随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图
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三重两参数威布尔分布混合模型的统计分析页数:10
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威布尔分布专题页数:20
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Weibull分布
Weibull分布（韦伯分布）(2006-07-04 22:04:01)转载分类：学习Weibull分布，又称韦伯分布、韦氏分布或威布尔分布，由瑞典物理学家Wallodi Weibull于1939年引进，是可靠性分析及寿命检验的理论基础。
Weibull分布能被应用于很多形式，包括1参数、2参数、3参数或混合Weibull。
3参数的该分布由形状、尺度（范围）和位置三个参数决定。
其中形状参数是最重要的参数，决定分布密度曲线的基本形状，尺度参数起放大或缩小曲线的作用，但不影响分布的形状。
另外，通过改变形状参数可以表示不同阶段的失效情况；也可以作为许多其他分布的近似，如，可将形状参数设为合适的值近似正态、对数正态、指数等分布。
形状参数通常在[1，7]间取值。
一般由W（α,β）表示2个参数的Weibull分布，其分布函数为：，其中x>0，α、β>0。
可以看出有两个参数α、β，其中β为形状参数，α为尺度参数。
若取β为1，则F（x）为指数分布。
Weibull分布的概率密度函数（pdf）为：。
Weibull双参数的PDF分布见上图。
（自己做的，有点粗糙）下面我们以其pdf图看Weibull分布各参数的作用。
下图是形状参数β对pdf的影响（α固定）：下图为尺度参数α对pdf的影响（β固定），横轴为变量x，纵轴为f（x）：另外，由于Weibull分布可以近似表示其他别的分布，eg，β=1时，F（x）为指数分布。
将其用到复杂网络中，则此时对应指数网络？当β逐渐增大时，是不是对应分布极不均匀的无尺度网络？这样的话可以通过调整一个参数构造不同的网络？而**人的层次故障节点动态模型就是因此而引入Weibull分布（1参数）的吧？这样的话，β大的网络发生层次故障的规模比较大就可以理解了。
再继续深入分析。
滚动轴承疲劳寿命威布尔分布三参数的研究
滚动轴承疲劳寿命威布尔分布三参数的研究滚动轴承是一种常用的机械设备，其在工作过程中承受着频繁的载荷和运动，因此疲劳寿命是滚动轴承设计和使用的一个重要指标。
研究滚动轴承疲劳寿命的威布尔分布三参数是对其可靠性的评估和预测，本文将对该问题进行研究。
首先，我们来分析什么是滚动轴承的疲劳寿命。
滚动轴承在工作中承受着不断变化的载荷和运动，其中绝大部分的寿命消耗是由疲劳破坏引起的。
疲劳寿命是指在给定工况下，滚动轴承能够承受的循环载荷次数，即在此次数后滚动轴承有一定概率出现疲劳失效。
威布尔分布是用来描述失效时间的概率分布模型，由于滚动轴承疲劳失效是一个随机性事件，因此可以采用威布尔分布来建模。
威布尔分布的形式为：F(t) = 1 - exp(-((t/β)^γ))其中，F(t)表示在时间t内发生失效的概率，β是尺度参数，γ是形状参数。
β和γ的取值决定了失效时间的分布形态。
当γ=1时，威布尔分布退化为指数分布。
当γ>1时，表明失效率随时间而逐渐增加，而γ<1时，表明失效率随时间而逐渐减小。
为了研究滚动轴承疲劳寿命的威布尔分布三参数，我们可以通过实验数据拟合得到β和γ的值。
常用的拟合方法有最小二乘法和最大似然法。
最小二乘法是通过使拟合曲线和实验数据的残差平方和最小来确定参数值，而最大似然法是通过最大化似然函数来确定参数值。
在实际的研究中，我们可以选取一批滚动轴承样本，通过施加不同的载荷和运动条件，记录每个样本的失效时间。
然后，利用拟合方法对实验数据进行处理，得到β和γ的估计值。
最后，根据估计值，可以绘制威布尔分布的概率密度函数和累积分布函数，进一步分析滚动轴承的疲劳寿命特性。
此外，除了实验数据的拟合研究，还可以采用数值模拟的方法对滚动轴承的疲劳寿命进行研究。
数值模拟可以通过建立滚动轴承的有限元模型，模拟不同工况下的载荷和运动状态，计算滚动轴承的应力和应变分布，进而预测疲劳寿命。
其中，威布尔分布三参数也可以被考虑进数值模拟中，从而实现对滚动轴承疲劳寿命及其分布特性的预测。
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析
可靠性分析威布尔三参数估计方法比较分析郭必柱;邓建【摘要】对可靠性分析中疲劳寿命Weibull分布的参数估计方法进行研究.在研究相关系数优化法的基础上,提出一种新的参数估计方法--割线优化法.在MATLAB的基础上改进了概率权重矩法,使此参数估计方法精度提高并使之更方便于工程计算.给出了计算Weibull三参数的MATLAB语言程序,并对这三种参数估计方法进行了分析比较.运用这些方法进行工程实例计算,计算结果表明割线优化法有较高的精度.通过实例计算确定了各方法工程应用上的差异及其适用范围,对工程人员选用合适参数估计方法起一定指导作用.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)025【总页数】6页(P6117-6122)【关键词】可靠性;威布尔分布;相关系数;割线优化法;超过概率权重矩【作者】郭必柱;邓建【作者单位】中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083;中南大学资源与安全工程学院,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O213.2;TB114.3自从 W.Weibull1951年在二参数威布尔分布的基础上建立了三参数模型[1,2],并用之建模处理大量的失效数据以来,三参数的威布尔分布模型在结构疲劳可靠性理论乃至整个可靠性学科中都成为了十分常用和重要的概率分布[3—6]。
在可靠性领域常见的几种概率分布,如指数分布、瑞利分布等,可看作是威布尔分布的特例。
而常见系统中元件的可靠性参数(如失效概率);工程材料的疲劳寿命和强度分布都可用威布尔分布很好地描述,因此,研究威布尔分布就有十分广泛的实际意义[7]。
然而,三参数威布尔分布模型的参数估计正因为含有 3个参数而变得复杂,所以能根据样本失效数据对三个参数进行准确估计,在结构疲劳可靠性研究方面具有十分重要的意义。
因此,国内外一直有人在致力于相关研究。
早期的做法通常是先由作图法得到位置参数,然后线性回归分析得形状参数和尺度参数[8,9],然而小样本作图法误差大,相关研究人员找到了新的参数估计方法。
威布尔分布函数
威布尔分布函数韦布尔分布，即韦伯分布（Weibull distribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。
历史（History）1. 1927年，Fréchet(1927)首先给出这一分布的定义。
2. 1933年，Rosin和Rammler在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布（Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.）。
3. 1951年，瑞典工程师、数学家Waloddi Weibull（1887-1979）详细解释了这一分布，于是，该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution。
定义从概率论和统计学角度看，Weibull Distribution是连续性的概率分布，其概率密度为：其中，x是随机变量，λ>0是比例参数（scale parameter），k>0是形状参数（shape parameter）。
显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibull distribution与很多分布都有关系。
如，当k=1，它是指数分布；k=2且时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。
性质（Properties）均值（mean），其中，Г是伽马（gamma）函数。
方差（variance）偏度（skewness）峰度（kurtosis）应用工业制造研究生产过程和运输时间关系。
极值理论预测天气可靠性和失效分析雷达系统对接受到的杂波信号的依分布建模。
基于威布尔分布的汽车寿命估计方法
基于威布尔分布的汽车寿命估计方法王亚菲;邬海峰【摘要】商用汽车的可靠性评估问题是汽车制造业中的关键问题,而汽车寿命概率分布的参数估计问题是可靠性分析的重要环节.基于汽车寿命服从威布尔分布模型的假设,分析了针对二参数威布尔分布的极大似然参数估计法和神经网络估计法,并将该方法应用于汽车寿命数据分析中.通过实例证实该方法的适用性,为商用汽车新机型的参数估计问题提供直接而有效的方法.【期刊名称】《江南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(014)002【总页数】5页(P248-252)【关键词】威布尔分布;极大似然估计法;神经网络估计法;可靠性评估【作者】王亚菲;邬海峰【作者单位】天津大学管理与经济学部,天津300072;天津大学电子信息工程学院,天津300072【正文语种】中文【中图分类】TB114现代汽车正不断向更智能、更高速、更复杂、更安全等方向发展，一旦汽车中某部件发生故障，将直接影响整个机车设备的正常运行，甚至威胁到消费者的人身财产安全。
准确地预测汽车故障发生率，有助于提高汽车制造业的制造能力，提高汽车安全性能，降低汽车制造者的质保成本。
汽车的可靠性分析是预测汽车故障的核心问题，对于汽车制造者和使用者至关重要。
汽车寿命概率分布的参数估计是可靠性分析的重要环节，只有通过参数估计建立合理、精确的统计学模型，才可以准确地预测汽车故障。
通过分析汽车寿命数据对汽车寿命概率分布进行参数估计，是掌握汽车产品可靠性的关键。
威布尔分布作为一种可靠性模型，由于其合理化建模、数据拟合性好、解析表达式处理方便等优势，已经在很多领域得到了不同程度的应用与发展［1-9］，它能有效地拟合产品全寿命阶段的寿命数据，也可用于模拟失效率的上升、恒定和下降情况。
针对威布尔分布的汽车质保数据的参数估计问题，文中对比了极大似然参数估计法和神经网络估计法的精度，并通过实例验证了该方法的实用性，为商用汽车的可靠性评估提供直接而有效的参数估计方法。
威布尔Weibull分布的寿命试验方法
4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀 是 8.55), 每 個 測 試 樣 辦 的 測 試 時 間 為 600 小 時 . 若 不 允 許 有 樣 本 失 效 , 請 用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f
t
m
t
m
1
e
t
m
,
失效率t
m
t
m
1
m --形狀參數 η--尺度參數
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
500
600
2
600
600
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀 是 8.55), 每 個 測 試 樣 辦 的 測 試 時 間 為 600 小 時 . 若 不 允 許 有 樣 本 失 效 , 請 用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
在產品早期失效期以及耗損失效期, 其失效率曲線是符合Weibull分布.
因此, 本試驗方法是基于產品開發階段 的壽命是服從Weibull分布.
1. 雙參數Weibull分布模型
概率密度f
t
m
t
m
1
e
t
m
,
失效率t
m
t
m
1
m --形狀參數 η--尺度參數
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和 航空都获得了一定程度的发展。 (2)近代中国交通业受到西方列强的控制和操纵。 (3)地域之间的发展不平衡。 3．影响 (1)积极影响：促进了经济发展，改变了人们的出行方式， 一定程度上转变了人们的思想观念；加强了中国与世界各地的 联系，丰富了人们的生活。 (2)消极影响：有利于西方列强的政治侵略和经济掠夺。
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
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威布尔分布寿命分析
威布尔分布寿命分析f(x) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，f(x)为事件在时间x处的概率密度函数，k为形状参数，决定了曲线的形状，λ为尺度参数，决定了曲线的位置和比例。
1.形态多样性：由于参数k的变化，威布尔分布可以呈现不同形状的曲线。
当k<1时，分布函数为右偏态；当k=1时，分布函数为指数分布；当k>1时，分布函数为左偏态。
2.可靠性分析：威布尔分布可以用于可靠性分析，即分析产品的寿命和故障率等指标。
通过分析事件发生的概率密度函数，可以估计产品在一些时间点的故障概率。
3.参数估计：通过对数据的拟合，可以估计威布尔分布的参数。
常用的方法有最大似然法、最小二乘法等。
在寿命分析领域，威布尔分布常被用于以下方面：1.可靠性评估：通过分析威布尔分布的故障率曲线，可以了解产品在不同时间点的可靠性表现和故障模式。
通过对分析结果的解释，可以制定相应的维修和更换策略，提高产品的可靠性。
2.寿命预测：通过数据的拟合，可以估计产品的使用寿命和可靠性曲线。
这对于新产品的设计和上市前的可靠性评估非常重要。
3.故障分析：通过分析数据中的故障时间，可以识别故障模式和故障原因，并采取相应的措施进行改进。
4.维修优化：通过分析产品的故障率曲线和维修成本，可以制定合理的维修策略，减少维修成本并提高产品的可靠性。
为了进行威布尔分布的寿命分析，需要收集事件发生时间的数据，并进行数据拟合。
可以使用统计软件或编程语言来实现数据拟合，例如使用R语言中的Weibull分布函数进行参数估计。
通过参数估计，可以得到威布尔分布的形状参数k和尺度参数λ，进而进行可靠性评估和寿命预测。
总之，威布尔分布是一种常用的寿命分析模型，可以在可靠性评估、寿命预测、故障分析和维修优化等方面发挥重要作用。
通过对事件发生时间数据的拟合，可以获得分布函数的参数估计，从而对产品的可靠性和寿命进行分析和评估。
寿命服从weibull分布的系统固有可用度试验方案
寿命服从weibull分布的系统固有可用度试验方案付康;于永利;张柳;徐英;张伟【摘要】为解决寿命服从weibull,修复时间服从对数正态分布的系统固有可用度检验问题,以满足承制方和使用方风险为要求,以最小试验样本量和判定临界值确定方法为研究重点,将装备状态分为交替进行的开机与修复2种,设计了固有可用度定数截尾试验方案.通过实例计算,演示了具体试验方案的制定和可用度判定过程.%In order to solve problem about how to test inherent availability of system with weibull operating time and lognormal repair time, an inherent availability test procedure with fixed sample size is presented. The test procedure which should meet stated levels of producer's and consumer's risk, is divided into alternate operating and repair test. And, minimal sample size and critical value calculation method research is regarded as key point. Process of material test procedure designing and availability-testing is described by example analysis.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2012(033)006【总页数】4页(P492-495)【关键词】weibull分布;固有可用度;试验方案【作者】付康;于永利;张柳;徐英;张伟【作者单位】军械工程学院装备指挥与管理系,河北石家庄050003;军械工程学院装备指挥与管理系,河北石家庄050003;军械工程学院装备指挥与管理系,河北石家庄050003;军械工程学院装备指挥与管理系,河北石家庄050003;军械工程学院装备指挥与管理系,河北石家庄050003【正文语种】中文【中图分类】O213;TB114.3固有可用度作为综合设计参数，指仅与寿命和修复性维修时间有关的系统可用度，是产品使用和研制部门最关心的参数之一［1］。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
意义
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
2月13日(Weibull分布)-2
今日（2月13号）内容：第二章：概率论基础知识2.3 常用的连续分布2.3.5 Weibull分布Weibull分布是寿命试验和可靠性理论的基础，它是瑞典科学家威布尔（Waloddi Weibull）于1939年为描述材料强度而发现的一种分布，现都以其名字命名此分布。
此分布的重要意义在于，对于瞬时失效率处于浴盆曲线的三个阶段，其寿命的分布都可以统一用Weibull分布给出。
Weibull分布的概率密度函数为：（2-36）Weibull分布比指数分布有更广泛的适应性。
式（2-36）中，a ＞0为尺度参数，b＞0为形状参数。
式（2-36）给出的是两参数的Weibull分布，记为X~W(a，b)。
如果用f(x)和F(x)分别表示一个分布的密度函数和分布函数，称为瞬时失效率函数。
当 b=1时，h(t)是个常数，这一时期失效是属于“偶然失效”，这就是指数分布；当b＜1时， h(t)随t的增长面下降，正好代表“早期失效”状况；b＞1时，h(t)是个递增函数，正好代表“耗损失效”的状况。
尺度参数a起到放大与缩小比例常数的作用。
因此，Weibull 分布是描述可靠性的最理想的分布函数。
对于两参数a,b的Weibull分布，其数学期望和方差分别为：（2-37）如果分布的起始点不为0，可以设定第三个参数：阈值参数（也称为位置参数）。
阈值参数T是一个平移参数，有时又称为最小保证寿命，产品在时刻T以前是不会失效的。
图2-39显示的是尺度参数保持不变，而形状参数变化时（只显示了b＞1）的分布密度状况。
显然形状参数b=1就是我们熟悉的指数分布。
图2-39Weibull分布（尺度参数固定）的分布密度图第二章未完待续······。
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Statistical and Application 统计学与应用, 2015, 4, 15-20Published Online March 2015 in Hans. /journal/sa/10.12677/sa.2015.41003Two Dimensional γ1 - γ2 Plots of WeibullDistribution for Random Life Data SetsGuijin WangCentral Iron & Steel Research Institute, BeijingEmail: meiwg6234@Received: Feb. 9th, 2015; accepted: Feb. 22nd, 2015; published: Feb. 28th, 2015Copyright © 2015 by author and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY)./licenses/by/4.0/AbstractFirst, the two dimensional γ1 - γ2 Plot of Weibull distribution is drawn by calculating skewness and excess kurtosis defined by the shape parameter, then one set of 100 random life data and two sets of bearing life data are used to evaluate skewness and excess kurtosis when they are right censored from 10 up to full sample size. It is found that random life dataset and lab-test datasets both are able to gradually approach to the expected two dimensional γ1 - γ2 plot of Weibull dis-tribution.KeywordsWeibull Distribution, Skewness, Excess Kurtosis随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图王桂金钢铁研究总院，北京Email: meiwg6234@收稿日期：2015年2月9日；录用日期：2015年2月22日；发布日期：2015年2月28日摘要本文首先根据形状参数计算威布尔分布的斜度和过剩峭度的理论值，再画出相应的二维γ1 - γ2图。
然后随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图对一组100个随机数产生的寿命及两组实测轴承寿命数据计算截尾数10到全样本的实际斜度和过剩峭度。
结果表明，实验数据随斜度的增加逐步逼近威布尔理论分布。
关键词威布尔分布，斜度，过剩峭度1. 引言自从Pearson 提出三参数微分方程解多种分布函数在β1 (斜度γ1平方)-β2 (峭度)二维平面区域划分后，非正态分布函数的研究取得很大进展[1] [2]。
在失效分析及保险理赔理论中有广泛应用的威布尔分布后来也作为重要成员以一条曲线加入其中[3]。
然而，威布尔分布参数估计诸方法多局限于平均值(一次距)和标准差(二次距)及其组合。
而斜度(含三次距)和峭度(含四次距)并未被采用。
其原因是多方面的，计算能力不足是其中之一。
近几年文献[4] [5]开始把原始数据的统计量：斜度γ1和过剩峭度γ2对应的形状参数和用极大似然法(MLE)得到的形状参数加以比较，发现它们之间可以相当接近。
这样，实测寿命不仅与MLE 得到的威布尔分布具有最小方差而且分布形状也正确。
本文的主要目的就是研究随机及实测失效数据组的γ1 - γ2曲线如何分布。
2. 计算过程2.1. 威布尔分布的γ1 - γ2曲线若已知威布尔分布的形状参数κ，则它唯一确定的斜度γ1和过剩峭度γ2的理论值(期望值)可由下式获得[3]：()()3232132112132γ=Γ−ΓΓ+ΓΓ−Γ (1) ()){}22422431211214633γ=Γ−ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ−Γ− (2) 式中，()11i Γ=Γ+，其中Γ是gamma 函数，下标i = 1，2，3，4。
由此得到的威布尔分布的γ1 - γ2以及形状参数κ曲线见图1。
其κ曲线的点间隔为0.1，并从左向右逐渐减小。
在γ1 = 2 时κ = 1，γ2 = 6，即指数函数分布。
而在γ1 = 0时有γ2 = −0.28314，κ = 3.6023。
但γ1 = 0.48012时γ2 = 0，κ = 2.252。
在图1之后的行文中，把威布尔分布的κ，γ2记为κo ，γ2o 。
2.2. 模拟和实测寿命数据威布尔分布的γ1 - γ2曲线2.2.1. 含100随机数的数组从文献[6]表中第二列按序取出100个在(0，1)准均匀分布的随机数α。
设形状参数κ = 尺寸参数λ = 1，根据下式可计算100个随机数α对应的威布尔准随机寿命L 1…L 100(){}l ln kL λα= (3) 然后用极大似然法重新计算截尾数r = 10到100的无序或有序数组的实际形状参数κ。
(1) 100个无序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线从上述无序准随机失效寿命组采用通用统计软件计算截尾数r 分别为10到100的统计量γ1，γ2，然后以γ1为橫坐标，画出γ2，γ2o 及κ，κo 诸曲线，见图2。
其中γ1，γ2，κ分别是数组的斜度，过剩峭度和实际形状参数；γ2o ，κo 是和γ1对应的威布尔分布过剩峭度和形状参数期望值。
为了便于区分，图随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图Figure 1. The γ1 - γ2 plot of Weibull distribution图1.威布尔分布的γ1 - γ2曲线Figure 2. The γ1 - γ2 plot of 100 random life data, right censored from 10 to100图2. 100个无序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线，右截尾数从10 至100中分别用实线和虚线表示威布尔分布的期望值γ2o，κo。
而数据组的实测γ2，κ点则只用菱形和三角符号标出。
从图中可看出，随着γ1增大，γ2越来越接近但小于期望值γ2o，只有一个γ2高于对应的γ2o。
而且在γ1的有值范围，实际形状参数κ只在1附近小幅波动，并在高γ1处和κo相交。
显然，在讨论的截尾r范围内数据组均保持良好的随机性。
(2) 100个有序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线把上述100个准随机寿命由小到大排列，计算它在截尾数10到100的统计量γ1，γ2。
然后以γ1为橫坐标，画出γ2，γ2o及κ，κo诸曲线，见图3。
数据从无序变成有序后使得密集分布γ2推向更低的γ1。
随后只有三个点分散于高γ1，但未和γ2o相吻合。
数据点γ1的最大值也从2.3降到略小于2.0.至于κ，它随γ1增加从2减少到略低于设定值1，几乎和κo相交。
2.2.2. 一组60个7208轴承失效数据的γ1 - γ2曲线这组由小到大排列的60个寿命数据取自文献[7]。
用2.1节的前60个随机数把它打乱成无序数组，然后分别计算截尾数r由10到60的无序和有序数组的统计量γ1，γ2及κ。
并以γ1为橫坐标，分别画出γ2，γ2o及κ，κo诸曲线，见图4和图5。
(1)60个7208轴承无序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图Figure 3. The γ1 - γ2 plot of 100 ascent random life data, right censored from10 to 100图3. 100有序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线，右截尾数从10 至100Figure 4. The γ1 - γ2 plot of 60 random life data in 7208 bearing, right cen-sored from 10 to 60图4.60个7208轴承准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线，右截尾数从10 至60Figure 5. The γ1 - γ2 plot of 60 ascent life data in 7208 bearing, right cen-sored from 10 to 60图5. 60个7208轴承有序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线，右截尾数从10至60图4中试验点也分别集中在低γ1和高γ1两处。
数据值γ2相当接近但略小于期望值，而且逐渐逼近随机寿命数据威布尔分布的二维γ1 - γ2图γ2o，然后又偏离开。
在γ1的有值范围内，实际形状参数κ也在1附近波动并且很快和κo相交。
显然，这组数据组在讨论的截尾范围内也保持相当良好的随机性。
(2) 60个7208轴承有序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线在图5中，数据从无序改成有序后使γ2密集分布区推向更低γ1。
随后只有一个γ2点位于高γ1区，它很接近γ2o。
数据点γ1的最大值也从3降到略小于2.3。
至于κ，它随γ1增大很快从2附近减少到数值1附近，正好和κo相交。
2.2.3. 一组37个H208轴承失效数据的γ1 - γ2曲线这组由小到大排列的37个轴承寿命数据取自文献[8]。
用2.1节前37个随机数可把它打乱成无序数组，然后分别计算截尾数r由10到37的无序和有序数组的统计量γ1，γ2及κ。
以γ1为橫坐标，画出γ2，γ2o及κ，κo诸曲线，见图6和图7。
(1)37个H208轴承无序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线图6中试验点分布在三个γ1小区。
数据值γ2先是逐渐逼近但略小于期望值γ2o，然后又离开它。
在γ1的有值范围，实际形状参数κ也在1附近波动并且很接近κo，但没有相交。
显然，这组数据组在讨论的截尾范围内也保持相当好的随机性。
(2) 37个H208轴承有序准随机失效寿命的γ1 - γ2曲线失效数据从无序改成有序后把γ2密集分布略微推向更低起始γ1。
随后只有一个点位于高γ1，而且和γ2o比较接近。
数据点γ1的最大值也从2.15附近降到略小于1.8。
至于κ，它随γ1增加很快从2减少到1附近，但未和κo相交。
请注意，γ2和κ曲线的跳动范围比较大。
3. 结果讨论从一组100个模拟随机寿命及两组轴承实测寿命(分别为60个和37个数据)的递增截尾γ1 - γ2曲线计算表明：a) 当疲劳寿命数据组足够大，而且呈准随机分布，在它们的γ1 - γ2图中通常可以在高γ1低κ处找到数据的过剩峭度γ2接近MLE的威布尔分布的γ2o。