数学卷·2015届湖南省师大附中高一下学期期末考试

湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试 物 理A 卷时量：60分钟 满分：100分B 卷时量： 30分钟 满分：50分 得分：____________A 卷一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将正确选项填写在答题卷上)1．下列物理量中，属于矢量的是 A ．向心加速度 B ．功 C ．功率 D ．动能2．汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下列四个图象中，哪个正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系3．在光滑的水平面上，用绳子系一小球做半径为R 的匀速圆周运动，若绳子拉力为F ，在小球经过14圆周的时间内，F 所做的功为A ．0 B.12RF C ．RF D.2RF4．有一项趣味竞赛：从光滑水平桌面的角A 向角B 发射一只乒乓球，要求参赛者在角B 处用细管吹气，将乒乓球吹进角C 处的圆圈中．赵、钱、孙、李四位参赛者吹气方向为如图中的箭头所示，则最有可能成功的参赛者是A ．赵B ．钱C ．孙D ．李5．质点在恒力F 的作用下做曲线运动，P 、Q 为运动轨迹上的两个点，若质点经过P 点的速度比经过Q 点时速度小，则F 的方向可能为下图中的6．在同一点O抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图所示，则三个物体做平抛运动的初速度v A、v B、v C的关系和三个物体做平抛运动的时间t A、t B、t C的关系分别是A．v A＞v B＞v C t A＞t B＞t CB．v A＝v B＝v C t A＝t B＝t CC．v A＞v B＞v C t A＜t B＜t CD．v A＜v B＜v C t A＞t B＞t C7．如图所示，a、b、c是环绕地球圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是m a＝m b＜m c，则A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．b、c的周期相等，且小于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b所需向心力最小8．水平面上甲、乙两物体，在某时刻动能相同，它们仅在摩擦力作用下停下来，如图所示的a、b分别表示甲、乙两物体的动能E随位移s变化的图象，则下列说法正确的是①若甲、乙两物体与水平面动摩擦因数相同，则甲的质量较大②若甲、乙两物体与水平面动摩擦因数相同，则乙的质量较大③若甲、乙质量相同，则甲与地面间的动摩擦因数较大④若甲、乙质量相同，则乙与地面间的动摩擦因数较大A．①③B．②③C．①④D．②④9．如图所示，长为L 1的橡皮条与长为L 2的细绳的一端都固定在O 点，另一端分别系两球A 和B ，A 和B 的质量相等，现将两绳都拉至水平位置，由静止释放放，摆至最低点时，橡皮条和细绳长度恰好相等，若不计橡皮条和细绳的质量，两球经最低点速度相比A ．A 球大B ．B 球大C ．两球一样大D ．条件不足，无法比较10．如图所示，小球在竖直向下的力F 作用下，将竖直轻弹簧压缩，若将力F 撤去，小球将向上弹起并离开弹簧，直到速度为零时为止，不计空气阻力，则小球在上升过程中A ．小球的动能先增大后减小，弹簧弹性势能转化成小球的动能B ．小球在离开弹簧时动能达到最大值C ．小球动能最大时弹簧弹性势能为零D ．小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒二、多选题(每题不只有一个选项正确，每题4分，共16分)11．如图所示，一轻弹簧左端与物体A 相连，右端与物体B 相连，开始时，A 、B 均在粗糙水平面上不动，弹簧处于原长状态．在物体B 上作用一水平向右的恒力F ，使物体A 、B 向右运动．在此过程中，下列说法中正确的为A ．合外力对物体A 所做的功等于物体A 的动能增量B ．外力F 做的功与摩擦力对物体B 做的功之和等于物体B 的动能增量C ．外力F 做的功及摩擦力对物体A 和B 做功的代数和等于物体A 和B 的动能增量及弹簧弹性势能增量之和D ．外力F 做的功加上摩擦力对物体B 做的功等于物体B 的动能增量与弹簧弹性势能增量之和12．地球同步卫星离地心的距离为r ，环绕速度为v 1，加速度大小为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列关系正确的是A.a 1a 2＝r RB.a 1a 2＝⎝⎛⎭⎫R r 2C.v 1v 2＝r RD.v 1v 2＝Rr13．如图所示为火车在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨．某转弯处规定行驶的速度为v，当火车通过此弯道时，下列判断正确的是A．若速度大于v，则火车轮缘挤压内轨B．若速度大于v，则火车轮缘挤压外轨C．若速度小于v，则火车轮缘挤压内轨D．若速度小于v，则火车轮缘挤压外轨14．如图，长为L的细绳一端系在天花板上的O点，另一端系一质量m的小球．将小球拉至细绳处于水平的位置由静止释放，在小球沿圆弧从A运动到B的过程中，不计阻力，则A．小球经过B点时，小球的动能为mgLB．小球经过B点时，绳子的拉力为3mgC．小球下摆过程中，重力对小球做功的平均功率为0D．小球下摆过程中，重力对小球做功的瞬时功率先增大后减小题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14得分答案三、实验题(每空3分，共12分)15．(6分)某同学用如图甲所示的实验装置做《验证机械能守恒定律》的实验．实验时让质量为m的重锤从高处由静止开始下落，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点．如图乙所示为实验时打出的一条纸带，选取纸带上连续打出的五个点A、B、C、D、E，测出C点距起始点O的距离OC＝50.00 cm，点A、E间的距离为AE＝24.00 cm.已知打点计时器使用的交流电周期为0.02 s，重锤的质量m＝0.20 kg，当地的重力加速度g＝9.80 m/s2.由这些数据可以计算出：重锤下落到C点时的动能为________J，从开始下落到C点的过程中，重锤的重力势能减少了________J．(答案保留两位有效数字)16．(6分)王晓明同学设计了如图1所示实验：选取任意高度击打簧片，使左右两球同时释放，发现两球均能同时落地，此实验能够说明做平抛运动的物体____________________．李小薇同学设计了如图2的实验：将两个完全相同的倾斜滑道固定在同一竖直平面内，滑道1安置在滑道2的正上方，两滑道的最下端水平并对齐，滑道2与光滑水平板吻接．将两个质量相等的小钢球，从斜面的同一高度由静止同时释放，则她将观察到的现象是两球相碰，若反复调整斜面高度仍能达到上述效果，这说明做平抛运动的物体________________________________________．四、计算题(第17题10分，第18题10分，第19题12分，共32分)17．(10分)如图所示，人骑摩托车做腾跃特技表演，沿半径为3.2 m的圆弧桥面运动，到桥面最高点时汽车对桥面的压力为1 224 N，然后水平飞出落到与圆心同高的水平面，已知人和车的总质量为180 kg，特技表演的全程中不计一切阻力，取g＝10 m/s2.则：(1)求人和车到达顶部平台时的速度v0；(2)求人和车从桥面飞出的水平距离L.18．(10分)一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面的高度为h.已知地球半径为R，地面重力加速度为g.求：(1)卫星的线速度；(2)卫星的周期．19．(12分)质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为0.8 m，如图所示．若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动．求：(g＝10 m/s2)(1)物体A着地时的速度；(2)物体A着地后物体B沿斜面上滑的最大距离．B卷一、不定项选择题(每题至少有一个选项正确，每题4分，共16分)1．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为A．3.1 km/s B．3.9 km/s C．7.9 km/s D．11.2 km/s2．如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一套轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r.b点在小轮上，到小轮中心的距离为r.已知c点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中皮带不打滑，则以下判断正确的是A．a点与b点的向心加速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的线速度大小相等D．a点与d点的向心加速度大小相等3．如图所示，两个半径不同内壁光滑的半圆轨道，固定于地面，一小球先后从与球心在同一水平高度上的A、B两点，从静止开始自由滑下，通过最低点时，下列说法中正确的是A．小球对轨道底部的压力相同B．小球对轨道底部的压力不同C．速度大小不同，半径大的速度大D．向心加速度的大小相同4．滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为2ghC．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mgB卷选择题答题卡题号 1 2 3 4 得分答案二、填空题(每空4分，共12分)5．有一人荡秋千，秋千的绳子刚好能支持人重的2倍，秋千的绳长为L，则此人荡秋千时，在__________位置时绳子最容易断，此人荡秋千时的最大速率是________．此人荡秋千时与竖直方向最大的夹角是________．(不计空气阻力，重力加速度大小为g)三、计算题(第6题10分，第7题12分，共22分)6．如图a所示，在水平路段AB上有一质量为2 t的汽车，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v－t图像如图b所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)有恒定的大小．(1)求汽车在AB路段上运动时所受的阻力f1；(2)求汽车刚好到达B点时的加速度a；(3)求BC路段的长度．7．(12分)如图所示，轻绳绕过定滑轮，一端连接物块A ，另一端连接在滑环C 上，物块A 的下端用弹簧与放在地面上的物块B 连接，A 、B 两物块的质量均为m ，滑环C 的质量为M ，开始时绳连接滑环C 部分处于水平，绳刚好拉直且无弹力，滑轮到杆的距离为L ，控制滑块C ，使其沿杆缓慢下滑，当C 下滑43L 时，释放滑环C ，结果滑环C 刚好处于静止，此时B 刚好要离开地面，不计一切摩擦，重力加速度为g.(1)求弹簧的劲度系数；(2)若由静止释放滑环C ，求当物块B 刚好要离开地面时，滑环C 的速度大小．湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试物理参考答案A 卷一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将正确选项填写在答题卷上)二、多选题(每题4分，共16分)三、实验题(每空3分，共12分) 15．0.90 0.9816．在竖直方向上做自由落体运动 在水平方向上做匀速直线运动 四、计算题(第17题10分，第18题10分，第19题12分，共32分) 17．【解析】(1)在最高点，根据牛顿第二定律得，mg －N ＝m v 02R ，(4分)代入数据解得v 0＝3.2 m/s.(2分) (2)根据R ＝12gt 2得，t ＝2R g＝2×3.210s ＝0.8 s ，(2分) 则人和车从桥面飞出的水平距离L ＝v 0t ＝3.2×0.8 m ＝2.56 m ．(2分) 18．【解析】(1)设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，根据万有引力定律 G Mm r 2＝m v 2r (2分) r ＝R ＋h(1分)设在地球表面有一质量为m′的物体，根据万有引力定律 G Mm′R 2＝m′g (2分) 求出卫星的线速度v ＝RgR ＋h(1分) (2)根据万有引力定律 G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r(3分)求出卫星的周期T ＝2π（R ＋h ）R R ＋h g(1分) 19．【解析】(1)设物体A 着地时的速度为v ，根据机械能守恒定律 mgh －mgh sin θ＝（m ＋m ）v 22(3分) v ＝2 m/s(3分)(2)设物体A 着地后物体B 沿斜面上滑的最大距离为s ，则－mgs ×sin θ＝0－mv 22(3分) 得：s ＝0.4 m(3分)B 卷一、不定项选择题(每题至少有一个选项正确，每题4分，共16分)二、填空题(每空4分，共12分)5．最低点 gL 60°三、计算题(第6题10分，第7题12分，共22分)6．【解析】(1)汽车在AB 路段时，是匀速直线运动，因此有牵引力F 1＝f 1， 功率P ＝F 1v 1(1分)阻力f 1＝P v 1得f 1＝20×10310N ＝2 000 N(2分) (2)t ＝15 s 时汽车处于平衡态，有牵引力F 2＝f 2，功率P ＝F 2v 2，此时的阻力f 2＝P v 2，f 2＝20×1035N ＝4 000 N(1分) t ＝5 s 时汽车开始减速运动，有f 2－F 1＝ma ，4 000－2 000＝2×103a ，a ＝1 m/s 2(2分) 加速度方向向左．(3)BC 过程应用动能定理求解有：Pt －f 2s ＝12mv 22－12mv 12(2分) 20×103×10－4 000s ＝12×2×103×52－12×2×103×102。

湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2B．C．D．16．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=07．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为米．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．湖南师大附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共35分）1．（5分）已知直线l经过点A（4，1），B（6，3），则直线l的倾斜角是（）A．0°B．30°C．45°D．60°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：根据直线过点A、B，求出它的斜率，由斜率得出对应的倾斜角．解答：解：直线l经过点A（4，1），B（6，3），∴直线l的斜率是k==1，∴直线l的倾斜角是45°．故选：C．点评：本题考查了利用两点的坐标求直线的倾斜角与斜率的问题，是基础题目．2．（5分）若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等．解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为等腰直角三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选D．点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m⊂α，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．解答：解：A．根据线面平行的性质可知，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者l与m是异面直线，所以A错误．B．平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，可能是异面直线，所以B错误．C．根据线面垂直和直线平行的性质可知，若l⊥α，l∥m，则m⊥α，所以C正确．D．根据线面垂直的判定定理可知，要使直线l⊥α，则必须有l垂直平面α内的两条直线，所以D错误．故选C．点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用，要求熟练掌握相应的定义和判断定理．5．（5分）直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的距离为（）A．2B．C．D．1考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：由已知中直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0的方程，代入两条平行直线距离公式d=，即可得到答案．解答：解：直线x+y﹣1=0与直线x+y+1=0中a=1，b=1，c1=﹣1，c2=1∵两条平行直线距离公式d==故选B点评：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离，其中熟练掌握两条平行直线距离公式d=，是解答本题的关键．6．（5分）将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+3=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y+3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，由所求直线要将圆平分，得到所求直线过圆心，故将圆心坐标代入四个选项中的直线方程中检验，即可得到满足题意的直线方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，可得出圆心坐标为（1，2），将x=1，y=2代入A选项得：x+y﹣1=1+2﹣1=2≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入B选项得：x+y+3=1+2+3=6≠0，故圆心不在此直线上；将x=1，y=2代入C选项得：x﹣y+1=1﹣2+1=0，故圆心在此直线上；将x=1，y=2代入D选项得：x﹣y+3=1﹣2+3=2≠0，故圆心不在此直线上，则直线x﹣y+1=0将圆平分．故选C点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，其中根据题意得出将圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0平分的直线即为过圆心的直线是解本题的关键．7．（5分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC考点：平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．解答：解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故选D．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题（每小题5分，共15分）8．（5分）空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为．考点：空间两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案．解答：解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0），∴根据空间两点之间的距离公式，可得线段AB长|AB|==故答案为：点评：本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题．9．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．10．（5分）过点P（﹣3，1）且与直线2x+3y﹣5=0垂直的直线方程为3x﹣2y+11=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题．分析：由方程可得已知直线的斜率，进而由垂直关系可得所求直线的斜率，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：可得直线2x+3y﹣5=0的斜率为，由垂直关系可得所求直线的斜率为，故可得所求方程为y﹣1=（x+3），化为一般式可得3x﹣2y+11=0故答案为：3x﹣2y+11=0点评：本题考查直线的一般式方程，以及直线的垂直关系，属基础题．三、解答题11．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥CD，然后利用线面平行的判定得答案；（2）直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥A﹣BCD的体积．解答：解：（1）EF∥平面BCD．事实上，∵在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB为三棱锥A﹣BCD的高，又BC⊥BD，BC=BD=4，∴，又AB=3，∴．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．12．（12分）三角形ABC的三个顶点A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可；（2）先由中点坐标求出点D的坐标，再根据两点式公式写出直线方程即可．解答：解：（1）BC边所在直线的方程为：即x+2y﹣4=0（2）∵BC边上的中点D的坐标为（0，2）∴BC边上中线AD所在直线的方程为：即2x﹣3y+6=0点评：此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题．13．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点（1）求证：AC⊥平面BDD1（2）求EA与平面BDD1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，可证DD1⊥AC，又AC⊥BD，即可证明AC⊥平面BDD1．（2）设AC∩BD=O，连接EO，由AC⊥平面DD1B，可得∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，即可由sin∠AEO=求值．解答：本题满分为12分解：（1）证明：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC又∵在正方向ABCD中，AC⊥BD∴AC⊥平面BDD1…6分（2）设AC∩BD=O，连接EO，∵AC⊥平面DD1B，∴∠AEO为EA与平面BDD1所成角．不妨设正方形的边长为2，AO=，AE=，可得：sin∠AEO===…12分．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．14．（13分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0（1）写出圆C的圆心坐标及半径；（2）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；（3）过点P的圆C的弦的中点D的轨迹方程．考点：圆的一般方程；轨迹方程．专题：综合题．分析：（1）整理出圆C的标准方程，确定圆的圆心与半径；（2）分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；（23）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．解答：解：（1）整理圆的方程得（x+2）2+（y﹣6）2=16，圆心（﹣2，6），半径r=4；（3分）（2）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又∵直线ι被圆C截得的线段长为4，∴直线ι与圆心的距离为2，当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0；∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0；当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．四、选择题（每小题5分，共15分）15．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．解答：解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选C．点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l的斜率，属于基础题．16．（5分）已知0＜a＜1，则方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由a x﹣|log a x|=0得a x=|log a x|，∵0＜a＜1，∴作出两个函数y=a x与y=|log a x|的图象如图：由图象知，两个图象的交点个数为2个，即方程a x﹣|log a x|=0的实根个数为2个，故选：B．点评：本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数交点问题是解决本题的关键．17．（5分）在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱的长都为1，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间角．分析：先作出二面角A﹣CD﹣B的平面角，再利用余弦定理求解即可．解答：解：由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角∵EF=（三角形ACD的中位线），BE=（正三角形BCD的高），BF=（等腰RT三角形ABC，F是斜边中点）∴cos∠BEF===故选C．点评：本题考查二面角的平面角，考查余弦定理，正确作出二面角的平面角是关键．五、填空题（每小题5分，共10分）18．（5分）圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出已知圆的圆心关于直线x+2y﹣5=00对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．解答：解：圆C：x2+y2=4的圆心C（0，0），半径为2，设圆心C关于直线l：x+2y﹣5=0对称的圆的圆心的坐标为（a，b），则，解得a=2，b=4，∴圆C：x2+y2=4关于直线x+2y﹣5=0对称的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，注意垂直、平分的应用是解决对称问题的基本方法．19．（5分）一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后水面宽为2米．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：先根据题目条件建立适当的直角坐标系，得到各点的坐标，通过设圆的半径，可得圆的方程，然后将点的坐标代入确定圆的方程，设当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）根据点在圆上，可求得x0的值，从而得到问题的结果．解答：解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得：A（6，﹣2），设圆的半径为r，则C（0，﹣r），即圆的方程为x2+（y+r）2=r2，将A的坐标代入圆的方程可得r=10，所以圆的方程是：x2+（y+10）2=100则当水面下降1米后可设A′的坐标为（x0，﹣3）（x0＞0）代入圆的方程可得x0=，所以当水面下降1米后，水面宽为2米．故答案为：2．点评：本题考查了圆的方程的综合应用，以及点在圆上的条件的转化，圆的对称性的体现，是个基础题．六、解答题20．（12分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程．（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…（4分）（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（）．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…（14分）点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数是否存在．对数学思维要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（13分）已知函数f（x）=2|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+2m﹣8，其中m为参数，且满足m≤5．（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；（2）若方程f（x）=2|m|在x∈，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由二次函数性质可知函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）；（2）方程f（x）=2|m|可化为（x﹣m）2=m2，解得x=0或x=2m，根据题意可得2m=0或2m ＜﹣2，从而可知实数m的取值范围；（3）由题意可知g（x）的值域应是f（x）的值域的子集．分情况讨论f（x）和g（x）的值域，即可确定实数m的取值范围．解答：解：（1）m=2时，，∴函数g（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（2）由f（x）=2|m|在x∈上单调递增，∴f（x）≥f（m）=1．g（x）在上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m﹣4，g（x）在上单调递减，综上，m的取值范围是点评：本题考查导数在函数单调性中的应用，方程根的存在定理，以及存在性问题的转化，属于难题．。

2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若，，是平面内任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不一定成立的是（）A．+＝+B．λ（+）＝λ+λC．（+）+＝+（+）D．＝λ2．（5分）下列命题正确的是（）A．若、都是单位向量，则＝B．若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量D．与是两平行向量3．（5分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°＝（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π5．（5分）设，是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|+|≤||+||B．||﹣||≤|+|C．||﹣||≤||+||D．||≤|+| 6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）＝（）A．﹣B．C．D．7．（5分）如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则＝（）A．sin（α﹣β）B．sin（α+β）C．cos（α﹣β）D．cos（α+β）8．（5分）已知＜α＜，且sinα•cosα＝，则sinα﹣cosα的值是（）A．﹣B．C．D．﹣9．（5分）已知α∈（0，），cos（+α）＝，则sinα的值等于（）A．B．C．D．10．（5分）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增11．（5分）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知直线x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象上的一条对称轴，则实数φ的最小正值为．13．（5分）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．14．（5分）已知⊥，||•||＝1，点P为线段BC上一点，满足＝+．若点Q为△ABC外接圆上一点，则•的最大值等于．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．15．（8分）已知＝1．（1）求tanα的值；（2）求tan的值．16．（10分）已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．17．（12分）已知f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣cos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值．（2）讨论f（x）在[，]上的单调性．一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分．18．（6分）两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．19．（6分）设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．21．（13分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．（1）求AD的长；（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．22．（13分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+bx（a，b∈R）．（1）当b＝﹣1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（2）当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若，，是平面内任意三个向量，λ∈R，下列关系式中，不一定成立的是（）A．+＝+B．λ（+）＝λ+λC．（+）+＝+（+）D．＝λ【解答】解：选项A，根据向量的交换律可知正确；选项B，向量具有数乘的分配律，可知正确；选项C，根据向量的结合律可知正确；选项D，，不一定共线，不一定成立，故D不正确．故选：D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．若、都是单位向量，则＝B．若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量D．与是两平行向量【解答】解：A、单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B、A、B、C、D四点可能共线，故B不对；C、只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D、因和方向相反，是平行向量，故D对．故选：D．3．（5分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°＝cos（12°+18°）＝．故选：A．4．（5分）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，故选：C．5．（5分）设，是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是（）A．|+|≤||+||B．||﹣||≤|+|C．||﹣||≤||+||D．||≤|+|【解答】解：由向量模的不等关系可得：||﹣||≤|+|≤||+|||+|≤||+||故A恒成立．||﹣||≤|+|故B恒成立||﹣||≤|+|≤||+||，故C恒成立．令＝（2，0），＝（﹣2，0），则||＝2，|+|＝0，则D不成立．故选：D．6．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）＝（）A．﹣B．C．D．【解答】解：根据函数的图象A＝．由图象得：所以ω＝当x＝时，f（）＝sin（2+φ）＝0解得：φ＝所以：f（x）＝则：f（π）＝故选：D．7．（5分）如图，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则＝（）A．sin（α﹣β）B．sin（α+β）C．cos（α﹣β）D．cos（α+β）【解答】解：根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则有＝cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）；故选：C．8．（5分）已知＜α＜，且sinα•cosα＝，则sinα﹣cosα的值是（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵（sinα﹣cosα）2＝sin2α﹣2sinαcosα+cos2α＝（sin2α+cos2α）﹣2sinαcosα；又∵sin2α+cos2α＝1，sinαcosα＝，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2×＝；得sinα﹣cosα＝±；由＜α＜，知，，故有sinα﹣cosα＞0则sinα﹣cosα的值是：．故选：B．9．（5分）已知α∈（0，），cos（+α）＝，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（0，），∴∈（，），由cos（+α）＝，得sin（+α）＝＝，则sinα＝sin[（）﹣]＝sin（）cos﹣cos（）sin＝．故选：C．10．（5分）将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增【解答】解：将函数y＝3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式：y＝3sin[2（x﹣）+]＝3sin（2x﹣）．令2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，可得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，可得：当k＝0时，对应的函数y＝3sin（2x﹣）的单调递增区间为：（，）．故选：B．11．（5分）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵，∴＝λ（+）．又∵•（+）＝﹣||+||＝0∴与λ（+）垂直，即⊥，∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心故选：D．二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知直线x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象上的一条对称轴，则实数φ的最小正值为π．【解答】解：直线x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象上的一条对称轴，∴2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝kπ，k∈Z；∴实数φ的最小正值为π．故答案为：π．13．（5分）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）＝．故答案为：．14．（5分）已知⊥，||•||＝1，点P为线段BC上一点，满足＝+．若点Q为△ABC外接圆上一点，则•的最大值等于．【解答】解：⊥，||•||＝1，以A为圆心建立坐标系，如图所示：，设B（，0），C（0，t），＝（，0），＝（0，t），则＝+＝t（，0）+（0，t）＝（1，），故P（1，），∵P为线段BC上一点，∴可设＝λ，从而有（﹣1，t﹣）＝λ（﹣1，﹣），即，解得：t＝，∴B（2，0），C（0，），显然P（1，）为BC中点，∴点P为△ABC的外接圆圆心，Q在△ABC的外接圆上，又当AQ过点P时||有最大值为2||＝，此时与的夹角为θ＝0°，∴（•）max＝×＝，故答案为：．三、解答题：本大题共3个小题，共30分．15．（8分）已知＝1．（1）求tanα的值；（2）求tan的值．【解答】解：（1）由题意，cosα≠0，由＝1，可得，即5tanα﹣1＝1+tanα，解得tanα＝．（2）由（1）得tan2α＝＝，tan＝＝﹣7．16．（10分）已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．【解答】解：（1）角α的终边过点（3，4），∴r＝＝5，∴sinα＝＝，cosα＝＝；∴•＝sinα+sin（α+）＝sinα+sinαcos+cosαsin＝×+×+×＝；（2）若∥，则，即，∴sin2α+sinαcosα＝1，∴sinαcosα＝1﹣sin2α＝cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα＝1，∴锐角．17．（12分）已知f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣cos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值．（2）讨论f（x）在[，]上的单调性．【解答】解：（1）f（x）＝sin（﹣x）sin x﹣cos2x＝cos x sin x﹣•＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣，故该函数的最大值为1﹣，它的最小正周期为＝π，（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；再结合x∈[，]可得函数的增区间为[，]．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为为[kπ+，kπ+]，k∈Z；再结合x∈[，]可得函数的减区间为[，]．一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分．18．（6分）两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【解答】解：＝＝＝＝．故答案为：．19．（6分）设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M+m＝2．【解答】解：函数可化为f（x）＝＝，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）＝的最大值与最小值的和为1+1+0＝2．即M+m＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣BD﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面P AD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD＝AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2，而M为PD中点，∴AM＝，∴BE＝．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM＝＝，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，2），设平面BDP的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，1，1），平面ABD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BD﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣BD﹣P的余弦值为．21．（13分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．（1）求AD的长；（2）若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3．∴由余弦定理得：cos120°＝，解得AD＝（舍去AD＝﹣2），∴AD的长为．（2）∵AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，AD＝，∠BCD＝105°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴，解得BC＝3，DC＝，如图，过A作AE⊥BD，交BD于E，过C作CF⊥BD，交BD于F，则AE＝＝，CF＝，∴四边形ABCD的面积：S＝S△ABD+S△BDC＝＝＝．22．（13分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|+bx（a，b∈R）．（1）当b＝﹣1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（2）当b＝1时，①若对于任意x∈[1，3]，恒有，求a的取值范围；②若a＞0，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）．【解答】解：（1）当b＝﹣1时，f（x）＝x|x﹣a|﹣x＝x（|x﹣a|﹣1），由f（x）＝0，解得x＝0或|x﹣a|＝1，由|x﹣a|＝1，解得x＝a+1或x＝a﹣1．∵f（x）恰有两个不同的零点且a+1≠a﹣1，∴a+1＝0或a﹣1＝0，得a＝±1；（2）当b＝1时，f（x）＝x|x﹣a|+x，①∵对于任意x∈[1，3]，恒有，即，即|x﹣a|，∵x∈[1，3]时，，∴，即恒有，令t＝，当x∈[1，3]时，t∈[]，x＝t2﹣1．∴，∴，综上，a的取值范围是[0，]；②＝．当0＜a≤1时，，，这时y＝f（x）在[0，2]上单调递增，此时g（a）＝f（2）＝6﹣2a；当1＜a＜2时，0＜＜a＜2，f＝f（x）在[0，]上单调递增，在[，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，∴g（a）＝max{f（），f（2）}，，f（2）＝6﹣2a，而，当1＜a＜时，g（a）＝f（2）＝6﹣2a；当≤a＜2时，g（a）＝f（）＝；当2≤a＜3时，＜2≤a，这时y＝f（x）在[0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，此时g（a）＝f（）＝；当a≥3时，≥2，y＝f（x）在[0，2]上单调递增，此时g（a）＝f（2）＝2a﹣2．综上所述，x∈[0，2]时，．。

湖南师大附中2021-2022学年度高一第二学期期末考试数 学满分：150分 时量：120分钟得分：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知3i 12z z−=+，则z =（ ） A ．17i 5− B ．17i 5−+ C ．17i 5−− D ．17i 5+ 2．若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且1=a ，1=b ，3=c ，则++a b c 等于（ ） A ．2 B ．5 C ．2或5 D 253．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin b A a B =，且2c b =，则a b等于（ ） A 3 B ．43 C 2D ．324．过点P （1，1）作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．下列说法不正确的是（ ）A ．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互斥B ．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是12C ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x −，221x −，…，1021x −的标准差为16D ．甲，乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，则A +B =“恰有一人中靶”6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ） ①若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a β⊂； ②若a α⊥，b α⊥，则a ∥b ； ③若a α⊥，a β⊥，则α∥β；④若αβ⊥，b αβ=，a b ⊥，则a β⊥． A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①②③④ 7．已知直线l ：()()2130a x a y a ++−−=在x 轴上的截距的取值范围是（3−，3），则其斜率的取值范围是（ ） A ．115k −<< B ．1k >或1k < C ．15k >或1k < D ．12k >或1k <− 8．已知正四面体ABCD 的表面积为3，E 为棱AB 的中点，球O 为该正四面体的外接球，则过点E 的平面被球O 所截得的截面面积的最小值为（ ）A ．94π B ．3π C ．4π D ．92π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）A ．若复数z 满足i 5z −=，则复数z 对应的点在以（1，05B ．若复数z 满足8i 2z z +=+，则复数5i 18z =−+C ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若复数1z ，2z 满足12z z =，则2212z z =10．如图是一个古典概型的样本空间Ω及事件A 和事件B ，其中()24n Ω=，()12n A =，()8n B =，()16n A B =，则（ ）A ．()23P AB = B ．()13P AB = C ．事件A 与B 互斥 D ．事件A 与B 相互独立11．已知向量a =（4，3），a 在向量b 上的投影向量为c =（2，4），则（ ）A ．⋅=⋅a b c bB ．与b 方向相同的单位向量为55,55⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭或525,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．()⋅−b b a 的最小值为0D ．−a b 512．如图，在边长为2的正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，将△SG 1E ，△SG 3F 分别沿SE ，SF 折起，使G 1，G 3两点重合于G ，下列说法正确的是（ ）A ．若把△G 2EF 沿着EF 继续折起，G 2与G 恰好重合B ．SG ⊥EFC ．四面体S −GEF 6πD ．点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，向量p =a +2b +3c ，{a +b ，a −b ，c }是空间的另一个基底，用基底{a +b ，a −b ，c }表示向量p =________． 14．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为14，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为________．15．如图，二面角l αβ−−等于23π，A ，B 是棱l 上两点，BD ，AC 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =2，则CD 的长等于________．16．锐角△ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若()2223tan bc b c a A =+−，且△ABC 的外接圆半径为1，则△BOC 周长的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m =（a ，b ），n =（sin B ，sin A ），p =（2b −，2a −）．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c=2，C =3π，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）在三棱锥P −ABC 中，AB =BC ，BC ⊥平面PAB ，平面PAC ⊥平面ABC ．（1）证明：P A ⊥平面ABC ；（2）若D 为PC 的中点，且22PA =，求平面DAB 与平面ABC 所成二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛．比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题．在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分．已知甲、乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p ，在第二轮比赛中答对题的概率都为q ．且在两轮比赛中答对与否互不影响．设定甲、乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为12，乙得5分的概率为16． （1）求p ，q 的值；（2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由；（2）若二面角P−CD−A的大小为45°，求P到直线CE的距离．21．（本小题满分12分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差．22．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC 的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．。

湖南师大附中2016－2017学年度高一第二学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：150分得分：____________第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a>b ，则下列不等式一定成立的是A ．a 2>b 2B ．ac>bcC .||a >||bD ．2a >2b2．如图，给出的3个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式是A ．2n ＋1B ．3nC .n 2＋2n 2D .n 2＋3n ＋223．在△ABC 中，内角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 2，a 5是方程2x 2－3x －2＝0的两个根，则S 6＝A .92B ．5C ．－92D ．－5 5．满足a ＝4，b ＝3和A ＝45°的△ABC 的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不确定6．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集为{} |x x<－3或x>1，则函数y ＝f(－x)的图象可以为7．设集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0，若A ＝∅，则实数a 取值的集合是 A .{}a |0<a<4 B .{}a |0≤a<4 C .{}a |0<a ≤4 D .{}a |0≤a ≤48．若数列{}a n 满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则S n ＝A ．2－21－nB ．2n －1－1C ．2n －1D ．2－2n －19．已知钝角△ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝A ．1 B. 5 C ．1或 5 D ．510．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ＝aq n (aq ≠0，q ≠1)，则{}a n 为 A ．等差数列 B ．等比数列C ．既不是等差数列，也不是等比数列D ．既是等差数列，又是等比数列11．设a ＞0，b ＞0, a ＋4b ＝1，则使不等式t ≤a ＋bab 恒成立的实数t 的取值范围是A ．t ≤8B ．t ≥8C ．t ≤9D ．t ≥912．已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4y ≥x x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为A ．2 3B ．4C ．4 3D ．8二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．13．已知集合P ＝{} |x x 2－x －2≥0，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －1x －3<0，则P ∩Q ＝______． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知三个内角成等差数列，且A为等差中项，若a ＝3，b ＝5，则sin B ＝________．15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张．当x ＝______，y ＝________时，可使总的用料面积最省．16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本大题共3个小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列{}a n的前三项分别为λ，6，3λ，前n项和为S n，且S k＝165.(1)求λ及k的值；(2)设b n＝32S n，且数列{}b n的前n项和T n，证明：12≤T n<1.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q ＝3x －2x (x>1)，已知生产该产品的年固定投入为3万元，每生产1万件该产品另需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本(生产成本不含广告费)的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；(年利润＝销售收入－成本) (2)当年广告费为多少万元时，企业的年利润最大？最大年利润为多少万元？在△ABC 中，设BC →·CA →＝CA →·AB →. (1)证明：△ABC 是等腰三角形；(2)若||BA →＋BC →＝2，且B ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，求BA →·BC →的取值范围．第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．20．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 21．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[)5，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫17，15∪(5，7) D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5，7) 二、填空题：本大题共1个小题，共5分．22．已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为________．三、解答题：本大题共3个小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．(本小题满分11分)设f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2⎝⎛⎭⎫π8x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g(x)的最大值．24．(本小题满分12分)如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B－AD－C，如图2.(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；(2)设E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE与BD所成的角的大小．25.(本小题满分12分)设函数f(x)＝|ax－x2|＋2b(a，b∈R)．(1)当b＝0时，若不等式f(x)≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)已知a为常数，且函数f(x)在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．湖南师大附中2016－2017学年度高一第二学期期末考试数学参考答案第Ⅰ卷(满分100分)一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.当b<a<0时，则C 项不成立；由函数y ＝2x 为增函数，且a ＞b ，知2a ＞2b 成立，故选D .2．D 【解析】方法一：赋值法和验证法直接得出答案； 方法二：由a n －a n －1＝n ＋1再根据累加法得：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝3＋3＋4＋5＋…n ＋1＝n 2＋3n ＋22，故选D .3．D 【解析】由a cos A ＝b cos B 可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，故A ＝B 或A ＋B ＝π2，故选D .4．A 【解析】由根与系数的关系可知a 2＋a 5＝32，由等差数列的性质知a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝32，由求和公式得S 6＝6（a 1＋a 6）2＝92.故选A . 5．B 【解析】由正弦定理可求得sin B ＝328，又a>b ，故A>B ，所以满足条件的角B为锐角，△ABC 的个数只有1个，故选B .6．B 【解析】由f(x)<0的解集为{} |x x<－3或x>1知a<0，y ＝f(x)的图象与x 轴交点为(－3，0)，(1，0)，所以y ＝f(－x)图象开口向下，与x 轴交点为(3，0)，(－1，0)．故选B .7．D 【解析】当a ＝0时，符合题意；当a>0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{}a |0<a ≤4，综上得{}a |0≤a ≤4，故选D .8．C 【解析】因为log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1 (n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，q ＝2，a 1＝1，由等比数列的求和公式得S n ＝2n －1，故选C.9．B 【解析】S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°. 当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去． 所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.故选B. 10．C 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)， ∴a n ＋1a n ＝q (q ≠1，q 为非零常数)，而a 2a 1＝q －1≠q ，故数列{}a n 既不是等差数列，也不是等比数列，故选C.11．C 【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以t ≤a ＋b ab 等价于t ≤1a ＋1b ，只需t ≤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b min ，而1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝a b ＋4ba ＋5≥2ab ·4b a ＋5＝9，当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝2b ＝13时取“＝”．∴t ≤9 ，故答案选C.12．B 【解析】要使弦AB 最短，只需弦心距最大，根据图象知点P (1，3)到圆心的距离最大，则|OP |＝10，圆的半径为14，∴|AB |min ＝214－10＝4. 故选B.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．13.{}x |2≤x<3 【解析】依题意P ＝{} |x x 2－x －2≥0＝{}x |x ≤－1或x ≥2， Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －1x －3<0＝{}x |1<x<3， 则P ∩Q ＝{}x |2≤x<3，故填{}x |2≤x<3.14.536 【解析】由三个内角B ，A ，C 依次成等差数列，∴A ＝π3，根据正弦定理，asin A＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝53×32＝536，故填536. 15．5，5 【解析】设用料面积为z ，则约束条件为⎩⎨⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N*目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎨⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5，5)，故x ＝5，y ＝5. 16．①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝a 250<1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝a 250<1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.三、解答题：本大题共3个小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】(1)∵λ，6，3λ成等差数列，∴λ＋3λ＝12，∴λ＝3.(2分)∴等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝3，(3分)故前n 项和S n ＝3n 2＋3n 2，由S k ＝165，即3k 2＋3k 2＝165，解得k ＝10.(6分) (2)∵b n ＝32S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，(8分) ∴T ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.(10分) 由于T n ＝n n ＋1是关于n 的增函数，故T n ≥T 1＝12，所以12≤T n <1.(12分) 18．【解析】(1)由题意，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，销售单价为32Q ＋3Q ×150%＋x Q×50%(2分) 故年销售收入为y ＝⎝⎛⎭⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝48Q ＋92＋12x ∴W ＝y －(32Q ＋3)－x ＝16Q ＋32－x 2＝49.5－32x －x 2(x>1)(6分) (2)∵W ＝49.5－⎝⎛⎭⎫32x ＋x 2≤49.5－232x ·x 2＝49.5－8＝41.5.(9分) 当且仅当32x ＝x 2，即x ＝8时，W 有最大值41.5(11分) ∴当年广告费为8万元时，企业年利润最大，为41.5万元．(12分)19．【解析】(1)因为BC →·CA →＝CA →·AB →，所以CA →·(BC →－AB →)＝0，又AB →＋BC →＋CA →＝0所以CA →＝－(AB →＋BC →)，(3分)得 －(AB →＋BC →)·(BC →－AB →)＝0，即AB →2－BC →2＝0所以||AB →2＝||BC →2，故||AB →＝||BC→，所以△ABC 为等腰三角形．(6分) (或由－ab cos C ＝－bc cos A ，进而求得a cos C ＝c cos A ，得sin A cos C ＝sin C cos A ，所以sin (A －C)＝0，得A ＝C ，故△ABC 为等腰三角形)(2)因为B ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，故cos B ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，(7分) 设||AB →＝||BC→＝a ，因为||BA →＋BC →＝2, 进而||BA →＋BC →2＝4， 所以a 2＋a 2＋2a 2cos B ＝4得a 2＝21＋cos B(9分) 所以BA →·BC →＝||BA →||BC →cos B ＝2cos B 1＋cos B ＝2－21＋cos B ∈⎣⎡⎦⎤－2，23.(12分) 第Ⅱ卷(满分50分)一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．20．B 【解析】当△AOB 面积取最大值时，OA ⊥OB ，∵曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴圆心O(0，0)，半径r ＝2，∴OA ＝OB ＝2，AB ＝2，∴圆心O(0，0)到直线直线l 的距离为1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，不合题意；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ＝k(x －2)，圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝±33， ∵k ＜0，∴k ＝－33.故选B . 21．A 【解析】由f(x ＋1)＝－f(x)得f(x ＋1)＝－f(x ＋2)，因此f(x)＝f(x ＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y ＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a ＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a ＞5.若0＜a ＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞)．故选A . 二、填空题：本大题共1个小题，共5分． 22．4π 【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球半径R 为1，则三棱锥的外接球表面积S ＝4πR 2＝4π.三、解答题：本大题共3个小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．【解析】(1)f(x)＝sinπ4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3， 故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(5分) (2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))．由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3， 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43 上的最大值为y max ＝3cos π3＝32.(11分) 法二：因区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2， 且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在区间⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值． 由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3.当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，43 上的最大值为y max ＝3sin π6＝32.(11分) 24．【解析】(1)因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD(2分)又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD.(3分)因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD.(4分)(2)取CD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥BD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．(6分)连结AF 、DE.由BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3.在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21.(8分)在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD·CD cos ∠BDC ＝28，即BC ＝27，从而BE ＝12BC ＝7，cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－127. 在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD·BE cos ∠CBD ＝13.在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5.(11分)在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF＝12. 所以异面直线AE 与BD 所成的角的大小为60°.(12分)25．【解析】(1)当b ＝0时，若不等式x|a －x|≤2x 在x ∈[0，2]上恒成立； 当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ；(2分)当0<x ≤2，则|a －x |≤2在(0，2]上恒成立，即－2≤x －a ≤2在(0，2]上恒成立，因为y ＝x －a 在(0，2]上单调增，y max ＝2－a ，y min >－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤2－a ≥－2，解得：0≤a ≤2； 则实数a 的取值范围为[0，2]；(5分)(2)函数f (x )在[0，2]上存在零点，即方程x |a －x |＝－2b 在[0，2]上有解；设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x ≥a ）－x 2＋ax （x <a ） 当a ≤0时，则h (x )＝x 2－ax ，x ∈[0，2]，且h (x )在[0，2]上单调递增，所以h (x )min ＝h (0)＝0，h (x )max ＝h (2)＝4－2a ，则当0≤－2b ≤4－2a 时，原方程有解，则a －2≤b ≤0；(7分)当a >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x ≥a ）－x 2＋ax （x <a ），h (x )在⎣⎡⎦⎤0，a 2上单调增，在⎣⎡⎦⎤a 2，a 上单调减，在[a ，＋∞)上单调增；①当a 2≥2，即a ≥4时，h (x )max ＝h (2)＝2a －4，h (x )min ＝h (0)＝0， 则当0≤－2b ≤2a －4时，原方程有解，则2－a ≤b ≤0；②当a 2<2≤a ，即2≤a <4时，h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24，h (x )min ＝h (0)＝0，则当0≤－2b ≤a 24时，原方程有解，则－a 28≤b ≤0；(9分) ③当0<a <2时，h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝⎛⎭⎫a 2，h （2）＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，4－2a ，h (x )min ＝h (0)＝0， 当a 24≥4－2a ，即－4＋42≤a <2时，h (x )max ＝a 24，则当0≤－2b ≤a 24时，原方程有解，则－a 28≤b ≤0；当a 24<4－2a ，即0<a <－4＋42时，h (x )max ＝4－2a ，则当0≤－2b ≤4－2a 时，原方程有解，则a －2≤b ≤0；(11分)综上，当a <－4＋42时，实数b 的取值范围为[a －2，0]；当－4＋42≤a <4时，实数b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－a 28，0； 当a ≥4时，实数b 的取值范围为[]2－a ，0.(12分)。

湖南师大附中2015-2016学年高一下学期期中考试数 学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在0到2π范围内，与角43π-终边相同的角是 A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 2、α是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是 A ．sin 2αB ．cos 2αC ．tan 2αD ．cos2α3、已知点(1,3),(4,1)A B -，则与AB 同方向的单位向量为A ．34(,)55-B ．43(,)55-C ．34(,)55-D ．43(,)55-4、cos 24cos36cos66cos54-的值为 A ．0 B ．12 C 3．12- 5、已知向量(6,0),(5,5)a b ==-，则a 与b 的夹角为A ．45B ．60C ．135D ．1206、已知02A π<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于 A ．425B ．725C ．1225D ．2425 7、若向量,,a b c 满足//a b ，且//a c ，则(2)c a b ⋅+=A ．4B ．3C ．2D ．08、已知四边形ABCD 的三个顶点(0,2),(1,2),(3,1)A B C --，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为A ．7(2,)2B ．1(2,)2-C ．()3,2D ．()1,39、函数sin()(0,,)2y A wx w x R πϕϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数的解析式为 A ．4sin()84y x ππ=--B ．4sin()84y x ππ=-+ C ．4sin()84y x ππ=+ D ．4sin()84y x ππ=- 10、已知ABC ∆的单个顶点,,A B C 及ABC ∆所在平面内一点G ，若0GA GB GC ++=，且实数λ满足AB AC AG λ+=，则λ=A ．32B ．3C ．-1D ．2 11、已知33sin(),cos()55αβαβ-=+=-，且(,),(,)22ππαβπαβπ-∈+∈，则cos 2β的值为 A ．1 B ．-1 C ．2425 D ．45-二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在答题卷的横线上。

湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试数 学一、选择题（本大题共11个小题，每小题5分，共55分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。

已知a 〉b 〉0,c>d 〉0，则（ ）A.错误!<错误!B.错误!≤错误!C 。

错误!〉错误!D 。

错误!≥错误!【答案】C考点：不等式的性质．12．已知cos （π＋A ）＝－错误!，那么sin 错误!的值是（ ）A ．－错误!B 。

错误!C ．－错误!D 。

错误!【答案】B【解析】试题分析：因为111cos(),cos ,sin()cos 2222A A A A ππ+=-∴=∴+==,故选B.考点:三角函数的诱导公式．【易错点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式．在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式来将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错．诱导公式的应用是三角函数中的基本知识，主要体现在化简或求值，本题难度不大．3．已知a ＝（5，－2)，b ＝(－4,－3）,c ＝(x ,y ），若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝（ ）A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!【答案】D【解析】试题分析:由题意得1330(5,2)2(4,3)3(,)(0,0),(133,43)(0,0),430x x y x y y +=⎧----+=∴++=∴⎨+=⎩， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴34313y x ，故选D 。

考点：向量的坐标运算．4．已知数列｛错误!｝，则0。

98是它的（ ）A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项【答案】A考点:数列的通项公式的定义．5．△ABC 中, 角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ， 若错误!<cos A, 则△ABC 为（ )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形111］【答案】A【解析】试题分析:由题意得sin cos ,sin()sin cos ,sin cos cos sin cos sin sin C A B A B A A B A B A B B <∴+<∴+<， sin cos 0,2A B B π∴<∴>,故选A. 考点:三角函数的诱导公式．6．若将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移错误!个单位长度,则平移后图象的对称轴为（ ）A ．x ＝错误!－错误!(k ∈Z ）B ．x ＝错误!＋错误!(k ∈Z ）C ．x ＝错误!－错误!（k ∈Z )D ．x ＝错误!＋错误!(k ∈Z )【答案】C【解析】试题分析：函数图象向左平移12π个单位长度得)62cos()12(2cos ππ+=+=x x y ,平移后图象的对称轴满足2(),()6122k x k k x k ππππ+=∈Z ∴=-+∈Z ，故选C 。

某某师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．解答：解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．解答：解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．4．设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＜b＜c D．t=15考点：指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．解答：解：因为y=是减函数，所以，幂函数y=是增函数，所以，∴a＜b＜c．故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，得到24=×a×3×4，∴a=6，故选B．点评：本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为上是减函数，则实数b的取值X围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值X围即可选出正确选项．解答：解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在上是减函数，∴函数f（x）=x2﹣bx在上是减函数，∴，解得b≥4故选D点评：本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a= 4 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解答：解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．9．已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值X围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值X围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题（共4小题，满分45分）12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）（1）求m的值；（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．考点：圆的标准方程；待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB 的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．解答：解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，∴k l=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），∴k PQ=﹣1，即=﹣1，解得m=1；（2）∵m=1，∴直线l方程为：x﹣y+1=0，∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，记线段AB的中点为C（x，y），则，∴C点坐标为：C（，﹣），∵k AB==﹣3，∴直线AB的中垂线的斜率为，又直线AB的中垂线过C（，﹣），∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），整理得：x﹣3y﹣3=0，联立，解得，即圆心为E（﹣3，﹣2），半径为|EB|=2+3=5，∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．点评：本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．（1）求证：平面COD⊥平面AOB；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可求出异面直线AO与CD所成角的正切值．解答：解：（1）如图所示，Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，∴CO⊥AO，BO⊥AO；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，即∠BOC=90°，∴CO⊥BO；又AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB；又∵CO⊂面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，∴DE∥AO，∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；在Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，∴CE==；又DE=AO=，∴tan∠CDE==，即异面直线AO与CD所成角的正切值是．点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点（1）若△ABC为正三角形，求m的值；（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．解答：解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），半径为r=，由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，即为=•，解得m=；（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），即有=，解得m=﹣．则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．点评：本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R（1）若b=1，且3∉{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值X围（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值X围，并证明2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由3∉{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值X围；（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时b的取值X围，得出所求证明．解答：解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，又3∉{y|y=f（x），x∈R}，∴a＞0时，＞3，解得a＜﹣，不合题意，舍去；a=0时，也不合题意，应舍去；a＜0时，＜3，解得a＜﹣，∴a的取值X围是{a|a＜﹣}；（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；因为g（x）在（0，1]上是单调函数，所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，则x1x2=﹣，这与题设矛盾；因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；又x2∈（1，2），得2＜+＜4．点评：本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．。

2015-2016学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥2．（5分）如果cos（π+A）＝﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．3．（5分）已知，，，若，则＝（）A．（1，）B．C．D．4．（5分）已知数列{}，则0.98是它的（）A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项5．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．（5分）若将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝﹣（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝﹣（k∈Z）D．x＝+（k∈Z）7．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从M点测得A点的俯角∠NMA＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝200m，则山高MN＝（）A．300 m B．200m C．200m D．300m8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．2B．4C．6D．89．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos C＝，a＝1，则b＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣1，3）11．（5分）正项数列{a n}满足：a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上．12．（5分）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝2x+在x＝3时取得最小值，则a＝．13．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x+y的最小值为1，则a ＝．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．（11分）已知向量＝（sin A，cos A），＝（1，﹣），⊥，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）＝（cos2x﹣sin2x）+4cos A sin x cos x（x∈[0，]）的值域．15．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2＝4S△ABC．（1）求角C的大小；（2）若c＝，求a﹣b的取值范围．16．（12分）已知等比数列{a n}满足a2+a3＝，a1a4＝，公比q＜1．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和；（2）设b n＝，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数，都有T n ＜m2﹣m+成立，求实数m的取值范围．（选考部分：50分）一、选择题：本大题共1小题，每小题5分，共5分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．17．（5分）若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n 项和S n取得最大值的自然数n是（）A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上．18．（5分）已知cos（﹣α）＝，sin（+β）＝﹣，α∈（，），β∈（0，），则sin（α+β）的值为．19．（5分）设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一点，，若，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（11分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21．（12分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润＝收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．（12分）设T n是数列{a n}的前n项之积，满足T n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列并求{a n}的通项公式；（2）设S n＝T12+T22+…+T n2，求证：a n+1﹣＜S n＜a n+1﹣．2015-2016学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A．＜B．≤C．＞D．≥【解答】解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴，因此＞．故选：C．2．（5分）如果cos（π+A）＝﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cos A＝，所以＝cos A＝，故选：B．3．（5分）已知，，，若，则＝（）A．（1，）B．C．D．【解答】解：由题意可得：，所以13+3x＝0，并且4+3y＝0，所以x＝，y＝．故选：D．4．（5分）已知数列{}，则0.98是它的（）A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【解答】解：由题意＝0.98，解得n＝7，所以0.98是数列的第7项．故选：A．5．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sin A＞0．∵＜cos A，由正弦定理可得，sin C＜sin B cos A∴sin（A+B）＜sin B cos A∴sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A∴sin A cos B＜0 又sin A＞0∴cos B＜0 即B为钝角故选：A．6．（5分）若将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．x＝﹣（k∈Z）B．x＝+（k∈Z）C．x＝﹣（k∈Z）D．x＝+（k∈Z）【解答】解：由题意，将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位得y＝cos 2（x+）＝cos（2x+）的图象，令2x+＝kπ，求得x＝﹣，故平移后函数的对称轴为x＝﹣，k∈Z，故选：C．7．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从M点测得A点的俯角∠NMA＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝200m，则山高MN＝（）A．300 m B．200m C．200m D．300m 【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝200 m，∴AC＝＝200m，在△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得＝，即＝，解得AM＝200m，在Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝200×sin 60°＝300（m）．故选：A．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：画出不等式组表示的平面区域如下：，可得A（0，2），由，解得B（2，0），由可得C（8，﹣2）．直线x+2y﹣4＝0过（2，0）．可行域的面积为：＝4．故选：B．9．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos C＝，a＝1，则b＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC为锐角三角形，sin A＝，cos C＝，所以cos A＝，sin C＝，于是sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝．又由＝，a＝1，可得b＝＝．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣1，3）【解答】解；由题意，不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），所以f（x）＜0的解是：x＞3或x＜﹣1，于是由f（﹣x）＜0得：﹣x＞3或﹣x＜﹣1，解得x＜﹣3或x＞1；所以不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．11．（5分）正项数列{a n}满足：a1＝2，a2＝1，且＝（n≥2），则此数列的第2 016项为（）A．B．C．D．【解答】解：由＝（n≥2），可知：﹣＝﹣，故数列为等差数列，于是＝+（n﹣1）×＝，所以a n＝，于是a2016＝，故选：D．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上．12．（5分）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝2x+在x＝3时取得最小值，则a＝18．【解答】解：由题意易知a＞0，所以f（x）＝2x+≥2，当x＝时取最小值，所以＝3，所以a＝18．故答案为：18．13．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z＝2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z＝2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y＝a（x﹣3）得，a＝；故答案为：三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．（11分）已知向量＝（sin A，cos A），＝（1，﹣），⊥，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）求函数f（x）＝（cos2x﹣sin2x）+4cos A sin x cos x（x∈[0，]）的值域．【解答】解：（1）由⊥可得，•＝0，即sin A﹣cos A＝0，从而有tan A＝，又因为A为锐角，所以∠A＝60°．（2）∵f（x）＝cos 2x+2sin x cos x＝2sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，于是﹣≤sin（2x+）≤1，从而﹣≤f （x）≤2，故函数f（x）的值域为[﹣，2]．15．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2＝4S△ABC．（1）求角C的大小；（2）若c＝，求a﹣b的取值范围．【解答】解：（1）由a2+b2﹣c2＝4S△ABC得：a2+b2﹣c2＝4×ab sin C＝2ab sin C，即＝sin C，即cos C＝sin C，即为tan C＝1，又角C为△ABC的内角，所以∠C＝45°；（2）由正弦定理得：＝＝＝＝2，可得a＝2sin A，b＝2sin B，所以a﹣b＝2sin A﹣sin B＝2sin A﹣sin（﹣A）＝2sin A﹣（cos A+sin A）＝sin A﹣cos A＝sin（A﹣），又因为0＜A＜π，所以﹣＜A﹣＜，可得﹣＜sin（A﹣）＜1，所以﹣1＜sin（A﹣）＜，故a﹣b的取值范围是（﹣1，）．16．（12分）已知等比数列{a n}满足a2+a3＝，a1a4＝，公比q＜1．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和；（2）设b n＝，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数，都有T n ＜m2﹣m+成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知，a2a3＝a1a4＝，∵a2+a3＝，q＜1，解得：a2＝1，a3＝，q＝＝，∴a1＝3，故a n＝3×（）n﹣1＝32﹣n，∴数列{a n}前n项和S n＝＝﹣．（6分）（2）∵b n＝＝＝，∴b n b n+2＝＝（﹣），∴T n＝b1b3+b2b4+b3b5+…+b n b n+2，＝[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，＝（1+﹣﹣）＜故要使T n＜m2﹣m+恒成立，只需≤m2﹣m+，解得m≤0或m≥1．（12分）（选考部分：50分）一、选择题：本大题共1小题，每小题5分，共5分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．17．（5分）若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2015+a2016＞0，a2015•a2016＜0，则使前n 项和S n取得最大值的自然数n是（）A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＞0，a2015+a2016＞0，a2015a2016＜0，∴等差数列{a n}是单调递减数列，d＜0，因此a2015＞0，a2016＜0，∴使前n项和S n取得最大值的自然数n是2015．故选：C．二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上．18．（5分）已知cos（﹣α）＝，sin（+β）＝﹣，α∈（，），β∈（0，），则sin（α+β）的值为．【解答】解：∵，∴﹣＜＜0，＜＜，∴sin（）＝﹣，cos（）＝﹣，∴sin[（）﹣（）]＝sin（）cos（）﹣cos（）sin（）＝（﹣）（）﹣（﹣）（﹣）＝﹣＝sin（π+α+β）＝﹣sin（α+β），∴sin（α+β）＝，故答案为．19．（5分）设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一点，，若，则实数λ的取值范围是1﹣≤λ≤1．【解答】解：∵A（1，0），B（0，1），∴向量＝（﹣1，1）∵P是线段AB上的一点，满足∴设P（x，y），得＝（x﹣1，y）＝λ（﹣1，1）可得，解得P的坐标为（1﹣λ，λ）∴＝（1﹣λ）×（﹣1）+λ×1＝2λ﹣1＝（λ，﹣λ）（λ﹣1，1﹣λ）＝λ（λ﹣1）+（﹣λ）（1﹣λ）＝2λ2﹣2λ∵，∴2λ﹣1≥2λ2﹣2λ，解之得1﹣≤λ≤1+∵点P是线段AB上的点，得λ∈[0，1]∴λ的取值范围是1﹣≤λ≤1故答案为：1﹣≤λ≤1三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（11分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设π＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．【解答】解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A＝2，根据＝＝﹣，求得ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．（2）如图所示，在同一坐标系中画出y＝2sin（2x+）和直线y＝m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m＜0或＜m＜2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为：﹣2＜m＜0或＜m＜2；当﹣2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为．21．（12分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3﹣x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润＝收入﹣生产成本﹣促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【解答】解（1）设比例系数为k（k≠0）．由题知，有．…（2分）又t＝0时，x＝1．∴．…（4分）∴．…（5分）（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：（）元/件．…（8分）于是，，进一步化简，得．…（11分）因此，工厂2010年的年利润万元．（3）由（2）知，…（15分）所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…（16分）22．（12分）设T n是数列{a n}的前n项之积，满足T n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列并求{a n}的通项公式；（2）设S n＝T12+T22+…+T n2，求证：a n+1﹣＜S n＜a n+1﹣．【解答】证明：（1）易知T1＝a1＝，T n≠0、a n≠1，∴a n+1＝＝，整理得：＝＝，即﹣＝1，∵＝＝2，∴数列{}是以2为首项、1为公差的等差数列，∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝1﹣＝；（2）由（1）可知，一方面，＝＞＝﹣，并项相加可知S n＞﹣＝﹣＝a n+1﹣，另一方面，＝＜＝2（﹣），并项相加可知S n＜2（﹣）＜﹣＝﹣＝a n+1﹣，综上所述，a n+1﹣＜S n＜a n+1﹣．。