威布尔分布寿命分析

２）参数的图解估计 将寿命试验所得的ｎ个数据按数值大小次序Ｌｔ≤三２≤……≤上ｎ及对应的失 效概率Ｆ（厶）（ｉ＝ｌ，２，……，ｎ）分别为横坐标与纵坐标，可在威布尔概率纸上 得到ｎ个数据点。然后重点依靠Ｆ（厶）＝３０％～７０％范围内的数据点，凭目测
绘制出一条直线。该直线与Ｆ（三）＝６３．２％水平线相交的点所对应的寿命值，即 为三。值。若该直线与横坐标的夹角为０，则可得
二参数威布尔分布的研究重点是形状参数ｂ值的确定，其代表性研究成果 为Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论。三参数威布尔分布的研究重点则是在二参 数威布尔分布研究的基础上，主要关注最小寿命参数岛值的确定，其代表性研 究成果为Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论。ＩＳＯ标准和有关国家标准则对轴承寿命的威布尔形 状参数作了权威性认同与规定。但是，由于威布尔参数的精确（高可靠性与高 置信度的）确定，特别是位置参数即最小寿命参数岛值的确定，需要大量的试 验作支撑，以寻求其统计规律性，财力、物力与时间耗费巨大，因此，有关研 究成果在种种局限性之下所导致的或者难以涉及，或者做不深入，或者做不准 确，就成为必然之事。也正因为如此，继续深入开展相关研究，以求不断完善 威布尔分布、尤其是三参数威布尔分布在轴承寿命方面的应用，其理论意义与 实用价值就十分重大。
１．３本论文的主要研究内容、技术难点与研究方法 １．３．１主要研究内容
１）对轴承寿命的威布尔分布三参数进行研究，其中重点为形状参数ｂ值和 最小寿命参数如值的确定（特征寿命参数Ｌ系尺度性参数，无需特意研究）。
２）将研究结果与Ｌｕｎｄｂｅｒｇ和Ｐａｌｍｇｒｅｎ寿命理论、Ｔａｌｌｉａｎ寿命理论和ＩＳＯ 标准等权威研究成果进行验证性比较研究。 １．３．２技术难点
＃
图２－－３ ｒ＝Ｏ，ａ＝２，而∥取不同数值时的，（ｆ）曲线

基于威布尔分布的吹灰器可靠性寿命分析摘要：以某电厂百万机组的锅炉吹灰器的失效模式为研究对象，采用威布尔分布模型验证吹灰去的寿命模型，分析该锅炉吹灰器的故障规律，利用优先选择的分布模型计算吹灰器的可靠性指标。

结果表明，该锅炉吹灰器服从威布尔寿命分布的模型，并且同过该模型计算的指标与某电厂给出的寿命值相符。

因此说明该理论与方法对锅炉吹灰器的的可靠性寿命评估具有普遍的意义。

关键词：最小二乘；威布尔分布；可靠性寿命；吹灰器中国分类号：TH227 文献标识码：A吹灰器对于锅炉系统来说是无比重要的机械设备，如果锅炉没有及时清理堆积在锅炉管道里的灰尘，就会在管道里形成厚厚的灰层。

这些尘土对于锅炉的正常运行来说有很大的影响。

会影响到锅炉的生产效率，造成一定的故障，影响整个企业的生产计划。

所以进行吹灰器的可靠性寿命评估的研究，有利于掌握吹灰器的失效模式的原因和维修周期的规律，并且根据吹灰器的寿命状态，确保锅炉内部的积灰不会使锅炉的生产效率降低，并且保证企业运营情况正常[1-2]，对于电厂的生产具有重要的应用价值。

1.吹灰器的寿命分析由于吹灰器的种类很多，并且吹灰器的故障也有很多种，因此本文以吹灰器的故障模式为分析要素，对吹灰器的可靠性寿命进行计算[3]。

以吹灰器的工作时间作为衡量吹灰器可靠性寿命的指标。

通过可靠性寿命的计算，为后期吹灰器的维修周期及维修决策的制定给予了有力的支持。

2.吹灰器的可靠性寿命分布模型寿命是产品可靠性的重要指标，产品的寿命是一个随机变量，这个可靠性指标有一定的取值范围，并且服从于一定的统计分布。

假如知道它的特定的分布规律，我们处理可靠性数据就变的非常容易。

本文使用两参数威布尔分布用于吹灰器的故障分析，威布尔分布多应用于机电类产品的磨损失效，提供准确的失效分析和小数据样本的失效预测。

威布尔分布的概率密度函数为[4-6]：（1）可靠度函数为：（2）t：时间变量；m为形状参数；为位置参数；为尺度参数。

威布尔分布寿命分析f(x) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，f(x)为事件在时间x处的概率密度函数，k为形状参数，决定了曲线的形状，λ为尺度参数，决定了曲线的位置和比例。

1.形态多样性：由于参数k的变化，威布尔分布可以呈现不同形状的曲线。

当k<1时，分布函数为右偏态；当k=1时，分布函数为指数分布；当k>1时，分布函数为左偏态。

2.可靠性分析：威布尔分布可以用于可靠性分析，即分析产品的寿命和故障率等指标。

通过分析事件发生的概率密度函数，可以估计产品在一些时间点的故障概率。

3.参数估计：通过对数据的拟合，可以估计威布尔分布的参数。

常用的方法有最大似然法、最小二乘法等。

在寿命分析领域，威布尔分布常被用于以下方面：1.可靠性评估：通过分析威布尔分布的故障率曲线，可以了解产品在不同时间点的可靠性表现和故障模式。

通过对分析结果的解释，可以制定相应的维修和更换策略，提高产品的可靠性。

2.寿命预测：通过数据的拟合，可以估计产品的使用寿命和可靠性曲线。

这对于新产品的设计和上市前的可靠性评估非常重要。

3.故障分析：通过分析数据中的故障时间，可以识别故障模式和故障原因，并采取相应的措施进行改进。

4.维修优化：通过分析产品的故障率曲线和维修成本，可以制定合理的维修策略，减少维修成本并提高产品的可靠性。

为了进行威布尔分布的寿命分析，需要收集事件发生时间的数据，并进行数据拟合。

可以使用统计软件或编程语言来实现数据拟合，例如使用R语言中的Weibull分布函数进行参数估计。

通过参数估计，可以得到威布尔分布的形状参数k和尺度参数λ，进而进行可靠性评估和寿命预测。

总之，威布尔分布是一种常用的寿命分析模型，可以在可靠性评估、寿命预测、故障分析和维修优化等方面发挥重要作用。

通过对事件发生时间数据的拟合，可以获得分布函数的参数估计，从而对产品的可靠性和寿命进行分析和评估。

威布尔分布在寿命分析中的应用
刘国俊;陈景鹏
【期刊名称】《装备学院学报》
【年(卷),期】2003(014)006
【摘要】结合极大似然方法,探讨了具有广泛适应性的威布尔分布在工程设备寿命分析中的应用;针对威布尔分布产品子样有失效的情形,构建了的似然函数;根据极大似然准则,推导了工程设备特征寿命和形状参数的极大似然点估计迭代计算公式;在子样无失效情形下,给出了(1-α)置信水平下可靠度R(t)和可靠寿命t(R)的最优单侧置信下限计算公式;最后,给出了工程算例.
【总页数】3页(P65-67)
【作者】刘国俊;陈景鹏
【作者单位】酒泉卫星发射中心,甘肃,酒泉,732750;装备指挥技术学院,试验工程系,北京,101416
【正文语种】中文
【中图分类】TB114.3;TP202
【相关文献】
1.基于威布尔分布的钢板弹簧疲劳寿命分析 [J], 刘建功;张炜;鹿云;杨福平;王明明
2.三参数威布尔分布的齿轮接触疲劳寿命分析 [J], 李添翼;武志斐;王铁
3.基于威布尔分布的大型水轮发电机定子F级绝缘寿命分析 [J], 谢强;瞿卫华;宋鹏
4.威布尔分布分析及其在产品寿命分析中的应用 [J], 王文岳; 崔杰
5.基于威布尔分布的圆柱螺旋压缩弹簧疲劳寿命分析 [J], 付涛;王德成;程鹏
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意义
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。

第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。

在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一,也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。

一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布,而情况并非如此。

他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。

1951年他发表了代表作,“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布,然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。

他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析.对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。

尽管如此,失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。

今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。

尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布,威布尔分析对预计产品寿命做了准备。

这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。

1.1.1威布尔分析的优点:威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。

威布尔分析最主要的优点在于它的功能:⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案.⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表,使数据在不充足时，仍易于理解.⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。

⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。

第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。

在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。

一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。

他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。

1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。

他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。

对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。

尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。

今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。

尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威布尔分析对预计产品寿命做了准备。

这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。

1.1.1威布尔分析的优点：威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。

威布尔分析最主要的优点在于它的功能：⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案。

⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。

⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。

⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。

威布尔分布的平均寿命计算公式威布尔分布是一种常用的概率分布，常用于可靠性工程和寿命数据分析。

它具有很好的拟合生物学或物理实验数据的能力，因此被广泛应用于医学、工程、环境科学等领域。

在威布尔分布中，平均寿命是一个重要的参数，它可以用来评估产品或系统的可靠性以及预测其使用寿命。

我们知道，威布尔分布是由两个参数决定的：形状参数（β）和尺度参数（η）。

其中，形状参数决定了寿命的分布形状，尺度参数则决定了概率密度函数的缩放。

对于威布尔分布来说，平均寿命的计算公式可以通过求解概率密度函数积分得到。

首先，我们需要先确定参数的值。

如果我们有一组实际寿命数据，可以通过最大似然估计法来估计参数的值。

最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过最大化观测数据出现的概率来确定参数的值。

在威布尔分布中，最大似然估计法可以用来估计形状参数和尺度参数的值。

一旦我们得到了参数的估计值，就可以使用平均寿命的计算公式来计算平均寿命了。

对于威布尔分布来说，平均寿命可以表示为：平均寿命 = 尺度参数* Γ(1 + 1/形状参数)其中，Γ()是伽玛函数，它可以通过数学计算得到其值。

威布尔分布的平均寿命计算公式告诉我们，平均寿命与尺度参数和形状参数之间存在着复杂的关系。

形状参数越大，寿命的分布越集中在较小的数值附近；尺度参数越大，概率密度函数的峰值越小且宽度越宽。

此外，平均寿命的计算公式还告诉我们，当形状参数为1时，威布尔分布退化为指数分布。

指数分布是一种特殊的威布尔分布形式，其形状参数为1，它的平均寿命可以通过尺度参数的倒数得到。

指数分布常用于描述无记忆性随机事件的寿命分布，在可靠性工程中也有着重要的应用。

通过威布尔分布的平均寿命计算公式，我们可以更好地理解和评估产品或系统的可靠性及其使用寿命。

这个公式对于设计合理的产品寿命、制定可靠性测试计划以及进行生命周期成本估算都非常有指导意义。

同时，研究和分析平均寿命还可以帮助我们优化产品设计、缩短产品开发周期，提高产品质量和市场竞争力。

n 个独立元件从 t = 0 开始进行寿命试验，试验在第 r 个元件失效时刻终止（ r
为事先规定的正整数） 。此时我们获得的只是前 r 个元件的寿命数据
x(1) ≤ x(2) ≤
（2）定时截尾（Ⅰ型截尾）
≤ x( r )
与上相仿，试验在固定时刻 t0 终止，此时观察到的失效数是一个随机变量，若 在试验终止时观察到 r 个失效，则得数据
In chapter three, we discuss the problem under censored data in three circumstances. To the Type- Ⅱ censored data we take it concerned from the Extreme distribution. Because the parameters in Extreme distribution are location & scale parameters, while in Weibull distribution are shape & scale parameters. Therefore, from the first we can discuss the problem easier. From this point, making use of some properties of the extreme value distribution and the fixed-point theorem, we also get the explicit solution. And a new algorithm is given, through some simulation results, we see that this algorithm converges fast and does not depend on any conditions.

基于二参数威布尔分布的水润滑橡胶尾轴承可靠性寿命分析水润滑橡胶尾轴承是一种关键性的机械零件，其可靠性寿命对于机械设备的正常运行至关重要。

为了评估这种轴承的可靠性寿命，可以采用二参数威布尔分布进行分析。

首先，我们需要明确威布尔分布的基本概念。

威布尔分布是指某一事件在特定时间内发生的概率分布，通常用于描述时间故障模型。

它是一种重要的可靠性模型，常常用于工业界的可靠性评估。

在使用威布尔分布进行可靠性寿命分析时，需要确定两个参数：比例参数和形状参数。

比例参数表示事件发生的概率与时间的关系，而形状参数则用于描述事件发生率的变化情况。

对于水润滑橡胶尾轴承来说，比例参数可能受到轴承材料和润滑环境的影响，而形状参数则可能与轴承设计和制造相关。

接下来，我们可以使用统计方法来进行威布尔分布的参数估计。

一般而言，可以采用最大似然估计法或贝叶斯估计法进行参数求解。

最大似然估计法根据已知的数据样本来估计参数值，而贝叶斯估计法则根据先验概率和后验概率来进行参数推断。

在求出威布尔分布的参数值之后，我们可以进一步进行可靠性寿命分析。

这可以通过计算轴承的平均故障率来实现。

平均故障率表示在指定时间内轴承发生故障的平均概率，它可以用于评估轴承的可靠性。

在实际应用中，水润滑橡胶尾轴承的可靠性寿命分析也需要结合轴承工作环境、应力分布等多个方面的因素。

此外，建立合适的试验程序并进行可靠性试验也是评估其寿命的有效手段之一。

综合来看，基于二参数威布尔分布的水润滑橡胶尾轴承可靠性寿命分析可以为机械设备的安全运行提供重要参考。

然而，在进行可靠性寿命分析时需要充分考虑轴承工作环境和应力分布等因素，并建立可靠性试验程序进行验证。

为了进行水润滑橡胶尾轴承的可靠性寿命分析，需要先收集相关数据并进行分析。

下面列出一些可能与水润滑橡胶尾轴承可靠性寿命相关的数据：1. 轴承设计寿命：轴承设计寿命通常由制造商提供，是指轴承在特定的工作环境和应力下能够正常运行的预计时间。

威布 尔分布 下平均寿命置信 限的评估方法研 究 术
李 学 京
（ 北京工业 大学应用数理学院， 北京 ，０ １４ １０ ２）
摘 要
设备 的平均 寿命是可靠性研究 中的的一个重要指标． 对威布尔分布来 说， 由于平 均寿命没有 明显 的枢轴量 ， 因此给 出平均寿命 的精确的置信 限较 为 困难． 本文分 别利用广义枢 轴量、Ｗ Ｃ 展 开以及三 Ｆ 阶法三种方法， 得到 了设备寿命服从威布尔分布 时的平均寿命 的（ 近似１ 置信下限． 最后对上述三种方法 分别进 行了模拟 比较， 结果显示 文中给 出的方法对于 中小样本情形下得 到的平均寿命 的置信限是 比较
命 的置信下限． 做变换
＝
Ｉ ｎ／ ７ ，
＝１ｍ， ／
＝ＩＸｋ ｎ ，
（ ｋ＝１… ，） ， 佗，
（． ２） ２
则 ， ， ｉ．．且ｙ的分布函数为 … ．ｄ， ｉ
Ｆ （） 一ｅｐ －ｅｐ （ —ｕ／ ｝， ｙ ：１ ｘ ｛ ｘ ｛ ｙ ）ｏ ｝ －
一 ＜Ｙ ∞ ＜＋ ∞，
本研究 受国家 自然科￣ （Ｏ７ ０ｏ 、 １７ １１ ） 数学天元基金（０ ２０ ７、 １９６ ４） 北京市 属市管高等学校 人才强教计划资助项 目以
及北京工业大学博士启动基金（ ０ Ｏ Ｏ ３ Ｏ ９ ２ 资助． ｘ Ｏ ６ １２Ｏ Ｏ ）
本文２ ０年１ ３ ０ ７ 月２ 曰收 到 ， ０ ７ １ 月 ２ 日收 到 修 改 稿 ． ２ ０年 ０ ９
精确的． 关 键 词 ： 平 均 寿 命 置 信 限， 义 枢 轴 量 ， Ｃ 广 Ｗ Ｆ展 开 ， 阶法 ． 三 学 科 分 类 号 ： ０２ ３２ １ ．．
§． 引 １
言

平是95.05%.
专业知识
14
专业知识
15
专业知识
6
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
500
600
2
600
600
1
600
7006700ຫໍສະໝຸດ *4专业知识
7
分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣
本數(個)”
選擇“Weibull”
专业知识
8
結果分析
专业知识得出形狀參數m=8.55
9
➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
专业知识
10
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
专业知识
11
➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
4
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
专业知识
5
➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).

威布尔分布分析及其在产品寿命分析中的应用王文岳,崔杰(工业和信息化部电子第五研究所华东分所,江苏苏州215011)摘要:首先,详细地介绍了威布尔分布函数对应的失效密度函数f (t )、不可靠度函数F (t )、可靠度函数R (t )和失效函数λ(t );其次,详细地解释了威布尔分布函数的形状参数、尺度参数和位置参数的含义;然后,阐述了如何通过中位秩方法求解F (t ),以及如何通过双对数方式和最小二乘法求解线性回归方程,从而求出威布尔分布参数,进而预计产品的各种寿命指标;最后,用实际的案例详细地阐述了如何利用威布尔分布来估计产品寿命指标的方法。

提出的数据处理方法能够很好地解决产品的数据评估问题,具有较强的工程实用价值。

关键词:威布尔分布;形状参数;尺度参数;位置参数;中位秩;寿命指标;最小二乘法;线性回归中图分类号:TB 112文献标志码:A 文章编号:1672-5468(2019)05-0001-11doi:10.3969/j.issn.1672-5468.2019.05.003Weibull Distribution Analysis and Its Application inProduct Life AnalysisWANG Wenyue ,CUI Jie(CEPREI-EAST ,Suzhou 215011,China )Abstract :Firstly ,the failure density function f (t ),unreliability function F (t ),reliabilityfunction R (t )and failure function λ(t )corresponding to Weibull distribution function are introduced in detail.Next ,the meaning of shape parameter ,scale parmeter and position parameter of Weibull distribution function is explained in detail.Then ,how to solve the F (t )by the median rank method ,and how to solve the linear regression equation by the double logarithm method and the least square method so as to obtain the parameters of Weibull distribution and then predict various life indexes of the product are expounded.Finally ,how to use Weibull distribution to estimate product life index is described in detail by using practical case .The proposed data processing method can well solve the data evaluation problem of the product and has strong engineering practical value.Key words :Weibull distribution ;shape parameter ;scale parameter ;location parameter ;me ⁃dian rank ;life index ;least square method ;linear regression收稿日期:2018-12-18修回日期:2019-09-24作者简介:王文岳(1985-),男,江苏南京人,工业和信息化部电子第五研究所华东分所(中国赛宝华东实验室)工程师,主要从事可靠性与环境试验技术研究工作。

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中国农学通报 某些原因， 如权利人没有按规定缴纳年费， 或书面声明 放弃权利， 都会导致品种权的终止。 1.2 合同寿命 与品种权相关的商业合同期限可能会影响品种权 的经济分析， 这些商业合同主要包括开发利用合同、 许 可证合同、 转让价格协议等。任何已经公开的合同、 更 新的条款和双方合同更新的历史都应该考虑进来， 作 为决定合同有效期限的一部分因素。 1.3 经济寿命 品种权的经济寿命是指为其经济主体带来超额收 益的期限， 该期限取决于其产生超额收入的能力。经 济寿命受很多因素的影响， 其中包括一些不可控因 素。例如， 假设一个授权品种的剩余有效寿命为 15 年， 但是如果种植该品种需要很高的成本， 不能给农民 带来较高的经济收益， 那么该授权品种的经济寿命就 会减少。 1.4 分析型寿命 分析型寿命是基于对相似品种权的历史生存状态 或者失效的数量利用生存曲线的原理分析而得到的。 剩余有效寿命分析主要是检验相似品种权的历史定位 和失效情况， 用这些观察到的生存或者失效数据资料 估算品种权的平均寿命、 剩余有效寿命。 2 基于威布尔分布的剩余寿命可靠度预测方法 2.1 威布尔分布模型 2.1.1 威布尔分布模型 威布尔分布模型是由瓦洛蒂. 威布尔 (Waloddi Weibull) 研究提出的， 近几年， 它广泛 应用于知识产权的寿命研究。由于威布尔分布是以失 效时间数据研究知识产权的寿命分布情况， 能充分反 映时间或者年龄和失效率对知识产权寿命的影响， 所 以， 将它作为植物新品种权的寿命分布模型是合适 的。若某件植物新品种权的寿命服从二参数威布尔分 布， 则失效或者故障分布函数为式(1)。
F(t) = 1 - e
-( t ) B a
0 引言 近年来， 随着中国植物新品种权保护事业的蓬勃 发展， 植物新品种权申请授权量迅速增加， 但是由于未 缴纳年费、 被宣告无效等原因不能及时解决， 造成大量 品种权最终失效， 据统计， 截至 2014 年 6 月底， 中国植 物新品种权授权量为 4492 件， 失效品种权为 1207 件， [1] 失效率为 24.64% 。品种权失效不仅会给申请单位带 来经济利益的损失， 而且还会造成严重的资源浪费， 因 此， 如果能在品种权失效初期， 就对品种权的剩余有效 寿命(Remaining Useful Life， RUL)进行估计， 并在此基 础上确定品种权最佳的维持时间， 尤其是进行植物新 品种权的经济分析时， 具有重要意义。 植物新品种权经济分析主要包括品种权的定价、 品种权经济损失的评估、 转让价格、 授权许可的许可费 率等， 在进行这些分析时， 剩余有效寿命是需要考虑的 重要因素之一， 它的精确度直接关系到植物新品种权 经济分析的合理性。但是， 当前剩余有效寿命的预测 方法简单， 没有一套合理的剩余有效寿命的评估体系， 使剩余有效寿命的选择和确定带有很大的随意性， 很 多评估师干脆直接利用植物新品种权的法定剩余寿命 或者利用品种权所有方所提供的数据资料作为剩余寿 命， 缺乏必要、 合理的分析与判断， 因此， 必须加强规范 植物新品种权经济分析中剩余有效寿命的预测工作。 对于品种权剩余有效寿命的预测估计问题， 国内 [2] 外学者研究的较少， Robert 等 的专著 《商业价值评估 与知识产权分析手册》 中， 从剩余有效寿命的种类、 预 测估计原因， 估计方法等方面详细研究分析了知识产 权， 包括专利、 商标以及版权的剩余有效寿命， 并进行 了案例分析。任声策[3]利用生存曲线的原理考查了中 国专利在美国申请的生存期问题。 基于以上所述， 在分析植物新品种权剩余有效寿 命的类型基础上， 结合植物新品种权剩余有效寿命的 特征， 利用威布尔生存函数描述品种权剩余有效寿命， 剖析植物新品种权剩余有效寿命的时间趋势， 然后利 用基于品种扩散的高斯模型确定具体某件品种权的剩 余有效寿命， 明确品种权整个生存期， 使植物新品种权 的经济分析工作更加精确和合理。 1 植物新品种权剩余寿命的类型 植物新品种权剩余寿命主要包括法定寿命、 合同 寿命、 经济寿命， 还有一种分析型寿命， 它是一种计算 剩余寿命的思路。 1.1 法定寿命 植物新品种权的法定寿命是由 《植物新品种权保 [16] 护条例》 规定的， 品种权自授权之日起， 藤本植物、 林 木、 果树和观赏树木为 20 年， 其他植物为 15 年。由于

威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。

由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。

瑞典工程师威布尔从30年代开始研究轴承寿命，以的又研究结构强度和疲劳等问题。

他采用了“链式”模型来解释结构强度和寿命问题。

这个模型假设一个结构是由若干小元件(设为n个)串联而成，于是可以形象地将结构看成是由n个环构成的一条链条，其强度(或寿命)取决于最薄弱环的强度(或寿命)。

单个链的强度(或寿命)为一随机变量，设各环强度(或寿命)相互独立，分布相同，则求链强度(或寿命)的概率分布就变成求极小值分布问题，由此给出威布尔分布函数。

由于零件或结构的疲劳强度(或寿命)也应取决于其最弱环的强度(或寿命)，也应能用威布尔分布描述。

根据1943年苏联格涅坚科的研究结果，不管随机变量的原始分布如何，它的极小值的渐近分布只能有三种，而威布尔分布就是第Ⅲ种极小值分布。

由于威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且具有递增的失效率，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。

目前，二参数的威布尔分布主要用于滚动轴承的寿命试验以及高应力水平下的材料疲劳试验，三参数的威布尔分布用于低应力水平的材料及某些零件的寿命试验，一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。

但是，威布尔分布参数的分析法估计较复杂，区间估计值过长，实践中常采用概率纸估计法，从而降低了参数的估计精度．这是威布尔分布目前存在的主要缺点，也限制了它的应用。

第1章威布尔分析1.1 引言：在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。

在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。

一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。

他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。

1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。

他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。

对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。

尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。

今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。

尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威布尔分析对预计产品寿命做了准备。

这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。

1.1.1威布尔分析的优点：威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。

威布尔分析最主要的优点在于它的功能：⏹提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解决方案。

⏹为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。

⏹描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。

⏹提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。

、磨损故障型，并且分析原因。 ・初期故障型 初期品质很差、安装方法很差、适用方法很差等等 ・偶发故障型 部品的负荷的安全率上没有剩余的空间了 (即：已经过了安全界限了) ・磨损故障型 耐久性没有保全→需要列计划 （在定期交换前交换的部品有可能不是磨损故障型）
40
＜故障呈现的方式＞
＜考虑方法＞
ｉ ti ri Ki 故障ﾓｰﾄﾞ
1 283 1 9
Ｒ
2 364 1 8
Ｒ
3 426 1 7
Ｗ
4 480 1 6
Ｒ
5 531 1 5
Ｗ
6 583 1 4
Ｗ
7 638 1 3
Ｒ
8 703 1 2
Ｗ
9 792 1 1
Ｒ
存在2种以上的故障 模式
2个威布尔分布作为串联 模式竞争的情况。
た だ し 、p 1p21
35
复合威布尔模式
＜图表的形状＞
＜考虑方法＞
Ｆ
δ
ｔ
图表中，有些时候会在 δ处弯曲(故障模式变 化）。
◆ 累积分布函数；
FtF1t 0≦t≦
F2t ≦t
た だ し 、 F 1 F 2
仅从图表形状中 判定混合模式和复合 模式是不可能的。
划分时间分析
需要有特有技术上的考察
36
竞争威布尔模式
老化曲线
0
t（时间）
11
磨损故障型(IFR型)的特征和对应对策
＜特 征＞
◆ 就如磨损那样， 慢慢的老化， 导致容易发生故障。
◆ 随着时间推移， 容易发生故障 的东西增多。
使用角度上的对应对策。 特别是保全相关的人员， 要注意这方面
＜对应对策＞
◆ 把握经历长时间的 老化状况。