山东省青岛市格兰德中学2020学年高二数学上学期学段评估测试试题(中日班)(无答案)

2019-2020学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆y 2+4x 2＝1的焦距为（ ）A ．2B C ．D 【答案】B【解析】直接利用椭圆的方程，求得,a b 的值，然后求得2c ，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程2241y x +=，可得2211,4a b ==，又由22234c a b =-=，解得2c =2c =. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2．已知命题P ：∃x ＞0，lgx ≤0，则￢P 是（ ） A ．∃x ≤0，lgx ＞0 B ．∀x ＞0，lgx ＞0 C ．∀x ＞0，lgx ＜0 D ．∃x ＞0，lgx ≤0【答案】B【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定，得到答案. 【详解】由题意，根据特称命题的否定是全称命题，所以命题:0,lg 0P x x ∃>≤， 可得:0,lg 0P x x ⌝∀>>. 故选B. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记特称命题与全称命题的关系，准确改写是解答的关键，属于基础题.3．已知双曲线C ：y 222x b-=1（b ＞0）的焦距为4，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝±3xD ．y ＝【答案】B【解析】根据题意，求得2,1c a ==，进而求得b 的值，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y b b-=>的焦距为4，可得2,1c a ==，又由2223b c a =-=，所以双曲线的方程为2213x y -=，所以该双曲线的渐近线的方程为3a y x xb =±=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4 B ．14C ．14-D ．±14【答案】D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为p ，即可得到结果，得到答案. 【详解】由题意，抛物线2x my =-，可得21y x m=-， 又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即122m =，解得14m =±. 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为p 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ） A ．a c b +- B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b【答案】D【解析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．椭圆的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为185，△MF 2N 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）A B ．35C ．45D 【答案】C【解析】运用椭圆的定义，可得420a =，求得5a =，再由直线垂直于x 轴时，弦长最短，求出弦长，解得b ，最后利用离心率公式，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由椭圆的定义，可得12122MF MF NF NF a +=+=， 由于2MF N ∆的周长为20，可得420a =，即5a =， 过点1F 作直线与椭圆相交，当直线垂直与x 轴时，弦长最短，令x c =-，代入椭圆的方程，可得2by a=±，即22185b a =，解得29b =，所以4c =，所以椭圆的离心率为45c e a ==. 故选C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中求曲线的离心率(或范围)问题，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线被圆C ：x 2+y 2﹣12x ＝0截得的弦长为8，双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．2212016x y -=B ．2211620x y -=C ．2211224x y -=D ．2212412x y -=【答案】B【解析】求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式可得,a b 的关系式，由题意可得6c =，再由,,a b c 的关系可得a ，即可求得双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆22:120C x y x +-=的圆心(6,0)C ，半径6r =，见解析被圆22:120C x y x +-=截得的弦长为8，可得8==解得d ==双曲线的焦点为C 的圆心，即6c =，则b =4a =，可得双曲线的方程为2211620x y -=.故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.8．抛物线x 2＝4y 上的点到直线y +5＝0的距离的最小值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】C【解析】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，利用点到直线的距离公式表示出距离，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设抛物线24x y =上一点的坐标为2(2,)m m ，可得点到直线50y +=的距离为d ==，当m =时，取得最小值为1. 故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．已知直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ＜0）与抛物线C ：y 2＝﹣4x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点且满足|AF |＝2|BF |，则k 的值是（ ） A．3-B．C．D ．﹣【答案】C【解析】直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，设1122(,),(,)A x y B x y ，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案.【详解】由题意，抛物线2:4C y x =-的焦点(1,0)F -，准线方程为1x =，直线(1)y k x =-和抛物线2:4C y x =-联立，可得2222(24)0k x k x k --+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得1212242,1x x x x k +=-=， 由抛物线的定义可得121,1AF x BF x =-=-，因为2AF BF =，可得1212(1)x x -=-，即1221x x =-， 代入可得212x =-或21x =（舍去），此时12,3x k =-=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，合理应用韦达定理是解答此类问题的挂念，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.10．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2122e e -的最小值为（ ） A ．2 B ．﹣2C ．6D ．﹣6【答案】B【解析】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ，运用椭圆和双曲线的定义，以及垂直平分线的性质，结合离心率和基本不等式，即可求解. 【详解】设12,PF m PF n ==，不妨设点P 在第二象限，椭圆和曲线的焦点在x 轴上，且它们的长半轴为1a ，实半轴为2a ，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可得122,2m n a n m a +=-=， 由线段1PF 的垂直平分线过点2F ，可得2n c =又由点P 在第二象限，所以12PF PF <，即m n <，所以2m c <，且2m c <， 即1222,22m c a c m a +=-=， 又由椭圆和双曲线的离心率，可得1212,c c e e a a ==， 则21122221242222e a c c c m mm e a c c m c c c+-=-=-=+----42≥=-， 当且仅当122mm c c=--，即m c =时，上式取得最小值2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和几何性质的应用，以及基本不等式的应用，其中解答熟练应用椭圆和双曲线的定义和几何性质，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了化简运算能力和变形能力，属于中档试题.二、多选题11．（多选题）给出下列选项中，能成为x ＞y 充分条件的是（ ） A ．xt 2＞yt 2B ．（x ，y ）是曲线x 3﹣y 3﹣x 2＝1上的点C ．11x y＜＜0D ．（x ，y ）是双曲线x 2﹣y 2＝1上的点【答案】ABC【解析】首先分清条件和结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选的答案能推得x y >成立，即可求解 【详解】由题意，对于A 中，由22xt yt <可知，20t >，可得x y >成，所以A 正确； 对于B 中，点(,)x y 是曲线3321x y x --=上的点，则(,)x y 满足323(1)x x y -+=， 可得33x y >，即x y >成立，所以B 正确；对于C 中，由110x y <<，可得0,0x y <<，又由110x y y x xy--=>，可得0x y ->，即x y >成，所以C 正确；对于D 总，点(,)x y 是双曲线221x y -=上的点，可得22x y >，不一定得到x y >成立，所以D 不正确. 故选ABC. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，其中解答中熟练应用不等式的性质，以及曲线的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12．（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-< ，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0t =时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．椭圆2222x y a b +=1上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为22b a -B ．过双曲线2222x y a b -=1焦点的弦中最短弦长为22b aC ．抛物线y 2＝2px 上两点A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则弦AB 经过抛物线焦点的充要条件为x 1x 224p = D ．若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切 【答案】A【解析】直线与圆锥曲线的位置关系问题，通过联立方程组，恰当利用韦达定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，椭圆的左右顶点的分别为(,0),(,0)A a B a -， 设椭圆上除左右顶点以外的任意一点(,)P m n ，则222PB PBn n n k k m a m a m a⋅=⋅=+--， 又因为点(,)P m n 在椭圆上，可得22221m n a b +=，解得2222(1)m n b a=-，所以22PB PBb k k a⋅=，所以A 项是正确的； 对于B 中，设双曲线22221x y a b-=右焦点(c,0)F ，（1）当直线与双曲线的右支交于1122(,),(,)A x y B x y ，（i ）当直线AB 的斜率不存在时，则直线AB 方程为x c =，则22bAB a=，（ii ）当直线AB 的斜率存在时，则直线AB 方程为()y k x c =-，联立方程组2222()1y k x c x y a b=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22222222222()20b a k x a ck x a k c a b -+--=，则1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，得b k a >或b k a <-，由焦半径公式可得22122222()22c a ck AB AF BF e x x a a a a k b =+=+-=⋅-- 222222222222222222ac k ac c b a a a b a k b a a a k=-=->-=--， 所以当直线AB 的斜率不存在时，AB 的长最小，最小值为22b a．（2）当过(c,0)F 的直线与双曲线的两支各有一个交点时，此时可得AB 的最小值为2a ．综上可得，当222b a a ≤，即b a <，此时过焦点的弦长最短为22b a ； 当222b a a>，即b a >，此时过焦点的弦长最短为2a ．所以B 项是不正确的；对于C 中，充分性：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x x =，此时12x x =，因为2124p x x =，所以122p x x ==，此时直线AB 过焦点(,0)2P F .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y kx b =+，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩，得222(22)0k x bk p x b +-+=， 所以2122b x x k=，且2480p kpb ∆=->，又因为22(0)y px x =>且2124p x x =，所以2224b k p =，解得2b k p =或2b k p =-，所以直线AB 方程为2b y x b p =-+或2b y x b p=+, 当直线2b y x b p =-+时，取0y =时，2p x =，直线AB 过焦点(,0)2P； 当直线2b y x b p =+时，取0y =时，2p x =-，直线AB 过焦点(,0)2PF -； 所以充分性不成立．必要性：当直线AB 过焦点(,0)2PF 时， 设过焦点的直线AB 的方程为2p x my =+，代入22(0)y px x =>，可得2220y pmy p --=，则212y y p =-，则222212121222()444y y y y p x x p p ===. 所以抛物线22(0)y px x =>上两点1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 经过抛物线的焦点的必要不充分条件是2124p x x =，所以C 是不正确的.对于D 中，当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线抛物线是相交的，所以直线与圆锥曲线有一个公共点，所以该直线和圆锥曲线相切是错误，即D 项是不正确的. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判定与应用，以及充要条件的判定，其中解答中要认真审题，直线方程和抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、填空题14．若“∃x 0∈[﹣4，﹣2]，01 2x（）＜m ”是真命题，则实数m 的取值范围为_____．【答案】m ＞4【解析】根据0[4,2]x ∈--时，得到01()[4,16]2x∈，结合存在性命题为真命题，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当0[4,2]x ∈--时，可得01()[4,16]2x∈， 又因为“001[4,2],()2x x m ∃∈--<”是真命题，所以4m >.故答案为：4m > 【点睛】本题主要考查了存在性的真假的判定与应用，以及指数函数的性质的应用，其中解答中正确理解存在性命题的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2（|F 1F 2|＝2c ），以坐标原点O 为圆心，以c 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一个交点为P ，若三角形F 1PF 2的面积为a 2，则C 的离心率为_____．【解析】不妨设P 为右支上一点，设12,PF m PF n ==，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得,a c 的关系式，即可求解双曲线的离心率，得到答案. 【详解】不妨设P 为右支上一点，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，可得m 2+n 2＝4c 2，且12mn ＝a 2，由（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝4c 2﹣4a 2＝4a 2，即为c =，可得e ca==.. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)． 16．设A ，B 分别是直线y ＝2x 和y ＝﹣2x 上的动点，满足|AB |＝4，则A 的中点M 的轨迹方程为_____．【答案】22116y x +=【解析】设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，再利用AB 4=，即可得到点M 的轨迹方程，得到答案. 【详解】设A （x 1，2x 1 ），B （x 2，﹣2x 2 ），M （x ，y ），则AB 中点M （122x x +，x 1﹣x 2） 所以x 122x x +=，y ＝x 1﹣x 2， 又因为|AB |2＝（x 1﹣x 2）2+（2x 1+2x 2）2＝16，即y 2+（4x ）2＝16，所以M 的轨迹方程为22116y x +=，故答案为：22116y x +=.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，其中解答中设出,A B 的坐标，表示出点M 的坐标，结合条件用AB 的长求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17．卵形线是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫焦点）的距离之积等于常数的点的轨迹．某同学类比椭圆与双曲线对卡西尼卵形线进行了相关性质的探究，设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）是平面内的两个定点，|PF 1|•|PF 2|＝a 2（a 是常数）．得出卡西尼卵形线的相关结论：①该曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；②若a ＝c ，则曲线过原点；③若0＜a ＜c ，其轨迹为线段．其中正确命题的序号是_____． 【答案】①②【解析】设(,)P x y 2a = ，得到22224[()][()]x c y x c y a ++⋅-+=，再对三个选项加以验证，即可求解，得到答案.【详解】由题意设P （x ，y ）2a =，即[（x +c ）2+y 2]•[（x ﹣c ）2+y 2]＝a 4，对于①中，因为把方程中的x 被﹣x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称； 把方程中的y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称； 把方程中的x 被﹣x 代换，y 被﹣y 代换，方程不变， 故此曲线是轴对称图形也是中心对称图形，所以是正确的．对于②中，若a ＝c ，（0，0）代入，方程成立则曲线过原点，所以是正确的； 对于③中，因为（|PF 1|+|PF 2|）min ＝2c ，（当且仅当，|PF 1|＝|PF 2|＝c 时取等号），所以（|PF 1||PF 2|）min ＝c 2，所以若0＜a ＜c ，则曲线不存在，所以不正确．故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了新定义的理解与应用，其中解答中认真审题，正确理解新定义，结合新定义运算出动点的轨迹方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.四、解答题18．已知A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2＞0，a ＞0}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6≥0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（0，1）．【解析】根据一元二次不等式的解法，求得集合A ＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，再由”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合A ＝{x |x 2﹣4ax +3a 2>0，a >0}＝{x |x ＜a 或x >3a ，a >0}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣3）≥0}＝{x |x ≥3或x ≤﹣2}，若”x ∈A ”是“x ∈B “的必要不充分条件，即集合B 是集合A 的真子集，则满足332aaa<⎧⎪>-⎨⎪>⎩，解得0＜a＜1，故实数a的取值范围是（0，1）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次方程的解法，结合充分、必要条件，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围(2,2)-．（2）命题q：方程223y xm+=1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p为真，q为假时，2203mm m-⎧⎨≤≥⎩＜＜或，解得﹣2＜m≤0．当p为假，q为真时，2203m mm≤-≥⎧⎨⎩或＜＜，解得2≤m＜3．综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题,p q，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，过点P (－2,1)且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．【答案】（1）221124x y +=；（2）AB =【解析】（1）已知：，b=2，a 2=b 2+c 2，联立解得a,b,c 的值，即可得椭圆方程；（2）易得直线l 的方程y=x+3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立化为：4x 2+18x+15=0，利用根与系数的关系及弦长公式即可得出弦AB 的长．【详解】(1)已知椭圆焦距为2，即，b=2，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，b=2，故C ：221124x y +=.(2)已知直线l 过点P (－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，直线方程与椭圆方程联立2231124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2418150x x ++=. 设()11,A x y ，()22,B x y ．∴12120,9,215,4x x x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴AB =2=【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆相交的弦长；当直线斜率存在时，弦长12l x=-=，其中()11,A x y，()22,B x y是交点坐标，经常设而不求，联立方程后，根据根与系数的关系整体代入.21．已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；（2）若AF=λFB，AP=μPB，证明：λ+μ为定值．【答案】（1）（2）证明见解析，定值为0【解析】（1）由直线与抛物线联立得2610x x-+=，根据1228AB x x=++=，求得点D到直线10x y+-=的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；（2）设:(1)l y k x=-，联立方程组，求得121244y y y yk+==-，，结合AF =λFB，AP=μPB，得到λ12yy=-，1222y ky kμ+=-+，进而求得λμ+为定值，得到答案. 【详解】（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，所以x1+x2＝6，x1x2＝1．于是|AB|＝x1+x2+2＝8．点D到直线x+y﹣1＝0的距离d==所以S182=⨯=；（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得ky 2﹣4y ﹣4k ＝0，121244y y y y k+==-，，∵AF =λFB ，AP =μPB ，所以（1﹣x 1，﹣y 1）＝λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，﹣2k ﹣y 1）＝μ（x 2+1，y 2+2k ）， ∴λ12y y =-，1222y k y k μ+=-+．∴λ+μ()()()121211222222222880222y y k y y y y kk y y k y y k y y k +++-+=--=-=-=+++（定值）． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，R 的坐标（0，﹣2）．【解析】（1）根据条件转化为P 到(0,1)A 的距离与它到直线1y =-的距离相等，利用抛物线的定义，即可求得点P 的轨迹方程；（2）利用对称性可得R 在y 轴上，设(0,)R t ，再结合MRQ NRQ ∠=∠，则0RM RN k k +=，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系，求得()22k t +，进而求得t 的值. 【详解】（1）因为点P 到A （0，1）的距离比它到直线y ＝﹣4的距离小3，所以点P 在直线y ＝﹣4的上方，点P 到A （0，1）的距离与它到直线y ＝﹣1的距离相等所以点P 的轨迹C 是以A 为焦点，y ＝﹣1为准线的抛物线， 所以方程为x 2＝4y ；（2）当动直线l 的斜率为0时，由对称性可得R 在y 轴上，设为R （0，t ），设直线l 的方程为y ＝kx +2，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得x 2﹣4kx ﹣8＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣8， 所以()()2112121212RM RN x y t x y t y t y t x x k x x k -+---=+=+ ()()()1212121212402x x x x t x x k t x x +-++===，因为k ≠0，所以2t =-，则R （0，﹣2）， 综上，R 的坐标（0，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中直线与抛物线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23．已知椭圆C 1：23x +y 2＝1的左右顶点是双曲线C 2：22221x y a b-=的顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为2． （1）求双曲线C 2的方程；（2）若直线与C 1相交于M 1，M 2两点，与C 2相交于Q 1，Q 2两点，且1OQ •2OQ =-5，求|M 1M 2|的取值范围．【答案】（1）23x -y 2＝1；（2）|M 1M 2|∈（0]． 【解析】（1）由椭圆的顶点可得23a =，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得1b =，进而得到双曲线的方程；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，消去y ，运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标运算，求得,m k 的关系式，再由直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，即可求得12M M 的取值范围. 【详解】（1）由椭圆C1：23x+y2＝1的左右顶点为（0），0），可得a2＝3，又椭圆C1的上顶点（0，1）到双曲线C2的渐近线bx﹣ay＝0=b＝1，所以双曲线C2的方程为23x-y2＝1；（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入23x-y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有()()2222213036413330kk m k m⎧-≠⎪⎨----⎪⎩＞⇒22213013km k⎧-≠⎨+⎩＞①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：x1+x22613kmk=-，x1•x2223313mk+=--．又1OQ•2OQ =x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，又1OQ•2OQ=-5，所以有2113k-[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5 整理得m2＝1﹣9k2…②，将y＝kx+m，代入23x+y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③由①②③有：0＜k216＜．设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：x3+x42613kmk-=+，x3•x4223313mk-=+．所以|M1M2|=又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2|=|M1M2|=⇒|M 1M 2|＝，令t ＝k 2，则t ∈（0，19]， 令f （t ）()21(13)t t t +=+⇒f ′（t ）31(13)t t -=+，又t ∈（0，19]， 所以f '（t ）＞0在t ∈（0，19]内恒成立，故函数f （t ）在t ∈（0，19]内单调递增，故f （t ）∈（0，572]，则有|M 1M 2|∈（0]． 【点睛】 本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.24．如果你留心使会发现，汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状，把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面．这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束，又能发出较暗的，照射近距离的光线．我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，明亮的光束，是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯：而较暗的光线，不是由反射镜焦点的光源射出的，光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，如果把向上射出的光线遮住．车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了．请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理，并证明． 【答案】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行,证明见解析【解析】设200(,)2y P y p为抛物线上一点，法线与x 轴交于M ，反射光线为PN ，F 为抛物线的焦点，,PF PM 的斜率，根据角的正切值，证明NPM PNx π∠+∠=即可.【详解】远光灯照明原理：由抛物线的焦点所在的光源发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行．证明：不妨设抛物线方程为：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F ，P 为抛物线上一点，FP 的反射光线为PN ，如图所示：设抛物线过点P 的切线为直线l ，法线交x 轴于M ，由光的反射性质可知∠FPM ＝∠MPN ，由y 2＝2px ，不妨设P 在第一象限，P （202y p ，y 0）， 当y 0＝0时，直线l 与y 轴重合，显然PN 与x 轴重合，当y 0≠0时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝k （x 202y p-）+y 0， 代入抛物线方程可得：ky 2﹣2py ﹣ky 02+2py 0＝0，令△＝4p 2﹣4k （2py 0﹣ky 02）＝0可得k 0p y =， 故法线PM 的斜率为0y p-． 不妨设P 在第一象限，设∠PMx ＝α，∠PFM ＝β，∠NPM ＝θ，则tanα0y p =-，tanβ00220022y py p y p x ==--， ∴tanθ＝tan ∠FPM ＝tan （α﹣β）()()()0022222220000000232220000022022221y py y y p p y y p y p y p y y py py p py p p p y p y p -----+-====--+-⋅-． ∴tanθ+tanα＝0，故α+θ＝π，∴PN ∥x 轴．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用抛物线的几何性质，结合直线的斜率和倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.。

山东省青岛市格兰德中学2020年高三化学联考试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 0.1mol化合物甲在足量的氧气中完全燃烧后生成4.48LCO2（标况下测量），推测甲（）A、CH4B、C2H4C、C3H6 D、C6H6参考答案：B略2. N A表示阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．标准状况下，等体积的水和CO2，含有的氧原子数目为1∶2B．含有N A个阴离子的Na2O2与足量水反应，转移电子数为2N AC．向FeI2溶液中通入适量氯气，当有N A个Fe2+被氧化时，共转移电子数为3N AD．一个NO分子质量为a g，一个NO2分子质量是b g，则N A个O2的质量为（b—a）N A g参考答案：C略3. 已知：2Zn(s)＋O2(g)===2ZnO(s)ΔH＝－701.0 kJ·mol－12Hg(l)＋O2(g)===2HgO(s)ΔH＝－181.6 kJ·mol－1则反应Zn(s)＋ HgO(s)===ZnO(s)＋ Hg(l)的ΔH为 ()A．＋519.4 kJ·mol－1 B．＋259.7 kJ·mol－1C．－259.7 kJ·mol－1 D．－519.4 kJ·mol－1参考答案：C略4. （15分）纳米级Cu2O由于具有优良的催化性能而受到关注，下表为制取Cu2O的四种方法：电解法，反应为2Cu + H2O Cu2O + H2↑。

用肼（N H）还原新制的Cu(OH)（1①2Cu（s）＋O2(g)=Cu2O（s）；△H = -169kJ·mol-1②C（s）＋O2(g)=CO(g)；△H = -110.5kJ·mol-1③ Cu（s）＋O2(g)=CuO（s）；△H = -157kJ·mol-1则方法a发生的热化学方程式是：。

山东省青岛市格兰德中学2020届高三数学上学期期末检测试题 理（无答案）2020-1时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷 （选择题，共60分） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0432≤--=x x x A ，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．[1,1]-B ．[1,1)-C ．(1,1)-D ．(,)-∞+∞2．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行 分层抽样，则各职称人数分别为 （ ） A ．5,10,15 B ．3,9,18 C ．3,10,17 D ．5,9,163．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S （ ）A ．5B ．8C ．8-D ．154. 函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ）A ．()21，B ．()32，C ．()43，D ．()54，5. 设ω0>,()23sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （ ）A ．23 B.43 C ．32 D.36．若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆222220x y x y +---=，则12a b +的最小值是 ( ) A ．42 B ．322+ C ．2 D ．57. 已知圆的方程为,08622=--+y x y x 设该圆中过点()5,3的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ， 则四边形ABCD 的面积是 ( )A ．610B ．620C ．630D ．6408．已知函数⎩⎨⎧<≥+=)1(,)1(,ln 1)(3x x x x x f ，则)(x f 的图象为 （ ）A B C D9. 有两条不同的直线n m ,与两个不同的平面βα,，下列命题正确的是 （ ） A ．m //α，n n//β且α//β，则m //n B ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⊥且则C ．m //α，,//n m n βαβ⊥⊥且则D ．,////,m n m n αβαβ⊥⊥且则10．点()y x P ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥032,,1y x x y x 那么点p 到直线0943=--y x 的距离的最小值为（ ）A ．514 B.56C.2D.111．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,22,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ）A ．2B 3C 2D ．112.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，此双曲线的离心率为 （ ）A 2B 3．31+ D ．51+第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸横线上） 13. 观察新生婴儿的体重，频率分布直方图如图，则新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为椭圆1422=+y x 的个焦点为21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =15. 若非零向量,a b r r ()02=⋅+=b a ，则a r 与b r 的夹角为16. 数列}{n a 满足()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n nn a a a a a ，若761=a ，则4201a 的值为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题12分)已知函数()3sin(f x x ω+)()()0,0,cos -><<+ωπϕϕωϕx 为偶函数，且函数()x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8f π的值; （Ⅱ）将函数()x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到函数()x g y =的图象，求()x g y =的单调递减区间18.(本小题12分) 在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(13)2c b =．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若13CB CA ⋅=+u u u r u u u ra 、b 、c19.(本小题12分) 锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且060DAB ∠=2PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点， （Ⅰ）证明：DEF AD ⊥（Ⅱ）求二面角P AD B --的余弦值.20.(本小题12分) 已知等差数列{}n a 中，152433,14,a a a a ⋅=+=n S 为数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n a 的公差为正数,数列{}n b 满足1n nb S =, 求数列{}n b 的前n 项和n T .21.(本小题12分) 设函数()()ax x x a x f 21ln 2++-=（Ⅰ）当0=a 时，求()x f 的极值 （Ⅱ）当0≠a 时，求()x f 的单调区间22.(本小题14分) 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重0.001频率/组距大值为3,最小值为1. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于BA,两点(BA,不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.。

青岛市开发区2021学年度第一学期期中学业水平检测高二数学一、选择题：本大题共12小题，每题 5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

的倾斜角等于A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程可得斜率，从而可得倾斜角..【详解】由直线，可得直线的斜率为即倾斜角的正切值为所以直线的倾斜角为.应选D.【点睛】此题主要考查了直线的一般式与斜率及倾斜角的关系，属于根底题.2.直线与直线互相垂直，那么实数的值为C.A. B.【答案】C【解析】【详解】由直线与直线互相垂直，可得.解得.应选C.【点睛】两直线的一般方程判定垂直时，记住以下结论，可防止讨论：，，．3.命题“对任意的〞，都有的否认为A.对任意的，都有，使得B.不存在C.存在，使得，使得D.存在【答案】D【解析】【分析】由全称命题的否认为特称命题，即可得解.【详解】由全称命题的否认为特称命题，所以命题“对任意的〞，都有的否认为“存在，使得〞.应选D.【点睛】此题主要考查了命题的否认，特别注意，命题中有全称量词时要否认为特称量词，属于根底题.4.圆与圆的公共点个数为【答案】D【解析】【分析】由两圆的圆心距可得两圆的位置关系，从而得解.【详解】圆的圆心为：，半径为1；圆，即的圆心为：，半径为3.圆心距为.所以两圆的位置关系为内切，故只有一个公共点.应选D.【点睛】此题主要考查了两圆的位置关系，属于根底题.5.设，那么“A.充分不必要〞是“直线B.必要不充分C.和直线充要条件D.平行〞的既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】先由两直线平行解得的值，再通过检验是否重合可得，从而得两命题的关系.【详解】假设直线和直线平行，可得：，解得或-2.当时，两直线分别为：3和，满足平行；当时，两直线分别为：和，两直线重合；所以“〞是“直线和直线平行〞的充要条件.应选C.【点睛】此题主要考查了两直线平行求参数值的问题。

两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：，，那么，需检验两直线是否重合，属于易错题型.6.曲线围成的封闭图形面积为B.【答案】D【解析】【分析】讨论的正负，去绝对值，再作图即可得解.【详解】由曲线，可得或或或.作出曲线如下图：所以封闭图形面积为.应选D.【点睛】此题主要考查了分类讨论思想去绝对值，及直线方程的作图，属于根底题.7.圆内过点的最短弦长为6，那么实数的值为B.1C.2D.【答案】B【解析】【分析】由直线与圆相交，利用垂径定理可得弦长最短时，圆心到直线的距离最大，进而得解.【详解】设圆的圆心为M(1,0).过点做直线与圆相交与B，C两点，设圆心到直线的距离为d，那么，假设，那么，又当时，距离最大，此时有，解得.应选B.【点睛】此题主要考查了直线与圆相交时的弦长公式，属于根底题.8.平面的法向量为，，那么直线与平面的位置关系为〔〕A.B.C.与相交但不垂直D.【答案】A【解析】.此题选择A选项.9.过点的直线与有两个不同的公共点，那么直线的倾斜角的范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先讨论斜率不存在时，再讨论斜率存在时，设出直线方程，由直线与圆有两个不同的交点，可得圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可.【详解】设直线的倾斜角为.假设直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，.直线斜率存在，设为k，那么过P的直线方程为y=kx+4，kx-y+4=0，假设过点(0,4)的直线l与圆有两个不同公共点，那么圆心到直线的距离，即即，解得或，即且，综上所述, ，应选：B.【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于根底题.10.方程不能表示圆，那么实数的值为C.【答案】A【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到的值，从而可得到不能表示圆时a的值.【详解】方程能表示圆，那么，解得，即.所以，假设方程不能表示圆，那么.应选A.【点睛】此题主要考查了圆的一般方程及正难那么反的数学思想.11.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A.B.C.D.【答案】A【解析】∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰〔Ｃ〕，〔D〕又∵将向右平移１个单位得，即应选A；【点评】此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减〞；12.假设圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，那么该圆的标准方程是()A.B.C.D.【答案】A【解析】考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：要求圆的标准方程，半径，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为〔a，b〕，由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：设圆心坐标为〔a，b〕〔a＞0，b＞0〕，由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d==r=1，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1〔舍去〕，把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-〔舍去〕，∴圆心坐标为〔2，1〕，那么圆的标准方程为：(x-2)2+(y-1)2=1．应选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，假设直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．二、填空题：本大题共4个小题，每题5分。

山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为(1)nn a n =-×，则该数列是（）A ．摆动数列B ．递减数列C ．递增数列D ．常数数列2．已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则17a a +=（）A ．18B ．17C ．16D ．153．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则A 与B 的关系为（）A ．互斥B ．相互对立C ．相互独立D ．相等4．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，4，x ，6，7，9，若该组数据的中位数与平均数相同，则该组数据的第60百分位数是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，2a 和6a 是方程29100x x -+=的两个根，则127lg lg lg a a a +++= （）A ．52B ．3C ．72D ．46．已知事件A ，B 互斥，A ，B 都不发生的概率为14，且()3()P A P B =，则(P A =（）A ．13B ．23C ．716D ．9167．已知{}n a 为等差数列，若4682πa a a ++=，则()39tan a a +的值为（）AB C ．3-D ．8．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（）A ．73B ．133C ．173D ．6二、多选题9．某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则（）A ．a 的值为0.030B ．抽取的考生中成绩在区间[80,90)有15人C ．5000名考生中约有10名成绩优秀D ．估计考生成绩的平均分小于中位数10．已知数列{}n a 满足2123(1)232n n n a a a na +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦，则（）A ．数列为等差数列B ．212n n n a a a +++<C ．112ini a =<∑D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为22n n+11．连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为p ，第二次向上的点数为q ，设p A q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则（）A ．1()2P p q >=B ．1(7)6P p q +==C ．事件7p q +=与3A =互斥D ．事件1q =与0A =相互对立三、填空题12．在数列{}n a 中，1111,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为．13．袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得101 -、、分，则两次得分之和为0分的概率为．14．质点每次都在四边形ABCD 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在A 点，则经过2次移动到达C 点的概率为，经过n 次移动到达C 点的概率为．四、解答题15．记n S 为数列的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)令2n an n b a =⋅，求数列的前n 项和n T .16．已知空气质量指数（AQI ）不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如下图表：空气质量指数（AQI ）频数（天）频率020x ≤<40.102040x ≤<60.154060x ≤<m t6080x ≤<n0.2580100x ≤<80.20100120x ≤<40.10合计101.00请根据以上信息，解答以下问题：(1)直接写出m ，n ，t 的值，并把频率分布直方图补充完整；(2)估计该市这40天空气质量指数(AQI)的平均数；(3)在选取的样本中，从空气质量指数(AQI)在区间[80)120，的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率.17．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足12nn na a a +=+.(1)求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：2n S <.18．甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为p ，平局的概率为2p，其中01p <<；甲队在客场获胜和平局的概率均为2p；点球大战甲队获胜的概率为p ，且不同对阵的结果互不影响．(1)若甲队先主场后客场，且12p =，（ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率；（ⅱ）求甲队获得冠军的概率；(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为2p ，平局的概率为2p，点球大战甲队获胜的概率为p ．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？19．已知数列{}n a 满足()*120,3,N n a a a n n ≤<<<≥∈ ，且对于每个1i j n ≤≤≤，至少有一个i j a a +或j i a a -仍是{}n a 中的项．(1)若23,3n a ==，求1a 和3a ；(2)若24,3n a ==，求43a a -；(3)若{}n a 的最后一项为2024，求数列{}n a 的前n 项和n S .。

2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。

2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 1．直线x −√3y +1=0的倾斜角为（ ） A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π62．双曲线2x 2﹣y 2＝8的渐近线方程是（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±√2xD ．y =±√22x3．直线x 4+y2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝04．已知随机事件A 和B 互斥，且P （A ∪B ）＝0.6，P （B ）＝0.3，则P(A)等于（ ） A ．0.8B ．0.7C ．0.5D ．0.25．圆x 2+y 2+4x ﹣2y ＝0和圆x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．6x ﹣2y +3＝0B ．x +3y ﹣1＝0C ．2x ﹣2y +3＝0D ．x ﹣3y ﹣1＝06．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．x 236+y 220=1（x ≠0） B ．x 220+y 236=1（x ≠0）C ．x 26+y 220=1（x ≠0）D ．x 220+y 26=1（x ≠0）7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示．其中n （Ω）＝12，n （A ）＝6，n （B ）＝4，n （A ∪B ）＝8，则事件A 与事件B （ ）A ．是互斥事件，不是独立事件B ．不是互斥事件，是独立事件C ．既是互斥事件，也是独立事件D ．既不是互斥事件，也不是独立事件8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O ，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，AB =12BC =CD ，则该双曲线的离心率为（ ）A．√2B．√62C．√3D．4√77二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线l：k2x﹣y﹣1＝0，则（）A．l不过第二象限B．l在y轴上的截距为1C．不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行D．存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为210．已知椭圆C：x 212−m +y2m−4=1(8＜m＜12)的焦距为4，则（）A．椭圆C的焦点在x轴上B．m＝10C．椭圆C的离心率为√63D．椭圆C的短轴长为2√211．已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（）A．直线l必过定点B．l与C可能相离C．l与C可能相切D．当a＝1时，l被C截得的弦长为4√5 512．目前我国的火力发电厂主要是燃煤发电．随着我国经济发展及经济结构的调整，火力发电要优化火力发电机组结构，建设高效超临界大型机组，加快关停小火电，降低发电煤耗率．近几年，通过自主研发与引进技术相结合，火电机组设计制造技术快速发展．与此同时，新型低污染燃烧技术和烟气排放控制技术及装备也已广泛应用于火力发电厂的生产过程．如图，某发电厂的冷却塔，它的外形线是双曲线，在平面直角坐标系中，若该双曲线C过点(20，10√6)，且渐近线方程为y=±√2x，点P是双曲线C上任意一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A ．若|PF 1|＝24，则|PF 2|＝4或44B ．以Q （20，10）为中点的弦所在直线方程为4x ﹣y ﹣70＝0C ．若P 在双曲线C 的右支上运动，则P 到直线√2x −y +2=0的距离均大于√3D ．若直线y ＝kx +1与双曲线C 的右支有且仅有一个公共点，则k 的取值范围为[−√20110，√2)三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是12，乙答对的概率是14，则此题有人答对的概率是 ．14．圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0上的点到直线x +y ﹣14＝0的最大距离是 ．15．F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是△PF 1F 2的内切圆圆心，若△PF 1F 2的面积等于△IF 1F 2的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为 ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心，C 的虚半轴长为半径的圆与C 的右支恰有两个交点，记为M 、N ，若四边形F 1MF 2N 的周长为4，则C 的焦距的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.除17题为10分外，18～22题均为12分.）17．（10分）根据所给条件求直线方程．（1）直线过点A （1，2），倾斜角α的正弦值为35；（2）直线过点A （1，3），且在两坐标轴上的截距之和为8． 18．（12分）已知圆C 的方程为x 2+y 2＝4．（1）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=2√3，求直线l 的方程； （2）点P （x ，y ）为圆上任意一点，求x +y +2的最大值和最小值．19．（12分）已知P 是圆x 2+y 2＝4上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足DM →=12DP →，当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线F ． （1）求曲线F 的方程；（2）设A （﹣2，0），B （2，0），Q 是曲线F 上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线QA 、QB 的斜率之积为定值．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =12x ，且双曲线C 过点(2√2，1)．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点M （3，0）的直线与双曲线C 的左、右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得|AM |•|BM |＝10成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2（|F 1F 2|＜10），上顶点为A ，AF 1⊥AF 2，且F 1到直线l ：x −√2y +5=0的距离为4√33． （1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上； （3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且|MN|=2√3，求△PMN 面积的取值范围．22．（12分）杭州2022年第19届亚运会（The 19thAsianGamesHangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A ，B ，C ，D ，其中A 对阵其他三个队伍获胜概率均为p ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12．最初分组时AB 同组，CD同组．（1）若p=34，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 1．直线x −√3y +1=0的倾斜角为（ ） A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π6解：直线x −√3y +1＝0的斜率为k =√33，设倾斜角为α，可得tan α=√33，由0≤α＜π，且α≠π2，可得α=π6，故选：D ．2．双曲线2x 2﹣y 2＝8的渐近线方程是（ ） A ．y =±12xB ．y ＝±2xC ．y =±√2xD ．y =±√22x解：双曲线2x 2﹣y 2＝8的标准方程为x 24−y 28=1，所以a ＝2，b ＝2√2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±√2x ．故选：C ．3．直线x 4+y2=1与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1＝0B ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0C ．x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0D ．x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0解：直线x 4+y2=1在x ，y 轴上的截距分别为4，2，即A （4，0），B （0，2）则AB 的中点坐标为（2，1），且|AB |=2√5，∴以线段AB 为直径的圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5，即x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 故选：B ．4．已知随机事件A 和B 互斥，且P （A ∪B ）＝0.6，P （B ）＝0.3，则P(A)等于（ ） A ．0.8B ．0.7C ．0.5D ．0.2解：因为随机事件A 和B 互斥，且P （A ∪B ）＝0.6，P （B ）＝0.3， 所以P （A ）＝P （A ∪B ）﹣P （B ）＝0.6﹣0.3＝0.3， 故P （A ）＝1﹣P （A ）＝1﹣0.3＝0.7． 故选：B ．5．圆x 2+y 2+4x ﹣2y ＝0和圆x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．6x ﹣2y +3＝0B ．x +3y ﹣1＝0C ．2x ﹣2y +3＝0D ．x ﹣3y ﹣1＝0解：化圆x2+y2+4x﹣2y＝0为（x+2）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心坐标为（﹣2，1），化圆x2+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）2+y2＝4，则圆的圆心坐标为（1，0）．过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线，则弦AB的垂直平分线的方程是y−01−0=x−1−2−1，即x+3y﹣1＝0．故选：B．6．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．x236+y220=1（x≠0）B．x220+y236=1（x≠0）C．x26+y220=1（x≠0）D．x220+y26=1（x≠0）解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是x220+y236=1(x≠0)故选：B．7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，则事件A与事件B（）A．是互斥事件，不是独立事件B．不是互斥事件，是独立事件C．既是互斥事件，也是独立事件D．既不是互斥事件，也不是独立事件解：∵一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，∴A∩B≠∅，且A∩B≠∅，P（A）=612=12，P（B）=412=13，P（B）＝1−13=23，∵P（A∪B）=812=23，∴P（A∩B）＝1−23=13，∵P（A）P（B）=12×23=13，∴事件A与事件B是独立事件．故选：B．8．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB=12BC=CD，则该双曲线的离心率为（）A．√2B．√62C．√3D．4√77解：以O为原点，AD所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)，不妨设AB＝BO＝OC＝CD＝1，则该双曲线过点(√2，√2)，且a＝1，所以21−2b2=1，解得b2＝2，所以c2＝a2+b2＝3，得c=√3，所以双曲线的离心率为e=ca=√3，故选：C．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线l：k2x﹣y﹣1＝0，则（）A．l不过第二象限B．l在y轴上的截距为1C．不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行D．存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2解：对于A：当x＜0时，y＝k2x﹣1＜0恒成立，即l不过第二象限，故A正确；对于B：令x＝0，y＝﹣1，即l在y轴上的截距为﹣1，故B错误；对于C：若直线y＝k2x﹣1和y＝kx﹣1平行，则k2＝k，且﹣1≠﹣1，与﹣1＝﹣1矛盾，即不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行，故C正确；对于D：若l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2，则直线l到圆心的距离为√3，但是圆心到直线l的距离√1+k4√3，即不存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2，故D错误；故选：AC．10．已知椭圆C：x 212−m +y2m−4=1(8＜m＜12)的焦距为4，则（）A．椭圆C的焦点在x轴上B．m＝10C．椭圆C的离心率为√63D．椭圆C的短轴长为2√2解：∵椭圆C：x212−m+y2m−4=1(8＜m＜12)的焦距为4，∴m﹣4﹣（12﹣m）＝22，化为2m＝20，解得m＝10，∴椭圆C的方程为：y26+x22=1，∴椭圆C的焦点在y轴上，a=√6，b=√2，c=√6−2=2，∴离心率e=√6=√63，短轴长为2b＝2√2，因此只有BCD正确．故选：BCD．11．已知直线l：（1+a）x+y+1＝0（a∈R）与圆C：x2+y2＝1，则下列结论正确的是（）A．直线l必过定点B．l与C可能相离C．l与C可能相切D．当a＝1时，l被C截得的弦长为4√5 5解：直线方程即ax+（x+y+1）＝0，据此可得直线恒过定点（0，﹣1），选项A正确；由于点（0，﹣1）在圆上，故直线与圆相交或相切，不可能相离，选项B错误，C正确；当a＝1时，直线方程为2x+y+1＝0，圆心到直线的距离d=15=√55，则弦长为2×√1−15=4√55，选项D正确．故选：ACD．12．目前我国的火力发电厂主要是燃煤发电．随着我国经济发展及经济结构的调整，火力发电要优化火力发电机组结构，建设高效超临界大型机组，加快关停小火电，降低发电煤耗率．近几年，通过自主研发与引进技术相结合，火电机组设计制造技术快速发展．与此同时，新型低污染燃烧技术和烟气排放控制技术及装备也已广泛应用于火力发电厂的生产过程．如图，某发电厂的冷却塔，它的外形线是双曲线，在平面直角坐标系中，若该双曲线C过点(20，10√6)，且渐近线方程为y=±√2x，点P是双曲线C上任意一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A．若|PF1|＝24，则|PF2|＝4或44B．以Q（20，10）为中点的弦所在直线方程为4x﹣y﹣70＝0C．若P在双曲线C的右支上运动，则P到直线√2x−y+2=0的距离均大于√3D．若直线y＝kx+1与双曲线C的右支有且仅有一个公共点，则k的取值范围为[−√20110，√2)解：∵在平面直角坐标系中，若该双曲线C过点(20，10√6)，且渐近线方程为y=±√2x，点P是双曲线C上任意一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，∴设所求双曲线方程为2x2﹣y2＝λ，该双曲线C过点(20，10√6)，∴λ＝800﹣600＝200，∴该双曲线方程为x2100−y2200=1，∴a＝10，b=10√2，c=10√3，∴c﹣a＝10（√3−1），对A选项，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝20，又|PF1|＝24，∴|24﹣|PF2||＝20，∴|PF2|＝4或44，但4＜c﹣a＝10（√3−1），∴|PF2|＝44，∴A选项错误；对B选项，设以Q（20，10）为中点的弦所在直线与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则{x1+x2=40y1+y2=20，且{2x12−y12=2002x22−y22=200，∴2(x12−x22)−(y12−y22)=0，∴2−y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=0，∴2−k AB×2040=0，∴k AB＝4，∴以Q（20，10）为中点的弦所在直线方程为y﹣10＝4（x﹣20），即4x﹣y﹣70＝0，∴B选项正确；对C选项，∵双曲线x2100−y2200=1的渐近线方程为√2x±y=0，而直线√2x−y+2=0与渐近线√2x−y=0的距离d=2√2+1=2√33，∴若P在双曲线C的右支上运动，则P到直线√2x−y+2=0的距离均大于d=2√33，∴C选项错误；对D选项，当y＝kx+1与双曲线C的右支相切时，联立{y=kx+12x2−y2=200，可得（2﹣k2）x2﹣2kx﹣201＝0，Δ＝4k2+4×201×（2﹣k2）＝0，∴k2=201100，∴k=±√20110，又渐近线斜率为±√2，∴若直线y＝kx+1与双曲线C的右支有且仅有一个公共点，则k的取值范围为[−√20110，√2)，∴D选项正确．故选：BD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是12，乙答对的概率是14，则此题有人答对的概率是58．解：某题甲答对的概率是12，乙答对的概率是14，此题有人答对的概率是1﹣（1−12）（1−14）=58．故答案为：5 8．14．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣14＝0的最大距离是8√2．解：把圆的方程化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，所以圆心A坐标为（2，2），而直线x+y﹣14＝0的斜率为﹣1，则过A与直线x+y﹣14＝0垂直的直线斜率为1，直线方程为：y﹣2＝x﹣2即y＝x，与圆方程联立得：{(x−2)2+(y−2)2=18y=x解得{x=5y=5或{x=−1y=−1，则（5，5）到直线的距离=1+1=2√2，所以（﹣1，﹣1）到直线的距离最大，最大距离d=|−1−1−14|√1+1=8√2故答案为：8√215．F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是△PF1F2的内切圆圆心，若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为12．解：由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方，设点P纵坐标为y P，点I纵坐标为y I，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，则S△PF1F2=12y P•|F1F2|＝3S△IF1F2=3×12y I•|F1F2|，得y P＝3y I，又S△PF1F2=S△IF1F2+S△IF1P+S△IPF2，即12y P•|F1F2|=12r•|F1F2|+12r•|PF1|+12r•|PF2|，又y I＝r，化简得y P•|F1F2|＝y I（|F1F2|+|PF1|+|PF2|），即3×2c＝2c+2a，解得a＝2c，可得离心率为ca=12．故答案为：1 2．16．已知双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N，若四边形F1MF2N的周长为4，则C的焦距的取值范围为[√2，2)．解：由题意得点M、N关于x轴对称，且|MF2|＝b，由双曲线的定义得|MF1|＝b+2a，由题意可|MF1|+|MF2|＝2a+2b＝2，即a+b＝1，则b∈（0，1），∴c2=a2+b2=(1−b)2+b2=2b2−2b+1=2(b−12)2+12∈[12，1)，∴√22≤c＜1，即√2≤2c＜2．当b=12时，a=12，c=√22，此时b＞c﹣a，即此时以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，符合题意，故C的焦距的取值范围为[√2，2)．故答案为：[√2，2)．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.除17题为10分外，18～22题均为12分.）17．（10分）根据所给条件求直线方程．（1）直线过点A（1，2），倾斜角α的正弦值为3 5；（2）直线过点A（1，3），且在两坐标轴上的截距之和为8．解：（1）由sinα=35，且α∈[0，π），得cosα=±√1−sin2α=±45，当cosα=45时，tanα=34，即直线的斜率为34，直线方程为y=34(x−1)+2，即3x﹣4y+5＝0，当cosα=−45时，tanα=−34，即直线的斜率为−34，直线方程为y=−34(x−1)+2，即3x+4y﹣11＝0．综上所述，所求直线方程为3x﹣4y+5＝0或3x+4y﹣11＝0；（2）由题意设直线的截距式方程为xa+y8−a=1，代入点（1，3）可得1a +38−a=1，解得a＝2或a＝4，∴所求直线的方程为x2+y6=1或x4+y4=1，即3x+y﹣6＝0或x+y﹣4＝0；18．（12分）已知圆C的方程为x2+y2＝4．（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2√3，求直线l的方程；（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求x+y+2的最大值和最小值．解：（1）圆C的圆心为坐标原点O，半径为r＝2，设圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =√r 2−(|AB|2)2=1， ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 由题意可得d =√k +1=1，解得k =34，此时直线l 的方程为3x ﹣4y +5＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． （2）方法一：设x +y +2＝t ．联立{x 2+y 2=4x +y +2=t 可得，2x 2+（4﹣2t ）x +t 2﹣4t ＝0．因为直线与圆有交点，所以Δ≥0．又Δ＝（4﹣2t ）2﹣4×2×（t 2﹣4t ）＝﹣4（t 2﹣4t ﹣4）， 所以t 2﹣4t ﹣4≤0，解得2−2√2≤t ≤2+2√2． 所以x +y +2的最大值是2√2+2，最小值是2−2√2；方法二：因为（x +y ）2＝x 2+y 2+2xy ≤2（x 2+y 2）＝8，当且仅当x =y =±√2等号成立， 所以−2√2≤x +y ≤2√2．所以x +y +2的最大值是2√2+2，最小值是2−2√2． 方法三，换元：令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，θ∈[0，2π）， 则x +y +2=2cosθ+2sinθ+2=2√2sin(θ+π4)+2，因为θ∈[0，2π），所以π4≤θ+π4＜9π4，所以−1≤sin(θ+π4)≤1，所以x +y +2的最大值是2√2+2，最小值是2−2√2．19．（12分）已知P 是圆x 2+y 2＝4上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，点M 满足DM →=12DP →，当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线F ． （1）求曲线F 的方程；（2）设A （﹣2，0），B （2，0），Q 是曲线F 上不同于A 、B 的任意一点．求证：直线QA 、QB 的斜率之积为定值．解：（1）设P （x 0，y 0），M （x ，y ），则D （x 0，0），由DM →=12DP →得：{x 0=x y 0=2y ，由题意，x 02+y 02=4，得x 2+4y 2＝4．所以曲线的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：设Q （x 1，y 1），则x 124+y 12=1，由题意知：k QA k QB 存在．∴k QA ⋅k QB=y 12x 12−4=−14，∴直线QA 、QB 的斜率之积为定值−14．20．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =12x ，且双曲线C 过点(2√2，1)．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点M （3，0）的直线与双曲线C 的左、右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得|AM |•|BM |＝10成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，{b a =128a 2−1b 2=1，解得：{a =2b =1，所以双曲线C 的标准方程是x 24−y 2=1； （2）假定存在直线 AB ，使得|AM |•|BM |＝10成立，显然AB 不垂直于 y 轴，否则|AM |•|BM |＝5， 设直线AB ：x ＝my +3， 由{x =my +3x 2−4y 2=4消去x 并整理得：（m 2﹣4）y 2+6my +5＝0， 因直线AB 与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 于是得{m 2−4≠0Δ=36m 2−20(m 2−4)=16(m 2+5)＞0，y 1+y 2=−6m m 2−4，y 1y 2=5m 2−4，则有m 2＞4，即m ＜﹣2或m ＞2， 因此，|AM |•|BM |=√1+m 2•|y 1﹣0|•√1+m 2•|y 2﹣0|＝（1+m 2）•|y 1y 2|=5(1+m 2)m 2−4=10，解得m ＝±3，所以存在直线 AB ，使得|AM |•|BM |＝10成立，此时直线AB 的方程为：x ﹣3y ﹣3＝0或x +3y ﹣3＝0． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2（|F 1F 2|＜10），上顶点为A ，AF 1⊥AF 2，且F 1到直线l ：x −√2y +5=0的距离为4√33． （1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上； （3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且|MN|=2√3，求△PMN 面积的取值范围．解：（1）根据题意可得{b=c|−c+5|3=4√33a2=b2+c2c＜5，解得{b=c=1a=√2，∴C的方程为x22+y2=1；（2）证明：设这组平行线的方程为x−√2y+m=0，联立x22+y2=1，得4y2−2√2my+m2−2=0，设两交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），∴Δ=(2√2m)2−16(m2−2)＞0，∴﹣2＜m＜2，∴{y1+y2=√22my1y2=−12，设直线x−√2y+m=0被C截得的线段的中点为B（x，y），则y=y1+y22=√24m，∴x=√2y−m=−m2，消去m，得x+√2y=0，∴这些直线被C截得的线段的中点均在直线x+√2y=0上；（3）由（2）知，l与C相离，当直线x−√2y+m=0与C相切时，Δ=(2√2m)2−16(m2−2)=0，解得m＝﹣2或m＝2．当m＝﹣2时，直线与l的距离为d1=|5+2|√3=7√33，此时S△PMN=12×2√3×7√33=7，当m＝2时，直线与l的距离为d2=|5−2|√3=√3，此时S△PMN=12×2√3×√3=3，∴△PMN面积的取值范围为[3，7]．22．（12分）杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为12．最初分组时AB同组，CD同组．（1）若p=34，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？解：（1）记A，C拿到冠军分别为事件M，N，淘汰赛赛制下，A只需要连赢两场即可拿到冠军，因此P(M)=34×34=916，对于C想拿到冠军，首先得战胜D，然后战胜A，C中的胜者，因此P(N)=12×34×14+12×14×12=532；（2）记淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为p1，p2，则p1=p2，而双败赛制下，A获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军，因此p2=p3+p(1−p)p2+(1−p)p3=p3(3−2p)，显然0＜p＜1，∵p﹣p1＝p（1﹣p）＞0，p−p2=p(p−1)2(2p+1)＞0，则不论哪种赛制下，A获得冠军的概率均小于p，∵p2−p1=p2(1−p)(2p−1)，若12＜p＜1时p2﹣p1＜0，即p2＜p1，则双败赛制下，A队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，若0＜p＜12时p2﹣p1＞0，即p2＞p1，则双败赛制下，A队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．。

2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷一、选择题1. 若直线l 1：y =2x +1与l 2：(3m +1)x −2y +5=0平行，则m =( ) A.2 B.1 C.−2 D.−12. 过A (2,6)，B (1,−6)两点的直线的斜率为( ) A.112 B.−12 C.12D.−1123. 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,6)，B (1,−6)，C(5,2)，M 为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为( )A.8x +y −26=0B.10x +y −26=0C.10x −y −34=0D.8x +y −22=04. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA →1=c →，且|a →|=2，则(a →+b →)⋅(a →−c →)=( ) A.3 B.1 C.4 D.25. 直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，且∠BAD =π3，则|AC 1→|=( )A.4B.2√3C.3√3D.√106. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，若点P 在侧面BCC 1B 1（不含边界）内运动，AP ⊥BD 1，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BD 与AP 所成角的余弦值是( )A.3√1313B.√1326C.3√1326D.√13137. 已知P ，A ，B ，C 四点满足PA →=(1,1,−3)，PB →=(2,−1,1)，PC →=(3,4,m )，且P ，A ，B ，C 四点共面，则m =( ) A.−343 B.113C.343D.−138. 已知在四面体ABCD 中，AB =CD =√10，AC =BD =√13，AD =BC =√5，M 为棱AB 的中点，DN →=13DC →，连接MN ，则点A 到MN 所在直线的距离的平方为( )A.1011 B.6977C.6577D.369154二、多选题以下关于向量的说法中正确的是( ) A.若a →与b →共线，b →与c →共线，则a →与c →共线B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C.若a →=−b →且b →=−c →，则a →=c →D.若a →=b →，则|a →|=|b →|在四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，BD 上的点，且BEEC =BFFD =2，则EF →−AC →+AD →=( ) A.89CD →B.52EF →C.53CD →D.43EF →已知直线l 与函数y =log 2x 的图象有两个交点P (a,b )，Q (c,d )，且PQ 的中点在x 轴上，则下列说法正确的是( ) A.a +c =1B.l 的斜率大于0C.l 在x 轴的截距大于1D.ac =1在三棱锥P −ABC 中，以下说法正确的有( )A.若PA =PB =PC =2，AB =AC =BC =2√2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|=2 B.若2AD →=AB →+AP →，则BP →=3BD →C.若T 为△ABC 的重心，则2PT →+AT →=PB →+PC →D.若PA →⋅AC →=0，PA →⋅AB →=0，则PA →⋅BC →=0 三、填空题已知直线l 的方向向量m →=(1,−2,3)，平面α的法向量n →=(t,t +1,−1)，若l//α，则t =________.已知直线l:x 2+y6=1与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________.设A (1,1)，B (3,5)，C (5,3)，D (0,−7)，E (2,−3)，F (8,−6)，若直线l 分别与△ABC 及△DEF 各恰有一个交点，则直线l 的斜率的最小值为________.如图，已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形，E 为棱AB 的中点，AF →=13AD →，AG →=2GA 1→，AC 1与平面EFG 交于点M ，则AMAC 1=________.四、解答题在①它的倾斜角比直线y =√3x −1的倾斜角小π12，②与直线x +y −1=0垂直，③在y 轴上的截距为−1，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知直线l 过点(2,1)，且________，求直线l 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在多面体ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，四边形AA 1B 1B 是菱形，AA 1//CC 1，AA 1=2CC 1=4，∠AA 1B 1=60∘.C 1A 1=C 1B 1=√5.(1)若点G 是AB 1的中点，证明：CG//平面A 1B 1C 1；(2)求点C 1到平面ABC 的距离．如图，三棱锥P −ABC 中的三条棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∠PBA =π6，点D 满足PB →=4PD →.(1)证明：PB ⊥平面ACD ；(2)若AP =AC ，求异面直线CD 与AB 所成角的余弦值．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．(1)证明：CD ⊥B 1D ；(2)若BC =√3，求二面角B −C 1D −B 1的余弦值．如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O ，O 1，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的三条侧棱均为圆柱的母线，且AB =AC=√306OO 1，点P 在轴OO 1上运动．(1)证明：不论P 在何处，总有BC ⊥PA 1；(2)当点P 为OO 1的中点时，求PB 1与平面A 1PB 所成角的正弦值．如图，已知菱形ABCD 的边长为1,∠BAD =π3，将菱形ABCD 沿着AD 翻折到AEFD 的位置，连接CF ，BE ，CE ．(1)证明：BE//平面FCD ．(2)在翻折的过程中，能否使得BE 与平面ECD 所成的角的正弦值为2√1313？若能，求出二面角B −AD −E 的大小；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】直线的三般式方疫直线的验我式方程中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】空间向量射数量象运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】空间向射的数乘放算向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】用空明向研求提线你的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】空间因印的每角与泡离求解公式点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用向量水较线定理单体向白【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相似三来形的循质向量三减弧合引算及码几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函验立零点中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向量三减弧合引算及码几何意义数量积常断换个平只存量的垂直关系向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量空间向来的加获法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定用空射向空求直式与夏面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用向体证决垂直异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空射向空求直式与夏面的夹角直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020—2021学年度第一学期期中学业水平检测高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2021x =的倾斜角为（ ） A. 90︒ B. 0︒C. 180︒D. 45︒【答案】A 【分析】由直线与x 轴垂直可得倾斜角．【详解】直线2021x =与x 轴垂直，∴倾斜角为90︒． 故选：A ．2. 已知向量(1,2,),(,1,2)a t b t ==，且a b ⊥，则实数t =（ ） A. 1 B. 1-C. 23-D.23【答案】C 【分析】由0a b ⋅=计算可得．【详解】∵a b ⊥，∴220a b t t ⋅=++=，解得23t =-． 故选：C ．3. 若直线1:10l ax y ++=与直线2:210l x ay a ++-=平行，则实数a =（ ） A. 1 B. 1-C. 0D. ±1【答案】B 【分析】根据两直线平行可得到各项系数所满足的关系式，进而求得结果.【详解】由两直线平行知：21021a a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：1a =-.故选：B.【点睛】结论点睛：若直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=，12210B C B C -≠或12210AC A C -≠.4. 已知三棱柱111ABC A B C -，点P 为线段11B C 的中点，则AP =（ ）A. 11122AB AC AA ++ B. 11122AB AC AA ++ C. 11122AB AC AA +-D. 11122AB AC AA ++【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可【详解】解：在三棱柱111ABC A B C -，点P 为线段11B C 的中点，则111111111,,2AB A B BC B C B P PC B C ====， 所以111111112AP AA A P AA A B B C =+=++11()2AA AB BA AC =+++11122AB AC AA =++， 故选：D5. 已知二面角l αβ--的大小为60︒，,A B 为棱l 上不同两点，,C D 分别在半平面, αβ内，,AC BD 均垂直于棱l ，22AC BD AB ===，则异面直线CD 与AB 所成角的余弦值为A.15B.5 C.13D.12【答案】B 【分析】在平面β内作//AE BD ，且AE BD =，得//DE AB ，CDE ∠（或其补角）是异面直线CD 与AB 所成角．在CED 中求解即可得．【详解】如图，在平面β内作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，则AEDB 是平行四边形，所以1DE AB ==，//DE AB ，CDE ∠（或其补角）是异面直线CD 与AB 所成角． 因为AB BD ⊥，所以AB AE ⊥，又AB AC ⊥，所以EAC ∠是二面角l αβ--的平面角，即60EAC ∠=︒，2AC AE ==，所以2EC =，又AC AE A ⋂=，所以AB ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，所以AB EC ⊥，由//DE AB 得DE EC ⊥，所以2222215CD EC ED =+=+=．5cos 5DE CDE CD ∠===． 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．作平行线构造三角形，得出异面直线所成的角（并证明）．然后计算．6. 若过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，则l 的倾斜角的取值范围为（ ） A. ,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】C先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】由22430x x y -++=得()2221x y -+=，所以圆()2221x y -+=的圆心为()2,0，半径为1r =，因此为使过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，直线l 的斜率必然存在， 不妨设直线l 的方程为：y kx =，即0kxy0k r 21k ，整理得213k <，解得33k -<<，记l 的倾斜角为θ，则33tan θ， 又[)0,θπ∈，所以50,,66ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：C.7. 已知椭圆22:14x C y +=上两点,A B ，若AB 的中点为D ，直线OD 的斜率等于1，则直线AB 的斜率等于（ ） A. 1- B. 1C. 12-D. 14-【答案】D 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)D x y ，把,A B 两点坐标代入椭圆方程相减后可得AB k 与OD k 的关系，从而得出结论．【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)D x y ，1201202,2x x x y y y +=+=，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222121204x x y y -+-=，整理得01212121201144xy y x x x x y y y -+=-⋅=-⋅-+，即11144AB OD k k =-⋅=-． 故选：D ．【点睛】方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点00(,)D x y ，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得AB k 与OD k 的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．8. 已知圆222:()0O x y r r +=>1=交于, A B两点，且AB =O 与函数()ln(1)f x x =-的图象交点个数为（ ）个A. 2B. 1C. 0D. 3【答案】A 【分析】由弦长求得半径r ，确定圆过点(2,0)，而函数()f x 是增函数，也过点(2,0)，从而可得结论．【详解】圆心O 到直线AB 的距离为1d ==，又AB =，所以2r ==，所以圆O 过点(2,0)，而函数()ln(1)f x x =-在(1,)+∞上增函数，且过点(2,0)，因此它们有2个交点． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（ ） A. 直线l 的斜率可以等于0 B. 直线l 的斜率有可能不存在C. 直线l 可能过点(2,1)D. 若直线l 的横纵截距相等，则1m =± 【答案】BD 【分析】根据直线方程判断斜率AB ，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C ，求出横纵截距可判断D ．【详解】0m =时，斜率不存在，0m ≠时，斜率不等于0，A 错；B 正确；2110m m -+-=≠，(2,1)不在直线上，C 错；0m =时，纵截距不存在，0m ≠时，令0x =得1m y m-=，令0y =，1x m =-，由11m m m-=-得1m =±，D 正确． 故选：BD ．10. 已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是（ ）A. 椭圆C 的长轴长为10B. 椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3)C. 椭圆C 的离心率等于35D. 若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ = 【答案】ACD 【分析】椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c ，然后判断各选项．【详解】由已知椭圆标准方程为2212516x y +=，则5,4a b ==，∴3c =． 长轴长为210a =，A 正确；两焦点为(3,0),(3,0)-，B 错误；离心率为35c e a ==，C 正确； 3x =代入椭圆方程得2216325400y ⨯+=，解得165y =±，∴325PQ =，D 正确．故选：ACD ．11. 已知点()11,0F -，()21,0F，动点P 到直线2x =的距离为d ，22PF d =，则（ ） A. 点P 的轨迹是椭圆B. 点P 的轨迹曲线的离心率等于12C. 点P 的轨迹方程为2212x y +=D. 12PF F △的周长为定值【答案】AC 【分析】设(),P x y ，根据22PF d =整理可得轨迹方程，利用轨迹方程依次判断各个选项即可得到结果.【详解】设(),P x y ，则2PF =2d x =-，22PF d =，()()2221122x y x -+∴=-，整理可得：2212x y +=， 即P 点轨迹方程为2212x y +=，C 正确；由方程知P 点轨迹为椭圆，A 正确；由方程得：a =1c =，∴离心率2c e a ==，B 错误；由椭圆定义知：12PF F △周长为222a c +=，D 错误. 故选：AC.12. 已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线AC 与BD 所成角为60︒B. 点A 到平面BCDC. 四面体ABCDD. 动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误.【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误； 在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF ==即点A 到平面BCD 的距离为3,故B正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即OF AO =所以四面体ABCD 的外接球体积334433V R OA ππ===,故C 正确；建系如图：0,0,,0,33A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则,,AP x y AC →→⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=24192y +=，83y +，平方化简可得：2240039y x y ---，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 圆221:40C x y x ++=与圆222:(2)(1)9C x y -+-=的位置关系为___________.【答案】相交 【分析】根据两圆的方程，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由圆221:(2)4C x y ++=和圆222:(2)(1)9C x y -+-=，可得两圆的圆心分别为12(2,0),(2,1)C O -，半径分别为122,3r r ==， 所以()()2212121220117C C r r <--+-=<+，所以两圆相交.故答案为：相交.14. 已知椭圆2219x y m +=的离心率等于13，则实数m =__________. 【答案】8或818分析】讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数m 的值. 【详解】当椭圆的焦点在x 轴时，2a m =，29b =，29c m =-， 所以919m m -=，解得：818m =，当椭圆的焦点在y 轴时，29a =，2b m =，29c m =-， 所以9199m -=，解得：8m =. 故答案为：8或81815. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为______________. 【答案】33【分析】作1//PE CC 交AC 于E ，可得PE ⊥平面ABCD ，由平行线的性质求得PE 即可． 【详解】作1//PE CC 交AC 于E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，13AC =，由1//PE CC 得11PE AP CC AC =，所以11333AP CC PE AC ⋅===． 故答案为：33．16. 在平面直角坐标系中，()1,2A ，()2,1D ，点,B C 分别在x 轴、y 轴上，则（1）AB BD +的最小值是_________；（2）AC CB BD ++的最小值是_________. 【答案】(1).(2). 【分析】（1）求得A 关于x 轴的对称点A '后，由AB BD A D '+≥可求得结果； （2）求得A 关于y 轴的对称点A ''和D 关于x 轴的对称点D 后，由AC CB BD ++A D '''≥可求得结果.【详解】（1）点A 关于x轴的对称点A '的坐标为()1,2-，则AB BD A B BD A D ''+=+≥（当且仅当,,A B D '三点共线时取等号），()min AB BD A D ∴+==='（2）点A 关于y 轴的对称点A ''的坐标为()1,2-；点D 关于x 轴的对称点D 的坐标为()2,1-，则AC CB BD A C CB BD A D ''''''++=++≥（当且仅当,,,A C B D '''四点共线时取等号），()min AC CB BD A D '''∴++===；【点睛】思路点睛：本题考查两定点到动点的距离之和的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是求得某点关于动点所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，确定三点共线时取最值.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知O 为坐标原点，直线:10+--=l ax y a （R a ∈），圆22:1O x y +=.（1）若l 的倾斜角为120︒，求a ；（2）若l 与直线0:20l x y -=的倾斜角互补，求直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离；（3）求点O 到l 的最大距离及此时a 的值. 【答案】（1）3；（2）351-；（3）2；1.【分析】（1）由题意可知tan1203a =-=-，从而可求出a 的值；（2）由题意可知两直线的斜率互为相反数，可得2a =，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，可得直线与圆相离，从而可得直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离为1d -，（3）直线l 恒过定点(1,1)W ，所以O 到l 的距离小于等于||2OW =OW l ⊥时，距离最大，从而可得结果【详解】（1）由题知：直线l 的斜率等于tan1203a =-=-， 解得3a =（2）因为l 与直线0:20l x y -=的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数， 所以2a -=-，即2a =，所以:230l x y +-=，则圆心O 到直线l 的距离3515d => ， 所以直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离为3515- ， （3）直线l 恒过定点(1,1)W ， 所以O 到l 的距离小于等于||2OW =，所以当OW l ⊥时，点O 到l 的最大距离为||2OW =1OW l k k ⋅=-，解得1a =18. 在平面直角坐标系中，圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，圆心C 到直线0x y +=的距离等2.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，四边形MACB 的面积为3，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；（2）()()22114x y -+-=. 【分析】（1）由题意可知，圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =，可设圆心(),C a a ，由圆心C 到直线0x y +=的距离等于2可求得实数a 的值，进而可求得圆C 的标准方程； （2）推导出Rt CAM Rt CBM ≅△△，可得出四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=，进一步可求出2CM =，可得出点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，进而可求得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）直线EF 的斜率为01110EF k -==--，线段EF 的中点为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以，线段EF 的垂直平分线的方程为1122y x -=-，即y x =， 因为圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，所以圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =上， 所以可设圆心为(),C a a ，因为圆心C 到直线0x y +=的距离等于2，所以222a =，解得1a =±，当1a =时，圆心为()1,1，半径1r EC ==，圆C 的方程为：()()22111x y -+-=； 当1a =-时，圆心为()1,1--，半径5r EC ==，圆C 的方程为：()()22115x y +++=.所以圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=； （2）由题知CA MA ⊥，CB MB ⊥，CA CB =，CM CM =，90CAM CBM ∠=∠=，所以，Rt CAM Rt CBM ≅△△， 所以四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=，因为1CA =，所以3AM =，所以2224CMCA AM =+=，所以2CM =，点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆， 所以点M 的轨迹方程为：()()22114x y -+-=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.19. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点.（1）如果4PD =，求证：PC ⊥平面MAD ；（2）当BP 与平面MBD 所成角的正弦值最大时，求三棱锥D MBC -的体积V . 【答案】（1）证明见解+析；（2）163. 【分析】（1）结合PCD 为等腰三角形可证PC DM ⊥，再由线面垂直判定定理可证AD ⊥平面PCD ，得到AD PC ⊥，进而得证；（2）设PD t =，以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，结合向量表示出线面角的正弦值，结合基本不等式求得t 值，再由体积公式计算即可【详解】证明：（1）在PDC △中，PD DC =，M 为PC 中点， 所以PC DM ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，又因为AD CD ⊥，PD CD D ⋂=， 所以AD ⊥平面PCD ， 因为PC ⊂平面PCD ， 所以AD PC ⊥， 因为ADDM D =，所以PC ⊥平面MAD ；（2）设PD t =，以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DP 所在方向为,,x y z 轴正方向，建立O xyz -空间直角坐标系，则()()0,0,0,4,4,0,0,2,2t D B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()0,0,P t ，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z =，所以()0,2,,4,4,02D t DB M ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()4,4,BP t =-- 所以00n DM n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202440t y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =，可得41,1,n t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以BP与平面MBD的法向量n所成角的正弦值为1cos,3BP n ==≤（当且仅当22256tt=，即4t=时等号成立），所以三棱锥D MBC-的体积11111644424433D MBC M DBC P DBC P ABCDV V V V----====⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的证明，由线面角的关系求解具体线段长度，锥体体积公式的应用，具体用到以下方法：（1）线面垂直的证明：常通过证线线垂直证线面垂直，线线垂直常通过几何性质（等腰、等边三角形、矩形、正方形）或勾股定理证明，也可通过线面垂直的性质证线线垂直；（2）已知二面角大小求解具体线段长度或确定动点位置问题常通过建系法求解，合理建系和正确求解点坐标与法向量是解题关键20.在平面直角坐标系中，(10,C，圆(222:12C x y+=，动圆P过1C且与圆2C 相切.（1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）若直线l过点()0,1，且与曲线C交于A、B，已知AB的中点在直线14x=-上，求直线l的方程.【答案】（1）2213yx+=；（2）1y x=+或31y x.【分析】（1）由题意可知，圆P内切于圆2C，根据椭圆的定义可知，P点的轨迹是以1C、2C为焦点的椭圆，计算出a、b的值，结合焦点的位置可求得轨迹C的标准方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为1y kx=+，设点()11,A x y、()22,B x y，将直线l的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，根据12124x x+=-可得出关于k的方程，求出k 的值，即可求得直线l 的方程.【详解】（1）设动圆P 的半径为r ，由于1C 在圆2C 内，所以，圆P 内切于圆2C ， 由题意知：1PC r =，223PC r =-所以12122322PC PC C C +=>=， 所以P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆.其长轴长223a =，焦距为222c =，221b a c -=，所以曲线C 的标准方程为：2213y x +=；（2）若直线l 的斜率不存在，则A 、B 关于x 轴对称，不合题意； 若直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将1y kx =+代入2213y x +=得：()223220k x kx ++-=，()()2224831220k k k ∆=++=+>，所以12223kx x k +=-+，所以1221=234x x k k +=--+ 所以2430k k -+=，解得1k =或3k =， 所以，直线l 的方程为：1y x =+或31yx .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，BCF △为等边三角形，60ABC ∠=︒，2,//AB EF CD =，平面BCF ⊥平面ABCD .（1）证明：在线段BC 上存在点O ，使得平面ABCD ⊥平面AOF ； （2）求二面角B AF C --的余弦值； （3）若//ED 平面AOF ，求线段EF 的长度. 【答案】（1）证明见解+析；（2）15；（3）4 【分析】（1）取线段BC 的中点O ，先证明BC ⊥平面AOF ，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABCD ⊥平面AOF ；（2分别求出平面ABF 和平面ACF 的法向量，利用向量法即可求得二面角B AF C --的余弦值；（3）由////EF CD AB ，可得FE tBA =，进而写出3,3)E t t -，求出(33,23)DE t t =--，再根据//ED 平面AOF ，即DE 与平面AOF 的法向量OB 的数量积为0，解出t ，即可求得线段EF 的长度. 【详解】解：（1）如图所示：取线段BC 的中点O ，连接,OA OF ，BCF 、ABC 均为等边三角形，,,BC OA BC OF OA OF O ∴⊥⊥⋂=，BC ∴⊥平面AOF ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AOF∴在线段BC 存在中点O ，使得平面ABCD ⊥平面AOF ；（2）平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FO BC ⊥FO ∴⊥平面ABCD ，即,,OA OB OF 两两垂直，以OA OB OF 、、为x y 、、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则(3,0,0,),(0,1,0),3),(0,1,0),3,2,0)A B F C D --， 设平面ABF 的一个法向量()111,,m x y z =，(3,1,0)AB =-， (3,0,3)AF =-，00m AB m AF ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，得：111130330x y x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则()1,3,1m =，设平面ACF 的一个法向量()222,,n x y z =， 因为(3,1,0)CA =，CF =由.0.0m CA m CF ⎧=⎨=⎩，得：22220y y +=+=⎪⎩，令21x =，则1,3,1)n =-（， 设二面角B AF C --的平面角为θ，1cos 51m n m nθ⋅∴===-+，又二面角B AF C --为锐二面角，∴二面角B AF C --的余弦值为15；(3)////EF CD AB，设(3,0)z FE tBA t t ==-，F ，,E t ∴-，则(32DE t t =--，又//ED 平面AOF ，且平面AOF 的一个法向量为(0,1,0)OB =， (32(0,1,0)20DE OB t t ⋅=-⋅=-=，2t ∴=，||2||4FE BA ∴==.【点睛】方法点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错， （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量， （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22. 已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过12,F F 的圆与直线x =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于,M N 两点.（ⅰ）若直线l 的斜率等于1，求OMN 面积的最大值；（ⅱ）若1OM ON ⋅=-，点D 在l 上，OD l ⊥.证明：存在定点W ，使得||DW 为定值.【答案】（1）2212x y +=；（2）（ⅰ）2；（ⅱ）6.【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）（ⅰ）设直线l 的方程为：y kx t =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（ⅱ）利用韦达定理化简1OM ON ⋅=-可得t =D 的轨迹为圆，故可证存在定点W ，使得||DW 为定值.【详解】（1）由题意知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，又()0,P b ，则以P 为圆心且过12,F F 的圆的半径为a =故1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=.（2）（ⅰ）设直线l 的方程为：y x t =+，()()1122,,,M x y N x y将y x t =+代入2212xy +=得：2234220x tx t ++-=，所以21212422,33t t x x x x -+=-=且()2221612222480t t t ∆=--=->，故t <<又12|||AB x x =-==，点O 到直线l 的距离d ==，所以2213()23322AOBt t S+-==≤=，等号当仅当223t t =-时取，即当2t =±时，OMN 的面积取最大值为2. （ⅱ）显然直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为：y kx t =+，()()1122,,,M x y N x y ，由（ⅰ）知：2121222422,,1212kt t x x x x k k-+=-=++ 所以22221212121222()()()12t k y y kx t kx t k x x kt x x t k-=++=+++=+， 所以2212122322112t k OM ON x x y y k--⋅=+==-+，解得213t =，t =Z ⎛ ⎝⎭或(0,，所以D 在以OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为0,6W ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或0,6⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以存在定点0,6W ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或0,6⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，使得||DW . 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。

山东省青岛市2020版高二上学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·余姚期末) 设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（）A . 若m∥α，n∥α，则m∥nB . 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC . 若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD . 若α⊥β，m⊥β，m⊈α，则m∥α2. （2分）数列中，且数列是等差数列，则（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tanA的值为（）A . 5B . 6C . -4D . -64. （2分）已知a，b是不等的两个正数，A是a，b的等差中项，B是a，b的正的等比中项，则A与B的大小关系是（）A . A＜BB . A＞BC . A=BD . 不能确定5. （2分）(2020高一下·吉林期中) 设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（）A .B .C .D .6. （2分）已知等比数列{an}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（）A . {an+2+an}是等比数列B . 对于k∈N* ， k＞1，ak﹣1+ak+1≠2akC . 对于n∈N* ，都有anan+2＞0D . 若a2＞a1 ，则对于任意n∈N* ，都有an+1＞an7. （2分）点P在椭圆上，为焦点且，则的面积为（）A .B . 4C .D .8. （2分）《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细在这个问题中的中间两节容量和是（）A . 升B . 升C . 升D . 升9. （2分） (2020高二上·无锡期末) 已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）= 的最大值为（）A .B .C .D . 111. （2分）(2017·江西模拟) 已知实数x，y满足，则z=log （2|x﹣2|+|y|）的最大值是（）A .B .C . ﹣2D . 212. （2分） (2016高二上·杭州期中) 已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T= + 的最小值为（）A .B . 2C . 2D . 4二、填空 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·临沂期中) 设的内角A ， B ， C的对边分别为，已知依次成等比数列，且则 ________．14. （1分） (2019高三上·佛山月考) 在中，角所对的边分别是，且成等差数列，则角的取值范围是________.15. （1分） (2015高二上·广州期末) 若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是________．16. （1分）已知数列是递减数列,且对于任意正整数恒成立,则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （15分） (2019高三上·上海月考) 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“ 数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.（1）求证：数列为等差数列；（2）若数列为“ 数列”，，且，求的所有可能值；（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“ 数列”.18. （10分） (2017高二下·晋中期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）=（a﹣b）sinB．（1）求角C的大小；（2）若c= ≤a，求2a﹣b的取值范围．19. （5分）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a为常数且a≠0）．20. （10分）(2020·龙江模拟) 已知数列，满足.（1）求数列，的通项公式；（2）分别求数列，的前项和， .21. （10分） (2015高三上·巴彦期中) 在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．22. （15分） (2019高一上·上海月考) 已知关于的不等式的解集为M；（1）若，求k的取值范围；（2）若存在两个不相等负实数a、b，使得，求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

一、选择题1．(0分)[ID ：13001]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?2．(0分)[ID ：13000]“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．564．(0分)[ID ：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥5．(0分)[ID ：12977]执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．116．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-7．(0分)[ID ：12968]下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．458．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.319．(0分)[ID ：12954]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1110．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >11．(0分)[ID ：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．71012．(0分)[ID ：12944]如图所示是为了求出满足122222018n +++>的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n13．(0分)[ID ：12933]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，814．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2015．(0分)[ID ：12948]6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．15二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID ：13095]在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．20．(0分)[ID ：13080]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s 1、s 2、s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s 1、s 2、s 3的大小关系是_________. 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 78910环数 78910环数 78910频数5 5 5 5 频数6 4 4 6 频数4 6 6 421．(0分)[ID ：13072]高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．22．(0分)[ID ：13069]已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 23．(0分)[ID ：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .24．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。

青島格蘭德中學2012——2013學年度第二學期高二年級中日班數學學科模塊檢測次の式を因数分解しなさい（1）at bt ct -+(2) 26x x --（3）222x ax x a +++2.次の式を簡単にせよ（1（23.次の連立方程式をとけ（1）2322x y x y =⎧⎨-=⎩ （2）08328x y z x y z x y z --+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩4. 次の问题連立方程式213212x y x y -=⎧⎨+=⎩の解は，81ax by bx ay +=⎧⎨-=⎩の解になつている。

このとき，ａ，ｂ，である。

5. 次の式を一次不等式を二次方程式解きなさい（1）()0.310.50.1x x -≥+ （2）2640x x ++=6.二次方程式22410x x ++=の2解を，,αβ とする。

このとき以下の値を求めなさい （1）αβ+ （2）αβ （3）22αβ+ （4）11αβ+7.函数()23f x x =+について答ぇなさい1．以下の値を求めなさい（1）()1f （2）()5f - （3）32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．()y f x =の図形をx 轴の方向に3，y 轴の方向に-1だけ平行移动した直线を描く函数を()g x とぉくと。

8.二次函数248y x x =++について，()2y x A B =++ と变形できるので.この図形の顶点（- C ， D ）である.また，定义域を20x -≤≤と最小值はE ，最大值はF ，定义域を31x -≤≤と最小值はG ，最大值はHI ，である.9.二次函数243y x x =-+の図形がある。

この函数は，()2y x E F =--と变形でき, 図形の顶点の坐标が，（ G ， HI ）であることがゎかる.また，この図形をx 轴の方向に1，y 轴の方向に-1だけ平行移动した図形を表す函数の式は，()2y x J K =-- であり。

一般形に直すと，2y x Lx M =-+である.10.挑戰しよう2次不等式24120x x --≤の解は①である。

山东省青岛市格兰德中学2020学年高二数学上学期学段评估测试试题（中日班）（无答案）注意：本试卷分测试卷和答题卷两部分，共2页。

满分100分，考试用时90分钟。

考试结束后，只交答题卷，测试卷请自主保存。

请用0.5毫米签字笔做答。

1.Split213(21)(3)x x x -+- into partial fractions2.Give that 32()29103f x x x x =+++a Show that -3 is a root of f(x)b Express10()f x as partial fractions.3.A curve is given parametrically by the equtions 2x t =,4y t =.The line x+y+4=0 meets the curve at A .Find the coordinates of A.4.Find the Cartesian equation of the line with parametric equations 231t x t -=+,321t y t+=+,1t ≠-5.Find the binomial expansions of a 13(1)x -, b 21(14)x +,up to and including the term in 3x .State the range of values of x for which the expansions are valid.6.Given that the area of a circle A 2cm is related to its radius r cm by the formula 2A r π=,and that the rate of change of its radius in cm 1s - is given by 5dA dt=,find dA dtwhen r=3.7.The curve C has parametric equations 3x t =,2y t =,t>0.Find an equation of the tangent to C at A(1,1).8.Find ,to 1 decimal place ,the acute angle between the lines with vector equationsr =(2i+j+k)+t(3i-8j-k)and r =(7i+4j+k)+s(2i+2j+3k)9.The position vectors of the points A and B relative to an origin O are 5i+4j+k, -i+j-2k,respectively .Find the position vector of the point P which lies on AB produced such thatAP=2BP。

高中数学第 1 页 共 2 页青岛格兰德中学2011-2012第一学期高二数学（中日班）期末检测试卷一.选择题（每小题5分，共60分） 1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？2．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现抽取30人进行分层抽样，则各职称人数分别为 （ ）A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,163.函数32)(2--=ax x x f 在区间(]2-，∞上为减函数，则有 （ ）A 、]1,(-∞∈aB 、 ),2[+∞∈aC 、]2,1[∈aD 、),2[]1,(+∞⋃-∞∈a4．设函数x x x F 1)(+=,那么它是 ( )A ．偶函数B ．既奇又偶函数C ．奇函数D ．非奇非偶函数5．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x 6.函数)12lg(21)(-+-=x xx f 的定义域为（ ）A ．),21(+∞ B ．)2,21(C ．)1,21( D ．)2,(-∞7．函数则这个函数的值域是],6,2[,4)(2∈-=x x x x f （ ）Ａ、[2，6] Ｂ、[-4，12] C 、（2，12） D 、[2，12] 8.已知正数y x ,满足811x y+=，则2x y +的最小值是 （ ）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．109．如果b a <，那么下列选项正确的是（ ）（A ）5+>5+b a （B ）b a 3>3 （C ）b a 5->5- （D ）33b a > 10.设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8项的和为( ) A.128 B.80 C.64 D.56 11．在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 选择题答案：13．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________ 14．若-3∈{ x-1，3x ，2x +1}，则x=15.已知n m ,是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线 ②若,,//,//m n m n αββ⊂则//αβ ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命的序号）16．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，求时速在[60,70]的汽车大约有 辆学校 班级 姓 名 考 ------------------------------------------------------------------------------装订线----------------------------------------------------------------------------------------------）高中数学第 2 页 共 2 页三.解答题（21-17题每题12分，22题14分）17．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且垂直于直线032=-+y x 的直线方程18．从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛, ①求所选2人都是男生的概率; ②求所选2人恰有1名女生的概率;19．设集合{}{}.91|,63|≤<=<≤=x x B x x A 求 B A ⋂)1( )())(2(B C A C R R ⋂ B A C R ⋃))(3(20．已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和的最大值．21．求证：关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>对于一切实数x 都成立的 充要条件是04a <<22．如图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ）（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．E D A CF G B 'C 'D '。

青島格蘭德中學2020學年度第二學期高二年級中日班數學學科模塊檢測次の式を因数分解しなさい（1）at bt ct -+(2) 26x x --（3）222x ax x a +++2.次の式を簡単にせよ （1（23.次の連立方程式をとけ（1）2322x y x y =⎧⎨-=⎩（2）08328x y z x y z x y z --+=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩4. 次の问题 連立方程式213212x y x y -=⎧⎨+=⎩の解は，81ax by bx ay +=⎧⎨-=⎩の解になつている。

このとき， ａ，ｂ，である。

5. 次の式を一次不等式を二次方程式解きなさい（1）()0.310.50.1x x -≥+ （2）2640x x ++=6.二次方程式22410x x ++=の2解を，,αβ とする。

このとき以下の値を求めなさい （1）αβ+ （2）αβ （3）22αβ+ （4）11αβ+7.函数()23f x x =+について答ぇなさい1．以下の値を求めなさい（1）()1f （2）()5f - （3）32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．()y f x =の図形をx 轴の方向に3，y 轴の方向に-1だけ平行移动した直线を描く函数を()g x とぉくと。

8.二次函数248y x x =++について，()2y x A B =++ と变形できるので.この図形の顶点（- C ， D ）である.また，定义域を20x -≤≤と最小值はE ，最大值はF ，定义域を31x -≤≤と最小值はG ，最大值はHI ，である.9.二次函数243y x x =-+の図形がある。

この函数は，()2y x E F =--と变形でき, 図形の顶点の坐标が，（ G ， HI ）であることがゎかる.また，この図形をx 轴の方向に1，y 轴の方向に-1だけ平行移动した図形を表す函数の式は，()2y x J K =-- であり。

一般形に直すと，2y x Lx M =-+である.10.挑戰しよう2次不等式24120x x --≤の解は①である。

第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共16小题．每小题3分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列说法正确的是（）A．物质发生化学变化时不一定都伴随能量变化B．反应热指的是反应过程中放出的热量C．在加热条件下进行的反应均为吸热反应D．相同物质的反应，当化学计量数不同时，其△H也不同2、一定量的盐酸跟过量的锌粉反应时，为了减缓反应速率，且不影响生成氢气的总量，可向盐酸中加入适量的（）A．NaNO3（溶液） B．CH3COONa（固体）C．Na2CO3（溶液） D．CuSO4（固体）3、下列关于能量转换的认识中不正确的是（）A．电解水生成氢气和氧气时，电能转化成化学能B．煤燃烧时化学能主要转变成热能C．绿色植物光合作用过程中太阳能转变成化学能D．白炽灯工作时电能全部转变成光能4、阿波罗宇宙飞船上使用的是氢氧燃料电池，其电池反应为：2H2+O2=2H2O，电解液为KOH，反应保持在较高温度，使H2O蒸发，下列叙述正确的是（）A．此电池能发出蓝色火焰B．H2为正极，O2为负极C．工作时，电解液的pH不断减小D．电极反应为：负极2H2+4OH--4e-=4H2O；正极O2+2H2O+4e-=4OH-5、在25 ℃、101 kPa下，0.1 mol甲醇燃烧生成CO2和液态水时放热72.58 kJ，下列热化学方程式正确的是（）A．CH3OH（l）＋3/2O2（g）===CO2（g）＋2H2O（l）ΔH＝—725.8 kJ/molB．2CH3OH（l）＋3O2（g）===2CO2（g）＋4H2O（g）ΔH＝—1451.6 kJ/molC．CH3OH（l）＋3/2O2（g）===CO2（g）＋2H2O（l）ΔH＝＋725.8 kJ/molD．2CH3OH（g）＋3O2（g）===2CO2（g）＋4H2O（l）ΔH＝—1451.6 kJ/mol6、下列方法不能用于金属防腐处理的是（）A．油漆B．表面打磨C．制成合金D．电镀7、有关原电池的工作原理中的下列说法中不正确的是（）A．电池负极发生氧化反应 B．电池正极发生还原反应C．电子流向是从负极流向正极（外电路） D．电流方向是从负极流向正极（外电路）8、一定温度下，在2 L的密闭容器中，X、Y、Z三种气体的物质的量随时间变化的曲线如右图所示，下列描述正确的是（）A.反应开始到10 s,用Z表示的反应速率为0.158 mol/（L·s）B.反应开始到10 s,X的物质的量浓度减少了0.79 mol/LC.反应开始到10 s时，Y的转化率为79.0%D.反应的化学方程式为：X（g）+Y（g）=Z（g）9、在BaSO4饱和溶液中，加入Na2SO4（s），达平衡时（）A．c（Ba2＋）＝c（SO错误!）B．c（Ba2＋）＝c（SO错误!）＝[K sp（BaSO4）]1/2C．c（Ba2＋）≠c（SO错误!），c（Ba2＋）·c（SO错误!）＝K sp（BaSO4）D．c（Ba2＋）≠c（SO错误!），c（Ba2＋）·c（SO错误!）≠K sp（BaSO4）10、对于在一密闭容器中进行的下列反应：C（s）+ O 2（g） CO2（g）下列说法中错误的是（）A．将木炭粉碎成粉末状可以加快化学反应速率B．升高温度可以加快化学反应速率C．增加压强可以加快化学反应速率D．增加木炭的量可以加快化学反应速率11、在密闭容器中进行可逆反应，A与B反应生成C，其反应速率分别用υ（A）、υ（B）、υ（C）（mol•L-1•s-1）表示，且υ（A）、υ（B）、υ（C）之间有如下所示的关系：υ（B）=3υ（A）； 3υ（C）=2υ（B）。