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两相流数值模拟(第8讲)-LevelSet方法及其应用0420

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两相流数值模拟(第4讲)-两相流数值模拟参数0420

两相流数值模拟(第4讲)-两相流数值模拟参数0420
对气-液两相流而言，准确地确定流动区域内气－液相界面的位置与形 状很重要；即除了知道相分布之外，还需知道相界面的准确位置和形状。
Level Set函数就是为了实现对气－液相界面的追踪而引入的一个特殊 函数。通过特定的运算，Level Set函数的零等值面可准确地给出各个时刻 的气－液相界面位置。
1.2.2 常规参数
快关阀方法中，为已知 量
(1 ) QL / Q QL /(QG QL )
x /[x (1 x)G / L ] (1 ) (1 x) /[(1 x) xL / G ]
1.2.1 相分布参数
5. 相函数F：
相函数F表示两相流中气体（液体）相的体积（在二维空间中，对应的参数是 面积；在三维网各种对应的参数是体积）在局部单个网格区域中所占据的份额。
浓度参数是一种与空间位置和时间有关的分布参数。
1.2.1 相分布参数
２. 容积含气率(Volume Fraction of Gas) 和 截面含气率：
其含义与上述“浓度”参数的类似。
主要用于描述多相流中气体相的分布，表示气体相的体积在计算区域中
所占据的份额，也叫空泡率(Void Fraction)。
不是一个新 概念。
Mk ( , x) 1 Mk ( , x) 0 Mk ( , x) 1,
( , x) k相，k 1 ( , x) k相，k 2 Mk ( , x) 0, ( , x) 相界面，k 1或2
（5）相函数F和“相密度函数”，均是一种介质指针，在早期的MAC （Marker-And-Cell）方法里应用过。
QG和QL可分别表示为：
QG WG / G QL WL / L
1.2.2 常规参数
有实际物理意义
6. 气相真实流速UG和液相真实流速UL

两相流数值模拟(第10讲)-LB方法及其应用0420

两相流数值模拟(第10讲)-LB方法及其应用0420
第十讲：
Lattice-Boltzmann (L-B) 方法及其应用
汽－液两相流界面描述方法的分类
PIC方法
界面追踪（Front Tracking）类方法 FLIC方法
MAC方法
连续介质模型
界面捕捉(Front Capturing)类方法 混合Eulerian Lagrangian方法
二、细胞自动机方法
2. 1 细胞气自动机方法的基本思想
现规定演化规则:——如果某一点的左右两点 f(x，t)之值相同，则下一时刻 (t=2)时该点的 f(x,t)取为 0；若相异，则取为 1(“相同取 0，相异取 1”)。根据 这条规则，由 t=1 时的状态及边界条件可以自动地进入到 t=2，t=3，…，即可 以自动地演化下去(此即自动机一词的原意)，这就构成了一个细胞自动机。
一、引言
(二) 分子层次
最近10余年内迅速发展起的分子动力学模拟(Molecular Dynamics Simulation，MDS)，就是分子层次的研究方法。
这种方法由于需要对由大量分子组成的研究对象中的每一个分子作 出其力学行为的描述与计算，因而所需的计算机内存较大，目前还无法 应用到复杂流场的计算中。但对某一些问题，如相界面行为的模拟、导 热问题、稀薄气体的流动和传热等，已经取得了令人瞩目的成果。
迄今为止，前面所讨论的流动问题的数值计算方法都是 建立在连续介质力学模型基础上。
从方法论的角度，流体及其运动特性的描述可以从三个 层次上来进行，即
(一)宏观的层次； (二)分子层次； (三)介观层次。
一、引言
(一) 宏观的层次：
这就是在连续介质假定的பைடு நூலகம்础上建立起来的模型。
其基本思路是：首先，根据连续介质假定，建立起流体运动所遵循 的微分方程，即非线性的Navier—Stokes方程组；

基于Level Set方法对油水和气水两相界面的数值模拟

基于Level Set方法对油水和气水两相界面的数值模拟

1
引 言
两相界面流动现象广泛存在于各个领域，如能 源与动力、石油和化工领域等。其具有许多独特的 流体力学性质，研究这些性质对流体力学的发展及 工程应用都有重要的意义。由于相间质量、动量、 能量交换主要发生在两相界面上，因此对两相流界 面迁移特性的研究格外受到关注，提出了多种数值 方法，这些方法主要分为两类，即界面追踪类方法 和界面捕获类方法。以 PIC、MAC 等算法为代表的 界面追踪类方法是通过拉格朗日法，采用一系列离 散的标记点，具有较高的精度。但这类方法对于拓 扑结构变化大的问题处理起来比较困难，而且消耗 较多的计算资源。以 VOF、Level Set 等算法为代表 的界面 捕获类 方法 是 用 欧拉 法 构造表征 界面特性
t=0s
t=1s
t=0s 图3
t=0.14s
t=0.22s
t=0.33s
油滴在水中上升并与油 层融合的 过程
t=2s 图1
t=3s
界面在速度场的作用下随时 间的的变 化
油滴在初始时刻无速度，在浮力的作用下，油 滴在水中慢慢上升。开始时速度较小，油滴受到水 的压力作用， 发生微小的形变； 油泡在上升过程中， 变形越来越大，顶部呈现冠状；油滴上升到油层附 近，开始挤压上面的油层，使油层隆起。0.22s 后， 随着油滴继续上升，油滴将油层挤破，融入油层， 并将少量水挤入油层，最后油滴与油层完全融合， 油水交界面趋于水平。由此发现，本文方法能够较 精 确 的模拟 实际 液 体 自 由 表 面的 破碎和 融合 等 复 杂变化，说明本文方法对研究两相流是可行的。
为
∂ 1 1 v + ∇ ⋅ ( v v )= − ∇P + ∂t ρ ρ
Re-1 ∇ ⋅ ( µ v ) −
g − Fst /( ρ we ) + Fr

用Level Set方法求解具有自由面的流动问题

用Level Set方法求解具有自由面的流动问题

用Level Set方法求解具有自由面的流动问题
袁德奎;陶建华
【期刊名称】《力学学报》
【年(卷),期】2000(032)003
【摘要】为采用Level Set方法来计算有自由水面的流动问题提出了一种方案.把自由水面视为水和空气的交界面,两种介质用统一的N-S方程求解,在自由面两侧分别采用各自的密度和粘性,并在自由面上给以适当的光滑;采用边界元法求解双调和方程来确定距离函数;N-S方程用投影法求解.文中给出了二维水池水面振荡和瞬时溃坝问题的算例,可以看出用Level Set方法求解有自由面流动问题是有效的.【总页数】8页(P264-271)
【作者】袁德奎;陶建华
【作者单位】天津大学力学系,天津,300072;天津大学力学系,天津,300072
【正文语种】中文
【中图分类】O3
【相关文献】
1.基于广义有限差分法求解非线性自由液面的液体晃动问题 [J], 张挺;任聿飞;杨志强;范佳铭
2.用同伦分析方法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上流动问题 [J], 宋毅;郑连存;张欣欣
3.Level Set方法在自由面流动数值模拟中的应用 [J], 高玉丽;刘全辉
4.用Adomain拆分法求解具有抽吸喷注的运动延伸表面上的流动问题 [J], 路云
5.具有绝热自由表面的三阶流体在重力作用下沿斜面薄膜流动时的热临界 [J], O·D·玛金德;黄锋(译);张禄坤(校)
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两相流数值模拟(第3讲)-两相流数值模拟的难点0420

两相流数值模拟(第3讲)-两相流数值模拟的难点0420
在大多数情况下，组成两相流的各相必须采用独立的数学方程 来描述，及采用所谓的分相模型、两流体模型或多流体模型，等等；
同时，必须增加两相交界面上的动量控制方程和热、质传输的 控制方程。
在这种情况下，封闭方程组中补充方程的数量大大增加，补充 方程的复杂程度也会大大增加，如相界面上的蒸发或冷凝问题。
（三）两相流数值模拟的困难
蒸发管内的汽液两相基本流型
垂直上升加热管内工质的基本流动与传热过程
蒸发管内的汽液两相基本流型
垂直上升加热管内工质的基本流型
主要包括四种： 1）泡状流
在连续的液相中，分散着大量小汽泡。 2）弹状流
随着泡状流中汽泡浓度增大时，受趋中 效应的作用，小汽泡聚合成大汽泡， 直径逐渐增大，当汽泡直径接近于管 子内径时，形成形状如子弹的汽弹。
气—固相界面：气固两相流动亦是如此，颗粒的旋转、翻滚、 团聚、分离等现象也很复杂。
（二）两相流的复杂性：
（3）流型： 气－液两相流的这种复杂性可从两相流的流型及其演变特性上
略见一斑。
流型图是公认的、用于表示各种流型存在的条件和范围的一种 比较科学的方法，但不同的研究者得出的流型图往往存在较大的差 异，尤其是各种流型的转变界线差别较大。
常见的典型多相流是两相流。 自然界和工程应用中，两相（多相）流非常广泛，例如液气 系统、气固系统、液液系统、凝结、沸腾、输送、分离、流态化 等等。
描述各种问题的模型也是多种多样，千差万别。
（三）两相流数值模拟的困难
１）相对于单相流动体系而言，描述“两相流”场的变量几乎增 加一倍。
各相的浓度、物性（如密度、粘性等）、温度、分散相的颗 粒大小、速度、相间相互作用等，都在很宽的范围内变化，这些 因素会引起流动性质和流型的变化；而且，对于这些参数都需要 有相应的控制方程；

两相流数值模拟(第6讲)-连续介质类方法0420

两相流数值模拟(第6讲)-连续介质类方法0420

半。
Fvm
1 d
12
3 c
其中相对加速度 定义为 (t) dup duc
dt dt
(3－5)
单颗粒动力学模型
(6) Basset 力 FB ： 由于流体粘性存在，当颗粒速度变化时，即颗粒有相对加速度
时，颗粒周围的流场不能马上达到稳定。因此，流体对颗粒的作用
力不仅依赖于当时颗粒的相对速度（阻力部分）、当时的相对加速
2. 欧拉－欧拉方法两个大类 1）均相模型(无滑移模型) 2）多流体模型（双流体模型） （1） “小滑移”模型 （2） 颗粒拟流体模型(流体－颗粒) （3） 气－液两相的分相模型
欧拉－拉格朗日方法
欧拉－拉格朗日方法
应用范围： 欧拉－拉格朗日方法主要用于解决由连续相ห้องสมุดไป่ตู้气体或液体）和
分散相（颗粒、液滴或气泡）组成的多相流动体系。 在这类方法中，连续相介质的运动由经典的Navier-Stokes方程
惯性力 + 阻力 + 附加质量力 + Besset力 + 升力 + 压差力 + 重力 + Magnus力 + Saffman力 + …… =0
单颗粒动力学模型
(1) 惯性力 Fi ，与加速度方向相反。
Fi
1 6
d
3
p
du p dt
(3－1)
单颗粒动力学模型
（2） 阻力 Fr ，阻碍颗粒与流体的相对运动。
不仅受到一个纵向阻力，同时还受到一个垂直于相对速度及旋转
轴的侧向力，其方向与 (uc u p ) 、 构成右手系。这就是 Magnus 力。
FM
1 8
d
3
c
(uc

气液两相流数值模拟方法的研究与应用

气液两相流数值模拟方法的研究与应用气液两相流是指同时存在气体和液体的复杂流动现象，广泛存在于自然界和工业生产中，如瀑布、波浪、化工反应器、石油开采等。

气液两相流的研究对于理解和控制这些现象、提高生产效率和安全性具有重要意义。

数值模拟是研究气液两相流的有效方法。

相比于实验方法，数值模拟的优势在于能够获得更多的细节信息和精确数据，同时也可以极大地降低成本并避免实验过程中的危险性和不确定性。

本文将介绍气液两相流数值模拟的方法，及其应用领域和未来挑战。

一、数值模拟方法1. 传统方法传统方法通常采用两相流模型，基于欧拉方程求解。

由于气液两相流的复杂性，这种方法常常涉及到多个物理场的耦合和相互作用，如热传递、质量传递、化学反应、多相流动力学等。

因此，该方法具有计算量大、计算时间长、计算结果不精确等缺点。

2. 基于LBM的方法LBM（lattice boltzmann method）是一种介观尺度（宏观与微观之间的中间尺度）数值模拟方法，可以直接模拟流体内部微观运动方式，适用于模拟多相流动现象。

这种方法是根据Boltzmann方程建立的，通过碰撞模型模拟流体分子的运动，以此获得整个流场在不同时间的状态。

该方法具有计算速度快、模拟精度高、易于建模及可扩展性等优点。

3. 基于CFD的方法CFD（computational fluid dynamics）是指应用计算机数值方法对流体流动进行模拟和分析的工程技术。

CFD方法通过建立流动场的数学模型并采用数值求解方法进行计算，从而得到流场的物理或数学解。

这种方法在气液两相流领域中也得到了广泛应用。

4. 其他方法此外，还有一些其他的数值模拟方法，例如基于粒子方法的SPH（smoothed particle hydrodynamics）和DEM（discrete element method）等。

这些方法基于不同的假设和算法，都有各自的优缺点，在不同的气液两相流应用场景中发挥着重要的作用。

气液两相流数值模拟及应用

气液两相流数值模拟及应用气液两相流是指在某些现象或工艺中，气体和液体同时存在，相互作用，形成的复杂流动状态。

气液两相流在自然界和工业生产中都有广泛的应用，如气液动力学、船舶工程、石油化工、水力学、管道输送等。

数值模拟技术是研究气液两相流的有效方法之一，可通过数学模型描述气液两相流的运动规律，预测流体在各种复杂工况下的运动状态，为各个领域的工程问题提供了重要的参考和解决方法。

一、气液两相流的特点气液两相流的特点是复杂性和多变性。

气液两相流的物性参数（如密度、粘度等）随着相体积分数的变化而变化，在不同的压力、温度和流速下具有不同的特性，且颗粒大小和形状不同，流动形态和动态行为也各异。

正因为如此，对气液两相流的数值模拟需要考虑诸多的参数和影响因素，同时需要选择合适的数值模型、计算方法和数值算法。

二、数值模拟的方法数值模拟方法包括欧拉方法和拉格朗日方法。

欧拉方法适合于模拟流体的宏观运动，它将流场用网格剖分成小单元，并在每个单元上建立流体的宏观性质方程，求解这些方程，得到流场的解析结果。

欧拉方法适合于模拟气体简单的流动情况，但对于气液两相流就显得有些困难，因为在气液两相流中液滴和气泡的运动轨迹是不确定的，欧拉方法不能很好地描述它们碰撞和合并的过程，因此需要采用拉格朗日方法。

拉格朗日方法则选择一类代表性粒子（或液滴、气泡）的轨迹，并得到这些粒子的位置、速度和加速度等参数，再利用统计学方法推导出流场的宏观性质。

它的主要问题是计算代价较大，在大规模气液两相流模拟中会遇到实际的难点和困难。

三、应用实例气液两相流的应用实例主要集中在以下几个方面：1. 混合气气动特性的研究在飞行器、火箭等领域中，气液两相流的复杂性和多变性表现为物体的气动特性的变化，主要是由于流体的惯性和相互作用之间的复杂关系。

2. 溢流油井泄漏在石油生产过程中，由于机械故障或人为操作不当等原因，可能导致油井中的压力失控，引起油气、水等溢出，形成泄漏。

两相流数值模拟(第6讲)-连续介质类方法0420


度（附加质量力），还依赖于在这以前颗粒加速度的历史。由这部
分效应作用在颗粒上的力就叫 Basset 力，其中 t0 是起动时间。
FB
3 2
d2
t
cc
( )
to
d t
(3－6)
单颗粒动力学模型
(7) Magnus 力 FM 。
属于侧向作用力的一种。
若颗粒以角速度ω旋转，旋转轴垂直于相对速度时，则颗粒
（7）通过颗粒在流场中的受力分析，基于牛顿第二定律，建立关于颗粒的 运动方程，进一步，通过积分得到每个颗粒的运动轨迹。
（8）在拉格朗日坐标系中，对每一个颗粒相按照流体对它的作用力及颗粒 间碰撞产生的作用力两部分列出运动方程，直接模拟颗粒的运动速度、 轨迹。
力的相对值为（设相对加速度为
阻力 Stokes阻力 f (Re)
up uc ）；
t t0
Besset力
Stokes阻力
2
d
1 (uc up )
t (t ')dt ' t0 (t t ')
1
d (t t0 )
Magnus力 Stokes阻力
1 24
d 2
Saffman力 Stokes阻力 0.16
（3）颗粒相自身无湍流扩散、湍流粘性、湍流导热等特性； （4）颗粒群按初始尺寸分组； （5）各组颗粒群沿各自的轨道运动，互不干扰，互不碰撞； （6）
只是早期的假设！ 后期的改进模型中，考虑到颗粒 之间的作用力！
颗粒群轨道模型
基本思想：
（6）颗粒群对流体的质量、动量、能量的影响分别被看做是某种“等价 的”、“连续分布”于多相流空间中的物质源、动量源、能量源。
不仅受到一个纵向阻力，同时还受到一个垂直于相对速度及旋转

两相流数值模拟(第5讲)-两相流数值模拟方法分类0420

针对不同的具体问题，实施连续介质力学方法的模型又可分为两类： （1） 欧拉－拉格朗日方法：
如：颗粒动力学模型， 颗粒群模型等
（2）欧拉－欧拉方法： 如：均相模型 小滑移模型 分相模型 多流体模型
两相流数值模拟方法的分类
第三，介观层次的数值模拟方法。
（1）流体本来是由离散的分子所组成，通常将流体当作连续介质来 处理；
两相流数值模拟方法的分类
分子气体动力学模型
分类方法很多
离散的介观层次格子类方法
格子－气体（Lattice Gas）法 格子－波尔兹曼（Lattice Boltzman）方法
均相模型
气体动力学模型 颗粒群轨道模型 拟流体模型
均相模型
连续介质模型 Eulerian
这类方法从微观层次上将多相流看作是大量离散分子的集合，流体的运动特性 由这些离散分子的相关特性的统计平均来决定。
比较典型的如直接蒙特卡洛模拟(Direct Simulation Monte Carlo, DSMC )方 法，最近10余年内得到迅速发展。
这类方法由于需要对计算区域内每一个分子的力学行为进行描述与计算，因而 所需计算机内存很大，目前还无法应用到复杂流场计算中。
两相流数值模拟方法的分类
注意要点： ２）上述分类方法并不一定百分之百地科学，可有多种分类方法。
由于与单相连续介质力学模型的内在本质联系，经典的连续介质力学方法最易 为人们所理解和接受，直接推广和延伸到两相流应用领域。
连续介质力学方法是当今应用最为广泛的方法，连续介质力学模型可分为两类：
欧拉－拉格朗日方法 欧拉－欧拉方法
两相流数值模拟方法的分类
注意要点： １）在实际应用中，需要结合研究具体目标，灵活采用不同的方法及其组合。
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距离函数。一般可取
Φx,0
为
x
点到界面
Γ
0
符号距离
d ( x,Γ (0))
x
Ω1
d (x,Γ
(0)) 表示
x
到
Γ(
Φx,t
0 d
(
x,Γ
0 ) 的距离。
x (0))
Γ 0
x
Ω
2
（1）
二、Level Set方法的数学描述
等值面函数法的思想就是Φ 以适当的速度移动， 或者说等值面以适当的速度移动。
这类方法中最具代表性的是PIC方法和MAC方法。 PIC (Particle-in-Cell) MAC (Mark-and-Cell)
界面追踪法（Front Tracking Methods）
属于欧拉方法的范畴。 （１）高度函数法 （２）VOF （３）Level Set
一、Level Set方法的基本思想
二、Level Set方法的数学描述
定义：Level Set 函数Φx,t，使得在任意时刻气－液相界面
Γ t 恰是Φx,t的零等值面，即要求
Γ
t
x
Ω:Φ(x, Nhomakorabeat)
0
同时函数Φx,t应在 Γ t 附近为法向单调，在 Γ t 上为零。
通常在整个计算区域中将 Level Set 函数Φx,t定义为一个符号
Level Set 方法由S. Osher和J. A. Sethian提出。
这种方法先在整个计算区域上定义一个光滑函 数，φ；两种流体的界面可用函数φ的零值点表示。
通过在所研究的计算区域上求解一个HamiltonJacobi类型的方程来更新相界面边界。
一、Level Set方法的基本思想
Level Ser方法的核心思想在于： 从几何角度看，气(液)－液界面对应于一高阶曲面与平
第八讲： Level Set方法及其应用
两相流数值模拟方法的分类
分子气体动力学模型
分类方法很多
离散的介观层次格子类方法
格子－气体（Lattice Gas）法 格子－波尔兹曼（Lattice Boltzman）方法
均相模型
气体－颗粒两相流
分相模型
单颗粒动力学模型 颗粒群轨道模型 拟流体模型
在任意时刻，只要求出Φ 的值，就可以确定活动
界面的位置。
————这样就避免了显式地追踪活动界面（即 物质界面），提高了我们追踪复杂界面的能力。
二、Level Set方法的数学描述
说明:
（１） Level set 函数的数学性质：参考相关文献。 （２） 什么是距离函数？空间点到界面的最短垂直距离。距离函数
均相模型
连续介质模型 Eulerian
Eulerian方法/Eulerian
Lagrangian方法
PIC方法
界面追踪（Front
Tracking）类方法
FLIC方法
MAC方法
气体－液体两相流
分相模型(双流体模型)界混面合捕Eu捉ler(iFanrontLagCraapntguirainn方g )类法方法
面的相交线（面）；比如说，三维曲面和平面相交，可得到 平面上的曲线；
从数学角度看，气(液)－液界面则对应于一高阶方程的 零等值面。通过在所研究的计算区域上求解一个一阶的偏微 分方程来更新高阶函数值，从而更新相界面。
二、Level Set方法的数学描述
LEVEL SET函数的定义：
假设：在计算区域 Ω 中存在不可压缩气 －液两相流动，气、液两相占据的区域 分别为 Ω1(t)、Ω 2(t)，Γt为气－液两相分界 面，气、液两相的密度和粘性系数分别 为 1, 2 和 1, 2 ，表面张力系数为 。
二、Level Set方法的数学描述
说明：
（１）距离初始化。 一般来讲，由于数值方法的内在效应，即使只是
进行了几个时间步长的求解，Φx,t 将不再是满足（4）
式定义的符号距离。在实际应用中，需要对函数 Φx,t
做特殊处理。这就是我们后面要提到的距离初始化— —通过数值运算，使方程（４）的条件得到满足。为 什么要进行距离初始化，后面也会提到。
高度函数法 线段法 VOF方法 Level Set方法
其它（辅助）方法 影相子场流（P体h（aseGhoFsiteldF）lu方id法 Method）法
汽－液两相流界面描述方法的分类
进行气(液)－液两相流数值模拟的最大障碍就是气(液)－ 液界面的存在、变形、其位置的不确定性、及相界面周 围流体物性的急剧变化；——这也是过去几十年中数学 家和两相流研究工作者所面临的最大困难之一。
针对这一问题，专门提出了关于相界面的描述方法。
目前已提出的数值研究方法可分为两大类：即 (1)界面捕捉法(Front-Capturing Methods) (2)界面跟踪法(Front-Tracking Methods)。
界面追踪法（Front Tracking Methods）
界面追踪方法，直观的理解，属于Lagarange类方法。 如果有足够多双眼睛盯住／“锁定”界面上的各个点，通过对 各个点的观察、记录就可以确定整个界面的运动过程和轨迹。这就 是界面追踪方法产生的最初的出发点和本质。 不难理解，从概念上，界面追踪方法比界面捕捉类方法更容易 接受，比较直观。但实现起来比较烦琐。
Φt u Φx v Φy 0
其中， u 是流体速度矢量。
（3）
二、Level Set方法的数学描述
根据对 Φx,t 的初值的设定， 初值是满足 下述方程（4）的。我们还要求在任意时刻 Φx,t 也
满足方程（4）。
d (x, (t))
x
1
x, t
0
d
(x,
(t))
x
t
x
2
（4）
那么，Level Set 函数 的变化受什么约束呢？ 为了保证在任意时刻函数Φ 的零等值面就是活动
界 于面 活， 动界Φ 要面满Γ 足t 一上定的的任控意制点方x 程，，Φ在x,t任 0意，时从刻而t有, 对
dΦ
Φ
V Φ
0
,
V
dx
dt t
dt
（2）
二、Level Set方法的数学描述
对于具体问题，方程（2）有具体的形式，在自由 面追踪或两相流问题中，物理量控制方程一般是 N-S 方程，则方程（２）就是
的主要性质是满足
1
比如：（a）二维区域内圆形相界面的初始距离函数 （b）二维区域内水平相界面的初始距离函数 （c）二维区域内矩形相界面的初始距离函数，等等
（３）Level Set 函数是一个带符号的距离函数，有正负之分，是代 数值。
二、Level Set方法的数学描述
LEVEL SET函数的控制方程：