零件台架寿命结果-Weibull Distribution 威布尔分布计算表格

基于威布尔分布的工件疲劳剩余寿命可靠度预测方法探析发表时间：2017-08-18T16:24:06.830Z 来源：《电力设备管理》2017年第8期作者：黄郁健[导读] 针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测。

中国卫星海上测控部江苏江阴 214431摘要：针对某船工件在使用后剩余寿命的不确定导致的设备损坏，通过使用威布尔分布对该类工件进行寿命预测，可在一定程度上求解出工件更换周期，在保证设备正常运行的基础上，也不影响工件的使用度，为进一步做好设备保障具有很现实的参考意义。

关键词：威布尔分布；工件疲劳剩余寿命1 引言疲劳失效是机械零件在变应力作用下的主要失效形式，在零件局部高应力区出现初始裂纹，并在循环应力下扩展，导致最终断裂。

为了防止机械零件未达到一定的使用寿命而过早地发生疲劳破坏，需要对机械零件进行疲劳分析，收集有关零件的几何形状、材料和载荷的信息，通过计算和工程判断，获得零件工作寿命的一个估算值，疲劳寿命的评估与预测是研究疲劳强度问题的一个重要分支。

在船舶上，针对零件进行估算寿命，对于估算值对零件进行提前的更换，以避免零件损坏后，对设备造成更大的损坏。

文中用威布尔分布来描述零件的疲劳寿命，建立考虑可靠度的剩余疲劳寿命分布模型，讨论同一应力水平下不同疲劳剩余寿命的可靠度。

2 威布尔分布模型若某零件的疲劳寿命服从威布尔分布，则其概率密度函数为:对式(2.8)两端取对数得：根据疲劳寿命样本的分布函数参数，可以获取其剩余寿命的分布规律。

具有年龄的产品其剩余疲劳寿命能达到的概率为：(4.1)表给出了疲劳寿命可靠度的中位秩估结果及分别根据图解法和解析的参数估计值计算出的疲劳寿命可靠度值。

通过比较我们发现，三参数威布尔分布被证明是可以用来描述疲劳寿命分布，而且在对于零件疲劳寿命预测的问题中，由于其位置参数可以作为研究对象的最小疲劳寿命，再加上形状参数和尺度参数，使威布尔分布对疲劳寿命数据的拟合能力优于其他方法，由于利用计算软件，减轻了三参数威布尔分布参数估计的繁琐程度。

Weibull分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计毕然;武东【摘要】In this paper, we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model. Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method. Finally, we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.%对定时和定数截尾样本情形 CE 模型下 Weibull 分布场合恒定应力加速寿命试验进行了 Bayes 统计分析，利用 Laplace 方法给出了该模型的近似 Bayes 估计。

最后通过模拟实例表明该Bayes估计是有效的。

【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】7页(P93-99)【关键词】CE模型;Weibull分布;恒定应力加速寿命试验;Bayes估计;Laplace方法【作者】毕然;武东【作者单位】爱荷华州立大学统计系，爱荷华州艾姆斯 50011;安徽农业大学理学院，安徽合肥 230036【正文语种】中文【中图分类】O213.2在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时,常采用加速寿命试验[1-2].加速寿命试验按照施加应力方式的不同主要分为三种类型:恒定应力加速寿命试验,步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验(简称恒加试验、步加试验和序加试验).恒加试验是先选一组加速应力水平,然后将一定数量的样品分为若干组,每组在一个加速应力水平下进行寿命试验,直到各组均有一定数量的产品发生失效为止.为了缩短寿命试验时间,通常对各应力水平下寿命试验采用定数截尾和定时截尾.恒加试验相对于其它两种加速寿命试验具有以下优点[3]:试验方法简单,试验设备要求不高;试验理论较为成熟,试验容易取得成功;试验中得到的信息最多,试验结果较为准确.在Weibull分布恒定应力加速寿命试验的统计分析方面.文献[4]给出了Weibull分布基于恒加寿命试验的近似无偏估计和近似区间估计.文献[5]利用逆矩估计方法给出了Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的点估计和区间估计.文献[6]对Weibull分布场合恒加寿命试验的参数估计进行了讨论,在文献[4]的基础上得到了更优的参数估计方法.但以上方法均没有考虑到未知参数的先验信息,文献[7]对Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验进行了Bayes分析,但仅考虑了形状参数的先验取离散均匀分布.文献[8]对Weibull分布的形状参数考虑了均匀分布给出了Weibull分布恒加试验的Bayes估计.文献[9-10]采用最小二乘估计和最大似然估计对Weibull分布恒加试验进行了参数估计,并对真空荧光显示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的寿命进行了预测和可靠性寿命评估.但上述方法均没考虑到产品在正常应力水平下的先验信息.本文讨论了CE模型下定时和定数截尾两种情形Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验的Bayes分析.使用加速系数将产品寿命换算为正常应力水平下的寿命,从而能有效使用正常应力下产品的先验信息.在Bayes分析中,对后验分布参数进行了重参数化,并利用Laplace 方法进行了Bayes估计的近似.最后,利用蒙特卡罗方法对定数截尾情形Weibull分布恒加试验阿仑尼斯模型进行了仿真,通过仿真得到该Bayes估计是有效而实用的.假设1在正常应力水平S0和加速应力水平S1<S2<···<Sk下产品寿命服从Weibull分布,在应力水平Si下的密度函数分别为:其中mi>0和ηi分别称为应力水平Si下的形状参数和特征寿命,i=1,···,k.假设2[2]在各种应力水平下产品的失效机理相同,由于Weibull分布的形状参数反映了失效机理,因此,此假定等价于:假设3产品的特征寿命ηi与加速应力水平Si满足下列加速模型,即其中a,b为参数,ϕ(Si)是应力Si的已知减函数.当应力Si是温度时,此时模型为阿伦尼斯模型;当应力Si是电压时,ϕ(Si)=lnSi;此时模型为逆幂律模型. 上述三个基本假设都是在一定的物理背景下建立起来的,在实际应用中一般可以用专业知识,工程经验和统计检验等方法来判断是否成立.定时和定数截尾情形Weibull分布恒加试验的具体安排如下:(1)确定正常应力水平S0和k个加速应力水平S1,S2,···,Sk,这些应力水平一般应满足如下关系:(2)取n个产品分为k组,在加速应力水平Si下有ni个产品进行定数或定时截尾恒加试验,设在加速应力水平Si下产品的失效时间为:在定时截尾试验场合,τi为加速应力水平Si下预先给定的试验中止时间,ri为在加速应力水平Si下时间τi之前产品的失效数;在定数截尾试验场合,ri为预先给定的中止试验的样本数.由假设3,知其中为产品在应力S1和S0之间的加速系数[2].为了方便,现在记为了获得参数的Bayes估计,先研究一下Weibull分布恒加试验参数的先验分布.根据工程经验得到加速系数c的取值范围为1≤c1<c<c2,由此选取c的先验分布为:m为Weibull分布的形状参数,根据专家经验,可以设定m为区间[m1,m2]上的均匀分布,即产品在应力水平S0下,m已知时,取ηm的自然共轭分布为逆Gamma分布,其概率密度为:其中η>0,α>0,β>0,α和β为超参数.当α=β=0时,为无信息先验.定理3.1现对n个寿命服从Weibull分布的产品按上述试验安排进行试验得到数据(3),参数η,m,c的先验取上述分布,并对参数按(7)式进行重参数化,即记θ=(λ,µ,m),θ的参数空间为:若g(θ)为待估参数,则在平方损失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估计为:其中的后验密度,ˆθ为L的极大值点,的Hessian矩阵的逆矩阵在θ∗处的取值,Σ为L的Hessian矩阵的逆矩阵在ˆθ处的取值,该估计的近似误差为O(n−2).证明对于(3)式的数据,可以得到似然函数为:至此,得到m,η,c的联合后验密度为:对参数η,c,m按(7)式进行重参数化,该变换的Jacobi行列式为:从而得到θ的联合密度为在平方损失下,g(θ)的Bayes估计(后验均值)为:由于上式两个积分之比无显示表达,可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes 估计,即分别取g(θ)为λ,µ,m,利用定理3.1可分别得到三个参数的Bayes估计.下面仅给出λ的Bayes估计,其它可类似讨论.取g(θ)=λ,则得到L的Hessian矩阵为:式中L∗的Hessian矩阵为:式中对于L和L∗的极大值可采用带约束条件的非线性规划算法进行求解.以上已经得到Weibull分布恒加试验的λ,µ,m的Bayes估计,现用Monte Carlo 方法进行模拟.步骤如下:(1)正常应力水平S0=313K(表示绝对温度),选取应力为S1=358K,S2=398K,S3=448K,加速方程为形状参数m=1.5.此时正常应力水平S0下的特征寿命η=2422.24,而加速系数c=1.8265.(2)产生ni个服从U(0,1)分布的相互独立的随机变量Ui1,···,Uini,令(3)利用本文方法可得到λ,µ,m的Bayes估计,η的取无信息先验,c的先验取U(1,5),m的先验取U(1,3).利用(10)式的变换可得到η,c,m的Bayes估计ˆη,ˆc,ˆm.(4)重复上述模拟100次,然后计算Bayes估计的均值和相对均方误差.表1给出了Weibull分布恒加试验的基于Laplace方法的近似Bayes估计的均值和相对均方误差(简写为均方误差).模拟结果表明:其一,在各种情形下,相对均方误差均较小,说明该Bayes估计的效果均较好;其二,随着试验产品数量和失效数的增加,相对均方误差有下降趋势,说明Bayes估计随着产品数据和失效数的增加效果更好,因为在Bayes估计中获得的产品信息也随之增加.其三,该方法的最大优点是避免了大量的数值积分,从而获得高效的Bayes估计. 【相关文献】[1]Nelson W.Accelerated life testing-step-stress models and data analysis[J].IEEE Trans,Reliability,1980, 29(2):103-108.[2]茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008.[3]Watkins A J,John A M.On constant stress accelerated life tests terminated by type II censoring at one of the stress levels[J].Journal of Statistical Planning andInference,2008,138:768-786.[4]王炳兴.Weibull分布基于恒加寿命试验数据的统计分析[J].应用概率统计,2002,18(4):413-418.[5]王炳兴.Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的参数估计[J].应用数学学报,2004,27(1):44-51.[6]林昌盛.Weibull分布基于恒加试验尺度参数估计[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(2):226-230.[7]仲崇新.威布尔分布场合下恒定应力加速寿命试验的Bayes方法[J].应用数学学报,1992,15(3):373-379.[8]程皖民,冯静,周经伦.Weibul1分布产品恒加应力缺失数据下的Bayes可靠性评估[J].电光与控制,2008, 15(1):47-50.[9]张建平,王睿韬.威布尔分布下VFD恒定应力加速寿命试验与统计分析[J].液晶与显示,2010,25(2):205-209.[10]Zhang Jianping,Wang Ruitao.Life prediction for vacuum fl uorescent display using maximum likelihood estimation[J].Journal of Southeast University(EnglishEdition),2009,25(2):189-192.[11]Tierney L,Kadane J B.Accurate approximations for posterior moments and marginal densities[J].Journal of the American Statistical Association,1986,81:82-86.。

基于Weibull分布的IGBT可靠性分析摘要：本文基于功率半导体器件服从Weibull 分布规律的特点，对机车应用现场收集到的IGBT可靠性数据采用中位秩法进行分析和处理，借助最小二乘法获取Weibull 分布模型参数，并通过拟合优度检验，验证了选择 Weibull 分布为数据分析基础的合理性，最终通过建立的Weibull分布函数模型，获得了IGBT可靠性特征量，为IGBT的可靠性定量分析提供了一种可行的方法。

关键词：IGBT；Weibull分布；中位秩法；可靠性一、引言IGBT作为变流装置的主功率器件，近年来已被广泛应用于诸多关键领域，如机车牵引、高压输电、新能源发电等。

随着IGBT的大批量投入使用，其可靠性问题也日益引起关注[1]。

可靠性是产品在规定的时间内和规定的条件下，完成规定功能的能力，而这种能力的表示通常归结于一个概率值[2]。

如果对产品的可靠性只进行一般意义上的定性分析，则远不能满足工程需求，必须进行可靠性的定量分析，只有给出可靠性的各种定量表示后，才有可能对产品的可靠性提出明确而统一的要求。

可靠性数据分析就是从这个角度进行研究。

在可靠性数据分析方面，Weibull分布成为近年来研究最为广泛的模型之一，最初是用于材料疲劳分析，后来扩展到许多工程应用领域。

本文基于Weibull分布，对IGBT在应用于机车变流装置中的可靠性数据展开研究，实现对IGBT的可靠性分析。

二、浴盆曲线失效率是可靠性工程中一个及其重要的概念，它是描述产品可靠性规律的最主要数量指标之一[2]。

通常产品的失效率是随时间变化的函数，它大致分为早期失效、偶然失效、耗损失效三个阶段。

图1反映了产品在全寿命周期内的失效分布，因其整体形状酷似浴盆，简称为浴盆曲线。

功率半导体器件的失效率通常也服从浴盆曲线。

图1 产品的失效率曲线三、Weibull分布1.Weibull分布定义1939年瑞典物理学家威布尔首先提出Weibull分布并将其应用于疲劳试验，1956年利布林、泽林等人在滚珠轴承的疲劳试验中及在电子管的寿命试验中使用Weibull分布[1]。

基于Weibull分布计算造船设备故障发生概率沈建平(上海科技开发交流中心，上海200235)Distributed Computing Shipbuilding EquipmentFailure Probability based on WeibullSHEN Jian-ping(Shanghai Science and Technology Development Exchange Center，Shanghai 200235，China) Abstract:Equipment fault development process has its objective law. Research of fault rules for maintenance e- ven more scientific maintenance system is very important. In this paper，using Weibull method of statistical a- nalysis of equipment malfunction rule，and calculates the equipment reliability and failure. Statistical analysis is an important means of fault management and the main basis for management goals.Key words:equipment management equipment failure analysis Weibull method equipment maintenance0 前言设备维修基本可分为事后(被动)维修和预防(主动)维修两种方式. 在故障发生后才进行的维修方式称为事后(被动)维修，这是一种传统的维修方式方法简单但不知何时发生设备故障，仅适用于生产中非重要的作用或可代用的设备而对于生产中的关键设备，因突如其来设备停机往往会严重影响生产，所以应采用预防(主动)维修方式，即设备运行一.段时间后停机维修故分析设备故障发生的规律，有计划地进行设备维修保养，对保障生产有着重大的意义1设备故障的发生发展规律分析一个由许多零部件构成的复杂设备或系统，如果它的组成部分发生故障(失效)将导致整台设备收稿日期:2010-05-07 或整个系统发生故障，那么，其故障率的变化多数呈现一个类似浴盆状的曲线，所以常被叫做“浴盆曲线”.设备的典型故障率曲线(浴盆曲线)，见图1作者简介:沈建平(1955-)，男，硕士，研究方向为企业运作管理这个曲线分三段，对应着故障的三个时期:1)早期故障时期.这是使用初期故障率比较高的时期，它是由于设备内在的设计问题、原材料、工艺产生的缺陷造成的.这种故障必须尽早发现、尽早解决.这种故障不仅发生在使用的初期，而且在维修或改造后再使用时也会出现这种故障.2)偶发故障时期.这是使用的中间过程中故障率较低，且状态较稳定的时期，在这一时期，设备一般很少发生故障，只是由于无法排除的缺陷，不能控制不能预测的缺陷或突发性的过载及其他特殊原因造成的故障，故障的发生是随机的故称为偶发故障期.3)耗损故障时期.这是设备使用后期，故障率再次升高的时期，由于经过长期的使用，设备磨损严重，化学变化、老化等原因，使故障增多，这时期已接近寿命的完结.1.1威布尔分布(Weibull)威布尔分布能全面地描述浴盆失效概率曲线的各个阶段.大量实践说明，凡是因为某一局部失效或故障所引起的全局机能停止运行的元件、器件、设备、系统等的寿命服从威布尔分布，特别在研究金属材料的疲劳寿命都服从威布尔分布.威布尔分布的概率密度1:式中:β为形状参数(shape)，η为尺度参数(scale).且有:β<1，属早期故障型.β>1，属耗损故障型.β=1，属偶发故障型.1.2可靠度可靠度表示在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率.式中:t为规定的时间，T为系统的寿命，R(t)为系统在规定的时间内完好的概率.1.3故障率故障率表示系统在时间t及t之前发生的概率：有:R(t)+F(t)=1 2分析2.1 实验数据准备观察设备运行并记录设备维修台帐，统计数据分布示意如图2:图中t1,t2, …, tn为设备正常运行时间,t01,t02,…, tn为设备维修时间.以某重机公司重点设备1.8*6M龙门铣2005年(1～12)月停台统计表作为实验分析数据，列出设备正常运行时间t(天)序列如下:3,2,9,12,10,1,8,8,8,23,6,4,2,31,91,5,5,21, 3,1,19,30,5,8,4,3,5,3,6,5,5.2.2威布尔(Weibull)概率图用Minitab2作概率图，如图3，注意观察图中点与直线的拟合，起更大作用的是中部的点而不是极值点.经验方法是大致在第25个到第75个百分点之间1.概率图中给出了β(Shape)与η(Scale)值图3 1.8*6M龙门铣β=1.279 71η=9.871 49从图3中可以看到，拟合优度较好，因此可以得出结论威布尔分布是合适的模型.此外，注意到参数β大于1，属耗损故障型，即浴盆曲线的后期阶段.此时设备已经老化，故障不断发生.2.3计算可靠度R(t)与故障率F(t)由积分式可得出下列公式:3结论浴盆曲线的早期故障区,表现为产品在开始使用.的初级阶段呈现很高的失效率.但这个高失效率随时间的延续很快下降,而后达到一个稳定值，主要原因是由于制造工艺,材料缺陷,包装,运输及安装不妥,等引起的.浴盆曲线的偶发故障区,表现为产品效率处于一个稳定的水平，失效率为一个常数，这段时间区间是产品的最佳使用期 浴盆曲线的耗损故障区，表现为产品使用的后期阶段，失效率将迅速上升由于产品在长期工作之后，构成设备的某些零部件已经老化耗损，导致寿命终止避免的方法是或者进行预防性维修或者更新设备上述分析中,表1显示设备故障率F （t ）在运行8天后，概率值已大于0.5，如不制定有效的预防性维.修计划，将会严重地影响生产 当然，企业应从整体权.衡维修与更新两者之间的成本，以便做出最佳选择参考文献:［1］道格拉斯·C ·蒙哥马利，乔治· C ·朗格尔，诺尔马·法里斯· 于贝尔著;代金等译 工程统计学［M ］北京:中国人民大学出版社，2005［2］张驰. MINTAB:六西玛解决方案［M ］. 广州:广州经济出版社，2003。