[中学联盟]江苏省宿迁市宿豫区仰化镇初级中学八年级数学下册：11反比例函数_k的几何意义

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1．（如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。

反比例函数要点解读反比例函数是初中阶段数学学习的重要内容之一，学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于运用数形结合的方法，将函数解析式与函数图象紧密地联系在一起，根据函数图象探索函数的性质，并在理解函数性质的基础上能灵活运用.具体到解题，要注意利用好反比例函数的以下知识点，现举例进行介绍. 一、反比例函数图象上点的坐标特征 如果把反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)变形为xy k =(k 为常数，0k ≠)，那么可以看出，变量x ，y 的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数k . 例1 (2018年哈尔滨)若反比例函数23k y x-=的图象经过点(1，1)，则k 的值为( ) A. –1 B.0 C.1 D.2解析:把(1，1)代入23k y x-=，得2311k -=⨯. 解得2k =. 故选D.例2 (2018年徐州)如果点(3，–4)在反比例函数ky x=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( ).A. (3，4)B.(–2，–6)C.(–2，6)D.(–3，–4)解析:∵点(3，–4)在反比例函数ky x=的图象上， ∴3(4)12k =⨯-=-.在四个选项中，点的横、纵坐标乘积为–12的只有选项C. 故选C.例3 (2018年宁波)如图1，平行于x 轴的直线与函数1k y x =(10k >，0x >)，2k y x= (20k >，0x >)的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，点C 为x 轴上的一个动点.若ABC ∆的面积为4，则12k k -的值为( ).A. 8B.–8C.4D.–4解析:∵直线//AB x 轴， ∴A ，B 两点的纵坐标相同.设(,)A a h ，(,)B b h ，则1ah k =，2bh k =. ∵12111()()4222ABC A S AB y a b h k k ∆==-=-=g ， ∴128k k -=. 故选A.例4 (2018年广东)如图2，已知等边11OA B ∆，其顶点1A 在双曲线y =(0x >)上，点1B 的坐标为(2，0)，姓点1B 作121//B A OA ，交点2A ，过点2A 作2211//A B A B ，交x 轴于点2B ，得到第2个等边122B A B ∆；过点2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过点3A 作3322//A B A B ，交x 轴于点3B ，得到第3个等边233B A B ∆；……以此类一推，点6B 的坐标为 .解析:如图2，作2A C x ⊥轴于点C ，设1B C a =，则2A C =，∴112OC OB B C a =+=+，(2)a +.∵点2A 在双曲线y x=(0x >)上，∴(2)a +=，解得1a =，或1a =(舍去).∴2112OB OB BC =+=∴点2B 的坐标为(，0).作3A D x ⊥轴于点D ，设2B D b =，则3A D =，∴22OD OB B D b =+=，3)A b ，∵点3A 在双曲线y =(0x >)上，∴)b =解得b =b =舍去).∴322OB OB B D =+=∴点3B 的坐标为(0).同理可得，点4B 的坐标为(0)，……，点n B 的坐标为(0).∴点6B 的坐标为(，0).故填(0).二、反比例函数解析式中k 的几何意义过反比例函数k(0)y k x=≠的图象上任意一点(,)P x y 作x 轴、y 轴的垂线PM ， PN ，垂足分别为点M ，N ，则矩形PMON 的面积为k .过反比例函数k(0)y k x=≠的图象上任意一点(,)P x y 作x 轴(或y 轴)的垂线，垂足为点M ，连接OP ，则OPM ∆的面积为2k .例5 (2018年舟山)如图3，点C 在反比例函数k(0)y k x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且A B B C =，若A O B ∆的面积为1，则k 的值为( ). A. 1 B.2 C. 3 D. 4解析:如图3，过点C 作CD y ⊥轴，垂足为点D ，作CE x ⊥轴，垂足为点E ，则90AOB CDB CEA ∠=∠=∠=︒. 又AB BC =，ABO CBD ∠=∠， ∴ABO CBD ∆≅∆. ∴1CBD ABO S S ∆∆==.∵90BOA CEA ∠=∠=︒，BAO CAE ∠=∠， ∴ABO ACE ∆∆:. ∴21()4ABO ACE S AB S AC ∆∆==， ∴44ACE ABO S S ∆∆==，∴4CBD ODCE OBCE S S S ∆=+=矩形四边形，∴4k =.故选D.例6 (2018年抚顺)如图4，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A ，B 两点的横坐标分别为1，3，若反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，则菱形ABCD 的面积是( )A. B. 4C.D. 2解析:如图4，作AH BC ⊥，交CB 的延长线于点H . ∵反比例函数3y x=的图象经过A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别为1，3, ∴A ，B 两点的纵坐标分别为3，1，即点A 的坐标为(1，3)，点B 的坐标为(3，1). ∴312AH =-=，312BH =-=. ∴在Rt AHB ∆中，AB ==.∴四边形ABCD 是菱形，∴BC AB == ∴菱形ABCD的面积为BC AH =g 故选A.例7 (2018年烟台)如图5，反比例函数ky x=的图象经过ABCD Y 对角线的交点P ，若点A ，C ，D 在坐标轴上. BD DC ⊥，ABCD Y 的面积为6，则k = .解析:如图5，过点P 作PE y ⊥轴于点E . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD =. 又BD x ⊥轴，∴四边形ABDO 是矩形. ∴AB DO =.∴6ABCD ABDO S S ==Y 矩形.∵点P 为ABCD Y 对角线的交点，PE y ⊥轴， ∴四边形PDOE 是矩形，面积为3， 即3DO EO =g .设点P 的坐标为(,)x y ，则3k xy ==-. 故填–3.例8 (2018年内江)如图6，点A ，B ，C ，D 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的四个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形(阴影部分)，则这四个橄榄形的面积总和是(用含π的代数式表示).解析:∵点A ，B ，C ，D 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的四个整数点， ∴1x =，8y =；2x =，4y =；4x =，2y =；8x =，1y =.∴顶点A ，D 所在正方形的边长为1，橄榄形的面积为2222()422r r ππ--=. 顶点B ，C 所在正方形的边长为2，橄榄形的面积为222()2(2)42r r ππ-=-. ∴这四个橄榄形的面积总和是2222(2)5102πππ-⨯+⨯-=-.故填510π-.三、根据已知条件求反比例函数的表达式根据已知条件求反比例函数的表达式主要有两种类型，一是确定实际问题中的反比例函数关系式;二是用待定系数法确定反比例函数关系式.例9 (2018年杭州)已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v (单位:吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为t (单位:小时). (1)求v 关于t 的函数表达式.(2)如果要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨?解析:(1)由题意可得100vt =，则100v t=. (2)∵要求不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴5t ≤.答:平均每小时至少要卸货20吨.例10 (2018年湘西)如图7，反比例函数ky x=(k 为常数，且0k ≠)的图象经过点(1,3)A ，(3,)B m .(1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标.(2)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，求满足条件的点P 的坐标.解析:(l)把点(1,3)A 的坐标代入ky x=，得3k =， ∴反比例函数的解析式为3y x =. 把点(3,)B m 的坐标代入ky x=，得33m =.解得1m =.∴点B 的坐标为(3，1).(2)如图7，作点A 关于x 轴的对称点'A ，连接'BA 交x 轴于点P ，则'(1,3)A -. ∵''PA PB PA PB BA +=+=， ∴此时PA PB +的值最小. 设直线'BA 的解析式为y mx n =+.把点'(1,3)A -，B (3，1)的坐标代入，得331m n m n +=-⎧⎨+=⎩， 解得25m n =⎧⎨=-⎩.∴直线'BA 的解析式为25y x =-. 当0y =时，250x -=. 解得52x =， ∴点P 的坐标为5(,0)2.四、反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称，对称轴是直线y x =和直线y x =-.由于反比例函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.反比例函数的性质:(1)当0k >时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小;(2)当0k <时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大.例11 (2018年威海)若点1(2,)y -，2(1,)y -，3(3,)y 在双曲线ky x=(0k <)上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ).A. 123y y y <<B. 123y y y >>C. 213y y y <<D. 312y y y << 解析:∴0k <，∴双曲线的两个分支分布在第二、四象限. ∵点1(2,)y -，2(1,)y -，3(3,)y 在双曲线ky x=(0k <)上， ∴点1(2,)y -，2(1,)y -在第二象限的双曲线分支上，点3(3,)y 在第四象限的双曲线分支上，在每个象限内，y 随x 的增大而增大. ∴312y y y <<. 故选D.例12 (2018年无锡)若点(,)P a m ，(,)Q b n 都在反比例函数2y x=-的图象上，且0a b <<，则下列结论一定正确的是( ).A. 0m n +<B. 0m n +>C. m n <D. m n >解析:∵函数2y x=-中的20k =-<，∴双曲线的两个分支分布在第二、四象限. ∵0a <∴点(,)P a m 在第二象限的双曲线的分支上. ∴0m >. ∵0b >,∴点(,)Q b n 在第四象限的双曲线的分支上. ∴0n <.∴0n m <<，即m n >. 故选D.例13 (2018年凉州)若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是( ).解析: 0ab <分两种情况:当0a >，0b <时，正比例函数y ax =的图象在第一、三象限，反比例函数b y x=的图象在第二，四象限，无此选项;当0a <，0b >时，正比例函数y ax =的图象在第二、四象限，反比例函数b y x=的图象在第一、三象限，选项B 符合. 故选B.例14 (2018年上海)若反比例函数1k y x-=(k 是常数，1k ≠)的图象有一支在第二象 限，则k 的取值范围是 . 解析:∵反比例函数1k y x-=的图象有一支在第二象限， ∴10k -<. 解得1k <. 故填1k <.五、双曲线与直线的交点问题例15 (2018年临沂)如图8，正比例函数11=y k x 与反比例函数22k y x=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1.当12y y <时，x 的取值范围是( ).A. 1x <-或1x >B.10x -<<或1x >C. 10x -<<或01x <<D. 1x <-或01x <<解析:∵正比例函数11=y k x 与反比例函数22k y x=的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1，∴点B 的横坐标为–1.当12y y <时，x 的取值范围是1x <-或01x <<. 故选D.例16 (2018年潜江)，如图9，在平面直角坐标系中，直线12y x =-与反比例函数ky x=(0k ≠)在第二象限内的图象相交于点(,1)A m . (1)求反比例函数的解析式.(2)将直线12y x =-向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B ，与y 轴交于点C ，且ABO ∆的面积为32，求直线BC 的解析式.解析:(1)∵直线12y x =-经过点(,1)A m ， ∴112m -=， 解得2m =-∴(2,1)A -. ∵反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)A -， ∴212k =-⨯=-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. (2)如图9，设直线BC 的函数解析式为12y x b =-+. ∵ABO ACO S S ∆∆=，32ABO S ∆=， ∴13222ACO S OC ∆==g ， ∴32OC =， ∴32b =. ∴直线BC 的解析式为1322y x =-+. 例17 (2018年淄博)如图10，直线14y x =-+，234y x b =+都与双曲线ky x=交于点(1,)A m ，这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点. (1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)直接写出当0x >时，不等式3k4x b x+>的解集. (3)若点P 在x 轴上，连接AP 把ABC ∆的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标.解析:(1)把点(1,)A m 的坐标代入14y x =-+，得m=一1+4=3，3m =.把点(1,3)A 的坐标代入双曲线k y x=，得3k =. ∴y 与x 之间的函数关系式为3y x =. (2)∵(1,3)A ，∴当0x >时，不等式3k 4x b x+>的解集为1x >. (3)∵14y x =-+，令0y =，则4x =，∴点B 的坐标为(4，0).把点(1,3)A 的坐标代入234y x b =+，得334b =+， 解得94b =. ∴23944y x =+. 令0y =，则3x =-，即点(3,0)C -.∴7BC =.∵AP 把ABC ∆的面积分成1:3两部分， ∴1744CP BC ==，或1744BP BC ==. ∴75344OP =-=，或79444OP =-=. ∴5(,0)4P -或9(,0)4P . 六、反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题，最关键的一步就是建立函数模型一般地，建立函数模型有两种思路:一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数;二是从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，要先找出等量关系，把变量联系起来.例18 (2018年乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图11所示的是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y (℃)与时间x (h)之向的函数关系,其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (024x ≤≤)的函数关系式.(2)求恒温系统设定的恒定温度.(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害，问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害?解析:(1)设线段AB 的解析式为11=y k x b +(10k ≠).将(0，10)，(2，14)代入，得110214b k b =⎧⎨+=⎩，解得1210k b =⎧⎨=⎩. ∴线段AB 的解析式为210y x =+(05x ≤<).∵点B 在线段AB 上，当5x =时，20y =，∴点B 的坐标为(5，20).∴线段BC 的解析式为20y =(510x ≤<).设双曲线CD 的解析式为2k y x =(20k ≠). ∵C (10，20)，∴2200k =，∴双曲线CD 的解析式为200y x=(1024x ≤≤) ∴y 关于x 的函数解析式为210(05)20(510)200(1024)x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩. (2)由(1)可知，恒温系统设定的恒定温度为20℃.(3)把10y =代入200y x=，解得20x =. ∴201020-=.答:恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.。