-+---⋅++-=满足0)2(='πf ，若na n n a c 21+=，则数列{}n c 的前n 项和n S 等于（ ）A ．n n n 2122-+B ．122124--++n n n C ．n n n 21222-++ D ．n n n 21242-++ 12.已知定义在R 上的函数)(x f y =对任意x 都满足)()2(x f x f =+，当11<≤-x 时，x x f 2sin )(π=，若函数)1,0(log )()(≠>-=a a x x f x g a 且至少有6个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),5(]51,0(+∞ B ．),5[)51,0(+∞C ．)7,5(]51,71(D ．)7,5[]51,71(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式8)3(-xa 的展开式的系数和为256，则a 的值为______.14.设等差数列{}n a 满足)(0,11*∈>=N n a a n ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS 也为等差数列，则21nn aS +的最大值是_____.15.已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x ，若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是_____.16.设函数x x e x f 1)(22+=，x e x e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知c b a 、、成等比数列，且43cos =B . （1）求BA tan 1tan 1+的值； （2）设23=⋅BC BA ，求c a +的值.18.（本小题满分12分）同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为b a ,. （1）求7=+b a 的概率；（2）求点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率；（3）将4,,b a 的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足21==EA CE DB AD . 将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置，并使得平面⊥DE A 1平面BCDE . （1）求证：EC D A ⊥1；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线1PA 与平面BD A 1所成角的正切的最大值.20.（本小题满分12分）已知F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，点),1(t P 在抛物线C 上，且23=PF . （1）求t p ,的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A A (与O 点不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D 、E ，且满足ODE OAB S S ∆∆=23（OAB S ∆表示OAB ∆的面积，ODE S ∆表示ODE ∆的面积）？若存在，求点A 的坐标；若不存在，说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(ln )1(2)13(21)(2>+++-=a x a a x a x x f . （1）若函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行，求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）在（1）的条件下，若对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BD 是圆O 的直径，CD AE ⊥于点E ，. （1）证明：AE 是圆O 的切线； （2）如果32=AB ，3=AE ，求线段CD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，曲线ααααα(,cos sin 3,sin cos 3:⎩⎨⎧-=+=y x C 为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线1)6sin(:=+πθρl .（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求这三个点的极坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数k x x x f +-+-=23)(.（1）若3)(≥x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （2）当1=k 时，解不等式x x f 3)(<.月考卷一、选择题1.C 【解析】A i iii ∉-==21，A i ∉-=+=+)i -1)(i 1(i -1i 1i -12）（，A i i 5∈=，故选C. 2.D 【解析】∵12)2(<-x x ，∴0)2(<-x x ，∴20<<x ，∴{}{}2012)2(<<=<=-x x x A x x . 又∵{}{}1)1ln(<=-==x x x y x B ，∴图中阴影部分表示的集合为{}21<≤x x .5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确；由c a b a ⋅=⋅，可得c b =或向量a 与c b -垂直，所以②正确；③中命题p 是假命题，所以q p ∧是假命题，所以③错误；特称命题的否定是全称命题，所以④正确.6.B 【解析】∵)sin (sin 212BOC AOC r S S BOC AOC ∠+∠=+∆∆，∴当 90=∠=∠BOC AOC 时，BOC AOC S S ∆∆+取得最大值，此时OC OB OC OA ⊥⊥,，∴⊥OC 平面AOB ，∴332sin 2131=∠⨯⨯⨯⨯⨯==-∆AOB OB OA OC V V OAB C ABC . 7.A 【解析】由题意得，3sinsin 32sin3sinππππn s +⋅⋅⋅+++=，周期6=T ，故 035sin 34sin sin 32sin 3sin 5432152015=++++=++++==πππππa a a a a s s .8.B 【解析】设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(y x P ，则),(y x OP =，),(y a x AP -=.又由于 90=∠OPA ，所以0=⋅AP OP ，即可得222)2()2(a y a x =+-.所以点P 在以OA 为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点A 的公共点.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1)2()2(2222222b y a x a y a x ，消去y ，得0)(223222=-+-b a x a x a b ， 220)2(0)(4022222226≠⇒>-⇒>-+⇒>∆e c a b a a b a . 由于过点A ，所以有一个根为a ，另一个根为x ，由韦达定理可得23223ca ab a a x =--=+.又因为a x <<0，解得122<<e . 9.A 【解析】如下图所示，该几何体的直观图为四棱柱1111D C B A ABCD -截取三棱锥E B A A 11-和三棱锥E D C D 11-.由已知底面ABCD 为直角梯形，,,,2,2,AD CD AD AB AD CD a AB ⊥⊥===⊥1AA 底面ABCD ，E AA ,21=为11D A 的中点，所以该几何体的体积52)2121(312)1121(31222)21(=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+=V . 10.A 【解析】因为N 为线段AC 上靠近A 点的四等分点，所以AC AN 41=，设BN BP λ=，则 ACAB AN AB AB AN AB BN AB BP AB AP 4)1()1()(λλλλλλ+-=+-=-+=+=+=又因为AC AB m BC AB m AP 9292)92(+=++=，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=-=mλλ1924，即91,98==m λ.`11.C 【解析】x a x a x a a a x f n n n n n cos sin )(2121-+----+-=',由0)2(='πf ，得122++=+n n n a a a ，故数列{}n a 为等差数列，由6,1421=+=a a a ，得n a n =，所以nn n c 21+=， 所以n n n n n n n S 2122211)211(212)1(2-++=--++=.12.A 【解析】当1>a 时，作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知，⎩⎨⎧<<-15log 15log a a ，故5>a ；当10<<a时，作函数)(x f 与函数x y a log =的图象如下：结合图象可知，⎩⎨⎧-≥-≥-15log 15log a a ，故510≤<a .二、填空题13.1或5 【解析】令1=x ，则有256)3(8=-a ，即23±=-a ，得1=a 或5. 14.121 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，依题意3122S S S +=，即d a a d a 3322111++=+， 化简可得221==a d ，∴121)12211(41]12221)12(21[)1210()12()10(2222221≤-+=-+-=-+=-+=+n n n n n n n a S nn . 15.1325【解析】由题意知可行域如图：∵222)()(y x y x m +≤+在可行域内恒成立，即x y xy x y x yy x xy y x y x m ++=+⋅+=++=++≤121)(12121)(222222，∴只需求x y xy z ++=121的最大值即可，设x y k =，由图象知)3,2(A ，则OA 的斜率23=k ，BC 的斜率1=k ，由图像可知231≤≤k ，∵k k z 1+=在231≤≤k 时为增函数，∴当23=k 时，z 取得最大值，此时6133223=+=z ，1325131216132121=+=+=+z ，∴1325≤m ，∴m 的最大值为1325.16.),1[+∞ 【解析】∵当0>x 时，e xx e x x e x x e x f 21211)(2222=⋅≥+=+=， 当且仅当ex 1=时等号成立，∴),0(2+∞∈x 时，函数)(2x f 有最小值e 2. ∵x e x e x g 2)(=，∴xx x x e x e e xe e e x g )1()()(222-⋅=-⋅='.当1<x 时，0)(>'x g ，则函数)(x g 在区间),1[+∞上单调递减，∴1=x 时，函数)(x g 有最大值，e g =)1(，则对),0(,21+∞∈∀x x ，e x g e x f =>=max 1min 2)(2)(. ∵1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，且0>k ，∴12+≤k ek e ，解得1≥k . ∴正数k 的取值范围是),1[+∞. 三、解答题17.解：（1）因为c b a 、、成等比数列，所以ac b =2，由余弦定理可知)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B ， 又43cos =B ，所以47sin =B .且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是7782778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或===+=+B a c B A C B B A A B A . （2）因为23=⋅BC BA ，所以23cos =B ca ，所以2=ca . 又2=a c 或21，所以⎩⎨⎧==2,1c a 或⎩⎨⎧==1,2c a 于是3=+a c . 18.解：（1）所有的基本事件共有3666=⨯个，其中满足7=+b a 的基本事件),(b a 有)3,4(),4,3(),5,2(),2,5(),6,1(),1,6(共6个，故61366)7(===+b a P . （2）记“点),(b a 在函数xy 2=的图象上”为事件B ，包含)4,2(),2,1(两个基本事件， 所以181362)(==B P .故点),(b a 在函数xy 2=的图象上的概率为181. （3）记“以4,,b a 为边能围成等腰三角形”为事件C ，共包括14个基本事件. 所以1873614)(==C P . ξ的可能取值为3,2,1,0，58321331)1811()0(303===C P ξ，1944847187)1811()1(213=⨯==C P ξ， 1944539)187(1811)2(213=⨯⨯==C P ξ，5832343)187()3(333===C P ξ， 所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P58321331 1944847 1944539583234367583234331944539219448471583213310)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 或671873)(=⨯=ξE .19.解：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且21==EA CE DB AD ，所以2,1==AE AD ，在△ADE 中，60=∠DAE ，由余弦定理，得360cos 21221222=⨯⨯⨯-+=DE . 因为222AE DE AD =+，所以DE AD ⊥.折叠后有DE D A ⊥1，因为平面⊥DE A 1平面BCDE ，又平面 DE A 1平面DE BCDE =，⊂D A 1平面DE A 1，DE D A ⊥1，所以⊥D A 1平面BCDE ，又⊂EC 平面BCDE ，故EC D A ⊥1.（2）由（1）可知DE BD ⊥，⊥D A 1平面BCDE ，如图，以D 为坐标原点，以射线1,,DA DE DB 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系xyz D -，作BD PH ⊥于点H ，连接H A 1、P A 1，设)320(2≤≤=a a PB ，则a DH a PH a BH -===2,3,，所以)1,3,2(1a a PA --=，因为D BD D A BD ED D A ED =⊥⊥ 11,,，所以⊥ED 平面BD A 1，所以平面BD A 1的一个法向量为)0,3,0(=DE .设直线PA 与平面BD A 1所成的角为α，所以5443sin 211+-=⋅=ααααDEPA DE PA ，①若0=α，则0sin =α. ②若0≠α，则αααααα54435443sin 2+-=+-=，令445),32(12+-=≥=t t y t t α. 因为函数324452≥+-=t t t y 在时单调递增，所以932438945min =+-⨯=y ，即3227)(sin max 2=α，所以527)(sin 1)(sin )(tan max 2max 2max 2=-=ααα.故所求的最大值为5153.（此时点P 与C 重合） 20.解：（1）由抛物线的定义，得2321=+=p PF ，∴1=p ，∴x y 22=. 将点),1(t P 代入C ：x y 22=，得22=t ，∴2±=t .（2）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0，根据抛物线的对称性，现考虑点A 在第一象限，如图所示，设直线OA 的方程为)0(>=k kx y ，OB OA ⊥，则直线OB 的方程为x ky 1-=. 由⎩⎨⎧==kxy x y 22，得x x k 222=，∴0=x （舍去）或22k x =，点)2,2(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧-==x k y xy 122，得x k x 222=，∴0=x （舍去）或22k x =，点)2,2(2k k B -，∵当1=k 时，B A x x =，y AB ⊥轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为)2(22222222k x k kkk k y --+=+，即)2(1222k x k k k y --=+，∴)12,0(2k k E --. ∵B A OAB y OD y OD S ⋅+⋅=∆2121，ODE OAB E ODE S S y OD S ∆∆∆=⋅=23,21，∴E B A B A y y y y y 23=-=+，即2122322k k k k --⋅=+，∴2212或=k ，∴)22,4(A 或)2,1(A . 又由抛物线的对称性，得点A 的坐标为)22,4(或)2,1(. 21.解：（1）xa a a x x f )1(2)13()(+++-='. ∵函数)(x f 在1=x 处的切线与直线023=+-y x 平行，∴3)1(2)13(1)1(=+++-='a a a f ， 即0322=--a a ，解得23=a 或1-=a （舍去），∴23=a . （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x a x x a a x a x x a a a x x f )]1()[2()1(2)13()1(2)13()(2+--=+++-=+++-='，①当10<<a 时，12+<a a ，∴当a x 20<<或1+>a x 时，0)(>'x f ；当12+<<a x a 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在区间)2,0(a 和),1(+∞+a 上单调递增，在区间)1,2(+a a 上单调递减. ②当1=a 时，12+=a a ，0)(≥'x f ， ∴函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.③当1>a 时，12+>a a ，∴当10+<<a x 或a x 2>时，0)(>'x f ；当a x a 21<<+时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在区间)1,0(+a 和),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,1(a a +上单调递减.（3）当23=a 时，x x x x f ln 2152112)(2+-=， 由（2）知函数)(x f 在区间)25,0(上单调递增，在区间)3,25(上单调递减， ∴函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值只能在)1(f 或)(e f 中取得.∵2152112)(,5)1(2+-=-=e e e f f ，∴22511)1()(2+-=-e e f e f .设2511)(2+-=x x x g ，则)(x g 在区间)211,(-∞上单调递减，且2113<<e ， ∴01)3()(>=>g e g ，∴0)1()(>-f e f ， ∴)(x f 在区间],1[e 上的最小值是5)1(-=f .若要满足对k k x f e x 6)(],,1[2+≥∈∀恒成立，只需k k x f 6)(2min +≥恒成立， 即需k k 652+≥-恒成立，即0562≤++k k ，解得15-≤≤-k ， ∴实数k 的取值范围是]1,5[--. 22.解：（1）连接OA ，如图，在ADE ∆中，CD AE ⊥于点E ，∴90=∠+∠ADE DAE . ∵DA 平分BDE ∠，∴BDA ADE ∠=∠.∵OD OA =，∴OAD BDA ∠=∠，∵ADE OAD ∠=∠，∴90=∠+∠OAD DAE ， 即AE 是圆O 的切线.（2）在ADE ∆和BDA ∆中，∵BD 是圆O 的直径，∴30=∠BAD ， 由（1）得ABD DAE ∠=∠，又∵AED BAD ∠=∠，∴AED BAD ∆∆~， ∴21323===AB AE BD AD .∴ 60=∠=∠=∠BDC ADE BDA ， ∵32=AB ，∴2,4==AD BD ，进一步求得2=CD .23.解：（1）由题意得⎩⎨⎧-+=++=,sin cos 32cos sin 3,sin cos 32sin cos 3222222ααααααααy x ∴曲线C 的普通方程为422=+y x .∵直线1cos 21sin 23)6sin(:=+=+θρθρπθρl ， ∴直线l 的直角坐标方程为023=-+y x .（2）∵圆心)0,0(C ，半径为2=r ，圆心C 到直线l 的距离1=d ，∴这三个点分别在平行于直线l 的两条直线21,l l 上，设1l 与圆C 相交于点F E ,，2l 与圆C 相交于点G ，如图所示，∴直线21,l l 与直线l 的距离均为112=-=-d r ，∴03:1=+y x l ，043:2=-+y x l .由⎩⎨⎧=+=+,03,422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧-=-=13y x ，即)1,3(),1,3(--F E . 由⎩⎨⎧=-+=+,043,422y x y x 得⎩⎨⎧==31y x ，即)3,1(G . ∴G F E ,,这三个点的极坐标分别为)3,2(),65,2(),611,2(πππ. 24.解：（1）由题意得323≥+-+-k x x 对任意R x ∈恒成立， 即k x x -≥-+-3)23(min ，又12323=+--≥-+-x x x x ， 所以k x x -≥=-+-31)23(min ，解得2≥k . 所以实数k 的取值范围为),2[+∞.（2）当1=k 时，不等式可化为x x x x f 3123)(<+-+-=，当2≤x 时，变形为65>x ，解得56>x ，此时不等式的解集为256≤<x ； 当32<<x 时，变形为23>x ，解得32>x ，此时不等式的解集为32<<x ；当3≥x 时，不等式解得4->x ，此时不等式的解集为3≥x ， 综上，不等式的解集为),56(+∞.。