青岛格兰德中学八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，6 2．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．2cm 、4cm 、5cmB ．15cm 、20cm 、25cmC ．0.2cm 、0.3cm 、0.4cmD ．1cm 、2cm 、2.5cm 3．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．404．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．17cmD ．94cm 5．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22B 2C 21D ．16．已知实数a ，b 为ABC 的两边，且满足2a 1b 4b 40-+-+=，第三边c 5=，则第三边c 上的高的值是( )A ．554B ．455C ．552D ．2557．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -＝0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）A ．5B ．5或7C ．12D ．12或7+7 8．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）A ．222b a c =-B ．C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则2()a b +的值为（ ）A ．25B ．19C ．13D ．169 10．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)450a b c -+-+-=，则ABC 的面积是（ ）A ．3B ．6C ．12D ．1011．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．4.6D ．25二、填空题13．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 都是格点，则BAC CDE ∠+∠=_______．14．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．15．已知O 为平面直角坐标系的坐标原点，等腰三角形AOB 中，A(2，4)，点B 是x 轴上的点，则AOB 的面积为_____．16．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．17．已知一个三角形工件尺寸（单位dm）如图所示，则高h=__dm．18．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．19．如图，在边长为23的等边三角形ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为_________．20．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝24cm，BC＝12cm，BF＝7cm，点M 在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N，它需要爬行的最短路程为_______．三、解答题21．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．（1）如图1，点E 在边BC 上，且∠AEC =2∠B ．①在图1中用尺规作图作出点E ，并连结AE （保留作图痕迹，不写作法与证明过程）； ②求CE 的长．（2）如图2，点D 为斜边上的动点，连接CD ，当△ACD 是以AC 为底的等腰三角形时，求AD 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．23．如图1，在ABC 中，17AB =，25AC =，AD 是ABC 的高，且1BD =．（1）求BC 的长；（2）E 是边AC 上的一点，作射线BE ，分别过点A ，C 作AF BE ⊥于点F ，CG BE ⊥于点G ，如图2，若22BE =，求AF 与CG 的和．24．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？25．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A C B A ---运动．设点P 的运动时间为t 秒()0t >． （1）求AC 的长及斜边AB 上的高．（2）当点P 在CB 上时，①CP 的长为______________（用含t 的代数式表示）．②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为______________．（3）在整个运动过程中，直接写出BCP 是等腰三角形时t 的值．26．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ． （1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、2221+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 2．B解析：B【分析】根据勾股定理逆定理逐项分析即可．【详解】A ：2222+45≠ ，不符合题意；B ：22215+20=25 ，符合题意；C ：2220.2+0.30.4≠ ，不符合题意；D ：2221+23≠ ，不符合题意；故选B【点睛】本题考查勾股定理逆定理，利用逆定理判定直角三角形是重要考点．3．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ==，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝，∵△ABC 的面积为120，∴11212022ABC S AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，解得：2x∵21122BCD S BD CD x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．4．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．5．B解析：B【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，1，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值．【详解】连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒，∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ， ∴2222(2)2AB AC ===，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，∴CE=21-，在△BDP 和△EDP 中，BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDP ≌△EDP ，∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小， PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2，故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．6．D解析：D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a 、b 的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c 边上高即可．【详解】()2a 1b 20--=，所以a 10b 20-=-=，，解得a 1b 2==，；因为2222a b 125+=+=，22c 5==，所以222a b c +=，所以ABC 是直角三角形，C 90∠=︒，设第三边c 上的高的值是h ，则ABC 的面积111222==⨯⨯，所以h = 故选：D ．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．7．D解析：D【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵|m ﹣0，∴|m ﹣3|＝00，∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，解得，m ＝3，n ＝4，当45，则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，当4，则△ABC 的周长＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．8．C解析：C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．【详解】A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A不符合题意．B ．根据三角形内角和180A BC ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 9．A解析：A【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．【详解】 解：由条件可得：22131131240a b ab a b ⎧+=⎪-⎪=⎨⎪>>⎪⎩， 解之得：32a b =⎧⎨=⎩． 所以2()25a b +=，故选A【点睛】本题考查了正方形、直角三角形的性质及分析问题的推理能力和运算能力．10．B解析：B【分析】根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．【详解】解：∵2(3)50a c --=，∴30,40,50a b c -=-=-=，解得3,4,5a b c ===，又∵222223425a b c +=+==，∴△ABC 为直角三角形，∴13462ABC S =⨯⨯=△． 故选：B ．【点睛】 本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．11．D解析：D【分析】13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，据此画两条以格点为端点且长度为13的线段．【详解】解：∵2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．12．C解析：C【分析】设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．【详解】解：设点P （x ，0），根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，解得：x =4.6，∴OP =4.6，故选：C ．【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．二、填空题13．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°解析：45 ；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°.【详解】解：∵BF=CF,CK=EK，∴∠FBC=CEK=45°，∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，连接AD、BE，∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，∴BC²+CE²=BE²，∴∠BCE=90°，∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠BAC+∠CDE=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．14．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6∴2222=6+8=10=+AB BC AC∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．15．8或4或10【分析】根据已知画出坐标系进而得出AE的长以及BO的长即可得出△AOB的面积【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E∵点O （00）A（24）∴AE＝4OE＝2OA＝当OA＝AB时∴解析：8或45或10【分析】根据已知画出坐标系，进而得出AE的长以及BO的长，即可得出△AOB的面积．【详解】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，∵点O （0，0），A （2，4），∴AE ＝4，OE ＝2，OA=当OA ＝AB 时，∴AE 是△AOB 边OB 的垂直平分线，∴BE=OE=2，∴OB=4，∴B 的坐标为（4，0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝1442⨯⨯＝8； 当OA ＝OB 时， ∴OB OA ==，∴B 的坐标为（±0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝142⨯＝ 当OB ＝AB 时， 设AB OB x ==，则2BE x =-，∴2224(2)x x =+-，解得：5x =，∴5OB =，∴B 的坐标为（5，0），此时S △AOB ＝12OB AE •＝1542⨯⨯＝10； ∴△AOB 的面积为：8或10．故答案为：8或10．【点睛】此题主要考查了三角形面积以及坐标与图形的性质，利用等腰三角形的性质求得OB 的长是解题关键．16．1﹣2【分析】先求出AC 的长度再根据勾股定理求出AB 的长度然后根据数轴的特点从点A 向左AB 个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC ＝3﹣1＝2∵∠ACB ＝90°AC ＝BC ∴AB ＝∴点B1表示的数解析：1﹣【分析】先求出AC 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长度，然后根据数轴的特点，从点A 向左AB 个单位即可得到点B 1．【详解】解：根据题意，AC ＝3﹣1＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AB＝22222222AC BC+=+=∴点B1表示的数是1﹣22．故答案为：1﹣22．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．17．4【分析】过点A作AD⊥BC于点D则AD=h根据等腰三角形的性质求出BD=BC=3dm利用勾股定理求出h【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D则AD=h∵AB=AC=5dmBC=6dm∴AD是BC的垂解析：4【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h，根据等腰三角形的性质求出BD=12BC=3dm，利用勾股定理求出h．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h．∵AB=AC=5dm，BC=6dm，∴AD是BC的垂直平分线，∴BD=12BC=3dm．在Rt△ABD中，AD=2222534AB BD-=-=dm，即h=4（dm）．答：h的长为4dm．故答案为：4．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，等腰三角形三线合一的性质，正确理解题意构建直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键．18．13【分析】如图将容器侧面展开建立A关于的对称点根据两点之间线段最短可知的长度即为所求【详解】将圆柱沿A所在的高剪开展平如图所示则作A 关于的对称点连接则此时线段即为蚂蚁走的最短路径过B作于点则在中由解析：13【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于MM'的对称点A'，根据两点之间线段最短可知A B'的长度即为所求．【详解】将圆柱沿A 所在的高剪开，展平如图所示，则10cm MM NN '='=，作A 关于MM '的对称点A '，连接A B '，则此时线段A B '即为蚂蚁走的最短路径，过B 作BD A A ⊥'于点D ，则5,''123312cm BD NE cm A D MN A M BE ===+-=+-=，在Rt A BD '中， 由勾股定理得2213cm A B A D BD ''=+=，故答案为：13．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．19．2【分析】根据△ABC 为等边三角形BP 平分∠ABC 得到∠PBC=30°利用PC ⊥BC 所以∠PCB=90°根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答【详解】解：∵△ABC 为等边三角形BP 平分解析：2【分析】根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，得到∠PBC=30°，利用PC ⊥BC ，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，∴1302PBC ABC ∠=∠=︒ ， ∵PC ⊥BC ，∴∠PCB=90°，在Rt △PCB 中，设PC x =，则 2PB x =,根据勾股定理可得：(()22232x x +=，且0x >， 解得：2x =，∵∠ABC的平分线是PB，∴点P到边AB所在直线的距离与点P到边BC所在直线的距离相等.故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．20．cm【分析】利用平面展开图有两种情况画出图形利用勾股定理求出MN的长即可【详解】解：如图1∵AB=24cmAM＝6cm∴BM=18cm∵BC=GF=12cm点N 是FG的中点∴FN=6cm∵BF=7c解析：493cm【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【详解】解：如图1，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴FN=6cm，∵BF=7cm，∴BN=7+6=13cm，∴MN=22=493cm；1813如图2，∵AB=24cm，AM＝6cm，∴BM=18cm，∵BC=GF=12cm，点N是FG的中点，∴BP=FN=6cm，∴MP=18+6=24cm，∵PN= BF＝7cm，∴MN=2224762525+==cm．∵493＜25，∴蚂蚁沿长方体表面爬到N处的最短距离为493cm．故答案为：493cm．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．三、解答题21．（1）①见解析；②78CE=；（2）2.5【分析】（1）①作出AB的垂直平分线交BC于点E，则可得结论；②由勾股定理求得BC=4，设CE=x，则BE=AE=4-x，依据勾股定理列出方程求解即可；（2）求得BD=CD=AD=2.5即可．【详解】解：（1）①如图，作∠BAE=∠B，②可求得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，222CE AC AE+=，∴2223(4)x x+=-，∴78x=，∴78CE（2）AC为底时，如图2所示，此时AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD=BD=2.5．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．22．25 4【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2．即82＋BC2＝102，解得：BC＝6．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE．设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，∵Rt △BCE 中，EC 2＋BC 2＝BE 2，∴（8−x ）2＋62＝x 2，解得：x ＝254， ∴AE ＝254． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．23．（1）3；（2）32．【分析】（1）根据勾股定理可求AD ，再根据勾股定理可求CD ，根据BC=BD+CD 即可求解； （2）根据三角形面积公式可求AF 与CG 的和．【详解】（1）在Rt △ABD 中，∠ADB=90︒，由勾股定理得： AD=()22221174AB BD -=-=，在Rt △ACD 中，∠ADC=90︒，由勾股定理得：CD=()22222542AC AD -=-=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC 的长为3；（2）∵AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，BE=22∴1122∆∆∆=+=⋅+⋅ABC ABE BCE S S S BE AF BE CG ， =1()2⋅+BE AF CG ， =2()AF CG +，而12∆=⋅ABC S BC AD =134=62⨯⨯， ∴AF CG +=6=322， 即AF 与 CG 的和为32．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键． 24．5【分析】过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，根据题意直接得出AE ，EC 的长，再利用勾股定理得出AC 的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接AC ，由题意可得：EC ＝BD ＝1.2m ，AE ＝AB−BE ＝AB−DC ＝1.3−0.8＝0.5m ，∴AC=22221.20.5 1.3CE AE +=+=m ，∴1.3÷0.2＝6.5s ，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．25．（1）125；（2）①24t -；②83；（3）t 的值为0.5或4.75或5或5.3． 【分析】 （1）直接利用勾股定理即可求得AC 的长，再利用等面积法即可求得斜边AB 上的高； （2）①CP 的长度等于运动的路程减去AC 的长度，②过点P '作P 'D ⊥AB ，证明Rt △AC P '≌Rt △AD P '得出AD=AC=4，分别表示各线段，在Rt △BD P '利用勾股定理即可求得t 的值；（3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，②当点P 在线段AB 上时，又分三种情况：BC=BP ；PC=BC ；PC=PB ，分别求得点P 运动的路程，再除以速度即可得出答案．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，∴在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=．∴AC 的长为4．设斜边AB 上的高为h ．∵1122AB h AC BC ⨯⨯=⨯⨯， ∴1153422h ⨯⨯=⨯⨯， ∴125h =． ∴斜边AB 上的高为125． （2）已知点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动， ①当点P 在CB 上时，点P 运动的长度为：AC+CP=2t ，∵AC=4，∴CP=2t-AC=2t-4．故答案为：2t-4．②当点P '在∠BAC 的角平分线上时，过点P '作P 'D ⊥AB ，如图：∵A P '平分∠BAC ，P 'C ⊥AC ，P 'D ⊥AB ，∴P 'D=P 'C=2t-4，∵BC=3，∴B P '=3-（2t-4）=7-2t ，在Rt △AC P '和Rt △AD P '中，AP AP P D P C ''''=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AC P '≌Rt △AD P '（HL ），∴AD=AC=4，又∵AB=5，∴BD=1，在Rt △BD P '中，由勾股定理得：2221(24)(72)t t +-=- 解得：83t =， 故答案为：83； （3）由图可知，当△BCP 是等腰三角形时，点P 必在线段AC 或线段AB 上，①当点P 在线段AC 上时，此时△BCP 是等腰直角三角形，∴此时CP=BC=3，∴AP=AC-CP=4-3=1，∴2t=1，∴t=0.5；②当点P 在线段AB 上时，若BC=BP ，则点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3=10，∴2t=10，∴t=5；若PC=BC ，如图2，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则BP=2BH ，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，∴AB•CH=AC•BC ，∴5CH=4×3，∴125CH =， 在Rt △BCH 中，由勾股定理得：22123() 1.85BH =-=， ∴BP=3.6，∴点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+3.6=10.6，∴2t=10.6，∴t=5.3；若PC=PB ，如图3所示，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则30.52BQ CQ BC ==⨯=，∠PQB=90°， ∴∠ACB=∠PQB=90°，∴PQ ∥AC ，∴PQ 为△ABC 的中位线，∴PQ=0.5×AC=0.5×4=2， 在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：223()2 2.52BP =+=， 点P 运动的长度为：AC+BC+BP=4+3+2.5=9.5，∴2t=9.5，∴t=4.75．综上，t 的值为0.5或4.75或5或5.3．【点睛】本题考查勾股定理，HL 定理，等腰三角形的性质和判定．掌握等面积法和分类讨论思想是解题关键．26．（1）12；（2）84．【分析】（1）在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得；（2）先根据勾股定理的逆定理可得ACD △是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积等于Rt ABC 的面积与Rt ACD △的面积之和即可得．【详解】（1）AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；（2）15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD的面积为1122Rt ABC Rt ACDS S AC BC AC AD +=⋅+⋅，1112512922=⨯⨯+⨯⨯，84=，即四边形ABCD的面积为84．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．。

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，8BC cm =，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，D 为AE 上一点，且ACD CAD ∠=∠，3DE cm =，连接CD ．过点作DF AB ⊥，垂足为点F ．则下列结论正确的有（ ）①5CD cm =；②10AC cm =；③3DF cm =；④ACD △的面积为210cmA ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在数轴上，点A ，B 对应的实数分别为1，3，BC AB ⊥，1BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴正半轴于点P ，则P 点对应的实数为（ ）A ．51+B ．5C ．53+D ．45-3．如图，在长方形ACD 中，3AB cm =，9AD cm =，将此长方形折叠，便点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ABE △的面积为（ ）2cm ．A ．12B ．10C ．6D ．154．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A表示的数最接近的是（ ）A ．-3.5B ．-3.6C ．-3.7D ．-3.8 5．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．8，16，17D ．7，24，256．在ABC 中，10AB =，40AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ） A ．10B ．8C ．6或10D ．8或107．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =，2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．18．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB 长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C '＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D '就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA 长为（ ）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺9．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，下列结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②∠ADB=120°；③DB=2CD ；④若CD=4，83AB =，则△DAB 的面积为20．其中正确的结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知实数a ，b 为ABC 的两边，且满足2a 1b 4b 40-+-+=，第三边c 5=，则第三边c 上的高的值是( ) A ．554B ．455C ．552D ．25511．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ） A ．3:1:2B ．2:3:7C ．2:1:5D ．无法确定12．如图，以AB 为直径的半圆O 过点C ，4AB =，在半径OB 上取一点D ，使AD AC =，30CAB ∠=︒，则点O 到CD 的距离OE 是（ ）A ．2B ．1C ．2D ．22二、填空题13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________．14．如图，数轴上点A 表示的数是__________．15．如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．16．如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 的中点，8AB =，点P 为AB 上一动点，则PC PD +的最小值为__________．17．已知：如图，ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．18．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．19．如图，教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上．若5PA AB ==米，点P 到AD 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是______米．20．如图，正方形OABC 的边OC 落在数轴上，点C 表示的数为1，点P 表示的数为﹣1，以P 点为圆心，PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ，则点D 表示的数为___________．三、解答题21．如图，已知AB=CD ，∠B=∠C ，AC 和BD 交于点O ，OE ⊥AD 于点E ．（1）△AOB 与△DOC 全等吗?请说明理由； （2）若OA=3，AD=4，求△AOD 的面积． 22．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾股数．数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长a ，b ，c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．mnabc2 1345 3 2 5 12 13 4 1 15 8 17 4 3 7 24 25 5 2 21 20 29 5 4 9 40 416 1 35 12 37 6 5 11 60 61 7 2 45 28 53 7 4 33 56 65 76138485通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数()a b c ，，可以写成()2222mn b m n -+，，．解答下列问题：（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )23．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，动点 P 在斜边 AB 所在的直线上，以 PC 为直角边作等腰直角△PCQ ，其中∠PCQ ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图 1，若点 P 为线段 AB 上一动点时， ①求证：△ACP ≌△BCQ ；②试求线段 PA ，PB ，PQ 三者之间的数量关系； （2）如图 2，若点 P 在 AB 的延长线上，求证：BQ ⊥AP ；（3）若动点P满足13PAPB=,请直接写出PCAC的值．24．在如图方格纸中，每个小方格的边长为1．请按要求解答下列问题：（1）以格点为顶点，画一个三角形ABC，使∠ACB＝90°，三边中有两边边长都是无理数；（2）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出ABC各顶点的坐标；（3）作ABC关于y轴的轴对称图形A B C'''．（不要求写作法）．25．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1H；（4）在图4中画出一个周长为3210的格点直角三角形JKL．26．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC 的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM．（1）求证：△BDE≌△ADC；（2）求证：AC⊥MC；（3）若AC=m，则点A、点M之间的距离为（用含m的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据AB AC =，AE 平分BAC ∠，得AE BC ⊥，12BE EC BC ==，从而得CD ，结合ACD CAD ∠=∠，得AD CD =，从而计算得AE ；连接BD ，通过证明BED CED △≌△，得BD CD AD ==，通过勾股定理得DF ，即可完成求解． 【详解】∵AB AC =，AE 平分BAC ∠∴AE BC ⊥，142BE EC BC === ∴2222345CD DE EC =+=+=∵ACD CAD ∠=∠∴5AD CD ==cm ，故①正确； ∴8AE AD DE =+= ∴22224845AC EC AE =+=+=cm ，故②错误；∴45AB AC ==如图，连接BD∵90DE DE DEB DEF BE EC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴BED CED △≌△ ∴BD CD = ∴5BD CD AD === ∵DF AB ⊥ ∴1252AF BF AB === ∴()22225255DF AD AF =-=-=cm ，故③错误；∴11541022ACD S AD EC =⨯=⨯⨯=△cm ，故④正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．2．A解析：A 【分析】根据题意求出AB ，根据勾股定理求出AC ，根据实数与数轴的关系解答即可． 【详解】∵点A ，B 对应的实数分别为1，3， ∴AB ＝2， ∵BC ⊥AB ， ∴∠ABC ＝90°， ∴AC 22AB BC +22225=+则AP 5∴P 51，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．3．C解析：C【分析】设AE=x，由折叠BE=ED=9-x，再在Rt△ABE中使用勾股定理即可求出x，进而求出△ABE的面积．【详解】解：设AE=x，由折叠可知：BE=ED=9-x，在Rt△ABE中，由勾股定理有：AB²+AE²=BE²，代入数据：3²+x²=(9-x)²，解得x=4，故AE=4，此时11=43622∆⨯=⨯⨯= ABES AE AB，故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题中的勾股定理，利用折叠后对应边相等，设要求的边为x，在一个直角三角形中，其余边用x的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解x．4．B解析：B【分析】先根据勾股定理求得A点坐标，再利用二分法估算即可得出比较接近-3.6．【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2，∴OA OB==∴A所表示的数为∵23.612.9613=<，23.713.6913=>，∴-3.6和-3.7之间，∵23.6513.322513=>，∴-3.6，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．5．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．C解析：C【分析】分两种情况分类讨论，如图所示，分别在Rt ABD △与Rt ACD △中，利用勾股定理求出BD 与CD 的长，即可求出BC 的长．【详解】根据题意画出图形，如图所示，AD 是ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，如图1，10AB =，40AC ，6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=， ∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴10BC BD CD =+=；如图2，10AB =，40AC 6AD =，在Rt ABD △中，由勾股定理得：222AD BD AB +=， ∴22221068BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，由勾股定理得：222AD CD AC +=，∴()22224062CD AC AD =-=-=，∴6BC BD CD =-=，∴BC 的长度为：6或10．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．D解析：D【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠DBF=∠CAD ，∵45ABC ∠=︒，∴∠BAD=45°，∴BD=AD ，∴△BDF ≌△ADC ，∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键． 8．C解析：C【分析】设绳索有x 尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x 尺长，则102+（x+1-5）2=x 2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．9．C解析：C【分析】连接PN 、PM ．根据题意易证明APM APN ≅，即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可求出=120ADB ∠︒，故②正确；由30BAD B ∠=∠=︒，可说明AD=BD ，再由AD=2CD ，即可证明BD=2CD ，故③正确；由④所给条件可求出AC 和DB 的长，即可求出=163DAB S ，故④错误． 【详解】如图，连接PN 、PM ．由题意可知AM=AN ，PM=PN ，AP=AP ，903060BAC ∠=︒-︒=︒．∴APM APN ≅，∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=∠=︒，即AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵=ADB C CAD ∠∠+∠，∴=9030=120ADB ∠︒+︒︒，故②正确；在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴AD=2CD ，又∵30BAD B ∠=∠=︒，∴AD=BD ，∴BD=2CD ．故③正确；在Rt ABC 中，30B ∠=︒， ∴312BC AB ==， ∴=1248BD BC CD -=-=，又在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴343AC CD ==，∴11==843=16322DAB S BD AC ⨯⨯，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定以及勾股定理．熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．【详解】()2b20-=，所以a10b20-=-=，，解得a1b2==，；因为2222a b125+=+=，22c5==，所以222a b c+=，所以ABC是直角三角形，C90∠=︒，设第三边c上的高的值是h，则ABC的面积111222==⨯⨯，所以h5=．故选：D．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．11．B解析：B【分析】作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE，它是AC边上的中线，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC、AB，则AC：BC：AB的值可求出．【详解】解：如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB=90°， ∴12CF AB AB =≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°， ∴223,BC BE CE a =-在Rt △ABC 中，()()2222237,AB BC AC a a a =+=+=∴AC ：BC ：AB=237237.a a a =故选：B ．【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．12．A解析：A【分析】在等腰ACD ∆中，顶角30A ∠=︒，易求得75ACD ∠=︒，根据等边对等角，可得30OCA A ∠=∠=︒，由此可得45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形，则2OE =【详解】∵AC AD =，30A ∠=︒，∴75ACD ADC ∠=∠=︒，∵AO OC =，∴30OCA A ∠=∠=︒，∴45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形． 在等腰Rt OCE ∆中，2OC =，因此 2OE =故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用．二、填空题13．【分析】根据图形得到根据勾股定理推出【详解】解：由题意得所以故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用观察图形理解各部分图形的面积的关系利用勾股定理解决问题是解题的关键 解析：98π．【分析】 根据图形得到22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据勾股定理推出()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=. 【详解】 解：由题意，得22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=， 故答案为：98π.【点睛】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 14．【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长利用数轴上两点间的距离公式即可求解【详解】解：根据题意可得：圆的半径为则点A 表示的数是故答案为：【点睛】本题考查勾股定理数轴上两点间的距离利用勾股定理求出半径长是解析：1【分析】根据勾股定理得到圆弧的半径长，利用数轴上两点间的距离公式即可求解．【详解】=则点A 表示的数是1，故答案为：1【点睛】本题考查勾股定理、数轴上两点间的距离，利用勾股定理求出半径长是解题的关键． 15．【分析】作E 关于AD 的对称点M 连接CM 交AD 于F 连接EF 过C 作CN⊥AB于N再求出BD的长根据三角形面积公式求出CN根据对称性得CF＋EF ＝CM根据垂线段最短得出CF＋EF≥CM即可得出答案【详解】解析：120 13【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，再求出BD 的长，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性得CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥CM，即可得出答案．【详解】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高，∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD＝12，∴S△ABC＝12×BC×AD＝12×AB×CN，∴CN＝BC×AD÷AB＝10×12÷13＝12013，∵E关于AD的对称点M，∴EF＝FM，∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，根据垂线段最短得出：CM≥CN，即CF＋EF≥120 13，即CF＋EF的最小值是120 13，故答案为：120 13．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，掌握“点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短”，是一道比较好的题目．16．【分析】根据勾股定理得到BC 由中点的定义求出BD 作点C 关于AB 对称点C′则PC′=PC 连接DC′交AB 于P 连接BC′此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45 解析：210 【分析】 根据勾股定理得到BC ，由中点的定义求出BD ，作点C 关于AB 对称点C′，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 8AB =，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AC=BC=2422AB =． ∵D 为BC 的中点，∴BD=22．作点C 关于AB 对称点C′，交AB 于点O ，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵点C 关于AB 对称点C′，∴∠C′BA=∠CBA=45°，'42BC BC ==∴∠'90CBC =，∴()()2222''2242210DC BD BC =+=+=，故答案为：10【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P 何位置时，使PC+PD 的值最小是解题的关键．17．【分析】由勾股定理求出AB 根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2∠DAB=∠ABD=60°证出AB ⊥CD 于E 且AE=BE=1求出AE=CE=1由勾股定理求出DE 即可得出结果【详解】解：∵∠AC解析：31+ 【分析】 由勾股定理求出AB ，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE ，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=()()2222222AC BC +=+=，∠CAB=∠CBA=45°， ∵ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC ，AD=BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt △AED 中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴DE=223AD AE -=，∴CD=31+．31．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE 是解决本题的关键．18．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE 根据线段的和差关系可得CD 的长设CE=x 则DE=8-x 利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案【详解】∵∠ACB ＝90°BC ＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB ，DE=AE ，根据线段的和差关系可得CD 的长，设CE=x ，则DE=8-x ，利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案．【详解】∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，∴22AB BC -22106-，∵BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x，则DE=AE=AC-CE=8-x，∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．19．【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开连接PB根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可【详解】解：如图过P作PG⊥BF于G连接PB∵AG=3AP=AB=5∴∴BG=8∴故这只蚂蚁的最短行程解析：45【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG=3，AP=AB=5，∴224-，==PG AP AG∴BG=8，∴2245B+=P GB GP故这只蚂蚁的最短行程应该是5故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．20．【分析】根据勾股定理求出PB的长即PD的长再根据两点间的距离公式求出点D对应的数【详解】由勾股定理知：PB＝＝＝∴PD＝∴点D表示的数为﹣1故答案是：﹣1【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径数轴等知识1【分析】根据勾股定理求出PB 的长，即PD 的长，再根据两点间的距离公式求出点D 对应的数．【详解】由勾股定理知：PB∴PD∴点D﹣1.1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识，结合各知识点熟练运用是解题关键.三、解答题21．（1）△AOB ≌△DOC ，理由见解析；（2）△AOD 的面积为【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AO=DO ，根据等腰三角形的性质得到AE=12AD=2，由勾股定理得到OE ==【详解】（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， AOB COD B CAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以△AOB ≌△DOC （AAS ）；（2）因为△AOB ≌△DOC ，所以AO ＝DO ，因为OE ⊥AD 于点E ．所以AE 12=AD ＝2， 所以OE ==所以S △AOD 142=⨯=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．（1）2b mn =；（2）(12,16,20)；（3）222b k k =+【分析】（1）根据表格中提供的数据可得答案；（2）把4m =，2n =代入()22222m n mn m n -+，，即可求解；（3）根据勾股定理求解即可；【详解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴2b mn =，故答案为：2b mn =；（2）当4m =，2n =时， a=m 2-n 2=42-22=12，2b mn ==2×4×2=16，c=m 2+n 2=42+22=20，∴勾股数()a b c ，，为(12,16,20)，故答案为：(12,16,20)；（3）根据题意，得222(21)(1)k b b ++=+，∴22244121k k b b b +++=++，解得222b k k =+．【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．23．（1）①见解析；②PA 2+PB 2=PQ 2；（2）见解析；（3 【分析】（1）①在Rt △ABC 和Rt △PCQ 中，可证得∠ACP =∠BCQ ，从而证明全等；②把PA 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt △PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系；（2）连接BQ ，由（1）中①的方法，可证得结论；（3）分点P 在线段AB 上和线段BA 的延长线上，分别利用PA PB =13，可找到PA 和CD 的关系，从而可找到PD 和CD 的关系，在Rt △CPD 和Rt △ACD 中，利用勾股定理可分别找到PC 、AC 和CD 的关系，从而可求得PC AC的值． 【详解】解：（1）①∵△ABC 和△PCQ 是等腰直角三角形，∠ACB =∠PCQ =90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，∠ACB-∠PCB=∠PCQ-∠PCB，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ；②连接BQ，∵△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∠CBE=∠A=45°，∴∠PBQ=90°，∴PB2+BQ2=PQ2，即PA2+PB2=PQ2；（2）证明：连接BQ，∵△ABC和△PCQ是等腰直角三角形，∠ACB=∠PCQ=90°，∴AC=BC，CP=CQ，∠A=∠ABC=45°，∵∠ACP=∠ACB+∠BCP，∠BCQ=∠PCQ+∠BCP，∴∠ACP=∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ=∠A=45°，∵∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°，∴BQ⊥AP；（3）过点C作CD⊥AB于点D，∵PA PB =13， ∴点P 只能在线段AB 上或在线段BA的延长线上，①如图3，当点P 在线段AB 上时，∵ PA PB =13， ∴PA =14AB =12CD =PD ， 在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP =22CD DP += 2212CD CD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5CD ， 在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC = 22AD CD +=22CD =2CD ，∴PC AC =522CD CD=104； ②如图4，当点P 在线段BA 的延长上时，∵ PA PB =13， ∴PA =12AB =CD ， 在Rt △CPD 中，由勾股定理可得CP 22CD DP +()222CD CD +5，在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AC 22AD CD +22CD 2CD ，∴PCAC =52CDCD=10；综上可知PCAC的值为104或102．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，注意分类思想的理解与运用．24．（1）见解析；（2）见解析，A(0，0)，B(﹣5，0)，C(﹣4，2)；（3）见解析【分析】(1)每个小正方形的边长为1，对角线就是无理数，根据要求画出图形(答案不唯一)．(2)构建平面直角坐标系，写出坐标即可；(3)分别作出 A ，B ，C 的对应点 A '，B '，C'即可．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）平面直角坐标系如图所示，A（0，0），B（﹣5，0），C（﹣4，2）．（3）如图，△A′B′C′即为所求．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；（213（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；（42，210的三角形，即可．【详解】（1）∵2121ABCS=⨯÷=，∴ABC 即为所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=222313+=， ∴正方形DEFG 的面积为13；（3）HI=22345+=；（4）∵KL=22112+=，JL=222222+=，JK=221310+=， 且222(2)(22)(10)+=∴JKL 是直角三角形，且周长为3210+．【点睛】 本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（32m ．【分析】（1）先根据垂直的定义可得BDE 和ADC 都是直角三角形，再利用HL 定理证明三角形全等即可；（2）先根据（1）中的全等三角形可得DBE DAC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得DBE FCM ∠=∠，从而可得DAC FCM ∠=∠，然后根据角的和差、等量代换即可得证；（3）先根据（2）中的全等三角形可得BE CM =，从而可得CM AC m ==，再在Rt ACM △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）AD BC ⊥，90BDE ADC ∠∴∠==︒，∴BDE 和ADC 都是直角三角形，在BDE 和ADC 中，DE DC BE AC =⎧⎨=⎩， ()BDE ADC HL ∴≅；（2）BDE ADC ≅，DBE DAC ∠=∠∴，点F 为BC 的中点，BF CF ∴=，由对顶角相等得：BFE CFM ∠=∠，在BEF 和CMF 中，BF CF BFE CFM EF MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF CMF SAS ∴≅，FBE FCM ∴∠=∠，即DBE FCM ∠=∠，DAC FCM ∠=∠∴， 又在Rt ACD △中，90DAC ACD ∠+∠=︒，90FCM ACD ∴∠+∠=︒，即90ACM ∠=︒，AC MC ∴⊥；（3）如图，连接AM ，BEF CMF ≅，BE CM ∴=，,BE AC AC m ==，CM AC m ∴==，AC MC ⊥，ACM ∴是直角三角形，222AM AC CM m ∴+，即点A 、点M 2m ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．。

一、选择题1．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A ．CD 、EF 、GHB ．AB 、EF 、GHC ．AB 、CD 、GH D ．AB 、CD 、EF2．如图，在ABC ∆中，5,60AC C =∠=︒，点D E 、分别在BC AC 、上，且2,CD CE ==将CDE ∆沿DE 所在的直线折叠得到FDE ∆(点F 在四边形ABDE 内)，连接,AF 则2AF =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22B 2C 21D ．14．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．185．如图，在长为10的线段AB 上，作如下操作：经过点B 作BC AB ⊥，使得12BC AB =；连接AC ，在CA 上截取CE CB =；在AB 上截取AD AE =，则AD 的长为（ ）A ．555-B ．1055-C ．10510-D ．555+6．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，下列条件中不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）A ．222b a c =-B ．C A B ∠=∠+∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．39．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1410．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）A ．EDA CEB S S =△△ B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△D ．AECD DEBC S S =四边形四边形11．如图，M N 、是线段AB 上的两点，4,2AM MN NB ===．以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连结AC BC 、，则ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=4，D 、E 分别为边AC 、BC 上的两点，且AD=CE ， 当线段DE 取得最小值时，试在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．6B ．7个C ．8个D ．以上都不对二、填空题13．如图，已知在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则12S S +的值等于________．14．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD 的方法证明了勾股定理（如图），若Rt ABC △的斜边10AB =，=6BC ，则图中线段CE 的长为______．15．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D ，E 都是格点，则BAC CDE ∠+∠=_______．16．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．17．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．18．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，AD =_______才能实现上述的折叠变化．19．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．20．如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于,D E 两点，若4AB =，3BC =，则CD 的长为______________．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．22．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．23．已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．（1）依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；（2）当且时，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．24．如图，为了测量湖泊两侧点A和点B间的距离，数学活动小组的同学过点A作了一条⊥）．量得AB的垂线，并在这条垂线的点C处设立了一根标杆（即AC ABAC=，200mBC=，求点A和点B间的距离．160m25．如图，A（－1，0），C（1，4），点B在x轴上，且BC=5．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积．26．如图，每个小正方形的边长均为1可以得到每个小正方形的面积为1．⨯13（1）请在图中的55-+（2）请在数轴上表示出113【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则AB 2=22+22=8， CD 2=22+42=20， EF 2=12+22=5， GH 2=22+32=13． 因为AB 2+EF 2=GH 2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB 、EF 、GH ． 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用；解题的关键是解出AB 、CD 、EF 、GH 各自的长度.2．A解析：A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理可以得到解答． 【详解】解：如图，过F 作FG ⊥AC 于G ，则在RT △EGF 中，∠GEF=180°-2∠CED=60°，∴∠GFE=90°-∠GEF=30°，∴GE=112EF =，33GE = ∴AG=AC-CE-GE=5-2-1=2，∴在RT △AGF 中，22222237AF AG FG =+=+=，故选A ． 【点睛】本题考查三角形的折叠，熟练掌握折叠和直角三角形的性质及勾股定理的应用是解题关键．3．B解析：B 【分析】连接BP ，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1，CE=21-，证明△BDP ≌△EDP ，推出BP=EP ，当点P 与点D 重合时，即可求出PEC ∆的周长的最小值． 【详解】 连接BP ，在Rt ABC ∆中，90,45B BCA ︒∠=∠=︒， ∴∠BAC=45BCA ∠=︒，AB=BC ， ∴2222(2)2AB AC ===， ∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE ，∠BDA=∠EDA ，AE=AB=1， ∴CE=21-， 在△BDP 和△EDP 中，BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDP ≌△EDP ， ∴BP=EP ，∴当点P 与点D 重合时，PE+PC=PB+PC=BC 的值最小，此时PEC ∆的周长最小，PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2， 故选：B ．．【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ，由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小，合情推理科学论证．4．A解析：A 【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可． 【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ， ∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+， ∴222AC AD =，即AC =，∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+，∴312S S S =+， ∵19S =，216S =， ∴3129+16=25S S S =+=， 故答案为：A ． 【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．5．A解析：A 【分析】由勾股定理求出AC=AD=AE=AC-CE=-5即可． 【详解】解：∵BC ⊥AB ，AB=10，CE ＝BC=1110522AB =⨯=，∴==∴AD=AE=AC-CE=5，故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．B解析：B 【分析】由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．【详解】∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴10=，∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，∵BD 2＋BE 2＝DE 2，∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5，∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可．【详解】A ．222b a c =-，即222b c a +=，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故A 不符合题意．B ．根据三角形内角和180A BC ∠+∠+∠=︒与C A B ∠=∠+∠，得出2180C ∠=︒，即90C ∠=︒，所以ABC 是直角三角形，故B 不符合题意．C ．设3A x ∠=，则4B x ∠=，5C x ∠=，根据三角形内角和180A B C ∠+∠+∠=︒，即345180x x x ++=︒，解得15x =︒，即45A ∠=︒、60B ∠=︒、75C ∠=︒．所以ABC 不是直角三角形，故C 符合题意．D ．设5a x =，则12b x =，13c x =，由222(5)(12)(13)x x x +=可知222+=a b c ，根据勾股定理逆定理可知ABC 是直角三角形，故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 8．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223AC AD CD ； 故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 9．C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB =，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，ACD ∆的周长为17，17AC CD AD ∴++=，17AC CD DB AC BC ∴++=+=，5AC =，17512BC ∴=-=，由勾股定理得，13AB ==，故选：C ．【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．B解析：B【分析】直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．【详解】解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形故答案为B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．11．B解析：B【分析】先根据题意确定AC 、BC 、AB 的长，然后运用勾股定理逆定理判定即可．【详解】解：由题意得：AC=AN=2AM=8,BC=MB=MN+NB=4+2=6,AB=AM+MN+NB=10∴AC 2=64, BC 2=36, AB 2=100,∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 一定是直角三角形．故选：B ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，根据题意确定AC 、BC 、AB 的长是解答本题的关键．12．B解析：B【分析】先找出DE 最短时的位置，然后根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点P 的个数．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，设AD=CE=x ，则4CD x =-，由勾股定理，得：2222222(4)28162(2)8DE CD CE x x x x x =+=-+=-+=-+， ∴当2x =时，2DE 最小，即DE 最小，∴此时2AD CD CE BE ====，822DE ==；∵在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则可分为三种情况进行分析：PD=PE ；PD=DE ，PE=DE ；如下图所示：点P 共有7个点；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方公式的应用，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的确定点P 的位置，注意运用数形结合的思想进行解题．二、填空题13．【分析】根据图形得到根据勾股定理推出【详解】解：由题意得所以故答案为：【点睛】此题考查勾股定理的应用观察图形理解各部分图形的面积的关系利用勾股定理解决问题是解题的关键 解析：98π．【分析】 根据图形得到22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据勾股定理推出()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=. 【详解】 解：由题意，得22111228AC S AC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，22211228BC S BC ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()22121188S S AC BC π+=+=298AB ππ=， 故答案为：98π.【点睛】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 14．【分析】根据勾股定理求出AC 根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6EF ＝AC ＝8求出FC 根据勾股定理计算得到答案【详解】解：在Rt △ABC 中AC ＝∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ∴AF ＝BC ＝6EF ＝A解析：【分析】根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AC 8==，∵Rt △ACB ≌Rt △EFA ，∴AF ＝BC ＝6，EF ＝AC ＝8，∴FC ＝AC ﹣AF ＝2，∴CE==故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．15．；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°∠2+∠CDE=45°再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°再证明∠ADC=90°进而得到∠ACD=45°从而得到∠1+∠2=45°解析：45 ；【分析】首先根据三角形内角与外角的关系计算出∠1+∠BAC=45°,∠2+∠CDE=45°,再利用勾股定理逆定理∠BCE=90°,再证明∠ADC=90°,进而得到∠ACD=45°,从而得到∠1+∠2=45°,继而得到∠BAC+∠CDE=45°.【详解】解：∵BF=CF,CK=EK，∴∠FBC=CEK=45°，∴∠1+∠BAC=45°，∠2+∠CDE=45°，连接AD、BE，∵BC²=2²+2²=8，CE²=1²+1²=2,BE²=3²+1²=10，∴BC²+CE²=BE²，∴∠BCE=90°，∵AD²=3²+1²=10,CD²=3²+1²=10,AC²=4²+2²=20，∴AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠BAC+∠CDE=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理,以及三角形内角与外角的关系,关键是掌握勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形．16．29【分析】如图（见解析）先根据正方形的面积公式可得再利用勾股定理可得的值由此即可得出答案【详解】如图连接AC 由题意得：在中在中则正方形丁的面积为故答案为：29【点睛】本题考查了勾股定理的应用熟练掌 解析：29【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得22230,16,17AB BC CD ===，再利用勾股定理可得2AD 的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC ，由题意得：22230,16,17AB BC CD ===，在ABC 中，90ABC ∠=︒， 22246AC AB BC ∴=+=，在ACD △中，90ADC ∠=︒，22229AD AC CD ∴=-=，则正方形丁的面积为229AD =，故答案为：29．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．17．150°【分析】由可知：PA ＝P′A ∠P′AB ＝∠PACBP′=CP 然后依据等式的性质可得到∠P′AP ＝∠BAC ＝60°从而可得到△APP′为等边三角形可求得PP′由△APP′为等边三角形得∠APP解析：150°【分析】由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P′A ，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P′A P ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP′为等边三角形，可求得PP′，由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．【详解】连接PP′，∵P AB PAC '≌△△，∴PA ＝P′A=6，∠P′AB ＝∠PAC ，BP′=CP=10，∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP ＝AP′＝6，又∵8PB =，∴PP′2＋BP 2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，故答案是：150°【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP′为等边三角形、△BPP′为直角三角形是解题的关键．18．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图解析：39【分析】根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．【详解】解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，即（6+BC ）2+152=AD 2①，又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，即6+AD=15+BC②，联立①②组成方程组得：()222615615BC AD AD BC⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩，故BC，AD分别取30和39时，才能实现上述变化，故答案为：30，39．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．19．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2，解之得x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．20．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD故AB=BD+AD=BD+CD设CD=x则BD=4-x在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可【详解】∵是的垂直平分线∴∴设则在中即解得∴故答案为:解析：25 8【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴CD AD =，∴AB BD AD BD CD =+=+，设CD x =，则4BD x =-，在Rt BCD 中，222CD BC BD =+，即()22234x x =+-， 解得258x =， ∴258CD =． 故答案为: 258． 【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质．由勾股定理得出方程是解决问题的关键．三、解答题21．254【分析】连接BE ，先利用勾股定理求出BC 的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE ＝BE ，然后设AE ＝BE ＝x ，再由勾股定理可得方程（8−x ）2＋62＝x 2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE ，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，∴AC 2＋BC 2＝AB 2．即82＋BC 2＝102，解得：BC ＝6．∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ．设AE ＝BE ＝x ，则EC ＝8−x ，∵Rt △BCE 中，EC 2＋BC 2＝BE 2，∴（8−x ）2＋62＝x 2，解得：x ＝254， ∴AE ＝254． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．22．5m 【分析】设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可． 【详解】解：设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，由题意得：090ABC ∠=，在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，∴()22214x x -+= 解得8.5x =，∴8.5AC m =．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．23．（1）；（2）或；（3），证明见解析 【分析】（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出，得出，证出AE=AC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果 （2）分两种情况：当时，当时分别求解即可 （3）作CG ⊥AP 于G ，由AAS 证明，得出CG=AM ，证出点A 是的外接圆的圆心，，得出和是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论【详解】解：（1）补全示意图如图所示连接AE，设AP与BE交于点M，如图：由轴对称的性质得AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∵是等腰直角三角形∴AB=AC∴AE=AC∴（2）当时，如图：由（1）得，，在中∴∴∴∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴当时，如图：∵AE=AB ，AF=AF ，FE=FB ∴∴∵AE=AB=AC ∴∴即 在与中 ， ∴∴由上可知，的度数为或 （3），理由如下： 由（2）得：FE=FB ，∴∴∵在中 ∴【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键24．点A 和点B 间的距离为120m【分析】在Rt △ABC 中利用勾股定理计算出AB 长即可．【详解】解：∵AC AB ⊥．∴90BAC ︒∠=，∴在Rt ABC △中，222AB AC BC +=．∵160AC =，200BC =， ∴2222200160120(m)AB BC AC -=-=．答：点A 和点B 间的距离为120m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．25．（1）B （4，0）或B （-2，0）；（2）10或2【分析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，根据勾股定理可求出BD=3，求出B 点坐标； （2）根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）如图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，可知D 点坐标为（1,0），∵BC=5，CD=4，∴BD=22543-=，当B 点在点D 右侧时，B 点坐标是（4,0），当B 点在点D 左侧时，B 点坐标是（-2,0）；（2）当B 点在点D 右侧时，S △ABC =12AB CD ⨯⨯, =1542⨯⨯,=10；当B 点在点D 左侧时，S △ABC =112AB CD ⨯⨯, =1142⨯⨯, =2．【点睛】此题主要考查了勾股定理、利用坐标求线段长、根据坐标轴上线段长求坐标以及利用坐标求三角形的面积，正确的掌握坐标与线段长的关系是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可知，作13的长的线段时，可以作一个直角边分别为2和3的直角三角形，它的斜边长即所求；（2）先作出边长是13的线段，再以原点为圆心，13为半径画弧，与数轴的正半轴相交于点A，再以A为圆心，1为半径画弧，与OA相交于点B，则OB为所求．【详解】解：（1）如图所示，ABCD为所求作正方形．-+为所求．（2）如图所示，OB=113．【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理作图时找出相应线段是解题的关键．。

青岛版 2019年八年级数学下册勾股定理同步练习一、选择题1.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A.3，4，4B.3，4，5C.3，4，6D.3，4，72.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A.∠A+∠B=∠CB.∠A：∠B：∠C=1：2：3C.a2=c2﹣b2D.a：b：c=3：4：63.如图,在方格纸中,假设每个小正方形的面积为2,则图中的四条线段中长度是有理数的有（）条．A.1B.2C.3D.44.如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是( )A. B.﹣ C. D.﹣5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A.0B.1C.2D.36.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A.米B.米C.(+1)米D.3米7.点A（-3,-4）到原点的距离为( )A.3B.4C.5D.78.直线l∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1,l2与l3的距离为3.把一块含有45°角的直角三角板如1图放置,顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为（）A. B. C.12 D.259.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为（）A. B.2.5 C.4 D.510.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．12111.一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是．12.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .13.已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为__________.14.直角三角形三边长分别为3，4，a，则a= ．15.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为16.如图,隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50m,CB=40m,那么A、B两点间的距离是_________.．三、解答题17.如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？18.已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.19.写出如图格点△ABC各顶点的坐标，求出此三角形的周长。

一、选择题1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）A ．30，40，50B ．8，12，13C ．5，9，13D ．3，4，6 2．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，点CE ＝1，AC ＝4，则下列结论一定正确的个数是（ ）①BC ＝2CD ；②BD ＞CE ；③∠CED ＋∠DFB ＝2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC 中AB边上的高长为（ ）A ．355B ．25C ．3510D ．3224．如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．155．如图，平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B 、C 的坐标分别为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．若ABC ∆是等边三角形，则点A 的坐标为（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()1,3 6．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．487．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．18 8．已知锐角△ABC 的三边长恰为三个连续整数，AB ＞BC ＞CA ，若边BC 上的高为AD ，则BD ﹣DC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知实数a ，b 为ABC 2a 1b 4b 40--+=，第三边c 5=第三边c 上的高的值是( )A ．554B ．455C ．552D ．25510．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对 11．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 二、填空题13．已知在ABC 中，45ABC ︒∠=，32AB =，1BC =，且以AB 为边作等腰Rt ABD ，90ABD ︒∠=，连结CD ，则CD 的长为________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．若2DC =，1AD =，则BE 的长为__________．15．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．16．如图，在52⨯的正方形网格中，点A ，P ，B 为格点，则APB ∠=________．17．如图，在ABC 中，45ABC ︒∠=，3AB =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点F ．1AE =，连接DE ，将AED 沿直线AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF ，连接DF ．过点D 作DG DE ⊥交BE 于点G ，则四边形DFEG 的周长为________．18．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________． 19．如图，△DEF 为等边三角形，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上一点，且∠C ＝60°，AD 3BD 5=，AE ＝7，则AC 的长为_________．20．如图，Rt ABC △，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为________．三、解答题21．如图，小区有一块三角形空地ABC ，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D 作垂直于AB 的小路DE ．经测量，15AB =米，13AC =米，12AD =米，5DC =米．（1）求BD的长；（2）求小路DE的长．22．如图，ABC中，AC=2AB=6，BC=33．AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．（1）求BE的长；（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM+MN的最小值为．23．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边BC上的两点，AD＝AE，点E关于直线AC的对称点是点M，连接AM，DM；（1）如图1，当∠BAC＝60°时；①依题意补全图形；②若∠BAD＝α，则∠AEB＝；（用含α的式子表示）；③求证：DA＝DM；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC，EC，AM之间的数量关系，并证明．24．在等腰直角△ABC中，AB＝ AC，∠BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB 上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB ；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．25．如图，A （－1，0），C （1，4），点B 在x 轴上，且BC =5．（1）求点B 的坐标；（2）求△ABC 的面积．26．已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，以AD 始边作()0180DAE αα∠=︒<<︒．（1）如图一，当90α=︒且AE AD =时，试说明CE 和BD 的位置关系和数量关系； （2）如图二，当45α=︒且点E 在边BC 上时，求证：222BD CE DE +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A 、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； B 、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； C 、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D 、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质结合勾股定理以及对角度关系的推导证明对应选项的结论．【详解】解：∵4AC =，1CE =，∴413AE AC CE =-=-=，∵折叠，∴3DE AE ==，根据勾股定理，CD === ∴BC =，故①正确；4BD CB CD =-=- ∵41->，∴BD CE >，故②正确；∵45A EDF ∠=∠=︒，∴290EDF ∠=︒，∵()()9090451351354590CED CDE CDF CDF DFB DFB ∠=︒-∠=︒-∠-︒=︒-∠=︒-∠+︒=︒-∠，∴902CED DFB EDF ∠+∠=︒=∠，故③正确；∵4DCE C CD CE DE =++=，42422224BDF C BD DF BF BD AB =++=+=+-=+，∴DCE BDF C C =，故④正确．故选：D ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的运用，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．3．A解析：A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出△ABC 的面积和AB 的长，利用三角形面积公式可得答案．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， 且12ABC S AB CD =⋅△， ∵22125AB =+=∴1322AB CD ⋅=， 则355CD ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．4．C解析：C【分析】取AB 的中点D ，连接CD ，根据三角形的边角关系得到OC≤OD+DC ，只有当O 、D 及C 共线时，OC 取得最大值，最大值为OD+CD ，根据D 为AB 中点，得到BD=3，根据三线合一得到CD 垂直于AB ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理求出CD 的长，在Rt △AOB 中，OD 为斜边AB 上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 的值，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD，∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=1AB=6，CD⊥AB，2∴CD=2222-=-=，BC BD1068连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=1AB=62∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及三角形三边之间的关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，是解题的关键．5．A解析：A【分析】先过点A作AD⊥OB，根据△ABC是等边三角形，求出AC=BC，CD=BD，∠ACB=60°，再根据点B、C的坐标，求出CB的长，再根据勾股定理求出AD的值，从而得出点A的坐标．【详解】过点A作AD⊥OB，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=BD ，∠ACB=60°，∵点B 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，点C 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴BC=2，OC=12 ∴CA=2，∴CD=1，∴∵OD=CD-CO∴OD=1-12=12∴点A 的坐标是12⎛ ⎝． 故选A ．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A 的坐标．6．C解析：C【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴，∴S 2=122x x ⨯⨯=24AB ，同理：S 12AC ，S 32BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π， 同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．7．A解析：A【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即2AC AD =， ∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．8．B解析：B【分析】根据勾股定理,因AD 为公共边可以得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2再把三边关系代入解答即可．【详解】解：设BC ＝n ，则有AB ＝n ＋1，AC ＝n ﹣1，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣CD 2，∴ AB 2﹣AC 2＝BD 2﹣CD 2∴ （n ＋1）2﹣（n ﹣1）2＝（BD ﹣CD ）n ，∴BD ﹣CD ＝4，故选：B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理，根据题意得出 BD ﹣CD 的长是解题关键．9．D解析：D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a 、b 的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c 边上高即可．【详解】 ()2a 1b 20--=，所以a 10b 20-=-=，，解得a 1b 2==，；因为2222a b 125+=+=，22c 5==，所以222a b c +=，所以ABC 是直角三角形，C 90∠=︒，设第三边c 上的高的值是h ，则ABC 的面积111222==⨯⨯，所以h = 故选：D ．【点睛】本题考查了非负数的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．11．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223AC AD CD ；故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．12．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；【详解】解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C ∠=︒⨯=︒，不是直角三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 二、填空题13．或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论分别画出对应的图形根据等腰直角三角形的性质勾股定理分别求解即可【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时如下图所示延长BC 交AD 于E ∵△ABD 为等腰直角解析：13或5【分析】根据点C 和点D 与AB 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求解即可．【详解】解：若点C 和点D 在AB 的同侧时，如下图所示，延长BC 交AD 于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBC=∠ABD －∠ABC=45°∴226AB BD +=，∠DBC=∠ABC∴BE ⊥AD ，BE 是AD 的中线∴BE=DE=12AD=3 ∴CE=BE －BC=2 在Rt △CDE 中，CD=2213CE DE +=；若点C 和点D 在AB 的两侧时，如下图所示，过点D 作DE ⊥CB 交CB 延长线于E∵△ABD 为等腰直角三角形，∠ABD=90°，45ABC ︒∠=∴BD=32AB =∠DBE=180°－∠ABD －∠ABC=45°∴△EDB 为等腰直角三角形，DE=BE∵DE 2＋BE 2=BD 2 ∴2DE 2=(232解得：DE=3∴BE=3∴CE=BE ＋BC=4在Rt △CDE 中，225CE DE +=；综上：135． 135．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质及判定和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质及判定、勾股定理和分类讨论的数学思想是解题关键． 14．【分析】根据是的垂直平分线得到BD=CDBE=CE 推出∠DBC=∠C 根据BD 平分推出∠ABD=∠CBD=∠C 求出∠C=得到DE=1利用勾股定理求出CE 即可得到BE 【详解】∵是的垂直平分线∴BD=CD3【分析】根据DE 是BC 的垂直平分线，得到BD=CD ，BE=CE ，推出∠DBC=∠C ，根据BD 平分ABC ∠，推出∠ABD=∠CBD=∠C ，求出∠C=30，得到DE=1，利用勾股定理求出CE 即可得到BE ．【详解】∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD,BE=CE ，∴∠DBC=∠C ，∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD ，∴∠ABD=∠CBD=∠C ，∵∠ABD+∠CBD+∠C=90︒，∴∠C=30，∵2DC =，∴DE=1，∴=，【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，熟记线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键．15．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角解析：6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，∵△ACD 是等腰直角三角形，∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∴DE=AE=CE=12AC ， ∴21111224S AC AC AC =⋅=， 同理：2214S BC =， ∴221211944S S AC BC +=+=， ∴22AC BC +=36，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，∴S=2AB=36，∴正方形S的边长等于6，故答案为：6．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．16．【分析】延长AP交网格于点C连接BC利用勾股定理求出可得：即可判定△PBC是等腰直角三角形那么∠BPC=45°再根据邻补角定义求出∠APB【详解】解：如图延长AP交网格于点C连接BC∵∴∴△PBC是解析：135︒【分析】延长AP交网格于点C，连接BC．利用勾股定理求出2222=+==+=22PC BC125,125,PB=+=，可得：1310222=+=即可判定△PBC是等腰直角三角形，那么∠BPC=45°，再根PC BC PC BC PB,,据邻补角定义求出∠APB．【详解】解：如图，延长AP交网格于点C，连接BC．∵2222125,125,=+==+=22PC BCPB+=，1310∴222,,=+=PC BC PC BC PB∴△PBC是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°-∠BPC=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，利用平方根的含义解方程，利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定得出△PBC是等腰直角三角形是解题的关键．17．【分析】先证得出再证与是等腰直角三角形在直角中利用勾股定理求出BE的长进一步求出GE 的长可通过解直角三角形分别求出GDDEEFDF 的长即可求出四边形DFEG 的周长【详解】∵于点D ∴∴是等腰直角三角形解析：2【分析】先证BDG DE ∆≅∆，得出1AE BG ==，再证DGE ∆与EDF ∆是等腰直角三角形，在直角AEB ∆中利用勾股定理求出BE 的长，进一步求出GE 的长，可通过解直角三角形分别求出GD ，DE ，EF ，DF 的长，即可求出四边形DFEG 的周长．【详解】∵45ABC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，∴9045BAD ABC ︒︒∠=-∠=，∴ABD ∆是等腰直角三角形，∴AD BD =，∵BE AC ⊥，∴90GBD C ︒∠+∠=，∵90EAD C ︒∠+∠=，∴GBD EAD ∠=∠，∵90ADB EDG ︒∠=∠=，∴ADB ADG EDG ADG ∠-∠=∠-∠，即BDG ADE ∠=∠，∴()BDG ADE ASA ∆≅∆，∴1BG AE ==，DG DE =，∵90EDG ︒∠=，∴EDG ∆为等腰直角三角形，∴9045135AED AEB DEG ︒︒︒∠=∠+∠=+=，∵AED ∆沿直线AE 翻折得AEF ∆，∴AED AEF ∆≅∆，∴135AED AEF ︒∠=∠=，ED EF =，∴36090DEF AED AEF ︒︒∠=-∠-∠=，∴DEF ∆为等腰直角三角形，∴EF DE DG ==，在Rt AEB ∆中，BE === ∴1GE BE BG =-=，在Rt DGE ∆中，222DG ==-，∴22EF DE ==-， 在Rt DEF ∆中，1DF ==，∴四边形DFEG 的周长为：GD EF GE DF +++221)2⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭2=+，故答案为：2+．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．18．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上解析：125 【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长5==∴斜边上的高为341255⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长=，∴斜边上的高为344=；故答案为：125． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用．19．8【分析】以CE为边作等边△CEH证明△CEF≌△HED可得∠DHE=60°DH∥BC则设AH=3xCH=5x过点E作EM⊥AC于点M在△AEM中解得x=1则答案得出【详解】解：以CE为边作等边△C解析：8【分析】以CE为边作等边△CEH，证明△CEF≌△HED，可得∠DHE=60°，DH∥BC，则AH3 CH5=，设AH=3x，CH=5x，过点E作EM⊥AC于点M，在△AEM中，22253117(x)(x)2=+，解得x=1，则答案得出．【详解】解：以CE为边作等边△CEH，连接DH，∴CE=EH，∠EHC=60°，∵△DEF为等边三角形，∴∠DEF=60°，DE=EF，∴∠DEH=∠CEF，在△CEF和△HED中∵CE HECEF HEDEF ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEF≌△HED（SAS），∴∠DHE＝∠FCE＝60°，∴∠DHE＝∠HEC＝60°，∴DH//BC，∴AD AHBD CH=，∵AD3BD5=，∴AH3CH5=，过点E作EM⊥AC于点M，设AH＝3x，CH＝5x，则EC=5x ，1511,,2222x MC EC ME AM AC MC x =====-=,在△AEM 中，222117x)(x)2=+， ∴x ＝1，∴AC ＝8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法能正确作出辅助线是解题的关键．20．【分析】根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三角形是直角三角形运用勾股定理求出DF 的值最后用勾股定理得出的值【详解】解：根据折叠的性质可知∴；∵(三角形外角定理)(都是的余角同角的余角相等)∴∵在中 解析：45【分析】根据折叠性质和余角定理可知CEF △是等腰直角三角形，B FD '是直角三角形，运用勾股定理求出DF 的值，最后用勾股定理得出B F '的值．【详解】解：根据折叠的性质可知3CD AC ==，4B C BC '==，∠=∠ACE DCE ，BCF B CF '∠=∠，CE AB ⊥，∴431B D B C CD '-=-'==；∵ECF DCE B CF ∠=∠+∠'，EFC B BCF ∠=∠+∠(三角形外角定理)，B ACE ∠=∠(B 、ACE ∠都是A ∠的余角，同角的余角相等)，∴ECF EFC ∠=∠，∵在Rt ECF △中，90ECF EFC ∠+∠=︒，∴=45ECF EFC ∠∠=︒，∴ECF △是等腰直角三角形，EF CE =，∵EFC ∠和BFC ∠互为补角，∴135BFC B FC '∠=∠=︒，∴==1354590B FD B FC EFC ''∠∠-∠︒-︒=︒，B FD '为直角三角形， ∵1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△， ∴AC BC AB CE ⋅=⋅，∵根据勾股定理求得5AB =， ∴125CE =，∴125EF =，95ED AE === ∴35DF EF ED =-=，∴45B F '==． 故答案为：45． 【点睛】 本题考查折叠性质与勾股定理的应用，掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE 的值是解题关键．三、解答题21．（1）9米；（2）365米． 【分析】（1）先由13125AC AD CD ===，，，证明90,ADC ∠=︒ 可得90,ADB ∠=︒ 再由勾股定理可求BD 的长；（2）由,,DE AB AD BC ⊥⊥ 可得,AB DE AD BD =代入数据从而可得答案．【详解】解：（1）13125AC AD CD ===，，， 22222212516913,AD CD AC ∴+=+===90ADC ∴∠=︒，90ADB ∴∠=︒，15AB =，9.BD ∴====BD ∴为9米．（2）,,DE AB AD BC ⊥⊥11,22ABD S AB DE AD BD ∴== ,AB DE AD BD ∴= 15129DE ∴=⨯， 36.5DE ∴=DE ∴为365米． 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键．22．（1）3BE =；（2）33【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE CE =，在Rt ABE △中利用勾股定理列出方程即可求解；（2）根据题意画出图形，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：（1）连接AE ， ，∵26AC AB ==，33BC =，∴222AC AB BC =+，∴ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，∵DE 垂直平分AC ，∴AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，∴()222333BE BE -=+，解得3BE =；（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANC ACB CAN AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC ≌CNA ， ∴33AN BC ==．【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．23．（1）①见解析；② 60°＋α；③见解析；（2）2222DC EC AM +=；见解析【分析】（1）①根据题意可直接进行作图；②由题意易得△ABC 是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=AE ，则有∠ADE=∠AED ，然后问题可求解；③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM ，进而可得△ADM 是等边三角形，然后问题可求证；（2）由题意易证△DMC 是直角三角形，则有222DC CM DM +=，进而可证△ADM 是等腰直角三角形，则有2DM AM =，从而等量代换即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得如图所示：②解：∵∠BAC=60°，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵AD=AE ，∠BAD ＝α，∴∠ADE=∠AEB=60°＋α故答案为60°＋α；③证明：由②可得∠BAD=∠EAC ，∵∠BAC=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∵点E 关于直线AC 的对称点是点M ，∴AC 垂直平分EM ，∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM；（2）由题意可得如图所示：线段DC，EC，AM之间的数量关系：222+=DC EC AM2证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，∴AC垂直平分EM，∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，∵∠BAC=90°，∴∠DAM=90°，∴△DAM是等腰直角三角形，∴2DM=，∵AC垂直平分EM，∴EC=CM，∵∠ACB=45°，∴∠ACB=∠ACM=45°，∴∠MCD=90°，∴在Rt△DMC中，222DC CM DM+=，∴222+=．DC EC AM2【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键．24．（1）见解析；①见解析；②BC-BD2；见解析；（2）BD-BC2BP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明△BPD≌△FPC，即可得到结论；（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，证明△HPC≌△BPD即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD =FC ．∵BF =2BP ，∴BC -BD =2BP ．（3）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP∴2HB PB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴2BP BC +∴BD -BC 2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．25．（1）B （4，0）或B （-2，0）；（2）10或2【分析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，根据勾股定理可求出BD=3，求出B 点坐标； （2）根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）如图，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，可知D 点坐标为（1,0），∵BC=5，CD=4，∴BD=22543-=，当B 点在点D 右侧时，B 点坐标是（4,0），当B 点在点D 左侧时，B 点坐标是（-2,0）；（2）当B 点在点D 右侧时，S △ABC =12AB CD ⨯⨯, =1542⨯⨯,=10；当B 点在点D 左侧时，S △ABC =112AB CD ⨯⨯, =1142⨯⨯, =2．【点睛】此题主要考查了勾股定理、利用坐标求线段长、根据坐标轴上线段长求坐标以及利用坐标求三角形的面积，正确的掌握坐标与线段长的关系是解题关键．26．（1）CE BD ⊥，CE BD =，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明：ABD △≌ACE △，利用全等三角形的性质可得答案；（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，同（1）理证明：90GCB ∠=︒，CG BD =，再证明：ADE ≌AGE ，可得：ED GE =，由勾股定理可得：222CG CE EG +=，等量代换后可得结论．【详解】解：（1）∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠．又BA CA =，AD AE =，∴ABD △≌ACE △（SAS ），∴CE BD =，45ACE B ∠=∠=︒．90BAC ∠=︒，AB AC =，∴ 45ACB B ∠=∠=︒，∴454590ECB ∠=︒+︒=︒，∴CE BD ⊥．∴CE 与BD 位置关系是CE BD ⊥，数量关系是CE BD =．（2）将AD 绕点A 逆时针旋转90︒，得到AG ．连接EG ，CG ，如图二，同（1）理：可得90GCB ∠=︒，CG BD =．∵90DAG =︒∠，45DAE ∠=︒，∴45GAE DAE ∠=∠=︒，∵AD AG =，AE AE =，∴ADE ≌AGE （SAS ）．∴ED GE =，又∵90GCB ∠=︒， ∴222CG CE EG +=，∴222BD EC DE +=．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．。

一、选择题1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．8，12，13 C．5，9，13 D．3，4，62．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和3（m<3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（）A．m2+6m+9＝0 B．m2﹣6m+9＝0 C．m2+6m﹣9＝0 D．m2﹣6m﹣9＝0 3．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则ABC中AB 边上的高长为（）A．355B．255C．3510D．3224．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A．103B．256C．203D．1545．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为（）A．20 B．24 C．30 D．406．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB，且OA OB=，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（）A．-3.5 B．-3.6 C．-3.7 D．-3.87．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC=12，BC=16，则AE的长为（）A．6 B．8 C．10 D．129．如图，设每个小方格的边长都为1，则图中以小方格顶点为端点且长度为13的线段有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F ．若DG =GE ，AF =3，FD =1，△ADG 的面积为2，则点D 到AB 的距离为（ ）A ．41313B ．81313C ．2D ．411．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．3 12．如图，在平面直角坐标系中，点P 为x 轴上一点，且到A （0，2）和点B （5，5）的距离相等，则线段OP 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．4.6D ．25二、填空题13．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．14．如图，在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 的中点，8AB =，点P 为AB 上一动点，则PC PD +的最小值为__________．15．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，正方形FHIJ 的面积为3，点D 、C 、G 、J 、I 在同一水平面上，则正方形BEFG 的面积为__________．16．如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD 是BC 边上的高．E 是AC 边中点，点P 是AD 上的一个动点，则PC ＋PE 的最小值是_______ ，此时∠CPE 的度数是_______．17．如图，在52⨯的正方形网格中，点A ，P ，B 为格点，则APB ∠=________．18．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．19．如图，在Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，边AC 落在数轴上，点A 表示的数是1，点C 表示的数是3．以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交数轴负半轴于点B 1，则点B 1所表示的数是_____．20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2,4)，点B的坐标是(6,2)，在y轴和x 轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为__．三、解答题21．如图，平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“格点”，如：点A、点B．请利用图中．．的“格点”完成下列作图或解答．（1）点A的坐标为；（2）在第三象限内标出“格点”C，使得CA=CB；（3）在（2）的基础上，标出“格点”D，使得△DCB≌△ABC；（4）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为．22．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．23．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥；①如图1，若AE BC =，求证：AD BE =；②如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，362BF DF ==，求CF 的长． 24．如图，小区有一块三角形空地ABC ，为响应沙区创文创卫，美化小区的号召，小区计划将这块三角形空地进行新的规划，过点D 作垂直于AB 的小路DE ．经测量，15AB =米，13AC =米，12AD =米，5DC =米．（1）求BD 的长；（2）求小路DE 的长．25．在ABC 中，90,6,10C AC AB ∠===，小明用尺规作图的方法作AB 的垂直平分线与BC 的交点P ，请你根据如图所示作图方法求出图中线段PC 的长．26．在ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在射线BC 上（不与点BC 重合），连接AD ，将AD 绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE ．（1）如图1，点D 在BC 边上．①求证：2AB BE BD =+；②若22BE BD ==，求CD 的长．（2）如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB BD BE 、、之间的数量关系（直接写出结论）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A 、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； B 、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； C 、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D 、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．C解析：C【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m 2＝（3﹣m ）2，整理即可解答．【详解】解：如图，m 2+m 2＝（3﹣m ）2，2m 2＝32﹣6m +m 2，m 2+6m ﹣9＝0．故选：C ．【点睛】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．3．A解析：A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出△ABC 的面积和AB 的长，利用三角形面积公式可得答案．【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，且12ABC S AB CD =⋅△， ∵22125AB =+=，∴1322AB CD ⋅=， 则3555CD ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．4．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．5．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ==，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝，∵△ABC 的面积为120，∴11212022ABC S AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，解得：2x∵21122BCD S BD CD x =⨯⨯=⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．6．B解析：B【分析】先根据勾股定理求得A 点坐标，再利用二分法估算即可得出比较接近-3.6．【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2，∴OA OB ==∴A 所表示的数为∵23.612.9613=<，23.713.6913=>，∴-3.6和-3.7之间，∵23.6513.322513=>，∴-3.6，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键．7．B解析：B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【详解】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.8．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB ===，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．9．D解析：D【分析】2，3线段．【详解】解：∵2232+=13， ∴13是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB ，CD ，BE ，DF 的长都等于13；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．10．B解析：B【分析】根据中线的性质，得S ∆ADG = S ∆AEG ，从而求出S ∆ADE =4，结合折叠的性质，得S ∆ABD = S ∆ADE =4，BE ⊥AD ，根据勾股定理以及等积法，即可得到答案．【详解】 ∵DG =GE ，∴S ∆ADG = S ∆AEG =2，∴S ∆ADE =4，由折叠的性质可知：∆ABD ≅∆ADE ，BE ⊥AD ， ∴S ∆ABD = S ∆ADE =4，∠AFB=90°，∴1()=42AF DF BF +⋅， ∴BF=2， ∴22223213AF BF +=+=设点D 到AB 的距离为h ，则142AB h ⋅=， ∴1381313故选B ．【点睛】 本题主要考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握“等积法”求三角形的高，是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ； 故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 12．C解析：C【分析】设点P （x ，0），根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论．【详解】解：设点P （x ，0），根据题意得，x 2+22=(5﹣x )2+52，解得：x =4.6，∴OP =4.6，故选：C ．【点睛】本题考查了利用勾股定理求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．二、填空题13．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x 的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC 中AC=1AB=xBC=3-x 解得1＜x ＜2；①∵1＜x解析：43或53【分析】 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x 的不等式组，求出x 的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【详解】解：∵在△ABC 中，AC=1，AB=x ，BC=3-x ．1313x x x x+>-⎧∴⎨+->⎩， 解得1＜x ＜2；①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=43 ，满足1＜x ＜2， 故x 的值为：43或53， 故答案为：43或53． 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 14．【分析】根据勾股定理得到BC 由中点的定义求出BD 作点C 关于AB 对称点C′则PC′=PC 连接DC′交AB 于P 连接BC′此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45解析：210【分析】根据勾股定理得到BC ，由中点的定义求出BD ，作点C 关于AB 对称点C′，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′，此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，于是得到∠CBC′=90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：在等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =， 8AB =，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴AC=BC=2422AB =． ∵D 为BC 的中点，∴BD=22．作点C 关于AB 对称点C′，交AB 于点O ，则PC′=PC ，连接DC′，交AB 于P ，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵点C 关于AB 对称点C′，∴∠C′BA=∠CBA=45°，'42BC BC ==∴∠'90CBC =，∴'DC===，故答案为：【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．15．7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°∠GFJ+∠FGJ=90解析：7【分析】根据已知利用全等三角形的判定可得到△BCG≌△GJF，从而得到正方形BEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积．【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90°∴∠BGC =∠GFJ∵∠BCG=∠GJF，BG=GF∴△BCG≌△GJF∴CG=FJ，BC=GJ，∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7．【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．16．60°【分析】作点E关于AD的对称点F然后连接CF交AD于点H连接HE 由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值进而由等边三角形的性质可求解【详解】解：作点E关于AD的对称点F然【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=DC，∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，∴∠BCF=30°，∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，∵BC=2，∴BF=1，在Rt△CBF中，223-F BF=C BC∴PC+PE3∴∠DHC=∠FHP=60°，∵AD垂直平分EF，∴FH=HE，∴∠FHP=∠PHE=60°，∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；3；60°．【点睛】本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．17．【分析】延长AP交网格于点C连接BC利用勾股定理求出可得：即可判定△PBC是等腰直角三角形那么∠BPC=45°再根据邻补角定义求出∠APB【详解】解：如图延长AP交网格于点C连接BC∵∴∴△PBC是解析：135︒【分析】延长AP交网格于点C，连接BC．利用勾股定理求出2222=+==+=22PC BC125,125,PB+=，可得：1310222=+=即可判定△PBC是等腰直角三角形，那么∠BPC=45°，再根,,PC BC PC BC PB据邻补角定义求出∠APB ．【详解】解：如图，延长AP 交网格于点C ，连接BC ．∵2222125,125,PC BC =+==+=221310PB +=，∴222,,PC BC PC BC PB =+=∴△PBC 是等腰直角三角形，∴∠BPC=45°，∴∠APB=180°-∠BPC=135°．故答案为：135°．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，利用平方根的含义解方程，利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定得出△PBC 是等腰直角三角形是解题的关键．18．【分析】过点A 作AD ⊥l3于D 过点B 作BE ⊥l3于E 易证明∠BCE ＝∠CAD 再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ）得出结论BE ＝CD 由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD 和AD 17【分析】过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长．【详解】如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，则∠CAD+∠ACD ＝90°，∵AC ⊥BC ，∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵在△ACD 和△CBE 中，BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴BE ＝CD ，∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，在Rt△ACD中，AC2222=+=+=，AD CD5334∵AC⊥BC，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB2=⨯=217．=AC234故答案为：17【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE＝CD是解答本题的关键．19．1﹣2【分析】先求出AC的长度再根据勾股定理求出AB的长度然后根据数轴的特点从点A向左AB个单位即可得到点B1【详解】解：根据题意AC＝3﹣1＝2∵∠ACB＝90°AC＝BC∴AB＝∴点B1表示的数解析：1﹣2【分析】先求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后根据数轴的特点，从点A向左AB个单位即可得到点B1．【详解】解：根据题意，AC＝3﹣1＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AB2222+=+=2222AC BC∴点B1表示的数是1﹣22故答案为：1﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解题的关键是利用勾股定理求出AB．20．【分析】作点A关于y轴的对称点C点B关于x轴的对称点D连接CD交y 轴于P交x轴于Q则此时四边形APQB的周长最小且四边形的最小周长=AB+CD 根据两点间的距离公式即可得到结论【详解】解：作点关于轴的+解析：1025【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论．【详解】解：作点A 关于y 轴的对称点C ，点B 关于x 轴的对称点D ，连接CD 交y 轴于P ，交x 轴于Q ，则此时，四边形APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB CD =+，点A 的坐标是(2,4)，点B 的坐标是(6,2)，(2,4)C ∴-，(6,2)D -， 22(26)(42)25AB =-+-，22(26)(42)10CD =--++=，∴四边形APQB 的最小周长1025=+，故答案为：1025+．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P 和点Q 的位置是解题的关键．三、解答题21．（1）（1,3）；（2）图见解析；（3）图见解析；（4）（0,2）【分析】（1）通过点A 的位置，直接写出坐标，即可；（2）利用勾股定理和“格点”的定义，直接画出图形即可；（3）根据全等三角形的判定定理，直接作图，即可；（4）作点A 关于y 轴的对称点A′，连接BA′，交y 轴于点E ，即可求解．【详解】（1）由点A 在平面直角坐标系中的位置，可知：点A 的坐标为（1,3） ，故答案是：（1,3）；（2）如图所示：CB=5，22345+=，故点C 即为所求点；（3）如图所示：点D 即为所求点；（4）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点E，此时AE+BE取最小值，点E 的坐标为（0,2）．故答案是：（0,2）．【点睛】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定定理，是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．23．（1）①见解析；②见解析；（2）562FC =． 【分析】 （1）①根据条件得出EDA CEB △≌△，即可求证；②延长DE 交CB 的延长线于点G ，得出EDA EGB △≌△再证明GCE DCE △≌△即可；（2）解法1：过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，得到FCM FCN △≌△，由222BN BF FN =-，222DM DF FM =-，得到DM BN =，设DM BN x ==，求得5CN =，在Rt FBN △和Rt FCN △中，由勾股定理即可求得CF 的长．解法2：在CD 上截取CF BC '=，得出362FF FD '==，过F 作FG CD ⊥，根据22222FC CG FG F F F G ''-==-，即可求得CF 的长．【详解】（1）①证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒，90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒，ADE BEC ∴∠=∠，在DEA △和ECB 中ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =，EDA CEB ∴△≌△，AD BE ∴=．②证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ，AED BEG ∴∠=∠，E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =，EDA EGB ∴△≌△，EG ED ∴=，90DEC =︒∠，18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒，GEC DEC ∴∠=∠，CE CE =，GCE DCE ∴△≌△，GCE DCE ∴∠=∠，CE ∴平分BCD ∠．（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．CE 平分BCD ∠，BCF FCD ∴∠=∠，又FM CD ⊥，FN CB ⊥，90CNF FMC ∴∠=∠=︒，在FCM △和FCN △中BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =，FCM FCN ∴△≌△，FM FN ∴=，CM CN =，在Rt FDM △和Rt FBN △中MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =-DM BN ∴=，设DM BN x ==，6CD =，4CB =，4CN x ∴=+，6CM x =-，CN CM =，46x x ∴+=-，1x ∴=，415CN CB BN ∴=+=+=，在Rt FBN △和Rt FCN △中222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，36BF =， 22222362512FN FB BN ⎫⎛∴=-=-=⎪ ⎪⎝⎭ 222255(41)622FC FN CN =+=++=． 解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，4BC =，6CD =，642DF CD CF ''∴=-=-=，在FCB 和FCF '△中BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=，FCB FCF '∴△≌△，FF FB '∴=，FB FD =，362FF FD '∴==， 过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，112GF GD DF ''∴===， 145CG GF CF ''∴=+=+=， 在Rt FCG △和Rt FF G '△中22222FC CG FG F F F G ''-==-222236512FC ⎛∴-=- ⎝⎭ 62FC ∴=． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题． 24．（1）9米；（2）365米． 【分析】（1）先由13125AC AD CD ===，，，证明90,ADC ∠=︒ 可得90,ADB ∠=︒ 再由勾股定理可求BD 的长；（2）由,,DE AB AD BC ⊥⊥ 可得,AB DE AD BD =代入数据从而可得答案．【详解】解：（1）13125AC AD CD ===，，， 22222212516913,AD CD AC ∴+=+===90ADC ∴∠=︒，90ADB ∴∠=︒，15AB =，9.BD ∴====BD ∴为9米．（2）,,DE AB AD BC ⊥⊥11,22ABD S AB DE AD BD ∴== ,AB DE AD BD ∴= 15129DE ∴=⨯， 36.5DE ∴=DE ∴为365米． 【点睛】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握以上知识是解题的关键．25．74【分析】连接AP ，根据作图痕迹得到PQ 垂直平分AB ，继而得到AP=BP ，设PC=x ，表示出BP 即为AP ，在直角三角形ACP 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：如图，连接AP ，∵由作图痕迹可得：直线PQ 垂直平分AB ，∴AP=BP ，∵90,6,10C AC AB ∠=︒==，∴BC=22106-=8，设PC=x ，则有AP=BP=BC-PC=8-x ，在Rt △ACP 中，AC=6，根据勾股定理得：（8-x ）2=x 2+62，整理得：64-16x+x 2=x 2+36，解得：x=74， 则PC=74．【点睛】此题考查了勾股定理，线段垂直平分线定理，熟练掌握各自的定理是解本题的关键． 26．（1）①见解析；②2；（2）2BD BE AB =+【分析】（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，证明ADF EDB ≌△△得AFEB =， 再在等腰直角DFB △求出BF 即可得到结论；②首先求出BC 的长，再根据CD=BC-BD 即可得到结论；（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，证明△ADC DEG ≅∆和△EGB 为等腰直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）①过点D 作DF CB ⊥交AB 于点F ，如图，则90FDB ∠=︒，由题意可知AD DE =，90ADE ∠=︒．∵∠ADF+∠EDF=90°，∠EDB+∠EDF=90°∴ADF EDB ∠=∠，∵90C ∠=︒，AC BC =，∴45ABC DFB ∠=∠=︒，∴DB DF =．在ADF 和EDB △中AD ED ADF EDB DF DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF EDB ≌△△．∴AF EB =．在等腰直角DFB △中，2BF BD =，∴2AB AF FB BE BD =+=+．②∵22BE BD ==∴BD=1，∴BF=2由①得222AB BE BD =+=+，在等腰直角ABC 中222AB BC ==+，∴21BC =+， ∴2112CD BC BD =-=+-=．（2）过点E 作EG DB ⊥于G ，如图所示，∵90ADE ∠=︒∴∠90EDG DEG +∠=︒，90EDG ADC ∠+∠=︒∴∠DEG ADC =∠∵,90AD DE ACD DGE =∠=∠=︒∴△ADC DEG ≅∆∴DG AC BC ==，EG DC =∴DC BG =∴BG GE =∴△EGB 为等腰直角三角形，∴BD DG BG AC AB =+== ∴AB BE =+【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．。

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（完整版）八年级数学下勾股定理—单元测试题(带答案)编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版)八年级数学下勾股定理—单元测试题(带答案) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利.同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区,这将是我们进步的源泉，前进的动力.本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版）八年级数学下勾股定理—单元测试题(带答案）> 这篇文档的全部内容.八年级下勾股定理（复习巩固16单元(共6小题）满分：150分，考试时间：120分____班姓名__________ 座号___ 分数__________一、精心选一选（每小题3分,共21分）1、下列各组数据为边的三角形中,是直角三角形的是（）A、错误!、错误!、7B、5、4、8C、错误!、2、1D、错误!、3、错误!2、正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（）A、 4B、8C、 16D、323、已知Rt△ABC中，∠A,∠B，∠C的对边分别为a,b,c，若∠B=90○，则（ )A、b2=a2+c2；B、c2=a2+b2;C、a2+b2=c2；D、a+b=c4、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（)A．5 B．25 C．7D．5或75、将Rt△ABC的三边都扩大为原来的2倍，得△A’B’C’，则△A’B'C’为( )A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、无法确定6、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、 12米B、 13米C、 14米D、15米二、耐心填一填(每小题3分，共36分）7、（2012,黔东南州,6）如图1，矩形ABCD中，AB=3,AD=1，AB在数轴上,若以点A 为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M是表示_________点8、在△ABC中,∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝．9、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10,BC=12，则高AD=________；A（第12题）307米5米10、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=___________； 11、当x___________时，x 63 在实数范围内有意义． 12、ba ab 182____________； 222425__________． 13、计算：把aba 123分母有理化后得=________________14、等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ， 则它的周长为________．15、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，则AB 2+BC 2+CA 2＝________．16、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米． 17、一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是________． 18、如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风,一棵大树受“桑美"袭击于离地面5米 处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米,则这棵大树折断前有__________米(保留到0。

勾股定理的综合使用分析考点一、勾股定理1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么222a b c+=2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

二、定理适用范围及应用1. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。

2. 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题。

总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。

巧妙解题例题1 已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+6，则这个三角形的面积为（ ）A.21B. 1C. 2D. 6 解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算。

答案：解：设两直角边长分别为x 、y ；∵直角三角形斜边上的中线长为1，故斜边长为2。

周长为2+6=x+y+2，得x+y=6。

① 由勾股定理得22y x + ＝2。

②①②联立解得x y=1，故这个三角形的面积为21xy=21。

故选A 。

例题2 在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+2S 2+2S 3+S 4=（ ）A. 5B. 4C. 6D. 10解析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB ，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE ，然后利用勾股定理得到DE 2+BE 2=BD 2，代换后有ED 2+AC 2=BD 2，根据正方形的面积公式得到S 1=AC 2，S 2=DE 2，BD 2=1，所以S 1+S 2=1，利用同样方法可得到S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，通过计算可得到S 1+2S 2+2S 3+S 4=1+2+3=6。